Recapitulare: ecuații (inclusiv ax²+bx+c=0) și fracții algebrice

Ești la câțiva pași de Evaluarea Națională, iar dacă ar fi să alegem un singur „mușchi" pe care merită să-l antrenezi cel mai bine în algebra clasei a VIII-a, acela ar fi rezolvarea ecuațiilor și lucrul cu fracțiile algebrice. Aproape orice problemă practică — de la cât costă un abonament, la ce dimensiuni are un teren de sport sau cât combustibil consumă o mașină pe o distanță — se transformă, la un moment dat, într-o ecuație. Iar când în joc apar rapoarte de expresii cu litere (câți lei pe kilometru, câte pagini pe minut), intri pe teritoriul fracțiilor algebrice.

Această lecție adună la un loc tot ce ai învățat în capitolele despre ecuații și fracții algebrice și le pune în ordinea în care apar la examen. Nu re-predăm de la zero: recapitulăm inteligent, cu exemple noi, cu accent pe redactarea corectă pentru punctaj și pe capcanele care „mănâncă" cele mai multe puncte. Reține din start regula de aur a clasei a VIII-a: ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori, nu cu formule de liceu.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi o ecuație de gradul I, inclusiv cu paranteze și numitori, și să verifici soluția.
• Vei ști să rezolvi o ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$ prin descompunere în factori (factor comun, formule de calcul prescurtat, grupare) folosind principiul produsului nul.
• Vei ști să determini domeniul de valabilitate al unei fracții algebrice și să o simplifici corect.
• Vei ști să aduni și să scazi fracții algebrice, aducându-le la același numitor.
• Vei ști să modelezi o problemă practică printr-o ecuație și să interpretezi soluția în contextul dat.

Hai să descoperim împreună

Împărțim recapitularea în trei mari familii: ecuații de gradul I, ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$ și fracții algebrice. La final le legăm prin probleme practice, pentru că exact aici se vede dacă stăpânești materia.

1. Ecuația de gradul I: forma și strategia

O ecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ este orice ecuație care, după calcule, se aduce la forma $$ax+b=0,a\ne 0,$$ cu soluția unică $$x=-\frac{b}{a}.$$

Strategia de rezolvare are mereu aceiași pași, în această ordine:

1. Desfaci parantezele (atenție la semnul din fața parantezei).
2. Elimini numitorii înmulțind ambii membri cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor.
3. Grupezi termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt (schimbi semnul când treci un termen dintr-un membru în altul).
4. Reduci termenii asemenea și obții $ax=-b$.
5. Împarți la coeficientul lui $x$ și verifici soluția.

Un mic exemplu de încălzire: la ecuația $4x-9=2x+5$ trecem $2x$ în stânga și $-9$ în dreapta: $4x-2x=5+9$, deci $2x=14$, adică $x=7$. Verificare: $4\cdot 7-9=19$ și $2\cdot 7+5=19$. Egalitate confirmată.

Ideea de balanță este cheia: orice faci într-un membru trebuie să faci și în celălalt, ca egalitatea să rămână adevărată. Dacă vrei o reîmprospătare completă a numitorilor și parantezelor, revezi lecția Inecuații cu paranteze și numitori — tehnica de „curățare" este identică, doar semnul „=" e înlocuit acolo cu „<" sau „>".

2. Ecuația $a{x}^2+bx+c=0$: instrumentul-cheie e produsul nul

Aici apare vedeta capitolului. O ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$ (cu $a\ne 0$) se numește ecuație de gradul al doilea. La clasa a VIII-a nu folosim discriminantul $\Delta$ și nici relațiile lui Viète — acelea sunt de liceu. Folosim un principiu simplu și puternic:

Principiul produsului nul: un produs de factori este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero. $$P\cdot Q=0⟺P=0\text{ sau }Q=0.$$

Prin urmare, strategia este mereu aceeași: aducem membrul stâng sub formă de produs de factori, apoi egalăm fiecare factor cu zero. Diferența dintre tipuri ține doar de cum descompunem. Le trecem în revistă pe toate.

