Recapitulare: corpuri geometrice, arii și volume

O cutie de suc, un cort de tabără, un acoperiș de biserică, o conservă, o găleată, o minge de fotbal — fiecare dintre aceste obiecte de zi cu zi este, în limbaj matematic, un corp geometric. La Evaluarea Națională, geometria în spațiu apare aproape sigur: ți se cere să calculezi câți litri încap într-un rezervor, câtă tablă trebuie pentru un acoperiș sau ce înălțime are un vârf de piramidă. În această lecție de recapitulare adunăm la un loc toate formulele de arie și volum — pentru prismă, paralelipiped, cub, piramidă, tetraedru, trunchi de piramidă, cilindru, con, trunchi de con și sferă — și, mai important, învățăm cum să le folosim într-o problemă reală: cum modelezi situația, cum alegi formula potrivită și cum interpretezi rezultatul pentru punctaj maxim.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici corect formulele de arie laterală, arie totală și volum pentru toate corpurile studiate în clasa a VIII-a.
• Vei ști să modelezi o situație practică printr-un corp geometric potrivit și să alegi metoda de calcul.
• Vei ști să folosești relațiile-cheie: apotema piramidei, generatoarea conului, diagonala paralelipipedului și conservarea volumului.
• Vei ști să transformi corect unitățile de arie și de volum (${\text{cm}}^2$, ${\text{cm}}^3$, ${\text{dm}}^3=\text{litri}$, ${\text{m}}^3$).
• Vei ști să interpretezi rezultatul în context real: capacitate, cantitate de material, cost, arie de vopsit.

Hai să descoperim împreună

Această lecție nu predă lucruri noi — ea strânge într-un singur loc tot ce ai învățat, lecție cu lecție, despre corpurile geometrice. Vom parcurge patru mari familii: corpuri drepte fără vârf (prisme), corpuri cu vârf ascuțit (piramide), corpurile rotunde și sfera. La final vom vedea cum se leagă totul într-o strategie de rezolvare pentru examen.

1. Idei generale care se aplică la orice corp

Înainte de formule, reține trei principii care îți simplifică viața:

a) Aria laterală = „hârtia" de pe pereții laterali. Dacă „desfășori" corpul pe o masă, fețele laterale se transformă într-o figură plană a cărei arie o poți calcula. Aria totală adaugă și baza (sau bazele).

$$A_t=A_l+A_{\text{baze}}$$

b) Volumul = „cât încape înăuntru". Volumul se măsoară în unități cubice și ne spune capacitatea corpului.

c) Regula de aur pentru corpurile „cu vârf". Orice corp care se termină într-un vârf (piramidă, con) are volumul de trei ori mai mic decât corpul „drept" cu aceeași bază și aceeași înălțime:

$$V_{\text{con}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{cilindru}},V_{\text{piramida˘}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{prisma˘}}.$$

De aici vine acel $\frac{1}{3}$ din formule. Dacă îl ții minte, nu îl mai uiți niciodată la examen.

2. Prisma dreaptă, paralelipipedul și cubul

Prisma dreaptă are două baze identice (poligoane) și fețe laterale dreptunghiuri. Notăm cu $P_b$ perimetrul bazei, $A_b$ aria bazei și $h$ înălțimea (lungimea muchiei laterale, care este perpendiculară pe bază).

$$A_l=P_b\cdot h,A_t=A_l+2A_b,V=A_b\cdot h.$$

La prisma triunghiulară regulată baza este un triunghi echilateral de latură $l$, deci $A_b=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$ și $P_b=3l$. La cea hexagonală regulată, $A_b=\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$.

Paralelipipedul dreptunghic este o „cutie" cu dimensiunile $a$, $b$, $c$ (lungime, lățime, înălțime). Toate fețele sunt dreptunghiuri.

$$A_t=2(ab+bc+ca),V=a\cdot b\cdot c,d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Aici $d$ este diagonala care unește două vârfuri opuse ale cutiei — o vei folosi des în probleme cu distanțe.

Cubul este paralelipipedul cu toate muchiile egale ($a=b=c$):

$$A_t=6a^2,V=a^3,d=a\sqrt{3}.$$

Vrei o reluare pas cu pas? Revezi lecțiile despre aria și volumul prismei drepte și despre paralelipiped și cub.

3. Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă

Piramida regulată are baza un poligon regulat și vârful $V$ situat exact deasupra centrului bazei. Elementele-cheie sunt:

• $h$ — înălțimea piramidei (de la vârf la centrul bazei);
• $a_b$ — apotema bazei (de la centrul bazei la mijlocul unei laturi);
• $a_p$ — apotema piramidei (de la vârf la mijlocul unei laturi a bazei), adică înălțimea unei fețe laterale.

Aceste trei mărimi formează un triunghi dreptunghic în care apotema piramidei este ipotenuza:

$$a_p^2=h^2+a_b^2.$$

Această relație este cea mai folosită la examen! Cu ea afli, din două elemente, pe al treilea.

$$A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2},A_t=A_l+A_b,V=\frac{A_b\cdot h}{3}.$$

Tetraedrul regulat este piramida cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale, de muchie $l$. Fiind un corp foarte „simetric", are formule fixe:

$$A_t=l^2\sqrt{3},V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12},h=\frac{l\sqrt{6}}{3}.$$

(Aria totală vine din 4 triunghiuri echilaterale: $4\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}$.)

Trunchiul de piramidă regulată se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza; rămân două baze paralele (un poligon mare, cu aria $A_B$, și unul mic, asemenea, cu aria $A_b$) și fețe laterale trapeze isoscele. Notăm cu $a_t$ apotema trunchiului (înălțimea unui trapez lateral).

$$A_l=\frac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2},A_t=A_l+A_B+A_b,$$

$$V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right).$$

Formula volumului trunchiului pare complicată, dar are o logică frumoasă: e o „medie" între aria bazei mari, a bazei mici și „media geometrică" a lor. Pentru detalii, revezi aria și volumul trunchiului de piramidă și volumul piramidei regulate.

4. Corpurile rotunde: cilindrul, conul și trunchiul de con

Aceste corpuri se obțin prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe și au cel puțin o față curbă.

Cilindrul circular drept are două baze cercuri de rază $R$ și înălțimea $h$ (egală cu generatoarea). Desfășurând suprafața laterală, obții un dreptunghi cu lățimea $h$ și lungimea $2\pi R$ (circumferința bazei):

$$A_l=2\pi Rh,A_t=2\pi R(R+h),V=\pi R^{2}h.$$

Conul circular drept are o bază cerc de rază $R$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$ (segmentul de la vârf la un punct de pe cercul bazei). Cele trei formează un triunghi dreptunghic:

$$G^2=R^2+h^2.$$

$$A_l=\pi RG,A_t=\pi R(R+G),V=\frac{\pi R^{2}h}{3}.$$

Trunchiul de con are două baze cercuri (rază mare $R$, rază mică $r$), înălțimea $h$ și generatoarea $G$. Relația dintre ele este:

$$G^2=h^2+(R-r{)}^2.$$

$$A_l=\pi G(R+r),A_t=\pi G(R+r)+\pi R^2+\pi r^2,$$

$$V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right).$$

Observă cât de mult seamănă cu trunchiul de piramidă — aceeași structură de „bază mare + bază mică + termen de legătură". Recapitulează la nevoie cilindrul, conul și trunchiul de con.

5. Sfera

Sfera de rază $R$ este singurul corp fără baze; are o singură suprafață curbă închisă (mingea).

$$A=4\pi R^2,V=\frac{4\pi R^3}{3}.$$

Nu confunda sfera (suprafața, ca o coajă) cu bila (corpul plin) — la nivelul formulelor de examen le tratăm la fel. Detalii în lecția aria și volumul sferei.

6. Tabel recapitulativ — toate formulele într-un loc

Ține acest tabel la îndemână când repeți: la stânga sunt notațiile ($R,r$ = raze, $l$ = latura bazei, $h$ = înălțimea, $a_p$ = apotema piramidei, $a_t$ = apotema trunchiului, $G$ = generatoarea, $P_b$ = perimetrul bazei, $A_b$ = aria bazei).

Relații de tip Pitagora (segmentul oblic este mereu ipotenuza): apotema piramidei $a_p^2=h^2+a_b^2$; generatoarea conului $G^2=R^2+h^2$; generatoarea trunchiului de con $G^2=h^2+(R-r{)}^2$; apotema trunchiului de piramidă $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$; diagonala paralelipipedului $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Observă structura comună: fiecare mărime oblică se calculează dintr-un triunghi dreptunghic în care o catetă este înălțimea $h$, iar cealaltă este o diferență de raze sau de apoteme.

