Recapitulare: funcții și lecturi grafice

Cea mai mare parte a anului ai lucrat, de fapt, cu o singură idee: o mărime depinde de alta. Prețul depinde de cantitate, înălțimea unei mingi depinde de timpul scurs de la aruncare, numărul de bacterii depinde de orele trecute, intensitatea unui sunet depinde de energia undei. Matematica numește această dependență funcție și, odată ce i-a dat un nume, îi poate pune mereu aceleași întrebări: ce valori acceptă la intrare? ce valori scoate? unde se anulează? unde este pozitivă? unde crește? are o valoare cea mai mare?

Frumusețea capitolului este că răspunsurile la aceste șase întrebări se citesc pe grafic, indiferent de familia din care face parte funcția. O dreaptă, o parabolă, o ramură de radical, o curbă exponențială sau una logaritmică arată complet diferit — dar grila de lectură este aceeași. Recapitularea de față face turul tuturor familiilor studiate în clasa a IX-a, adună formulele într-un singur loc și te învață să treci de la formulă la grafic și înapoi. Este, de departe, capitolul cu cea mai mare greutate la teză și la examen; merită parcurs cu creionul în mână.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești pe orice grafic cele șase informații standard: domeniu, valori, zerouri, semn, monotonie, extreme.
• Vei ști să studiezi complet funcția afină $f(x)=ax+b$: grafic, monotonie, zerou, semn, intersecții cu axele.
• Vei ști să studiezi complet funcția de gradul al doilea: vârf, axă de simetrie, $\Delta$, intersecții, monotonie, mulțimea valorilor, semn, inecuații.
• Vei ști să determini domeniul maxim de definiție al unei funcții cu radical sau cu numitor.
• Vei ști să compari funcția exponențială și funcția logaritmică: domeniu, valori, monotonie, punctele fixe, asimptote.
• Vei ști să rezolvi problemele-tip de teză: inecuații rezolvate grafic, probleme de maxim și minim în context, praguri de rentabilitate.

Hai să descoperim împreună

1. Harta temei: cinci familii, o singură grilă de lectură

Înainte de orice familie, reține definiția din Ce este o funcție: domeniu, codomeniu, valori: o funcție $f:A\to B$ înseamnă trei lucruri — domeniul $A$, codomeniul $B$ și o lege care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$. Condiția se verifică numai „la plecare"; elementele codomeniului pot fi atinse oricâte ori sau deloc. De aici vine și testul dreptei verticale: o curbă este graficul unei funcții doar dacă orice verticală o taie în cel mult un punct.

2. Grila de lectură: șase întrebări, mereu aceleași

Când primești un grafic (sau o formulă din care poți schița graficul), pune-i pe rând aceste șase întrebări. Este exact ordinea în care se cer informațiile la teză.

1. Domeniul — proiecția graficului pe axa $Ox$: ce valori poate lua $x$.
2. Mulțimea valorilor — proiecția pe axa $Oy$: ce valori ia efectiv funcția.
3. Zerourile — abscisele punctelor în care graficul taie axa $Ox$, adică soluțiile ecuației $f(x)=0$.
4. Semnul — unde graficul e deasupra axei ($f(x)>0$) și unde e sub ea ($f(x)<0$).
5. Monotonia — pe ce intervale graficul urcă (funcție crescătoare) și pe ce intervale coboară.
6. Extremele — cea mai mare și cea mai mică valoare atinsă, dacă există.

Două precizări care se cer aproape sigur. Prima: soluțiile se citesc pe axa $Ox$, nu pe $Oy$ — ordonata îți spune ce valoare ia funcția, nu care e soluția. A doua: semnul nu se confundă cu monotonia; o funcție poate fi negativă și crescătoare în același timp. Detaliile, în Graficul unei funcții și citirea lui.