a) Ecuația incompletă $a{x}^2+bx=0$ (lipsește termenul liber). Dăm factor comun pe $x$: $$a{x}^2+bx=0⟺x(ax+b)=0⟺x=0\text{ sau }x=-\frac{b}{a}.$$ Exemplu: $x^2-5x=0⟺x(x-5)=0$, deci $x=0$ sau $x=5$. Atenție: nu împărți niciodată ecuația cu $x$, pentru că ai pierde soluția $x=0$! Aceasta este una dintre cele mai frecvente greșeli de examen.

b) Ecuația incompletă $a{x}^2+c=0$ (lipsește termenul din mijloc). O aducem la $x^2=k$:

• dacă $k>0$, avem două soluții: $x=\sqrt{k}$ și $x=-\sqrt{k}$;
• dacă $k=0$, avem soluția dublă $x=0$;
• dacă $k<0$, nu există soluții reale (un pătrat nu poate fi negativ).

Exemplu: $3x^2-27=0⟺x^2=9⟺x=3$ sau $x=-3$. Când $k$ este pătrat perfect, poți folosi și diferența de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

c) Ecuația completă $a{x}^2+bx+c=0$. Aici avem trei drumuri, în funcție de cum arată expresia:

• Pătrat perfect. Dacă recunoști forma $x^2\pm 2mx+m^2$, o scrii ca $(x\pm m{)}^2=0$, cu soluția dublă $x=\mp m$. Exemplu: $x^2+10x+25=(x+5{)}^2=0\Rightarrow x=-5$.
• Grupare / descompunere „sumă–produs". Pentru $x^2+bx+c$ căutăm două numere $m$ și $n$ cu produsul $m\cdot n=c$ și suma $m+n=b$. Atunci $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$. Exemplu: la $x^2+7x+10$ căutăm două numere cu produs $10$ și sumă $7$: acestea sunt $2$ și $5$, deci $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$.
• Când $a\ne 1$, dai mai întâi factor comun coeficientul (dacă se poate) sau descompui prin grupare termenul din mijloc. Exemplu: $2x^2-8x+6=2(x^2-4x+3)=2(x-1)(x-3)$.

Regula practică de aur: întâi te uiți ce lipsește. Dacă lipsește termenul liber, factor comun. Dacă lipsește termenul din mijloc, treci la $x^2=k$. Dacă e completă, cauți pătrat perfect, iar dacă nu e, folosești „sumă–produs". Pentru antrenament țintit pe ecuația completă, revezi Ecuația completă ax²+bx+c=0. Rezolvare prin descompunere în factori.

3. Semnul soluțiilor la „sumă–produs" — un truc rapid

Când cauți numerele $m$ și $n$ (cu $m\cdot n=c$ și $m+n=b$), semnele te ajută enorm:

• dacă $c>0$, cele două numere au același semn (amândouă pozitive dacă $b>0$, amândouă negative dacă $b<0$);
• dacă $c<0$, cele două numere au semne diferite.

Exemplu rapid: la $x^2-x-12=0$, avem $c=-12<0$, deci numerele au semne diferite; cu sumă $-1$ și produs $-12$ găsim $3$ și $-4$. Deci $(x+3)(x-4)=0$ și $x=-3$ sau $x=4$. Acest reflex îți economisește secunde prețioase la examen.

4. Fracții algebrice: mai întâi domeniul, apoi calculul

O fracție algebrică este un raport de forma $\frac{A}{B}$, unde $A$ și $B$ sunt expresii cu litere, iar $B\ne 0$. Pentru că nu putem împărți niciodată la zero, prima grijă este domeniul de valabilitate (numit și domeniu de definiție): mulțimea valorilor lui $x$ pentru care numitorul nu se anulează.

Cum îl afli? Pui condiția $B\ne 0$, adică rezolvi ecuația $B=0$ și excluzi acele valori. Exemplu: pentru $\frac{x+1}{x^2-9}$ punem $x^2-9\ne 0$, adică $x\ne 3$ și $x\ne -3$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$.

