Pozițiile unui punct față de o dreaptă. Puncte coliniare

Imaginează-ți că tragi o linie dreaptă cu rigla pe o foaie și apoi pui câteva puncte: unele cad fix pe linie, altele rămân deasupra sau dedesubt. În geometrie, locul în care se află un punct față de o dreaptă spune foarte multe, iar atunci când mai multe puncte stau cuminți pe aceeași dreaptă, le numim puncte coliniare. În această lecție vei învăța să recunoști pozițiile unui punct față de o dreaptă, să deosebești punctele coliniare de cele necoliniare și să folosești o regulă de aur a geometriei: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști dacă un punct este pe dreaptă sau în afara dreptei.
• Vei ști să deosebești puncte coliniare de puncte necoliniare.
• Vei ști să aplici regula: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
• Vei ști să citești corect o configurație geometrică și să folosești notațiile potrivite.
• Vei ști să justifici (nu doar să „ghicești") de ce niște puncte sunt sau nu coliniare.

Hai să descoperim împreună

În lecțiile anterioare ai cunoscut deja punctul, dreapta, planul și semiplanul, apoi semidreapta și segmentul. Acum facem un pas mai departe și ne uităm la relația dintre un punct și o dreaptă. Pare un lucru mărunt, dar este temelia pe care se construiește toată geometria pe care o vei face în gimnaziu.

1. Punctul și dreapta — o scurtă reamintire

Un punct este o poziție precisă în plan, fără nicio dimensiune: nu are nici lungime, nici lățime. Îl desenăm ca o bulină mică și îl notăm cu o literă mare de tipar: $A$, $B$, $M$, $P$.

O dreaptă este o linie perfect întinsă, fără capete, care merge la nesfârșit în ambele sensuri. O notăm cu o literă mică: dreapta $d$, dreapta $a$, dreapta $g$. Putem nota o dreaptă și prin două dintre punctele ei: dreapta $AB$.

2. Două poziții posibile pentru un punct față de o dreaptă

Hai să facem un mic experiment cu imaginația. Avem o dreaptă $d$ și ținem în mână un punct pe care îl putem așeza oriunde pe foaie. Câte situații pot apărea? Surprinzător de puține — doar două:

Situația 1: punctul este pe dreaptă (punct aparținând dreptei). Punctul stă chiar pe linia trasată, ca o mărgea înșirată pe un fir. Spunem că punctul aparține dreptei sau că dreapta trece prin punct.

Notația matematică folosește simbolul „aparține" $\in$: $$A\in d\text{(se citește: „A aparține dreptei d")}$$

Situația 2: punctul este în afara dreptei (punct ce nu aparține dreptei). Punctul stă deasupra, dedesubt sau în lateral, dar nu atinge linia. Spunem că punctul nu aparține dreptei.

Notația folosește simbolul „nu aparține" $\notin$: $$B\notin d\text{(se citește: „B nu aparține dreptei d")}$$

Și gata — nu există o a treia variantă. Un punct fie atinge dreapta, fie nu o atinge. Această simplitate este chiar frumusețea geometriei: din reguli foarte clare construim lucruri tot mai complicate.

Mică analogie: gândește-te la o linie de tramvai trasată pe asfalt. Un om poate sta pe șine sau lângă șine. Nu există a treia opțiune. La fel e și cu punctul și dreapta.

3. Ce înseamnă „puncte coliniare"

Acum vine ideea-vedetă a lecției. Să luăm nu un singur punct, ci mai multe și să ne întrebăm: stau toate pe aceeași dreaptă?

Definiție. Trei sau mai multe puncte se numesc coliniare dacă există o dreaptă care trece prin toate, adică toate aparțin aceleiași drepte.

Cuvântul „coliniar" vine din latină: co- înseamnă „împreună", iar linia înseamnă „linie". Deci coliniare = împreună pe aceeași linie. Ușor de ținut minte, nu?

Dacă punctele $A$, $B$, $C$ sunt toate pe dreapta $d$, scriem: $$A\in d,B\in d,C\in d$$ și spunem că $A$, $B$, $C$ sunt coliniare.