Aceeași grilă rezolvă și ecuațiile sau inecuațiile puse grafic, temă tratată în Ecuații și inecuații rezolvate grafic: $f(x)=m$ se rezolvă tăind graficul cu orizontala $y=m$; $f(x)=g(x)$ se rezolvă la intersecția celor două grafice; „$f(x)>0$" înseamnă „graficul e deasupra axei", iar soluția se citește proiectând pe $Ox$.

3. Funcția afină: totul depinde de semnul lui $a$

Pentru $f(x)=ax+b$, graficul este dreapta $y=ax+b$, iar două puncte îți ajung ca s-o trasezi (al treilea servește la verificare).

Coeficientul $a$ este panta: spune cu cât se schimbă $y$ atunci când $x$ crește cu o unitate. În modelele practice din Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze, $b$ este costul fix (abonamentul, taxa de pornire), iar $a$ este costul pe unitate (tariful pe minut, prețul pe kilometru). Graficul, împreună cu axele, determină un triunghi dreptunghic de arie $\frac{|x_0|\cdot |b|}{2}$ — o întrebare clasică, tratată în Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele.

4. Funcția de gradul al doilea: tabelul complet

Pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a\ne 0$, totul se decide din două semne: semnul lui $a$ (orientarea ramurilor) și semnul lui $\Delta =b^2-4ac$ (numărul de intersecții cu axa $Ox$).

Din acest tabel ies aproape toate exercițiile. Punctul de extrem este $x_V$ (o abscisă), iar valoarea extremă este $y_V$ (o valoare a funcției) — nu le confunda în răspuns. Pentru $a>0$ avem minim, pentru $a<0$ avem maxim, așa cum arată Monotonia și valoarea extremă și Mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea.

Inecuațiile se rezolvă exact ca semnul: aduci totul într-un membru, afli rădăcinile, faci tabelul și citești intervalele — cu capete incluse la inegalitate nestrictă și excluse la cea strictă. Cazurile speciale (soluția $\mathbb{R}$, $\varnothing$ sau $\mathbb{R}\setminus \{x_0\}$) sunt discutate în Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic și în Semnul funcției de gradul al doilea.

Reține și consecința cea mai folosită la parametri: $f(x)>0$ pentru orice $x$ real $⟺a>0$ și $\Delta <0$.

5. Radical, numitor, domeniu maxim

Când o funcție e dată doar prin formulă, domeniul maxim de definiție este mulțimea valorilor lui $x$ pentru care formula produce un număr real. Două condiții acoperă tot ce ai învățat:

• sub radical de ordinul al doilea: expresia trebuie să fie $\ge 0$ (semnul „sau egal" contează, pentru că $\sqrt{0}=0$ există);
• la numitor: expresia trebuie să fie $\ne 0$; iar dacă la numitor stă un radical, condiția devine strictă, $>0$.

Condițiile se intersectează, iar rezultatul se scrie ca interval sau reuniune de intervale. Când sub radical stă un trinom, folosești tabelul de semn de la punctul anterior — de aici vine sinteza cea mai frecventă la teză, tratată în Domeniul de definiție al unei funcții cu radical.

Funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este strict crescătoare, are valorile în $[0,+\infty )$ și graficul simetricul lui $x^2$ (restrâns la $[0,\infty )$) față de dreapta $y=x$. Reține și comparația: pe $(0,1)$ avem $x^2<x<\sqrt{x}$, iar pe $(1,+\infty )$ ordinea se inversează.

Din funcțiile de bază se obțin altele prin operații: produsul a două funcții afine dă o funcție de gradul al doilea, iar câtul a două funcții scoate din domeniu zerourile numitorului și produce, în vecinătatea lor, comportamentul studiat în Comportament asimptotic citit pe grafic.

6. Exponențiala și logaritmul: două oglinzi

Cele două familii se studiază împreună, pentru că sunt funcții inverse: graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$.