Pentru simplificarea și operațiile cu fracții algebrice, folosești chiar instrumentele recapitulate mai sus, pentru că totul se sprijină pe descompunerea în factori:

Simplificarea. Descompui în factori numărătorul și numitorul, apoi elimini factorii comuni. Exemplu: $$\frac{x^2-4}{x^2+2x}=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x-2}{x},x\ne 0,x\ne -2.$$ Foarte important: domeniul se stabilește înainte de simplificare, pe fracția inițială. Chiar dacă factorul $(x+2)$ „dispare" prin simplificare, condiția $x\ne -2$ rămâne valabilă, pentru că vine de la fracția de start.

Amplificarea. Înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă. E operația inversă simplificării și o folosești ca să aduci fracțiile la același numitor.

Adunarea și scăderea. Aduci fracțiile la același numitor (cel mai mic multiplu comun al numitorilor), apoi aduni sau scazi numărătorii. Exemplu: $$\frac{3}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{3(x-1)}{x(x-1)}+\frac{2x}{x(x-1)}=\frac{3x-3+2x}{x(x-1)}=\frac{5x-3}{x^2-x},x\ne 0,x\ne 1.$$

Capcana semnului la scădere: când scazi o fracție al cărei numărător are mai mulți termeni, pune-l în paranteză și schimbă toate semnele. De pildă $\frac{5x}{d}-\frac{2x-1}{d}=\frac{5x-(2x-1)}{d}=\frac{3x+1}{d}$. Mulți elevi uită să schimbe semnul lui $-1$ și pierd punctul.

Pentru detalii pe fiecare operație, ai lecțiile Simplificarea fracțiilor algebrice și Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice.

5. Ecuații în care apar fracții algebrice

La granița dintre cele două teme stau ecuațiile cu fracții algebrice: egalități în care necunoscuta apare la numitor. Ele apar des în probleme de tip „viteză–timp" sau „lucru în comun" și se rezolvă în doi timpi. Mai întâi stabilești domeniul (valorile care nu anulează numitorii), pentru că soluțiile trebuie să aparțină acestui domeniu. Apoi înmulțești cu numitorul comun, ecuația se „curăță" de fracții și devine, de obicei, o ecuație de gradul I (uneori de gradul II), pe care o rezolvi cu tehnicile de mai sus.

Exemplu: $\frac{x+1}{x-1}=2$. Condiția de existență este $x\ne 1$. Înmulțim cu $x-1$: $$x+1=2(x-1)⟺x+1=2x-2⟺x=3.$$ Cum $3\ne 1$, soluția aparține domeniului, deci este acceptată: $x=3$. Verificare: $\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$. Corect.

Atenție la soluțiile străine! După ce înmulțești cu numitorul, poate apărea o valoare care rezolvă ecuația „curățată", dar care nu aparține domeniului — atunci o respingi. De aceea domeniul nu este un moft, ci un filtru obligatoriu. Este exact spiritul redactării cerute la Evaluarea Națională: pui condițiile, rezolvi, apoi confrunți soluția cu condițiile.

6. De la problemă practică la ecuație

Aici se adună tot. Rețeta de modelare, valabilă și pentru gradul I și pentru gradul II, are patru pași:

1. Alegi necunoscuta și o notezi cu $x$ (scrii clar ce reprezintă: „fie $x$ lățimea, în metri").
2. Traduci condițiile problemei în relații matematice (cu litere).
3. Rezolvi ecuația obținută.
4. Interpretezi soluția: verifici dacă are sens în context și elimini soluțiile care nu se potrivesc (o lungime nu poate fi negativă, un număr de elevi nu poate fi fracționar).

Ultimul pas este specific problemelor de gradul II, unde apar adesea două soluții, dar doar una este acceptabilă în realitate. Este exact tipul de raționament care aduce punctele la itemii de tip Evaluare Națională.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație de gradul I cu numitori

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=\frac{5}{6}$.

Rezolvare. Numitorii sunt $3$, $4$ și $6$; cel mai mic multiplu comun este $12$. Înmulțim toată ecuația cu $12$: $$12\cdot \frac{2x-1}{3}-12\cdot \frac{x+2}{4}=12\cdot \frac{5}{6}$$ $$4(2x-1)-3(x+2)=10.$$ Desfacem parantezele: $8x-4-3x-6=10$, deci $5x-10=10$, de unde $5x=20$ și $\boxed{x=4}$.