4. Ce înseamnă „puncte necoliniare"

Definiție. Punctele se numesc necoliniare dacă nu există nicio dreaptă care să treacă prin toate deodată — adică, oricât am încerca, nu reușim să le „prindem" pe toate cu o singură riglă.

Cel mai simplu caz: trei puncte care formează un triunghi. Oricum ai pune rigla, prinzi cel mult două dintre ele pe linie, dar al treilea rămâne mereu în afară.

Atenție la o capcană de limbaj: spunem că punctele sunt coliniare sau necoliniare doar când vorbim despre trei sau mai multe puncte. Despre două puncte nu are rost să ne întrebăm dacă sunt coliniare — așa cum vei vedea imediat, două puncte sunt întotdeauna pe o dreaptă comună.

5. Regula de aur: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă

Ia o foaie și pune două puncte oarecare, $A$ și $B$ (distincte, adică diferite, în locuri diferite). Acum încearcă să tragi o dreaptă care să treacă prin amândouă. Cât de multe linii drepte poți desena? Ai să descoperi ceva uimitor: exact una. Nici mai multe, nici mai puține.

Proprietate fundamentală (axiomă). Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Această dreaptă unică se notează cu numele celor două puncte: dreapta $AB$ (sau, la fel de bine, dreapta $BA$ — ordinea nu contează).

De ce este atât de importantă această regulă? Pentru că ne dă o metodă de verificare a coliniarității:

• Iei două dintre puncte, să zicem $A$ și $B$. Ele determină o singură dreaptă, dreapta $AB$.
• Te uiți la al treilea punct, $C$. Dacă $C$ aparține dreptei $AB$, atunci toate trei sunt coliniare. Dacă $C$ nu aparține dreptei $AB$, atunci sunt necoliniare.

Cu alte cuvinte: două puncte „construiesc" mereu o dreaptă; al treilea decide dacă grupul e coliniar sau nu.

Mică poveste pentru a ține minte: trei prieteni vor să facă o poză „aliniați perfect" pe o linie trasată cu creta în curte. Dacă primii doi se așază pe linie, ei deja stabilesc unde merge linia. Al treilea trebuie să se așeze și el exact pe acea linie ca să iasă poza „aliniată". Dacă se abate fie și un pas în lateral, alinierea (coliniaritatea) se strică.

6. De ce trebuie „distincte"?

Observă cuvântul distincte din regulă. El înseamnă „diferite, în puncte diferite". Dacă cele două puncte ar fi de fapt același punct (suprapuse), atunci prin el ar trece o infinitate de drepte, ca spițele unei roți care pleacă din același centru. De aceea regula cere neapărat ca punctele să fie distincte — abia atunci dreapta este unică.

Deci reține diferența:

• Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte.
• Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

7. Cum verificăm în practică dacă niște puncte sunt coliniare

Când lucrezi pe o foaie cu un desen, ai trei „unelte" simple de verificare:

1. Rigla. Așază muchia riglei astfel încât să atingă două dintre puncte. Dacă și celelalte puncte cad pe muchie, sunt coliniare; dacă vreunul iese în afară, sunt necoliniare.
2. Privirea „de-a lungul liniei". Închizi un ochi și privești pe direcția primelor două puncte — dacă al treilea „dispare în spatele" liniei, e coliniar.
3. Raționamentul. Dacă ți se spune deja că $A\in d$, $B\in d$, $C\in d$, atunci, fără să mai desenezi, știi că sunt coliniare, pentru că aparțin toate aceleiași drepte $d$.

8. Câte drepte trec prin mai multe puncte?

Iată o întrebare care apare des la teste. Dacă avem mai multe puncte, din care oricare două determină o dreaptă, câte drepte putem desena?

• Cu 2 puncte: o singură dreaptă.
• Cu 3 puncte necoliniare (în triunghi): perechile sunt $AB$, $BC$, $CA$ → 3 drepte.
• Cu 3 puncte coliniare: toate perechile dau aceeași dreaptă → o singură dreaptă.

Vezi cât de mult contează coliniaritatea? Aceleași 3 puncte dau fie 3 drepte, fie 1 dreaptă, în funcție de cum sunt așezate. Vom exersa exact acest tip de numărătoare în exemplele de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea pozițiilor dintr-un desen

Se dă dreapta $d$ și punctele din figură: $A$ și $C$ stau pe dreaptă, iar $B$ stă deasupra ei.

