Se consideră funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = -3x + 6$$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$f$$ este strict descrescătoare, iar $$f(x) > 0$$ pentru $$x < 2$$.

$$f$$ este strict crescătoare, iar $$f(x) > 0$$ pentru $$x > 2$$.

$$f$$ este strict descrescătoare, iar $$f(x) > 0$$ pentru $$x > 2$$.

$$f$$ este strict crescătoare, iar $$f(x) < 0$$ pentru $$x < 2$$.

Se consideră funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = -x^2 + 4x + 1$$. Care sunt coordonatele vârfului parabolei și mulțimea valorilor funcției?

$$V(2, 5)$$ și $$\operatorname{Im} f = (-\infty, 5]$$

$$V(2, 5)$$ și $$\operatorname{Im} f = [5, +\infty)$$

$$V(-2, -11)$$ și $$\operatorname{Im} f = (-\infty, -11]$$

$$V(5, 2)$$ și $$\operatorname{Im} f = (-\infty, 2]$$

Care este domeniul maxim de definiție al funcției $$f(x) = \sqrt{x^2 - x - 6}$$?

$$(-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$$

$$\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$$

Ce citesc pe graficul unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții: de la formulă la grafic

Șase lucruri, mereu în aceeași ordine: pe ce interval este desenată curba, ce valori atinge, unde taie axa orizontală, unde stă deasupra și unde sub ea, unde urcă și unde coboară, iar la final punctele cele mai de sus și cele mai de jos. Soluțiile unei ecuații se citesc pe axa orizontală, nu pe cea verticală.

Tot capitolul se învârte în jurul unei singure idei: o mărime depinde de alta. O funcție $f : A \to B$ înseamnă trei lucruri — domeniul, codomeniul și o lege care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$ ; de aici vine testul dreptei verticale.

Indiferent de familie, graficul se citește cu aceeași grilă de șase întrebări: domeniu, mulțimea valorilor, zerouri, semn, monotonie, extreme. Soluțiile se citesc pe axa $O x$ , nu pe $O y$ , iar semnul nu se confundă cu monotonia: o funcție poate fi descrescătoare și pozitivă în același timp.

Funcția afină $f (x) = a x + b$ are graficul o dreaptă, zeroul $x_{0} = - \frac{b}{a}$ , monotonia dată de semnul lui $a$ și semn contrar lui $a$ înainte de zerou. Funcția de gradul al doilea se decide din două semne: al lui $a$ (orientarea ramurilor) și al lui $Δ$ (numărul de intersecții cu $O x$ ); vârful este $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , iar trinomul are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele. Domeniul maxim se obține scriind condițiile de existență — radicandul $\geq 0$ , numitorul $\neq = 0$ — și intersectându-le. În fine, exponențiala și logaritmul sunt funcții inverse: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ ; $a^{x}$ are domeniul $R$ și valorile $(0, + \infty)$ , iar $lo g_{a} x$ exact invers, graficele fiind simetrice față de dreapta $y = x$ .

De reținut

fiecare valoare din domeniu are exact o imagine: testul dreptei verticale
zerourile și soluțiile se citesc pe axa orizontală
semnul și monotonia sunt lucruri diferite
vârful parabolei: $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$

Greșeala tipică

Soluțiile unei ecuații sunt citite pe axa verticală, unde se află de fapt valorile funcției; ecuația cere abscisele punctelor în care curba atinge nivelul cerut.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 6$ . Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $f$ este strict crescătoare, iar $f (x) > 0$ pentru $x > 2$ .
- b) $f$ este strict descrescătoare, iar $f (x) > 0$ pentru $x < 2$ .
- c) $f$ este strict descrescătoare, iar $f (x) > 0$ pentru $x > 2$ .
- d) $f$ este strict crescătoare, iar $f (x) < 0$ pentru $x < 2$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ este strict descrescătoare, iar $f (x) > 0$ pentru $x < 2$ .