7. Cum modelezi o problemă reală (strategia de examen)

La Evaluarea Națională, problema nu îți spune „calculează volumul cilindrului". Îți spune „un rezervor are forma...". Iată pașii:

1. Citește și desenează. Fă o figură și notează pe ea datele. Un desen corect valorează deja puncte.
2. Recunoaște corpul. Conservă = cilindru, pâlnie = con, găleată = trunchi de con, cort = piramidă sau con, boiler = cilindru + semisferă.
3. Scrie formula potrivită înainte de a înlocui cifrele. Corectorul vrea să vadă formula.
4. Verifică unitățile. Toate dimensiunile în aceeași unitate! $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}=1000{\text{cm}}^3$; $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$.
5. Interpretează rezultatul. „Deci rezervorul are 60 de litri" — răspunde la întrebarea pusă, nu doar la calcul.

Pentru corpuri compuse, descompui în corpuri simple, calculezi fiecare și aduni volumele. Atenție la arie: la lipire, suprafețele care se ating nu se numără. Pentru conservarea volumului (topesc un corp și îl torn în altă formă), reține: volumul se păstrează, deci $V_{\text{inițial}}=V_{\text{final}}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Acvariu (paralelipiped): capacitate și sticlă

Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile bazei $50\text{cm}$ și $30\text{cm}$, iar înălțimea de $40\text{cm}$. Câți litri de apă încap și câți ${\text{cm}}^2$ de sticlă are (toate cele 6 fețe)?

Volumul: $$V=a\cdot b\cdot c=50\cdot 30\cdot 40=60000{\text{cm}}^3.$$ Transform în litri: $60000{\text{cm}}^3=60{\text{dm}}^3=60\text{litri}$.

Aria totală (sticla): $$A_t=2(ab+bc+ca)=2(50\cdot 30+30\cdot 40+40\cdot 50)$$ $$=2(1500+1200+2000)=2\cdot 4700=9400{\text{cm}}^2.$$

Acvariul are o capacitate de $60$ litri și necesită $9400{\text{cm}}^2$ de sticlă.

Exemplul 2 — Piramidă patrulateră regulată

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $12\text{cm}$ și înălțimea de $8\text{cm}$. Află aria totală și volumul.

Apotema bazei (jumătate din latură, fiindcă baza e pătrat): $a_b=\frac{12}{2}=6\text{cm}$.

Apotema piramidei, din triunghiul dreptunghic $h,a_b,a_p$: $$a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

Aria bazei și perimetrul: $A_b=12^2=144{\text{cm}}^2$, $P_b=4\cdot 12=48\text{cm}$.

Aria laterală și totală: $$A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240{\text{cm}}^2,A_t=240+144=384{\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{144\cdot 8}{3}=\frac{1152}{3}=384{\text{cm}}^3.$$

Exemplul 3 — Con circular drept

Un con are raza bazei $R=6\text{cm}$ și înălțimea $h=8\text{cm}$. Calculează generatoarea, aria totală și volumul.

Generatoarea: $$G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

Aria totală: $$A_t=\pi R(R+G)=\pi \cdot 6\cdot (6+10)=\pi \cdot 6\cdot 16=96\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=\frac{288\pi }{3}=96\pi {\text{cm}}^3.$$

(Cu $\pi \approx 3,14$: $A_t\approx 301,44{\text{cm}}^2$ și $V\approx 301,44{\text{cm}}^3$.)

Exemplul 4 — Conservarea volumului (topire și turnare)

O bilă de plumb cu raza de $3\text{cm}$ se topește și se toarnă complet într-un tipar conic cu raza bazei tot de $3\text{cm}$. Ce înălțime va avea conul obținut?

Volumul se păstrează la topire, deci $V_{\text{bila˘}}=V_{\text{con}}$.

$$V_{\text{bila˘}}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3.$$

$$V_{\text{con}}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot h}{3}=3\pi h.$$

Egalăm: $3\pi h=36\pi \Rightarrow h=\frac{36\pi }{3\pi }=12\text{cm}$.

Conul obținut are înălțimea de $12\text{cm}$.