Cerință: Scrie folosind simbolurile $\in$ și $\notin$ relația fiecărui punct cu dreapta $d$. Sunt $A$ și $C$ coliniare cu $B$?

Rezolvare.

• $A$ este pe dreaptă, deci $A\in d$.
• $C$ este pe dreaptă, deci $C\in d$.
• $B$ este în afara dreptei, deci $B\notin d$.

Punctele $A$ și $C$ aparțin dreptei $d$, dar $B$ nu. Prin urmare, $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare (sunt necoliniare), pentru că $B$ nu se află pe dreapta care le conține pe $A$ și $C$.

Exemplul 2 — Verificarea coliniarității prin raționament

Se știe că $M\in d$, $N\in d$ și $P\in d$.

Cerință: Sunt punctele $M$, $N$, $P$ coliniare? Justifică.

Rezolvare. Toate trei punctele aparțin aceleiași drepte $d$. Conform definiției, dacă trei puncte se află pe o aceeași dreaptă, ele sunt coliniare. Deci $M$, $N$, $P$ sunt coliniare. Nu mai e nevoie de desen: justificarea vine direct din faptul că toate aparțin lui $d$.

Exemplul 3 — Câte drepte determină niște puncte

Se dau patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$, dintre care oricare trei sunt necoliniare (niciuna trei nu stau pe aceeași dreaptă).

Cerință: Câte drepte se pot trasa, unind punctele câte două?

Rezolvare. Fiecare dreaptă este determinată de două puncte distincte. Scriem toate perechile posibile: $$AB,AC,AD,BC,BD,CD$$ Le numărăm: sunt 6 perechi, deci 6 drepte. Pentru că oricare trei puncte sunt necoliniare, nicio dreaptă nu se „repetă" (nu coincid două perechi). Răspuns: 6 drepte.

Exemplul 4 — Când coliniaritatea „strică" numărătoarea

Se dau punctele $A$, $B$, $C$ coliniare (toate pe dreapta $d$) și un punct $E$ în afara dreptei $d$.

Cerință: Câte drepte diferite determină aceste patru puncte?

Rezolvare.

• Punctele $A$, $B$, $C$ sunt toate pe dreapta $d$. Oricare pereche dintre ele ($AB$, $AC$, $BC$) dă aceeași dreaptă $d$. Deci ele contribuie cu o singură dreaptă.
• Punctul $E$ este în afara dreptei $d$. Unindu-l cu fiecare dintre $A$, $B$, $C$, obținem dreptele $EA$, $EB$, $EC$ — trei drepte distincte (toate trec prin $E$, dar în direcții diferite).

Total: $1+3=4$ drepte. Compară cu Exemplul 3: tot 4 puncte, dar coliniaritatea celor trei a redus numărul de drepte de la 6 la 4.

Exemplul 5 — Adevărat sau fals, cu justificare

Decide dacă afirmația este adevărată (A) sau falsă (F) și explică:

a) „Prin două puncte distincte pot trece două drepte diferite." b) „Două puncte sunt întotdeauna coliniare." c) „Dacă $C\notin AB$, atunci $A$, $B$, $C$ sunt necoliniare."

Rezolvare. a) Fals. Regula spune că prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, nu două. b) Despre două puncte nu vorbim de coliniaritate (termenul se folosește de la trei puncte în sus); însă este adevărat că prin două puncte trece mereu o dreaptă. Cea mai corectă etichetă pentru afirmația așa cum e formulată: discutabilă/imprecisă — corect este să spunem „prin două puncte distincte trece o dreaptă", iar coliniaritatea o discutăm de la 3 puncte. (La test, dacă varianta cere strict A/F, o tratăm ca F, pentru că folosește greșit termenul „coliniare".) c) Adevărat. Dreapta $AB$ este unica dreaptă prin $A$ și $B$. Dacă $C$ nu-i aparține, înseamnă că cele trei puncte nu pot fi toate pe o aceeași dreaptă, deci sunt necoliniare.