Verificare: $\frac{2\cdot 4-1}{3}-\frac{4+2}{4}=\frac{7}{3}-\frac{6}{4}=\frac{14}{6}-\frac{9}{6}=\frac{5}{6}$. Corect.

Exemplul 2 — Problemă rezolvată cu ecuație de gradul I

Barbu are cu 6 ani mai puțin decât Ana. Peste 4 ani, suma vârstelor lor va fi 40 de ani. Câți ani are fiecare acum?

Rezolvare. Fie $x$ vârsta actuală a lui Barbu (în ani). Atunci Ana are $x+6$ ani. Peste 4 ani, Barbu va avea $x+4$ ani, iar Ana $x+6+4=x+10$ ani. Condiția „suma va fi 40" se scrie: $$(x+4)+(x+10)=40⟺2x+14=40⟺2x=26⟺x=13.$$ Deci Barbu are 13 ani, iar Ana are $13+6=$ 19 ani.

Verificare: peste 4 ani vor avea $17$ și $23$ de ani, iar $17+23=40$. Corect.

Exemplul 3 — Ecuații de gradul II incomplete

Rezolvă: (a) $x^2-5x=0$; (b) $3x^2-27=0$.

Rezolvare (a). Dăm factor comun pe $x$: $$x^2-5x=0⟺x(x-5)=0⟺x=0\text{ sau }x-5=0.$$ Soluțiile sunt $x=0$ și $x=5$. (Nu împărțim la $x$, ca să nu pierdem soluția $x=0$.)

Rezolvare (b). Izolăm $x^2$: $$3x^2-27=0⟺3x^2=27⟺x^2=9⟺x=3\text{ sau }x=-3.$$ Alternativ, cu diferența de pătrate: $3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)=0$, de unde aceleași soluții $x=\pm 3$.

Exemplul 4 — Ecuația completă prin descompunere în factori

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-7x+12=0$.

Rezolvare. Căutăm două numere cu produsul $12$ și suma $-7$ (căci în forma $x^2+bx+c$ avem $b=-7$ și $c=12$). Cum $c=12>0$ și $b=-7<0$, ambele numere sunt negative: acestea sunt $-3$ și $-4$ (căci $(-3)\cdot (-4)=12$ și $-3+(-4)=-7$). Descompunem prin grupare: $$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4).$$ Ecuația devine $(x-3)(x-4)=0$, deci $x-3=0$ sau $x-4=0$, adică $\boxed{x=3\text{ sau }x=4}$.

Verificare pentru $x=3$: $9-21+12=0$. Corect. Pentru $x=4$: $16-28+12=0$. Corect.

Exemplul 5 — Fracție algebrică: domeniu și simplificare

Se dă $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$. Determină domeniul de valabilitate și simplifică fracția.

Rezolvare. Punem numitorul diferit de zero: $x^2-4x\ne 0⟺x(x-4)\ne 0⟺x\ne 0$ și $x\ne 4$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0,4\}$.

Descompunem în factori și simplificăm: $$E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x},x\ne 0,x\ne 4.$$ Am folosit diferența de pătrate la numărător ($x^2-16=(x-4)(x+4)$) și factorul comun la numitor. Rezultatul păstrează condițiile din domeniul inițial.

Exemplul 6 — Adunarea/scăderea fracțiilor algebrice

Efectuează, precizând domeniul: $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}$.

Rezolvare. Condițiile de existență: $x-1\ne 0$ și $x+1\ne 0$, deci $x\ne 1$ și $x\ne -1$; domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Numitorul comun este $(x-1)(x+1)=x^2-1$. Amplificăm fiecare fracție: $$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2+3x-3}{x^2-1}=\frac{5x-1}{x^2-1}.$$

Exemplul 7 — Problemă practică transpusă în ecuație de gradul II

Un teren dreptunghiular are lungimea cu 5 metri mai mare decât lățimea, iar aria de 84 m². Află dimensiunile terenului.