Exemplul 5 — Corp compus: siloz (cilindru + con)

Un siloz de furaje are un corp cilindric de rază $R=3\text{m}$ și înălțime $10\text{m}$, acoperit cu un con de aceeași rază și înălțimea $4\text{m}$. Ce volum total are silozul? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

Volumul cilindrului: $$V_{\text{cil}}=\pi R^{2}h=\pi \cdot 9\cdot 10=90\pi {\text{m}}^3.$$

Volumul conului: $$V_{\text{con}}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 4}{3}=12\pi {\text{m}}^3.$$

Volumul total: $$V=90\pi +12\pi =102\pi \approx 102\cdot 3,14=320,28{\text{m}}^3.$$

Exemplul 6 — Trunchi de con: capacitatea unei găleți

O găleată are forma unui trunchi de con cu raza mare $R=15\text{cm}$, raza mică $r=10\text{cm}$ și înălțimea $h=24\text{cm}$. Câți litri de apă încap? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

$$V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)=\frac{\pi \cdot 24}{3}\left(225+100+150\right)$$ $$=8\pi \cdot 475=3800\pi {\text{cm}}^3.$$

Cu $\pi \approx 3,14$: $V\approx 3800\cdot 3,14=11932{\text{cm}}^3\approx 11,9\text{litri}$.

Găleata are o capacitate de aproximativ $12$ litri.

Exemplul 7 — Trunchi de piramidă patrulateră regulată

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari de $12\text{cm}$, latura bazei mici de $6\text{cm}$ și înălțimea de $4\text{cm}$. Află apotema trunchiului, aria totală și volumul.

Apotemele bazelor (jumătate din latură, fiindcă bazele sunt pătrate): $a_B=\frac{12}{2}=6\text{cm}$ și $a_b=\frac{6}{2}=3\text{cm}$.

Apotema trunchiului, din triunghiul dreptunghic cu catetele $h$ și $a_B-a_b$: $$a_t=\sqrt{h^2+(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{4^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{cm}.$$

Perimetrele și ariile bazelor: $P_B=4\cdot 12=48\text{cm}$, $P_b=4\cdot 6=24\text{cm}$, $A_B=12^2=144{\text{cm}}^2$, $A_b=6^2=36{\text{cm}}^2$.

Aria laterală și totală: $$A_l=\frac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}=\frac{(48+24)\cdot 5}{2}=\frac{72\cdot 5}{2}=180{\text{cm}}^2,$$ $$A_t=A_l+A_B+A_b=180+144+36=360{\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)=\frac{4}{3}\left(144+36+\sqrt{144\cdot 36}\right)$$ $$=\frac{4}{3}\left(144+36+72\right)=\frac{4}{3}\cdot 252=336{\text{cm}}^3.$$

Reține pașii: întâi apotemele bazelor, apoi apotema trunchiului cu Pitagora, apoi ariile — exact tiparul cerut la subiectul al III-lea.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură acolo unde e cazul. Scrie întâi formula, apoi înlocuiește. Gradarea merge de la simplu la itemi tip Evaluare Națională.

1. Un cub are muchia de $5\text{cm}$. Calculează aria totală și volumul.

2. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $8\text{cm}$, $5\text{cm}$ și $3\text{cm}$. Află volumul, aria totală și diagonala.

3. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei $4\text{cm}$ și înălțimea $9\text{cm}$. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

4. Un cilindru are raza $5\text{cm}$ și înălțimea $10\text{cm}$. Află aria laterală, aria totală și volumul (în funcție de $\pi$).

5. Un con are raza $9\text{cm}$ și înălțimea $12\text{cm}$. Calculează generatoarea, aria totală și volumul.

6. O sferă are raza $3\text{cm}$. Află aria și volumul (în funcție de $\pi$).

7. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $10\text{cm}$ și înălțimea $12\text{cm}$. Calculează apotema piramidei, aria totală și volumul.

8. Un tetraedru regulat are muchia de $4\text{cm}$. Află aria totală și volumul.

9. Un trunchi de con are $R=8\text{cm}$, $r=4\text{cm}$ și $h=6\text{cm}$. Calculează generatoarea și volumul.

10. Un trunchi de piramidă regulată patrulateră are latura bazei mari $10\text{cm}$, latura bazei mici $4\text{cm}$ și înălțimea $6\text{cm}$. Află volumul.

11. Adevărat sau fals (cu justificare): „Dacă dublez muchia unui cub, volumul se dublează."

12. Adevărat sau fals (cu justificare): „Două corpuri care au volume egale au obligatoriu și arii totale egale."

13. Un rezervor cilindric are raza de $0,5\text{m}$ și înălțimea de $2\text{m}$. Câți litri de apă încap? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

14. O bilă de metal cu raza $3\text{cm}$ se topește și se toarnă într-un cilindru cu raza $3\text{cm}$. Ce înălțime are cilindrul obținut?