Exemplul 6 — Mică problemă cu context real

Trei stâlpi de iluminat, $S_1$, $S_2$, $S_3$, sunt așezați de-a lungul unei alei drepte. Un al patrulea stâlp, $S_4$, este montat în mijlocul unei piațete, la 5 metri lateral de alee.

Cerință: Care stâlpi sunt coliniari? Câte „direcții de aliniere" (drepte) determină cei patru stâlpi?

Rezolvare. Aleea este dreaptă, iar $S_1$, $S_2$, $S_3$ sunt pe ea → $S_1$, $S_2$, $S_3$ sunt coliniari (o singură dreaptă, aleea). Stâlpul $S_4$ este lateral, deci nu e pe alee: $S_4\notin$ alee. Numărăm dreptele, ca în Exemplul 4:

• aleea (prin $S_1$, $S_2$, $S_3$): 1 dreaptă;
• $S_4{S}_1$, $S_4{S}_2$, $S_4{S}_3$: 3 drepte. Total: $1+3=4$ drepte. Coliniari sunt doar $S_1$, $S_2$, $S_3$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ți se cere, fă și desenul cu rigla.

1. Completează cu simbolul potrivit ($\in$ sau $\notin$): dacă punctul $A$ se află pe dreapta $d$, scriem $A\square d$; dacă punctul $B$ se află în afara dreptei $d$, scriem $B\square d$.

2. Câte poziții poate avea un punct față de o dreaptă? Numește-le.

3. Adevărat sau fals: „Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă."

4. Cum se numesc trei puncte care se află toate pe aceeași dreaptă?

5. Cum se numesc trei puncte care nu se află toate pe aceeași dreaptă?

6. Se dau $X\in d$, $Y\in d$, $Z\in d$. Sunt $X$, $Y$, $Z$ coliniare? De ce?

7. Încercuiește varianta corectă: Printr-un singur punct trec … (a) o singură dreaptă; (b) două drepte; (c) o infinitate de drepte.

8. Desenează o dreaptă $g$ și pe ea trei puncte coliniare $A$, $B$, $C$. Apoi marchează un punct $D$ în afara dreptei $g$.

9. Se dau punctele $M$, $N$, $P$ astfel încât $M\in d$, $N\in d$, dar $P\notin d$. Sunt coliniare? Justifică.

10. Câte drepte determină două puncte distincte?

11. Trei puncte $A$, $B$, $C$ sunt necoliniare. Câte drepte se pot trasa unindu-le câte două? Scrie-le.

12. Potrivește fiecare notație cu descrierea ei: (a) $A\in d$ (b) $B\notin d$ (c) dreapta $AB$ — (1) dreapta unică prin punctele $A$ și $B$; (2) punctul $A$ este pe dreapta $d$; (3) punctul $B$ nu este pe dreapta $d$.

13. Patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ au proprietatea că oricare trei sunt necoliniare. Câte drepte determină? (Indiciu: numără toate perechile.)

14. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare (pe dreapta $d$), iar $E\notin d$. Câte drepte distincte determină cele patru puncte $A$, $B$, $C$, $E$?

15. Adevărat sau fals: „Dacă $C$ aparține dreptei $AB$, atunci $A$, $B$, $C$ sunt coliniare."

16. Pe o hartă, orașele Alfa, Beta și Gama sunt așezate exact pe același drum drept, iar orașul Delta este la 10 km lateral de drum. Care orașe sunt coliniare? Câte drepte (direcții) determină cele patru orașe?

17. Desenează două puncte $P$ și $Q$. Câte drepte poți trasa prin ele? Trasează-le.

18. Problemă de gândire: cinci puncte sunt așezate astfel încât oricare trei sunt necoliniare. Câte drepte determină în total? (Indiciu: numără perechile $A$ cu fiecare, apoi continuă fără să repeți.)

Răspunsuri și explicații

1. $A\in d$ și $B\notin d$. Simbolul $\in$ înseamnă „aparține" (e pe dreaptă), iar $\notin$ înseamnă „nu aparține" (e în afară).

