Care este domeniul de valabilitate al fracției algebrice $$\dfrac{x-2}{x^2-9}$$?

$$\mathbb{R} \setminus \{3, -3\}$$

$$\mathbb{R}$$ (nu există restricții)

Ce greșeli se fac la ecuații și fracții?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ecuații și fracții algebrice

Trei se repetă la fiecare corectare: împărțirea ecuației prin literă, care șterge soluția zero; lipsa condițiilor de existență la fracții, care lasă soluții imposibile în răspuns; și simplificarea prin termeni, nu prin factori. La acestea se adaugă uitarea parantezei la numărătorul care se scade. Toate patru se evită scriind condițiile pe primul rând și descompunând în factori înainte de orice tăiere.

La orice ecuație de gradul I aduci totul la forma $a x + b = 0$ și obții $x = - \frac{b}{a}$ . La ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ , în clasa a VIII-a NU folosim discriminantul, ci descompunerea în factori și principiul produsului nul: $P \cdot Q = 0 ⟺ P = 0 sau Q = 0$ . Dacă lipsește $c$ , dai factor comun pe $x$ (nu împărți niciodată la $x$ , pierzi soluția $x = 0$ !); dacă lipsește $b$ , aduci la $x^{2} = k$ ; dacă e completă, cauți pătrat perfect sau două numere cu suma $b$ și produsul $c$ .

La fracțiile algebrice, prima grijă e mereu domeniul de valabilitate: numitorul nu poate fi zero. Exemplu: pentru $\frac{x + 1}{x ^{2} - 9}$ , domeniul este $x \neq = 3$ și $x \neq = - 3$ . Abia apoi descompui în factori și simplifici, sau aduci fracțiile la același numitor ca să le aduni ori să le scazi.

De reținut

nu se împarte niciodată prin litera necunoscută
condițiile de existență se scriu înaintea calculului și se folosesc la final
simplificarea se face doar prin factori, niciodată prin termeni

Greșeala tipică

Se simplifică o fracție tăind aceeași literă din numărător și din numitor, deși ea apare acolo ca termen. Se taie numai factori întregi, obținuți după descompunere.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă în $R$ : $x^{2} - 8 x = 0$ .
- a) $x = 0$ sau $x = 8$
- b) $x = 8$ (singura soluție)
- c) $x = 0$ sau $x = - 8$
- d) Ecuația nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 0$ sau $x = 8$

Dăm factor comun pe $x$ : $x (x - 8) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$ . Dacă am fi împărțit la $x$ , am fi pierdut soluția $x = 0$ .
Care este domeniul de valabilitate al fracției algebrice $\frac{x - 2}{x ^{2} - 9}$ ?
- a) $R ∖ {3, - 3}$
- b) $R ∖ {2}$
- c) $R ∖ {9}$
- d) $R$ (nu există restricții)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R ∖ {3, - 3}$

Numitorul nu poate fi zero: $x^{2} - 9 \neq = 0 ⟺ (x - 3) (x + 3) \neq = 0$ , deci $x \neq = 3$ și $x \neq = - 3$ . Domeniul este $R ∖ {3, - 3}$ .
Rezolvă în $R$ : $x^{2} + 6 x = 0$ .
- a) $x = 0$ sau $x = - 6$
- b) $x = 0$ sau $x = 6$
- c) $x = - 6$ (singura soluție)
- d) Ecuația nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 0$ sau $x = - 6$

Dăm factor comun pe $x$ : $x (x + 6) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 6$ . Dacă am fi împărțit la $x$ , am fi pierdut soluția $x = 0$ .

Întrebări conexe

În ce ordine rezolv o ecuație cu fracții algebrice?

Scrii condițiile, aduci la același numitor, înmulțești ambii membri cu numitorul comun, rezolvi ecuația rămasă și confrunți soluțiile cu condițiile. Ordinea aceasta nu se schimbă niciodată, indiferent cât de complicată pare expresia.

Ce scriu pe primul rând într-un exercițiu cu fracții?

Condițiile de existență, adică fiecare numitor cu literă pus diferit de zero. Ele se scriu înainte de orice calcul și se folosesc la final. Un exercițiu corect calculat, dar fără ele, pierde puncte la corectare.

Cum recunosc tipul ecuației de gradul al doilea dintr-o privire?

Te uiți ce lipsește: fără număr singur dai factor comun, fără termenul din mijloc izolezi pătratul, iar când sunt toate trei cauți pătratul unei paranteze sau perechea de numere. Recunoașterea rapidă îți economisește minute întregi.

Ce puncte pierd dacă nu scriu condițiile de existență?

De obicei punctele acordate special pentru ele, plus riscul de a da drept răspuns o valoare interzisă. La un exercițiu de examen, condițiile valorează adesea cât un pas întreg de calcul. Se scriu în două rânduri și se punctează sigur.

Cum trec de la o ecuație cu fracții la una fără fracții?

Înmulțești ambii membri cu numitorul comun, punând numărătorii în paranteze. Numitorii dispar, iar ce rămâne este o ecuație obișnuită. Pasul acesta este permis tocmai pentru că numitorul comun este diferit de zero prin condiții.

Cum împart timpul între rezolvare și verificare?

Lași câteva minute la sfârșit pentru a pune soluțiile înapoi în ecuația inițială și a le confrunta cu condițiile. Verificarea prinde greșelile de semn mai bine decât recitirea. Un răspuns verificat valorează mai mult decât un exercițiu în plus început.

Oamenii mai întreabă și: greșeli la ecuații și fracții algebrice · ce greșeli se penalizează la examen · recapitulare ecuații și fracții · cum evit greșelile la fracții algebrice · capcane la ecuațiile de gradul doi