15. Un acoperiș are forma unui con cu raza $4\text{m}$ și înălțimea $3\text{m}$. Trebuie acoperit cu tablă (doar suprafața laterală). Câți ${\text{m}}^2$ de tablă sunt necesari și cât costă, dacă tabla costă $50$ lei/${\text{m}}^2$? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

16. Item tip Evaluare Națională. O piscină are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $10\text{m}$, lățimea $4\text{m}$ și adâncimea $1,5\text{m}$. a) Câți litri de apă încap dacă se umple complet? b) Se pardosește fundul și cei patru pereți laterali cu faianță. Câți ${\text{m}}^2$ de faianță sunt necesari?

17. Justificare. Explică, folosind formulele, de ce volumul unui con este de trei ori mai mic decât volumul unui cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime.

18. Un boiler are forma unui cilindru de rază $2\text{dm}$ și înălțime $8\text{dm}$, prelungit la partea de sus cu o semisferă de aceeași rază. Ce capacitate (în litri) are boilerul? (Se ia $\pi \approx 3,14$.)

Răspunsuri și explicații

1. $A_t=6a^2=6\cdot 25=150{\text{cm}}^2$; $V=a^3=5^3=125{\text{cm}}^3$.

2. $V=8\cdot 5\cdot 3=120{\text{cm}}^3$. $A_t=2(8\cdot 5+5\cdot 3+3\cdot 8)=2(40+15+24)=2\cdot 79=158{\text{cm}}^2$. Diagonala: $d=\sqrt{8^2+5^2+3^2}=\sqrt{64+25+9}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\text{cm}$.

3. $A_b=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; $P_b=12\text{cm}$. $A_l=P_b\cdot h=12\cdot 9=108{\text{cm}}^2$. $A_t=A_l+2A_b=108+8\sqrt{3}=(108+8\sqrt{3}){\text{cm}}^2$. $V=A_b\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 9=36\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

4. $A_l=2\pi Rh=2\pi \cdot 5\cdot 10=100\pi {\text{cm}}^2$. $A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 5\cdot 15=150\pi {\text{cm}}^2$. $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 25\cdot 10=250\pi {\text{cm}}^3$.

5. $G=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{cm}$. $A_t=\pi R(R+G)=\pi \cdot 9\cdot 24=216\pi {\text{cm}}^2$. $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 81\cdot 12}{3}=324\pi {\text{cm}}^3$.

6. $A=4\pi R^2=4\pi \cdot 9=36\pi {\text{cm}}^2$. $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3$.

7. $a_b=\frac{10}{2}=5$; $a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{cm}$. $A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}=\frac{40\cdot 13}{2}=260$; $A_t=260+100=360{\text{cm}}^2$. $V=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{100\cdot 12}{3}=400{\text{cm}}^3$.

8. $A_t=l^2\sqrt{3}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2\approx 27,7{\text{cm}}^2$. $V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12}=\frac{64\sqrt{2}}{12}=\frac{16\sqrt{2}}{3}{\text{cm}}^3\approx 7,54{\text{cm}}^3$.

9. $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{cm}$. $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)=\frac{\pi \cdot 6}{3}(64+16+32)=2\pi \cdot 112=224\pi {\text{cm}}^3$.

10. $A_B=10^2=100$; $A_b=4^2=16$; $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{1600}=40$. $V=\frac{h}{3}(A_B+A_b+\sqrt{A_B{A}_b})=\frac{6}{3}(100+16+40)=2\cdot 156=312{\text{cm}}^3$.

11. Fals. Dacă muchia devine $2a$, volumul devine $(2a{)}^3=8a^3$, adică de 8 ori mai mare, nu dublu. Volumul crește cu cubul factorului de mărire.

12. Fals. Contraexemplu: un cub cu muchia $\sqrt[3]{1000}=10\text{cm}$ are $V=1000{\text{cm}}^3$ și $A_t=600{\text{cm}}^2$; un paralelipiped $100\times 10\times 1$ are tot $V=1000{\text{cm}}^3$, dar $A_t=2(1000+10+100)=2220{\text{cm}}^2$. Volume egale, arii diferite.