2. Două poziții: punctul pe dreaptă (aparține dreptei) sau punctul în afara dreptei (nu aparține dreptei).

3. Adevărat. Este proprietatea fundamentală: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

4. Se numesc puncte coliniare.

5. Se numesc puncte necoliniare.

6. Da, sunt coliniare, pentru că toate trei aparțin aceleiași drepte $d$ ($X\in d$, $Y\in d$, $Z\in d$).

7. (c) o infinitate de drepte. Printr-un singur punct se pot trasa oricât de multe drepte, ca spițele unei roți.

8. Desen corect: o dreaptă $g$ cu trei buline $A$, $B$, $C$ așezate pe ea (în orice ordine) și o bulină $D$ deasupra sau dedesubtul dreptei, nu pe ea.

🖼️ [Imagine-model: dreapta g cu A, B, C înșirate pe linie; D marcat în afara dreptei]

9. Nu sunt coliniare. $M$ și $N$ sunt pe $d$, dar $P$ nu aparține lui $d$. Cum cele trei nu sunt toate pe aceeași dreaptă, sunt necoliniare.

10. O singură dreaptă. Două puncte distincte determină exact o dreaptă.

11. 3 drepte: $AB$, $BC$, $CA$ (sau $AC$). Fiindcă punctele sunt necoliniare, cele trei drepte sunt diferite.

12. (a)→(2); (b)→(3); (c)→(1).

13. 6 drepte. Perechile sunt $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Oricare trei fiind necoliniare, nicio pereche nu dă aceeași dreaptă cu alta.

14. 4 drepte. Cele trei puncte coliniare dau o singură dreaptă ($d$); punctul $E$ unit cu $A$, $B$, $C$ dă încă 3 drepte ($EA$, $EB$, $EC$). Total $1+3=4$.

15. Adevărat. Dacă $C\in AB$, înseamnă că $C$ e pe dreapta care trece prin $A$ și $B$, deci toate trei sunt pe aceeași dreaptă → coliniare.

16. Coliniare sunt Alfa, Beta, Gama (sunt pe același drum drept). Delta e lateral, deci nu e pe drum. Drepte: drumul (1) + Delta-Alfa, Delta-Beta, Delta-Gama (3) = 4 drepte.

17. O singură dreaptă, dreapta $PQ$. Prin două puncte distincte nu poți trasa decât o linie dreaptă.

18. 10 drepte. Cu 5 puncte (oricare trei necoliniare), perechile sunt: de la $A$ → $AB,AC,AD,AE$ (4); de la $B$ fără a repeta → $BC,BD,BE$ (3); de la $C$ → $CD,CE$ (2); de la $D$ → $DE$ (1). Total $4+3+2+1=10$ drepte.

De reținut

• Un punct are doar două poziții față de o dreaptă: pe dreaptă ($A\in d$) sau în afara dreptei ($B\notin d$).
• Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă se află toate pe aceeași dreaptă; altfel sunt necoliniare.
• Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una — dreapta $AB$.
• Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte.
• Pentru a verifica coliniaritatea: ia două puncte (ele dau dreapta), apoi vezi dacă al treilea aparține acelei drepte.

Greșeli frecvente

• Confuzia simbolurilor $\in$ și $\notin$. Ține minte: $\in$ = „aparține / este pe dreaptă"; $\notin$ (cu liniuță tăiată) = „nu aparține / e în afară". Liniuța taie sensul, exact ca un semn de interzis.
• Să crezi că prin două puncte trec mai multe drepte. Nu! Prin două puncte distincte trece una singură. Confuzia vine de la cazul cu un singur punct, prin care trec o infinitate de drepte.
• Să uiți cuvântul „distincte". Regula cere puncte diferite. Dacă punctele s-ar suprapune, n-am mai avea o singură dreaptă, ci o infinitate.
• Să numeri greșit dreptele când unele puncte sunt coliniare. Trei puncte coliniare dau o singură dreaptă, nu trei. Verifică întotdeauna dacă vreo pereche „cade" pe aceeași dreaptă cu alta.

Joc acasă

Jocul 1 — Sfoara aliniată. Întinde o sfoară dreaptă pe podea. Pune 4-5 bile (sau capace) astfel încât unele să atingă sfoara și altele nu. Notează pe o hârtie care obiecte sunt „coliniare" (pe sfoară) și care sunt „în afara dreptei". Apoi mută o bilă și verifică din nou.

