Care dintre următoarele afirmații este corectă?

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Prin două puncte distincte trec exact două drepte.

Printr-un singur punct trece o singură dreaptă.

Prin trei puncte necoliniare trece o singură dreaptă.

Se dau punctele $$K \in t$$, $$L \in t$$ și $$R \notin t$$. Care afirmație este corectă?

$$K$$, $$L$$, $$R$$ sunt necoliniare.

$$K$$, $$L$$, $$R$$ sunt coliniare.

Punctul $$R$$ aparține dreptei $$t$$.

Punctele $$K$$ și $$L$$ nu determină nicio dreaptă.

Care dintre următoarele afirmații despre puncte coliniare este corectă?

Punctele coliniare aparțin toate aceleiași drepte.

Punctele coliniare nu pot fi trei sau mai multe.

Punctele coliniare aparțin mereu unor drepte diferite.

Trei puncte coliniare determină trei drepte diferite.

Ce sunt punctele coliniare?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Puncte coliniare și poziția față de dreaptă

Sunt puncte prin care se poate trage o singură dreaptă, adică toate stau pe aceeași linie. Trei puncte sunt coliniare dacă al treilea cade pe dreapta dusă prin primele două; dacă rămâne alături, ele sunt necoliniare. Cu $M \in d$ , $N \in d$ și $P \in / d$ , punctele $M$ , $N$ și $P$ nu sunt coliniare. Verificarea practică se face cu rigla: o așezi peste două dintre ele și vezi dacă atinge și al treilea.

Un punct poate avea doar două poziții față de o dreaptă $d$ : fie aparține dreptei, notat $A \in d$ , fie nu aparține, notat $B \in / d$ . Nu există o a treia variantă.

Trei sau mai multe puncte se numesc coliniare dacă există o dreaptă care trece prin toate (adică toate aparțin aceleiași drepte). Dacă nu există o astfel de dreaptă, punctele sunt necoliniare.

Proprietate fundamentală (axiomă): prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una — dreapta $A B$ . Printr-un singur punct, în schimb, trec o infinitate de drepte.

Exemplu: dacă $M \in d$ , $N \in d$ și $P \in / d$ , atunci $M$ , $N$ , $P$ nu sunt coliniare, pentru că $P$ nu se află pe dreapta care conține $M$ și $N$ .

De reținut

coliniare = toate punctele stau pe aceeași dreaptă
două puncte diferite fixează o dreaptă, iar alta nu mai încape
un punct luat singur lasă să treacă prin el nenumărate drepte
trei puncte coliniare determină o singură dreaptă, nu trei

Greșeala tipică

Se crede că prin două puncte se pot duce mai multe drepte, pentru că printr-un punct singur trec într-adevăr nenumărate. De îndată ce apare al doilea punct, drumul se fixează și rămâne o dreaptă, atât.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele afirmații este corectă?
- a) Prin două puncte distincte trec exact două drepte.
- b) Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
- c) Printr-un singur punct trece o singură dreaptă.
- d) Prin trei puncte necoliniare trece o singură dreaptă.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Proprietatea fundamentală a geometriei spune că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una — dreapta $A B$ . Varianta (a) contrazice unicitatea; varianta (c) e greșită deoarece printr-un singur punct trec o infinitate de drepte; varianta (d) e greșită pentru că trei puncte necoliniare determină trei drepte diferite ( $A B$ , $B C$ , $C A$ ), nu una singură.
Se dau punctele $K \in t$ , $L \in t$ și $R \in / t$ . Care afirmație este corectă?
- a) $K$ , $L$ , $R$ sunt coliniare.
- b) $K$ , $L$ , $R$ sunt necoliniare.
- c) Punctul $R$ aparține dreptei $t$ .
- d) Punctele $K$ și $L$ nu determină nicio dreaptă.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $K$ , $L$ , $R$ sunt necoliniare.

Punctele $K$ și $L$ aparțin dreptei $t$ , dar $R$ nu aparține lui $t$ (deci $R$ nu se află pe aceeași dreaptă cu $K$ și $L$ ). Cum nu există o dreaptă care să treacă prin toate trei, $K$ , $L$ , $R$ sunt necoliniare. Varianta (c) contrazice direct ipoteza $R \in / t$ , iar varianta (d) e falsă: orice două puncte distincte determină mereu o dreaptă (aici, dreapta $t$ ).
Care dintre următoarele afirmații despre puncte coliniare este corectă?
- a) Punctele coliniare aparțin toate aceleiași drepte.
- b) Punctele coliniare nu pot fi trei sau mai multe.
- c) Punctele coliniare aparțin mereu unor drepte diferite.
- d) Trei puncte coliniare determină trei drepte diferite.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Punctele coliniare aparțin toate aceleiași drepte.

Prin definiție, punctele coliniare sunt cele pentru care există o dreaptă care trece prin toate. Varianta (b) e falsă — pot fi oricâte puncte coliniare; (c) contrazice direct definiția; (d) e falsă — trei puncte coliniare se află toate pe aceeași dreaptă, deci determină o singură dreaptă, nu trei.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un punct nu aparține unei drepte?

Că el se află în afara ei, oricât ai prelungi linia în amândouă părțile. Se scrie cu semnul de neapartenență. Printr-un asemenea punct se poate duce o singură paralelă la dreapta dată și o singură perpendiculară pe ea.

De ce trei puncte coliniare dau mai puține drepte?

Pentru că cele trei perechi pe care le formează duc toate la aceeași dreaptă, nu la trei diferite. Într-un grup de 5 puncte cu trei coliniare, din cele 10 perechi rămân 8 drepte, fiindcă trei perechi se strâng într-una singură.

Trei puncte necoliniare determină un triunghi?

Da, unindu-le două câte două ies trei segmente care închid o figură cu trei laturi. Dacă punctele ar fi coliniare, segmentele s-ar suprapune pe aceeași dreaptă și nu s-ar închide nimic. De aceea orice triunghi are vârfurile necoliniare.

Câte puncte pot fi coliniare la un loc?

Oricât de multe, fiindcă o dreaptă conține o infinitate de puncte. Patru, cinci sau o sută de puncte pot sta pe aceeași linie, iar toate împreună se numesc coliniare. Cuvântul nu se referă doar la grupuri de câte trei.

Ce înseamnă că un punct este între alte două?

Înseamnă că toate trei sunt coliniare, iar cel din mijloc împarte segmentul format de celelalte două în două bucăți. Din $A$ , $B$ și $C$ coliniare, dacă $B$ stă între $A$ și $C$ , atunci lungimile se adună: $A B + B C = A C$ .

Cum se notează dreapta dusă prin două puncte?

Se scrie cu numele celor două puncte, ca dreapta $A B$ , sau cu o literă mică, ca dreapta $d$ . Ordinea literelor nu contează, deci $A B$ și $B A$ înseamnă aceeași dreaptă. Prin cele două puncte nu mai trece nicio alta.

Oamenii mai întreabă și: puncte coliniare · ce înseamnă coliniar · puncte necoliniare · trei puncte coliniare · coliniaritate puncte