13. $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot (0,5{)}^2\cdot 2=\pi \cdot 0,25\cdot 2=0,5\pi {\text{m}}^3\approx 0,5\cdot 3,14=1,57{\text{m}}^3$. Cum $1{\text{m}}^3=1000$ litri, rezultă $\approx 1570\text{litri}$.

14. Conservarea volumului: $V_{\text{bila˘}}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi$. Cilindru: $\pi \cdot 9\cdot h=9\pi h$. Egalăm: $9\pi h=36\pi \Rightarrow h=4\text{cm}$.

15. $G=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{m}$. $A_l=\pi RG=\pi \cdot 4\cdot 5=20\pi \approx 62,8{\text{m}}^2$. Cost: $62,8\cdot 50=3140\text{lei}$ (sunt necesari $\approx 62,8{\text{m}}^2$ de tablă).

16. a) $V=10\cdot 4\cdot 1,5=60{\text{m}}^3=60000\text{litri}$. b) Fund: $10\cdot 4=40{\text{m}}^2$. Pereți: doi de $10\cdot 1,5=15{\text{m}}^2$ și doi de $4\cdot 1,5=6{\text{m}}^2$, deci $2\cdot 15+2\cdot 6=42{\text{m}}^2$. Total faianță: $40+42=82{\text{m}}^2$.

17. Cilindru: $V_{\text{cil}}=\pi R^{2}h$. Con (aceeași $R$, același $h$): $V_{\text{con}}=\frac{\pi R^{2}h}{3}$. Împărțind, $\frac{V_{\text{con}}}{V_{\text{cil}}}=\frac{1}{3}$, deci conul are exact o treime din volumul cilindrului. Practic, ai turna de 3 ori conul plin ca să umpli cilindrul.

18. Cilindru: $V_1=\pi R^{2}h=\pi \cdot 4\cdot 8=32\pi {\text{dm}}^3$. Semisferă: $V_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{2\pi \cdot 8}{3}=\frac{16\pi }{3}{\text{dm}}^3$. Total: $V=32\pi +\frac{16\pi }{3}=\frac{96\pi +16\pi }{3}=\frac{112\pi }{3}\approx \frac{112\cdot 3,14}{3}\approx 117,2{\text{dm}}^3$. Cum $1{\text{dm}}^3=1$ litru, boilerul are $\approx 117\text{litri}$.

De reținut

• Prismă / cilindru: $V=A_b\cdot h$. Piramidă / con: $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$ (de trei ori mai mic). Sferă: $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, $A=4\pi R^2$.
• Relații-cheie de tip Pitagora: apotema piramidei $a_p^2=h^2+a_b^2$; generatoarea conului $G^2=R^2+h^2$; a trunchiului de con $G^2=h^2+(R-r{)}^2$; diagonala paralelipipedului $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
• Aria laterală = desfășurarea pereților: dreptunghi la cilindru ($2\pi R\cdot h$), triunghiuri/trapeze la piramidă și trunchi.
• Conservarea volumului la topire/turnare: $V_{\text{inițial}}=V_{\text{final}}$. La corpuri compuse: adună volumele, dar nu număra suprafețele lipite.
• Unități: $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}=1000{\text{cm}}^3$; $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$.

Greșeli frecvente

• Uiți factorul $\frac{1}{3}$ la piramidă și con, sau îl pui greșit la prismă/cilindru. Ține minte: doar corpurile „cu vârf" au $\frac{1}{3}$.
• Confunzi înălțimea cu apotema sau cu generatoarea. Înălțimea cade în centrul bazei; apotema piramidei / generatoarea conului ajunge pe marginea bazei. Folosește mereu triunghiul dreptunghic ca să treci de la una la alta.
• Amesteci unitățile. Nu poți înmulți metri cu centimetri. Transformă tot în aceeași unitate înainte de calcul, iar la final treci volumul în litri dacă ți se cere capacitatea.
• Numeri suprafețele lipite la corpuri compuse sau confunzi aria cu volumul (unități ${\text{cm}}^2$ vs. ${\text{cm}}^3$). Verifică mereu unitatea răspunsului.