Legătura dintre ele este definiția din Logaritmul: întrebarea «la ce putere?»: ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. Logaritmul este un exponent — atât. De aici, cele patru egalități de aur: ${\log }_{a}1=0$, ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_a{a}^n=n$ și $a^{{\log }_{a}b}=b$. Condițiile de existență se rețin ca atare: baza $a>0$, $a\ne 1$, argumentul strict pozitiv.

Cazurile particulare cu nume propriu sunt logaritmul zecimal $\lg x={\log }_{10}x$ și logaritmul natural $\ln x={\log }_{e}x$, cu $e\approx 2,718$ — vezi Numărul irațional e și Logaritm natural și logaritm zecimal. Iar motivul pentru care logaritmii apar peste tot în științe este comprimarea ordinelor de mărime: pH, decibeli, magnitudinea cutremurelor, toate în Scări logaritmice. Nu uita nici lecția care explică de ce exponențiala „explodează": Creșterea exponențială.

7. Rețetele de teză, pe scurt

• Studiul complet al unei funcții de gradul al doilea: $a$, $b$, $c$ $\to$ $\Delta$ $\to$ rădăcini $\to$ vârf $\to$ tabel de variație și semn $\to$ grafic.
• Inecuație de gradul al doilea: adu la forma cu zero într-un membru (la înmulțirea cu un număr negativ schimbi sensul), află rădăcinile, aplică regula semnului.
• Domeniu maxim: scrii condițiile (radicand $\ge 0$, numitor $\ne 0$), le rezolvi, le intersectezi.
• Problemă de maxim sau minim: alegi variabila, exprimi mărimea cerută ca funcție de gradul al doilea, verifici semnul lui $a$, calculezi vârful și interpretezi cu unități — metoda din Probleme de maxim și minim în context practic.
• Ecuație exponențială simplă: aduci ambii membri la aceeași bază și egalezi exponenții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Studiul complet al unei funcții afine

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+6$. Determinați zeroul funcției, intersecțiile graficului cu axele, monotonia și semnul; calculați apoi aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

Rezolvare. Coeficienții sunt $a=-2$ și $b=6$.

Zeroul: $-2x+6=0⟺x=3$, deci graficul taie axa $Ox$ în $(3,0)$. Intersecția cu $Oy$: $f(0)=6$, deci punctul $(0,6)$.

Monotonia: $a=-2<0$, deci funcția este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

Semnul: înainte de zerou, funcția are semn contrar lui $a$, deci este pozitivă; după zerou are semnul lui $a$, deci este negativă. Concret: $f(x)>0$ pentru $x<3$, $f(3)=0$, $f(x)<0$ pentru $x>3$.

Aria: triunghiul are catetele pe axe, de lungimi $3$ și $6$, deci $\mathcal{A}=\frac{3\cdot 6}{2}=9$.

Observă că monotonia și semnul sunt lucruri diferite: funcția scade peste tot, dar este pozitivă doar până la $3$.

Exemplul 2 — Studiul complet al unei funcții de gradul al doilea

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. Determinați vârful, intersecțiile cu axele, monotonia, mulțimea valorilor și semnul funcției.

Rezolvare. Avem $a=1$, $b=-4$, $c=3$, deci $\Delta =16-12=4>0$.

Rădăcinile: $x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$, adică $x_1=1$ și $x_2=3$; graficul taie axa $Ox$ în $(1,0)$ și $(3,0)$. Intersecția cu $Oy$: $(0,3)$.

Vârful: $x_V=-\frac{-4}{2}=2$ și $y_V=f(2)=4-8+3=-1$, deci $V(2,-1)$. Axa de simetrie este $x=2$. (Verificare cu formula: $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{4}{4}=-1$. ✓)

Monotonia: $a>0$, deci funcția este descrescătoare pe $(-\infty ,2]$ și crescătoare pe $[2,+\infty )$, cu valoarea minimă $-1$.

Mulțimea valorilor: $\mathrm{Im}f=[-1,+\infty )$.