Rezolvare. Fie $x$ lățimea, în metri, cu $x>0$. Atunci lungimea este $x+5$. Aria unui dreptunghi este produsul dimensiunilor: $$x(x+5)=84⟺x^2+5x-84=0.$$ Căutăm două numere cu produs $-84$ și sumă $5$. Cum $c=-84<0$, numerele au semne diferite; acestea sunt $12$ și $-7$ (căci $12\cdot (-7)=-84$ și $12+(-7)=5$). Deci: $$x^2+5x-84=(x+12)(x-7)=0⟺x=-12\text{ sau }x=7.$$ Soluția $x=-12$ se respinge (o lățime nu poate fi negativă). Rămâne $x=7$. Așadar lățimea este 7 m, iar lungimea $7+5=$ 12 m.

Verificare: aria $=7\cdot 12=84$ m². Corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii scriși îngrijit (așa se acordă punctajul la Evaluarea Națională). La ecuațiile de gradul II, verifică soluțiile prin înlocuire; la fracții, precizează întotdeauna domeniul.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2x+7=15$.
2. Rezolvă: $5(x-1)=3x+7$.
3. Rezolvă: $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$.
4. Suma a trei numere naturale consecutive este 78. Află numerele (transpune în ecuație).
5. Rezolvă: $x^2-9x=0$.
6. Rezolvă: $4x^2-25=0$.
7. Rezolvă: $x^2-8x+16=0$.
8. Rezolvă: $x^2+2x-15=0$.
9. Rezolvă: $x^2-10x+21=0$.
10. Rezolvă: $2x^2-8x+6=0$.
11. Determină domeniul de valabilitate al fracției $\frac{x+2}{x^2-4}$.
12. Simplifică fracția $\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, precizând domeniul.
13. Simplifică fracția $\frac{3x-6}{x^2-4x+4}$, precizând domeniul.
14. Efectuează și precizează domeniul: $\frac{5}{x}-\frac{3}{x+1}$.
15. Efectuează și precizează domeniul: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$.
16. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^2+4=0$ are soluții reale."
17. Adevărat sau fals, cu justificare: „Fracția $\frac{x^2-1}{x-1}$ este egală cu $x+1$ pentru orice număr real $x$."
18. (Item tip Evaluare Națională) Perimetrul unui dreptunghi este 26 cm, iar aria sa este 40 cm². Află dimensiunile dreptunghiului.

Răspunsuri și explicații

1. $2x=15-7=8\Rightarrow x=4$.

2. $5x-5=3x+7\Rightarrow 5x-3x=7+5\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$.

3. Înmulțim cu 6: $3x+2x=30\Rightarrow 5x=30\Rightarrow x=6$. Verificare: $\frac{6}{2}+\frac{6}{3}=3+2=5$. Corect.

4. Fie numerele $x$, $x+1$, $x+2$. Atunci $x+(x+1)+(x+2)=78\Rightarrow 3x+3=78\Rightarrow 3x=75\Rightarrow x=25$. Numerele sunt 25, 26, 27 (suma $=78$).

5. $x(x-9)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=9$. (Nu împărți la $x$.)

6. $4x^2=25\Rightarrow x^2=\frac{25}{4}\Rightarrow x=\frac{5}{2}$ sau $x=-\frac{5}{2}$. Echivalent: $(2x-5)(2x+5)=0$.

7. $x^2-8x+16=(x-4{)}^2=0\Rightarrow x=4$ (soluție dublă).

8. Numere cu produs $-15$ și sumă $2$: $5$ și $-3$. $(x+5)(x-3)=0\Rightarrow x=-5$ sau $x=3$.

9. Numere cu produs $21$ și sumă $-10$: $-3$ și $-7$. $(x-3)(x-7)=0\Rightarrow x=3$ sau $x=7$.

10. Factor comun $2$: $2(x^2-4x+3)=0\Rightarrow x^2-4x+3=0$. Numere cu produs $3$ și sumă $-4$: $-1$ și $-3$. $(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1$ sau $x=3$.

11. $x^2-4\ne 0\Rightarrow (x-2)(x+2)\ne 0\Rightarrow x\ne 2$ și $x\ne -2$. Domeniul: $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

12. Domeniu: $x^2+4x\ne 0\Rightarrow x(x+4)\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ și $x\ne -4$. Simplificare: $\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$, pentru $x\ne 0,x\ne -4$.