Aplică acasă

1. Cutia de cereale. Ia o cutie de cereale (paralelipiped), măsoară cele trei dimensiuni cu rigla și calculează volumul în ${\text{cm}}^3$, apoi în litri. Compară cu gramajul de pe ambalaj — se potrivește cu „cât de plină" e cutia?
2. Conserva și pâlnia. Măsoară raza și înălțimea unei conserve (cilindru) și calculează capacitatea în mililitri; verifică pe etichetă. Apoi găsește o pâlnie de bucătărie (con) și estimează câți ml „umpli" dacă e plină.
3. Mingea. Măsoară circumferința unei mingi cu un metru de croitorie, află raza din $C=2\pi R$ și calculează volumul de aer din interior. Discută: de ce o minge mai mare cu doar câțiva cm are mult mai mult aer? (Volumul crește cu cubul razei.)

Pentru părinți și profesori

Această lecție închide capitolul de geometrie în spațiu și este printre cele mai productive pentru punctaj la Evaluarea Națională: subiectul al III-lea conține aproape mereu o problemă cu un corp geometric. Ajutați elevul cerându-i, la fiecare problemă, să scrie mai întâi formula și abia apoi să înlocuiască numerele — corectorul acordă puncte pe formulă și pe raționament, nu doar pe rezultatul final.

Întrebări bune de verificare: „Care e diferența dintre înălțime, apotemă și generatoare?", „De ce apare $\frac{1}{3}$ la con și la piramidă, dar nu la cilindru?", „Cum treci de la ${\text{cm}}^3$ la litri?". Dacă elevul răspunde corect la acestea și desenează figura din primul pas, a înțeles esențialul. Semnalul că trebuie mai multă practică: confundă aria cu volumul (greșește unitatea) sau folosește înălțimea acolo unde trebuia apotema. O verificare rapidă și eficientă este seria de itemi tip examen din lecțiile structura subiectului de Evaluare Națională și simularea comentată.

Întrebări frecvente

Care sunt corpurile geometrice studiate în clasa a VIII-a? Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul, piramida regulată, tetraedrul regulat, trunchiul de piramidă, cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera. Pentru fiecare trebuie să știi aria laterală, aria totală și volumul.

Cum rețin mai ușor formulele de volum? Grupează-le: corpurile „drepte" (prismă, cilindru) au $V=A_b\cdot h$; corpurile „cu vârf" (piramidă, con) au același lucru împărțit la 3. Sfera și trunchiurile au formule proprii, dar mai puține la număr. Așa nu memorezi zece formule izolate, ci un sistem.

Ce diferență este între apotema piramidei și generatoarea conului? Ambele sunt „muchia oblică" de pe suprafața laterală, dar apotema piramidei ajunge la mijlocul unei laturi a bazei, iar generatoarea conului ajunge la un punct de pe cercul bazei. Amândouă se află cu teorema lui Pitagora, din înălțime și din raza/apotema bazei.

Cum transform volumul în litri la Evaluarea Națională? Reține că $1{\text{dm}}^3=1$ litru. Deci $1000{\text{cm}}^3=1$ litru și $1{\text{m}}^3=1000$ litri. Dacă ai rezultatul în ${\text{cm}}^3$, împarți la 1000 pentru litri; dacă e în ${\text{m}}^3$, înmulțești cu 1000.

Ce înseamnă conservarea volumului? Când topești un corp și torni materialul în altă formă, cantitatea de material nu se schimbă, deci volumul rămâne egal. Scrii $V_{\text{inițial}}=V_{\text{final}}$ și afli dimensiunea necunoscută. Este un tip de problemă foarte des întâlnit la examen.

Cum calculez volumul unui corp compus? Îl descompui în corpuri simple (de exemplu, cilindru + con la un siloz), calculezi volumul fiecăruia și le aduni. La arie ai grijă: suprafețele cu care corpurile se lipesc nu se numără, pentru că nu sunt „la vedere".

Se folosește formula discriminantului sau relațiile lui Viète la aceste probleme? Nu. La clasa a VIII-a, toate calculele cu corpuri geometrice folosesc formule de arie, volum și teorema lui Pitagora. Discriminantul și relațiile lui Viète sunt materie de clasa a IX-a și nu apar în Evaluarea Națională.

Ce greșeală îmi poate lua cele mai multe puncte? Amestecul de unități (de exemplu, metri cu centimetri) și uitarea factorului $\frac{1}{3}$ la con și piramidă. Verifică întotdeauna că toate dimensiunile sunt în aceeași unitate și că răspunsul are unitatea corectă (${\text{cm}}^2$ pentru arie, ${\text{cm}}^3$ sau litri pentru volum).