Semnul: $a>0$ și $\Delta >0$, deci $f(x)>0$ pe $(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$, $f(x)=0$ în $1$ și $3$, iar $f(x)<0$ pe $(1,3)$.

Exemplul 3 — Inecuație de gradul al doilea

Rezolvați inecuația $-x^2+5x-6\ge 0$.

Rezolvare. Coeficientul dominant este negativ; ca să lucrăm mai comod, înmulțim cu $-1$ și schimbăm sensul inegalității:

$$x^2-5x+6\le 0.$$

Rădăcinile trinomului: $\Delta =25-24=1$, deci $x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$, adică $2$ și $3$. Cum acum $a=1>0$, trinomul este negativ între rădăcini și nul în ele. Inegalitatea fiind nestrictă, capetele se includ:

$$x\in [2,3].$$

Verificare rapidă: pentru $x=2,5$ avem $-6,25+12,5-6=0,25\ge 0$. ✓ Pentru $x=0$: $-6<0$, deci $0$ nu e soluție, cum era de așteptat.

Exemplul 4 — Domeniu maxim cu radical și trinom

Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$.

Rezolvare. Condiția de existență a radicalului de ordinul al doilea este ca radicandul să fie nenegativ:

$$x^2-5x+6\ge 0.$$

Trinomul are $\Delta =1$ și rădăcinile $2$ și $3$, iar $a=1>0$, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și nul în ele. Prin urmare

$$D=(-\infty ,2]\cup [3,+\infty ).$$

Observă cum se leagă două lecții: condiția de existență vine de la radical, dar rezolvarea inecuației vine de la funcția de gradul al doilea. Exact acest tip de sinteză se cere la teză.

Exemplul 5 — Exponențială și logaritm într-un context

Numărul de bacterii dintr-o cultură este dat de $N(t)=200\cdot 2^t$, unde $t$ este timpul în ore. a) Câte bacterii sunt la momentul inițial și după $3$ ore? b) După cât timp cultura ajunge la $6400$ de bacterii? c) Scrieți timpul $t$ cu ajutorul unui logaritm.

Rezolvare. a) $N(0)=200\cdot 2^0=200$ de bacterii; $N(3)=200\cdot 8=1600$ de bacterii.

b) Rezolvăm $200\cdot 2^t=6400$, adică $2^t=32=2^5$. Funcția exponențială fiind strict crescătoare (baza $2>1$), din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților: $t=5$ ore.

c) Din $2^t=\frac{N}{200}$, definiția logaritmului dă direct

$$t={\log }_2\frac{N}{200}.$$

Aceasta este relația dintre cele două funcții: exponențiala răspunde la „cât devine după $t$ ore?", logaritmul răspunde la „după cât timp ajunge la valoarea $N$?". Sunt aceeași informație, citită în două sensuri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$. a) Calculați $f(0)$ și $f(1)$. b) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției. c) Rezolvați inecuația $f(x)\le 0$.

Rezolvare. a) $f(0)=5$ și $f(1)=1-6+5=0$. (Faptul că $f(1)=0$ ne spune deja că $1$ este o rădăcină.)

b) $x_V=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3$ și $y_V=f(3)=9-18+5=-4$, deci $V(3,-4)$.

c) $\Delta =36-20=16$, deci $x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$, adică $x_1=1$ și $x_2=5$. Cum $a=1>0$, trinomul este negativ între rădăcini, iar inegalitatea fiind nestrictă capetele se includ:

$$x\in [1,5].$$

La barem se punctează separat calculul lui $\Delta$, rădăcinile, vârful și scrierea corectă a intervalului. Scrie toți pașii, chiar dacă rădăcinile ți se par evidente.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La funcțiile de gradul al doilea, fă de fiecare dată o schiță a parabolei — chiar și una grosolană îți spune imediat dacă răspunsul are sens. La domenii, scrie condițiile înainte de a le rezolva.