13. Domeniu: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$. Simplificare: $\frac{3(x-2)}{(x-2{)}^2}=\frac{3}{x-2}$, pentru $x\ne 2$.

14. Domeniu: $x\ne 0$ și $x\ne -1$. Numitor comun $x(x+1)$: $\frac{5(x+1)-3x}{x(x+1)}=\frac{5x+5-3x}{x(x+1)}=\frac{2x+5}{x^2+x}$.

15. Domeniu: $x\ne 2$ și $x\ne -2$. Numitor comun $(x-2)(x+2)=x^2-4$: $\frac{(x+2)+(x-2)}{x^2-4}=\frac{2x}{x^2-4}$.

16. Fals. $x^2+4=0\Rightarrow x^2=-4$, imposibil în $\mathbb{R}$, deoarece un pătrat este întotdeauna $\ge 0$. Ecuația nu are soluții reale.

17. Fals. Simplificarea $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ este valabilă doar pentru $x\ne 1$. În $x=1$ fracția nu este definită (numitor zero), deci egalitatea nu are loc „pentru orice $x$ real".

18. Fie $L$ și $l$ dimensiunile. Din perimetru: $2(L+l)=26\Rightarrow L+l=13$, deci $L=13-l$. Din arie: $L\cdot l=40\Rightarrow (13-l)l=40\Rightarrow 13l-l^2=40\Rightarrow l^2-13l+40=0$. Numere cu produs $40$ și sumă $13$: $5$ și $8$. $(l-5)(l-8)=0\Rightarrow l=5$ sau $l=8$. Dimensiunile sunt 5 cm și 8 cm (verificare: perimetru $2(5+8)=26$ cm, arie $5\cdot 8=40$ cm²).

De reținut

• Gradul I: aduci la $ax+b=0$ (desfaci paranteze → elimini numitori → grupezi → reduci), soluția $x=-\frac{b}{a}$; verifici mereu.
• Gradul II — produsul nul: $P\cdot Q=0⟺P=0$ sau $Q=0$. Descompui $a{x}^2+bx+c$ în factori: lipsește $c$ → factor comun $x$; lipsește $b$ → $x^2=k$; completă → pătrat perfect sau „sumă–produs" ($m\cdot n=c$, $m+n=b$). Fără discriminant, fără Viète.
• Fracție algebrică: întâi domeniul (numitor $\ne 0$), apoi simplifici prin descompunere în factori și elimini factorii comuni; condițiile de domeniu se citesc pe fracția inițială.
• Adunare/scădere de fracții: același numitor (c.m.m.m.c.), apoi aduni/scazi numărătorii; la scădere pui numărătorul în paranteză și schimbi semnele.
• Problemă practică: notezi necunoscuta → traduci în ecuație → rezolvi → interpretezi și respingi soluțiile care nu au sens (lungimi negative, numere nenaturale).

Greșeli frecvente

• Împărțirea ecuației $a{x}^2+bx=0$ la $x$. Astfel pierzi soluția $x=0$. Corect este să dai factor comun: $x(ax+b)=0$.
• Uitarea domeniului la fracții algebrice. Chiar dacă factorul se simplifică, condiția $x\ne$ (valoarea care anulează numitorul inițial) rămâne. Pune domeniul înainte de a simplifica.
• Semnul la scăderea fracțiilor. $\frac{A}{d}-\frac{B}{d}=\frac{A-B}{d}$, iar dacă $B$ are mai mulți termeni, îl treci în paranteză: $A-(B)$ schimbă toate semnele lui $B$.
• „Rezolvarea" ecuației $x^2=-k$ (cu $k>0$). Un pătrat nu poate fi negativ, deci în $\mathbb{R}$ nu există soluții — nu inventa rădăcini.