Coeficientul lui $x$ este $a = - 3 < 0$ , deci funcția este strict descrescătoare pe $R$ . Zeroul: $- 3 x + 6 = 0 ⟺ x = 2$ , deci graficul taie axa $O x$ în $(2, 0)$ și axa $O y$ în $(0, 6)$ . Înainte de zerou funcția are semn contrar lui $a$ , deci $f (x) > 0$ pentru $x < 2$ ; după zerou are semnul lui $a$ , deci $f (x) < 0$ pentru $x > 2$ . Verificare rapidă: $f (0) = 6 > 0$ și $f (3) = - 3 < 0$ . Semnul nu se confundă cu monotonia.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ . Care sunt coordonatele vârfului parabolei și mulțimea valorilor funcției?
- a) $V (2, 5)$ și $Im f = (- \infty, 5]$
- b) $V (2, 5)$ și $Im f = [5, + \infty)$
- c) $V (- 2, - 11)$ și $Im f = (- \infty, - 11]$
- d) $V (5, 2)$ și $Im f = (- \infty, 2]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $V (2, 5)$ și $Im f = (- \infty, 5]$

Avem $a = - 1$ , $b = 4$ , $c = 1$ , deci $x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{- 2} = 2$ și $y_{V} = f (2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ : vârful este $V (2, 5)$ , iar axa de simetrie este $x = 2$ . Cum $a < 0$ , ramurile sunt îndreptate în jos, funcția are un maxim, deci $Im f = (- \infty, 5]$ , cu capătul inclus, pentru că valoarea $5$ chiar se atinge, în $x = 2$ . Nu confunda $x_{V}$ (abscisa unde se atinge extremul) cu $y_{V}$ (valoarea extremă) — varianta d) le inversează, iar c) greșește semnul în formula vârfului.
Care este domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = x^{2} - x - 6$ ?
- a) $[- 2, 3]$
- b) $(- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$
- c) $(- 2, 3)$
- d) $R ∖ {- 2, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$

Condiția de existență a radicalului de ordinul al doilea este ca radicandul să fie nenegativ: $x^{2} - x - 6 \geq 0$ . Trinomul are $Δ = 1 + 24 = 25$ și rădăcinile $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 5}{2}$ , adică $- 2$ și $3$ . Cum $a = 1 > 0$ , trinomul are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și se anulează în ele, deci $D = (- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$ . Capetele se includ, pentru că $0 = 0$ există. Varianta a) este exact mulțimea pe care radicandul este negativ, iar d) ar fi răspunsul dacă trinomul ar sta la numitor.

Întrebări conexe

Cum aflu de pe grafic unde este funcția crescătoare?

Urmărești curba de la stânga la dreapta: pe porțiunile în care ea urcă, funcția este crescătoare. Scrii intervalele pe axa orizontală, nu valorile de pe verticală. Monotonia nu are legătură cu semnul: o curbă poate coborî și, în același timp, să rămână deasupra axei.

Cum citesc pe grafic soluțiile ecuației f de x egal zero?

Cauți punctele în care curba taie axa orizontală și le citești abscisele. Acelea sunt zerourile funcției. Dacă graficul doar atinge axa fără să o traverseze, ai o rădăcină dublă, cum se întâmplă la parabola cu discriminant zero.

Cum recunosc pe grafic dacă o funcție este injectivă?

Duci drepte orizontale: dacă fiecare dintre ele taie curba cel mult o dată, funcția este injectivă. Parabola cade la acest test, fiindcă o orizontală o taie de două ori, în timp ce o dreaptă oblică sau o exponențială trec.

Ce grafice trebuie recunoscute dintr-o privire?

Dreapta funcției afine, parabola funcției de gradul al doilea, ramura de radical, hiperbola câtului de funcții afine, curba exponențială și cea logaritmică. Pentru fiecare știi domeniul, valorile, sensul de variație și eventualele asimptote.

Cum trec de la grafic la formula unei funcții afine?

Alegi două puncte cu coordonate întregi, calculezi panta ca raport între diferența ordonatelor și cea a absciselor, apoi citești tăietura cu axa verticală. Cu ele scrii formula și verifici pe un al treilea punct de pe desen.

Oamenii mai întreabă și: cum citesc un grafic de funcție · ce informații dă graficul unei funcții · lectura grafică a unei funcții · domeniu, imagine, zerouri, semn, monotonie