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$. Calculați $f(0)$, $f(2)$ și $f(-1)$, apoi determinați $x$ pentru care $f(x)=7$.

2. Determinați zeroul funcției $f(x)=-2x+8$ și coordonatele punctelor în care graficul ei taie axele.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=-3x+1$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$."

4. Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$.

5. Determinați coordonatele vârfului și ecuația axei de simetrie pentru parabola asociată funcției $f(x)=x^2-6x+8$.

6. Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f(x)=x^2-6x+8$ taie axele de coordonate.

7. Determinați mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-1$.

8. Rezolvați inecuația $x^2-x-6<0$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $x^2+x+1=0$ are două soluții reale distincte."

10. Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{3x-12}$.

11. Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$.

12. Calculați: $\lg 1000$, ${\log }_{5}1$, ${\log }_2\frac{1}{4}$ și ${\log }_{9}3$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați ${\log }_{2}8+{\log }_3\frac{1}{9}$. b) Rezolvați ecuația $3^{x-1}=81$.

14. (Problemă aplicată.) Un mic atelier are cheltuieli fixe de $1200$ de lei pe lună și cheltuiește $15$ lei pentru fiecare produs realizat; produsele se vând cu $27$ de lei bucata. Scrieți profitul $P(x)$ ca funcție de numărul $x$ de produse vândute și determinați pragul de rentabilitate (numărul de produse de la care atelierul începe să câștige).

15. (Problemă aplicată.) O minge este aruncată vertical în sus, iar înălțimea ei, în metri, după $t$ secunde, este $h(t)=-5t^2+20t$. a) După cât timp atinge înălțimea maximă și care este aceasta? b) După cât timp revine la sol?

16. (Problemă aplicată.) Dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul de $40$ cm, determinați-l pe cel cu aria maximă și calculați această arie.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-3$. a) Calculați $f(0)$ și $f(3)$. b) Determinați coordonatele vârfului parabolei. c) Rezolvați inecuația $f(x)<0$.

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2mx+m+6$, unde $m$ este un număr real. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care graficul funcției nu intersectează axa $Ox$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care vârful parabolei se află pe axa $Ox$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(0)=-5$, $f(2)=6-5=1$, $f(-1)=-3-5=-8$. Din $3x-5=7$ rezultă $3x=12$, deci $x=4$. (Pentru valoare înlocuiești; pentru argument rezolvi ecuația.)

2. $-2x+8=0⟺x=4$, deci intersecția cu $Ox$ este $(4,0)$; $f(0)=8$, deci intersecția cu $Oy$ este $(0,8)$.

3. Fals. Coeficientul lui $x$ este $a=-3<0$, deci funcția este strict descrescătoare: cu cât $x$ crește, cu atât $f(x)$ scade. De exemplu $f(0)=1$, dar $f(1)=-2$.

4. Zeroul este $x_0=3$, iar $a=2>0$. Prin urmare $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,3)$, $f(3)=0$ și $f(x)>0$ pentru $x\in (3,+\infty )$ — semn contrar lui $a$ înainte de rădăcină, semnul lui $a$ după.

5. $x_V=-\frac{-6}{2}=3$; $y_V=f(3)=9-18+8=-1$. Vârful este $V(3,-1)$, iar axa de simetrie este dreapta $x=3$.

6. Cu $Oy$: $(0,8)$. Cu $Ox$: $\Delta =36-32=4$, deci $x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$, adică $2$ și $4$; punctele sunt $(2,0)$ și $(4,0)$. Observă că $x_V=3$ este exact mijlocul lor.

7. $a=-1<0$, deci funcția are un maxim. $x_V=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=2$ și $y_V=f(2)=-4+8-1=3$. Așadar $\mathrm{Im}f=(-\infty ,3]$, capătul fiind inclus pentru că valoarea $3$ este atinsă în $x=2$.

