Ce formule de arii și volume trebuie știute?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Corpuri geometrice: arii și volume

Pentru fiecare corp ai nevoie de aria laterală, de aria totală și de volum, plus relația care leagă elementele oblice de cele drepte. La prismă și cilindru volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea; la piramidă și con același produs se împarte la trei. Elementele lipsă ies din teorema lui Pitagora: $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ la piramidă, $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ la con. Sfera are formule proprii, care se învață separat.

Un corp geometric e orice obiect din jur cu formă spațială: o cutie, un con de înghețată, o minge. Pentru fiecare calculezi aria (câtă „hârtie” acoperă suprafața) și volumul (cât încape înăuntru). Regula de aur: corpurile „cu vârf” (piramidă, con) au volumul de trei ori mai mic decât corpul „drept” cu aceeași bază și înălțime:

$V_{co n} = \frac{1}{3} V_{c i l in d r u}, V_{p i r ami d \overset{a}{˘}} = \frac{1}{3} V_{p r i s m \overset{a}{˘}} .$

Multe elemente oblice se află cu teorema lui Pitagora, dintr-un triunghi dreptunghic format din înălțime și o rază/apotemă a bazei: apotema piramidei $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ , generatoarea conului $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ .

Exemplu minimal: un con are $R = 3 cm$ și $h = 4 cm$ . Generatoarea este $G = R^{2} + h^{2} = 9 + 16 = 5 cm$ .

Nu uita: la topire și turnare volumul se păstrează ( $V_{ini ț ia l} = V_{f ina l}$ ), iar la corpuri compuse aduni volumele, fără să numeri suprafețele lipite.

De reținut

prismă și cilindru: $V = A_{b} \cdot h$ ; piramidă și con: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$
$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ la piramidă, $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ la con
la topire și turnare volumul se păstrează

Greșeala tipică

Se folosește elementul oblic în formula volumului, adică apotema piramidei sau generatoarea conului. Volumul cere înălțimea, care cade perpendicular pe bază și este mai scurtă decât ele.

Exerciții din această mini-lecție

Un con și un cilindru au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul cilindrului este $90 cm^{3}$ . Cât este volumul conului?
- a) $90 cm^{3}$
- b) $30 cm^{3}$
- c) $270 cm^{3}$
- d) $45 cm^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $30 cm^{3}$

Corpurile „cu vârf” (conul) au volumul de trei ori mai mic decât corpul „drept” cu aceeași bază și înălțime: $V_{co n} = \frac{1}{3} V_{c i l in d r u} = \frac{90}{3} = 30 cm^{3}$ .
O piramidă și o prismă au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul prismei este $150 cm^{3}$ . Cât este volumul piramidei?
- a) $50 cm^{3}$
- b) $150 cm^{3}$
- c) $450 cm^{3}$
- d) $75 cm^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $50 cm^{3}$

Corpurile „cu vârf” (piramida) au volumul de trei ori mai mic decât corpul „drept” cu aceeași bază și înălțime: $V_{p i r ami d \overset{a}{˘}} = \frac{1}{3} V_{p r i s m \overset{a}{˘}} = \frac{150}{3} = 50 cm^{3}$ .
Un con circular drept are raza bazei $R = 7 cm$ și înălțimea $h = 24 cm$ . Calculează generatoarea $G$ .
- a) $25 cm$
- b) $31 cm$
- c) $625 cm$
- d) $15 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $25 cm$

Generatoarea, înălțimea și raza formează un triunghi dreptunghic: $G = R^{2} + h^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 25 cm$ (tripleta $7$ – $24$ – $25$ ).

Întrebări conexe

Ce corpuri au volumul de trei ori mai mic decât unul drept?

Cele care se strâng într-un vârf: piramida față de prisma cu aceeași bază și înălțime, respectiv conul față de cilindru. Raportul de o treime se verifică turnând apă dintr-un vas în celălalt. El se reține cel mai ușor prin această imagine.

Cum organizez formulele într-un tabel de recapitulare?

Pui pe rânduri corpurile și pe coloane aria laterală, aria totală, volumul și relația dintre elemente. Un singur tabel de o pagină acoperă toată materia. Recitirea lui înainte de examen este mai eficientă decât rezolvarea unei probleme în plus.

Ce triunghi dreptunghic caut la fiecare corp?

Cel format din înălțimea corpului și dintr-o mărime din bază: apotema bazei la piramidă, raza la con, jumătate de diagonală la muchia laterală. Ipotenuza este elementul oblic cerut. Aproape orice problemă începe cu găsirea acestui triunghi.

Cum verific dacă am folosit înălțimea potrivită?

Te uiți dacă mărimea aleasă cade perpendicular pe planul bazei. Generatoarea conului și apotema piramidei sunt oblice, deci nu intră în formula volumului. O verificare rapidă: înălțimea este mereu cea mai scurtă dintre ele.

Ce ordine de rezolvare urmez la o problemă lungă cu un corp?

Notezi datele pe desen, completezi elementul lipsă cu teorema lui Pitagora, apoi aplici formula cerută și, la final, transformi unitățile dacă enunțul o cere. Scrierea formulei înainte de numere te ajută să nu amesteci mărimile.

Cum îmi dau seama ce corp e descris într-un enunț fără desen?

Cauți cuvintele care numesc baza și forma laterală: două baze identice și fețe dreptunghiulare înseamnă prismă, o singură bază și un vârf înseamnă piramidă, iar marginile rotunde trimit la corpuri rotunde. Apoi desenezi tu corpul.

Oamenii mai întreabă și: formule arii și volume corpuri geometrice · arii și volume · ce formule trebuie știute la corpuri · recapitulare corpuri geometrice · formule de volum pentru examen