Jocul 2 — Trei monede. Pune trei monede pe masă în formă de triunghi (necoliniare). Provocare: mută o singură monedă astfel încât toate trei să devină coliniare. Apoi numără: înainte de mutare câte „linii drepte" puteai trasa prin perechi de monede (3), iar după mutare câte (1)?

Jocul 3 — Fotograful aliniat. Roagă doi membri ai familiei să stea în picioare în două locuri din cameră. Tu ești „dreapta": privește pe direcția lor cu un ochi închis. Acum cere unei a treia persoane să se mute până „dispare în spatele" celorlalți doi — în acel moment cele trei persoane sunt coliniare. Discutați de ce.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este una de vocabular geometric și de raționament, nu de calcul. Scopul nu e ca elevul să memoreze definiții pe de rost, ci să le înțeleagă și să le folosească pentru a citi o configurație geometrică.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți cu mâna pe riglă. Cereți copilului să tragă o dreaptă și să așeze puncte, descriind cu voce tare „acesta e pe dreaptă", „acesta e în afară". Verbalizarea fixează noțiunea.
• Insistați pe notație. Lăsați-l să scrie singur $A\in d$ și $B\notin d$ și întrebați de fiecare dată „cum citești asta?". Citirea corectă a simbolurilor e o competență evaluată.
• Întrebări bune de pus: „Câte drepte trec printr-un punct? Dar prin două?", „Aceste trei puncte sunt coliniare? De unde știi?", „Dacă mut acest punct, mai sunt coliniare?".
• Cum verificați înțelegerea: dați 3 puncte desenate și cereți elevului să justifice (nu doar să spună) dacă sunt coliniare, folosind ideea „iau două, ele dau dreapta, verific al treilea". Dacă justifică, a înțeles.
• Legături utile: recapitulați rapid punctul și dreapta la început, iar la final anunțați continuarea cu pozițiile a două drepte: concurente și paralele, unde noțiunea de coliniaritate se va dovedi foarte utilă.

Evitați să dați direct răspunsul; ghidați cu întrebări. Coliniaritatea pare evidentă „din ochi", dar valoarea lecției stă în a o argumenta.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că niște puncte sunt coliniare? Înseamnă că toate se află pe aceeași dreaptă. Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care trece prin toate. Dacă nu există o astfel de dreaptă, punctele sunt necoliniare.

Câte poziții poate avea un punct față de o dreaptă? Doar două: punctul este pe dreaptă (îi aparține, $A\in d$) sau este în afara dreptei (nu îi aparține, $B\notin d$). Nu există a treia variantă.

Câte drepte trec prin două puncte distincte? Exact una. Aceasta este o proprietate fundamentală a geometriei: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. O notăm cu numele celor două puncte, de exemplu dreapta $AB$.

De ce printr-un singur punct trec o infinitate de drepte, dar prin două doar una? Printr-un punct poți roti rigla în orice direcție și mereu obții o dreaptă nouă — de aici infinitatea. Al doilea punct „fixează" direcția: rigla nu mai poate fi rotită, deci rămâne o singură dreaptă posibilă.

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare? Iei două dintre ele; ele determină o singură dreaptă. Apoi te uiți la al treilea: dacă aparține acelei drepte, toate trei sunt coliniare; dacă nu, sunt necoliniare. Pe desen poți folosi rigla așezată peste primele două puncte.

Ce înseamnă „două puncte distincte"? Înseamnă două puncte diferite, aflate în locuri diferite. Cuvântul „distincte" este esențial: dacă punctele s-ar suprapune (ar fi de fapt unul singur), prin ele ar trece o infinitate de drepte, nu una.

Care e diferența dintre simbolurile ∈ și ∉? $\in$ se citește „aparține" și arată că punctul este pe dreaptă. $\notin$ (cu o liniuță tăiată) se citește „nu aparține" și arată că punctul este în afara dreptei. Liniuța taie sensul, ca un semn de interzis.

Trei puncte coliniare câte drepte determină? O singură dreaptă, pentru că toate trei sunt pe aceeași linie, iar orice pereche dintre ele dă exact acea dreaptă. În schimb, trei puncte necoliniare determină trei drepte diferite.