Aplică acasă

• Bugetul de date mobile. Un abonament costă 30 de lei și include 5 GB; fiecare GB suplimentar costă 4 lei. Scrie o ecuație pentru numărul $x$ de GB suplimentari pentru care factura ta a fost 50 de lei și rezolv-o. Verifică apoi pe factura reală a familiei dacă modelul se potrivește.
• Grădina bunicilor. Măsoară (sau estimează) aria unei parcele dreptunghiulare din curte și impune-ți condiția ca lungimea să fie cu un anumit număr de metri mai mare decât lățimea. Scrie ecuația de gradul II corespunzătoare ariei măsurate și rezolv-o prin descompunere în factori. Compară soluția cu dimensiunea reală.
• „Detectorul de domeniu". Alege trei fracții algebrice din culegere (cu numitori de tip $x$, $x-a$, $x^2-a^2$) și, fără să le calculezi, scrie doar domeniul fiecăreia. Este cel mai rapid exercițiu care îți fixează reflexul „numitor $\ne 0$".

Pentru părinți și profesori

Această lecție este una de sinteză, chiar înaintea examenului, așa că cel mai util sprijin este să verificați procesul, nu doar rezultatul final. La Evaluarea Națională, ecuațiile și fracțiile algebrice apar frecvent atât în subiectul I (itemi scurți: o ecuație de rezolvat, un domeniu de precizat), cât și în subiectul al II-lea (o problemă mai amplă care se modelează cu o ecuație de gradul II).

Întrebări bune de verificare pe care le puteți pune elevului:

• „Ce faci înainte de a simplifica o fracție algebrică?" (Răspuns așteptat: stabilesc domeniul, numitor $\ne 0$.)
• „De ce nu împarți ecuația $x^2-5x=0$ direct la $x$?" (Pentru că se pierde soluția $x=0$.)
• „Cum decizi dacă cele două numere de la descompunere au același semn sau semne diferite?" (După semnul termenului liber $c$.)
• „De ce ai respins una dintre soluțiile problemei cu terenul?" (Pentru că o lungime negativă nu are sens fizic.)

Un semn clar că elevul a înțeles: rezolvă o ecuație de gradul II și verifică ambele soluții prin înlocuire, iar la fracții precizează domeniul din reflex, fără să i se ceară. Dacă apar ezitări la descompunerea în factori, reluați împreună lecțiile din capitolul „Descompuneri în factori" — acolo este fundația întregii tehnici.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă ecuația ax²+bx+c=0 în clasa a 8-a? Prin descompunere în factori și principiul produsului nul: aduci membrul stâng la forma unui produs de factori, apoi egalezi fiecare factor cu zero. Nu se folosesc discriminantul $\Delta$ sau relațiile lui Viète, care se studiază în clasa a IX-a.

Ce este domeniul de valabilitate al unei fracții algebrice? Este mulțimea valorilor pe care le poate lua necunoscuta astfel încât numitorul să nu fie zero. Îl afli rezolvând ecuația „numitor $=0$" și excluzând acele valori din mulțimea numerelor reale.

De ce nu am voie să împart ecuația la x? Pentru că, dacă $x$ ar putea fi $0$, ai împărți la zero (interzis) și ai pierde soluția $x=0$. De aceea la ecuațiile de forma $a{x}^2+bx=0$ dai factor comun în loc să împarți.

Câte soluții poate avea o ecuație de gradul al doilea? La clasa a VIII-a, în funcție de descompunere, poate avea două soluții distincte, una singură (soluție dublă, când apare un pătrat perfect) sau niciuna reală (de exemplu $x^2+4=0$).

Cum aduc două fracții algebrice la același numitor? Descompui numitorii în factori, iei cel mai mic multiplu comun al lor și amplifici fiecare fracție cu ce îi lipsește ca să ajungă la numitorul comun. Abia apoi aduni sau scazi numărătorii.

Când respingi o soluție într-o problemă cu ecuații? Când soluția, deși corectă matematic, nu are sens în context: o lungime sau o vârstă negativă, un număr de obiecte care nu este natural, un preț negativ etc. Păstrezi doar soluția realistă.

Ce greșeală de fracții pierde cele mai multe puncte la examen? Uitarea domeniului și greșeala de semn la scădere. Precizează întotdeauna condițiile de existență și pune numărătorul scăzut în paranteză înainte de a schimba semnele.

Cum verific dacă am rezolvat corect o ecuație? Înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială și verifici dacă cei doi membri dau același număr. La examen, verificarea îți confirmă rezultatul și, uneori, este chiar cerută pentru punctaj.