8. $\Delta =1+24=25$, deci rădăcinile sunt $\frac{1\pm 5}{2}$, adică $-2$ și $3$. Cum $a=1>0$, trinomul este negativ între rădăcini, iar inegalitatea e strictă: $x\in (-2,3)$.

9. Fals. $\Delta =1-4=-3<0$, deci ecuația nu are nicio soluție reală. Grafic: parabola $y=x^2+x+1$ are $a>0$ și $\Delta <0$, deci este în întregime deasupra axei $Ox$ și nu o intersectează.

10. Condiția $3x-12\ge 0$ dă $x\ge 4$, deci $D=[4,+\infty )$. Capătul se include, pentru că $\sqrt{0}=0$ există.

11. Condiția este $x^2-9\ne 0$, adică $x\ne 3$ și $x\ne -3$. Așadar $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$.

12. $\lg 1000=3$ (pentru că $10^3=1000$); ${\log }_{5}1=0$ (orice bază la puterea zero dă $1$); ${\log }_2\frac{1}{4}=-2$ (pentru că $2^{-2}=\frac{1}{4}$); ${\log }_{9}3=\frac{1}{2}$ (pentru că $9^{1/2}=3$). Rezultatul unui logaritm poate fi negativ sau fracționar — asta nu înseamnă că nu există.

13. a) ${\log }_{2}8=3$ și ${\log }_3\frac{1}{9}=-2$, deci suma este $3+(-2)=1$. b) $81=3^4$, deci $3^{x-1}=3^4$ și, funcția exponențială fiind injectivă, $x-1=4$, adică $x=5$.

14. Venitul este $27x$, iar cheltuielile sunt $1200+15x$, deci $P(x)=27x-(1200+15x)=12x-1200$ — o funcție afină crescătoare. Pragul de rentabilitate este zeroul ei: $12x-1200=0$, deci $x=100$ de produse. Verificare: pentru $100$ de produse, venitul este $2700$ de lei și cheltuielile tot $2700$ de lei.

15. a) $a=-5<0$, deci funcția are maxim. $t_V=-\frac{20}{2\cdot (-5)}=2$ secunde, iar $h(2)=-20+40=20$ metri: mingea atinge $20$ m după $2$ secunde. b) $h(t)=0⟺t(-5t+20)=0$, deci $t=0$ (momentul aruncării) sau $t=4$ secunde. Mingea revine la sol după $4$ secunde — exact dublul timpului de urcare, cum arată simetria parabolei.

16. Notăm cu $x$ o latură; cealaltă este $20-x$ (semiperimetrul este $20$). Aria este $\mathcal{A}(x)=x(20-x)=-x^2+20x$, cu $a=-1<0$, deci are maxim în $x_V=-\frac{20}{-2}=10$. Dreptunghiul cu aria maximă este pătratul cu latura de $10$ cm, iar aria maximă este $100$ cm². (Domeniul practic este $x\in (0,20)$, iar $10$ îi aparține.)

17. a) $f(0)=-3$ și $f(3)=9-6-3=0$. b) $x_V=-\frac{-2}{2}=1$, $y_V=f(1)=1-2-3=-4$, deci $V(1,-4)$. c) $\Delta =4+12=16$, rădăcinile sunt $\frac{2\pm 4}{2}$, adică $-1$ și $3$; cum $a>0$, avem $f(x)<0$ pentru $x\in (-1,3)$.

18. Calculăm discriminantul în funcție de $m$: $\Delta =(-2m{)}^2-4\cdot 1\cdot (m+6)=4m^2-4m-24=4(m^2-m-6)$. a) Graficul nu intersectează axa $Ox$ exact când $\Delta <0$, adică $m^2-m-6<0$. Trinomul în $m$ are rădăcinile $\frac{1\pm 5}{2}$, adică $-2$ și $3$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci soluția este $m\in (-2,3)$. b) Vârful se află pe axa $Ox$ exact când $y_V=0$, adică $\Delta =0$: $m^2-m-6=0$, deci $m=-2$ sau $m=3$. În aceste cazuri parabola este tangentă la axă.

