Ce condiție trebuie să îndeplinească o dreaptă $$d$$ ca să fie perpendiculară pe un plan $$\alpha$$?

să fie perpendiculară pe o singură dreaptă din $$\alpha$$

să fie perpendiculară pe două drepte paralele din $$\alpha$$

să treacă printr-un punct oarecare din $$\alpha$$

Ce trebuie știut din geometria în spațiu?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Perpendicularitate și T3P în spațiu

Cele trei poziții ale dreptelor, cu atenție la cele necoplanare; criteriul care arată că o dreaptă cade perpendicular pe un plan, adică perpendicularitatea pe două drepte concurente din el; teorema celor trei perpendiculare, folosită la distanțe și la unghiuri; noțiunea de proiecție. Peste toate stă obiceiul de a căuta triunghiul dreptunghic potrivit și de a scrie fiecare justificare, nu doar rezultatul.

În spațiu, două drepte pot fi concurente, paralele sau necoplanare — atenție, „nu se intersectează” NU înseamnă automat „paralele”! Cheia capitolului este criteriul de perpendicularitate: o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ dacă e perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan (așa arătăm, de exemplu, că muchia laterală a unui cub e perpendiculară pe bază). De aici pornește teorema celor trei perpendiculare (T3P): dacă $V O ⊥ α$ (perpendiculara) și $O M ⊥ d$ (proiecția, cu $d \subset α$ ), atunci $V M ⊥ d$ (oblica). T3P e vedeta Evaluării Naționale — o folosești pentru distanțe punct–dreaptă și unghiuri diedre. Exemplu: dacă $A B = 6$ cm, $B C ⊥ A B$ în bază și $A A^{'} ⊥$ bază cu $A A^{'} = 8$ cm, atunci distanța de la $A^{'}$ la $B C$ este $A^{'} B = 6^{2} + 8^{2} = 10$ cm.

De reținut

trei poziții ale dreptelor: concurente, paralele, necoplanare
perpendicularitate pe plan: două drepte concurente din el
teorema celor trei perpendiculare leagă perpendiculara, proiecția și oblica

Greșeala tipică

Se justifică perpendicularitatea pe un plan folosind o singură dreaptă din el. Criteriul cere două drepte care se taie, altfel dreapta poate rămâne înclinată față de suprafață.

Exerciții din această mini-lecție

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cum sunt dreptele $A D$ și $C C^{'}$ ?
- a) paralele
- b) concurente
- c) necoplanare
- d) confundate (aceeași dreaptă)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) necoplanare

$A D$ este o muchie a bazei, iar $C C^{'}$ este o muchie verticală de pe fața opusă. Nu au niciun punct comun și nu sunt paralele (una orizontală, una verticală, pe fețe diferite), deci sunt necoplanare.
Ce condiție trebuie să îndeplinească o dreaptă $d$ ca să fie perpendiculară pe un plan $α$ ?
- a) să fie perpendiculară pe o singură dreaptă din $α$
- b) să fie perpendiculară pe două drepte paralele din $α$
- c) să fie perpendiculară pe două drepte concurente din $α$
- d) să treacă printr-un punct oarecare din $α$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) să fie perpendiculară pe două drepte concurente din $α$

Criteriul practic spune că e suficient ca $d$ să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan; atunci ea este automat perpendiculară pe toate dreptele din acel plan.
În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cum sunt dreptele $A A^{'}$ și $B B^{'}$ ?
- a) paralele
- b) concurente
- c) necoplanare
- d) confundate (aceeași dreaptă)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) paralele

$A A^{'}$ și $B B^{'}$ sunt ambele muchii verticale ale cubului, se află în același plan (fața $A B B^{'} A^{'}$ ) și nu se intersectează niciodată, deci sunt paralele.

Întrebări conexe

Ce desen fac primul într-o problemă de geometrie în spațiu?

Corpul din enunț, destul de mare, cu muchiile din spate punctate și cu toate datele trecute pe el. Abia apoi adaugi segmentele ajutătoare. Un desen mic sau înghesuit ascunde tocmai triunghiul de care ai nevoie.

Cum redactez o demonstrație de perpendicularitate la examen?

Numești cele două drepte concurente din plan, justifici pe rând perpendicularitatea față de fiecare și tragi concluzia. Fiecare rând trebuie să aibă motivul lui, luat dintr-o proprietate a figurii. Concluzia fără justificări nu se punctează.

Ce ordine de pași urmez la o problemă cu distanțe în spațiu?

Identifici perpendiculara cerută, o construiești pe desen, cauți triunghiul dreptunghic în care apare și afli laturile lipsă. Calculul vine ultimul. Sărind peste construcție, rămâi fără triunghi și fără rezolvare.

Ce criterii de paralelism trebuie știute pentru examen?

Cel pentru dreaptă și plan, care cere o dreaptă cu aceeași direcție în plan, și cel pentru două plane, care cere două drepte concurente. La amândouă condiția de concurență sau de neincludere este partea cel mai des uitată.

Cât cântărește geometria în spațiu în structura examenului?

Ocupă în general ultima parte a subiectului, unde problemele au mai mulți pași și punctaj pe fiecare. Chiar și primii pași, cei cu identificarea corpului și a elementelor, aduc puncte sigure dacă sunt scriși corect.

Ce greșeli de raționament apar cel mai des în spațiu?

Concluzia că două drepte fără punct comun sunt paralele, folosirea unei singure drepte din plan la criteriul de perpendicularitate și măsurarea unui unghi față de altceva decât proiecția. Toate trei vin din reflexe rămase de la geometria plană.

Oamenii mai întreabă și: recapitulare geometrie în spațiu · ce trebuie știut la geometria în spațiu · drepte și plane pentru examen · perpendicularitate în spațiu recapitulare · pregătire evaluare națională geometrie în spațiu