De reținut

• Grila de lectură este universală: domeniu, mulțimea valorilor, zerouri, semn, monotonie, extreme. Soluțiile se citesc pe axa $Ox$, iar semnul nu se confundă cu monotonia.
• Funcția afină $f(x)=ax+b$: grafic dreaptă, zerou $x_0=-\frac{b}{a}$, monotonie dată de semnul lui $a$, semn contrar lui $a$ înainte de zerou și semnul lui $a$ după.
• Funcția de gradul al doilea: vârful $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$, ramuri date de semnul lui $a$, număr de intersecții cu $Ox$ dat de semnul lui $\Delta$; semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele.
• Domeniul maxim se obține din condiții: radicand $\ge 0$, numitor $\ne 0$ (radical la numitor: $>0$); condițiile se intersectează.
• Exponențiala și logaritmul sunt funcții inverse: ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$; $a^x$ are domeniul $\mathbb{R}$ și valorile $(0,\infty )$, iar ${\log }_{a}x$ exact invers. Graficele sunt simetrice față de dreapta $y=x$.

Greșeli frecvente

• Semnul confundat cu monotonia. O funcție descrescătoare poate fi pozitivă pe o parte a graficului: $f(x)=-2x+6$ scade peste tot, dar este pozitivă pentru $x<3$. Sunt două întrebări diferite, cu răspunsuri diferite.
• Vârful confundat cu valoarea extremă. $x_V$ este o abscisă (unde se atinge extremul), $y_V$ este valoarea extremă. La întrebarea „care este valoarea minimă?" răspunsul este $y_V$, nu $x_V$.
• Sensul inegalității nemodificat. Când înmulțești o inecuație cu un număr negativ (de exemplu ca să faci $a>0$), schimbi sensul. Este greșeala care transformă un răspuns corect în opusul lui.
• Capetele intervalului greșite. Inegalitate strictă $\Rightarrow$ intervale deschise; nestrictă $\Rightarrow$ rădăcinile se includ. Infinitul se scrie întotdeauna cu paranteză rotundă.
• Logaritm cu argument nepozitiv. ${\log }_{a}0$ și ${\log }_a(-5)$ nu există; în schimb ${\log }_2\frac{1}{8}=-3$ există și este negativ. Negativ nu înseamnă inexistent.

Aplică acasă

1. Fișa celor cinci familii. Pe o singură coală, desenează câte un grafic-tip pentru fiecare familie (dreaptă, parabolă, radical, exponențială, logaritmică) și scrie lângă fiecare domeniul, mulțimea valorilor și monotonia. Este fișa pe care o revezi în ultimele zece minute înainte de teză.

2. Parabola din viața reală. Filmează cu telefonul o minge aruncată în sus și oprește filmul la înălțimea maximă. Măsoară aproximativ durata totală a zborului, împarte-o la doi și compară cu momentul în care mingea pare cea mai sus. Vei regăsi simetria parabolei: urcarea și coborârea durează la fel.

3. Costuri și praguri. Alege un produs pe care l-ai putea vinde (prăjituri, felicitări, tricouri personalizate). Estimează cheltuiala fixă, costul pe bucată și prețul de vânzare, scrie funcția profitului și calculează pragul de rentabilitate. Desenează graficul și marchează pe el punctul de la care începe câștigul.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește tot capitolul de funcții din clasa a IX-a: noțiunea de funcție și lectura grafică, funcția afină, funcția de gradul al doilea, funcția radical și funcțiile obținute prin operații, funcțiile exponențială și logaritmică. Ideea structurantă este că toate familiile se studiază după aceeași grilă — domeniu, valori, zerouri, semn, monotonie, extreme — și că trecerea de la formulă la grafic și înapoi este deprinderea centrală a anului.

Punctele de verificat la elev: (1) distinge valoarea $f(x_0)$ de soluția ecuației $f(x)=m$; (2) calculează corect $\Delta$ și vârful, fără să confunde $x_V$ cu $y_V$; (3) aplică regula semnului trinomului („semnul lui $a$ în afara rădăcinilor"); (4) schimbă sensul inegalității la înmulțirea cu un număr negativ; (5) scrie condițiile de existență înainte de a rezolva un domeniu; (6) folosește definiția logaritmului ca exponent. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă geometric că $\Delta <0$?", „Care este diferența dintre punctul de minim și valoarea minimă?", „De ce ${\log }_{2}0$ nu există?".

La examen, funcția de gradul al doilea este cel mai des întâlnit subiect din acest capitol: calculul unor valori, coordonatele vârfului, rezolvarea unei ecuații sau inecuații, uneori un parametru discutat după semnul lui $\Delta$. Sunt exerciții cu punctaj sigur, dacă tabelul de la secțiunea 4 este știut exact. Semne că elevul a înțeles: schițează singur parabola înainte de a răspunde, verifică rădăcinile prin înlocuire și interpretează rezultatul unei probleme aplicate cu unități de măsură.

Întrebări frecvente

Ce informații pot citi pe graficul unei funcții? Șase: domeniul (proiecția pe $Ox$), mulțimea valorilor (proiecția pe $Oy$), zerourile (unde taie axa $Ox$), semnul (deasupra sau sub axă), monotonia (unde urcă și unde coboară) și extremele (cea mai mare și cea mai mică valoare atinsă).

Cum aflu vârful unei parabole? Cu formulele $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$. În practică, cel mai sigur este să calculezi $x_V$ cu formula și apoi $y_V=f(x_V)$, prin înlocuire directă — eviți astfel o eroare la discriminant.

Când este funcția de gradul al doilea pozitivă pe tot $\mathbb{R}$? Exact atunci când $a>0$ și $\Delta <0$: ramurile sunt în sus, iar parabola nu atinge axa $Ox$. Simetric, funcția este negativă pe tot $\mathbb{R}$ dacă $a<0$ și $\Delta <0$.

Cum determin domeniul maxim de definiție al unei funcții? Scrii condițiile de existență: expresia de sub radicalul de ordinul al doilea trebuie să fie $\ge 0$, iar numitorul trebuie să fie $\ne 0$ (dacă la numitor stă un radical, condiția devine $>0$). Rezolvi fiecare condiție și intersectezi mulțimile obținute.

Ce este de fapt un logaritm? Un exponent. ${\log }_{a}b$ este numărul la care trebuie ridicată baza $a$ ca să obții $b$: ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. De exemplu ${\log }_{2}32=5$, pentru că $2^5=32$. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$, iar argumentul strict pozitiv.

De ce graficul funcției exponențiale nu taie niciodată axa $Ox$? Pentru că $a^x>0$ pentru orice $x$ real: o putere cu bază pozitivă nu poate fi zero sau negativă. Curba se apropie oricât de mult de axă (care îi este asimptotă orizontală), dar nu o atinge. De aceea ecuația $a^x=m$ nu are soluții pentru $m\le 0$.

Cum rezolv grafic o inecuație de forma $f(x)>g(x)$? Desenezi ambele grafice, găsești punctele de intersecție și citești pe axa $Ox$ intervalele pe care graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$. Este aceeași metodă cu cea de la ecuații, doar că răspunsul e un interval, nu un punct.

Ce tipuri de probleme cu funcții se dau la examen? Cel mai des: calculul unor valori ale funcției, coordonatele vârfului, intersecțiile graficului cu axele, rezolvarea unei ecuații sau inecuații de gradul al doilea și probleme de maxim sau minim în context practic. Toate se rezolvă cu tabelul de proprietăți din secțiunea 4.