Recapitulare: geometrie în spațiu — drepte, plane, paralelism, perpendicularitate și T3P

Gândește-te la camera în care înveți acum: podeaua și tavanul sunt două plane paralele, muchia dintre doi pereți este o dreaptă, iar colțul de sus al camerei este un punct în care se întâlnesc trei muchii. Toată geometria în spațiu pe care ai învățat-o în clasa a VIII-a se ascunde exact aici, între pereți, mobilă și grinzi. În această recapitulare punem la un loc pozițiile relative ale dreptelor și planelor, paralelismul, perpendicularitatea, proiecțiile și vedeta acestui capitol la Evaluarea Națională — teorema celor trei perpendiculare (T3P). Scopul e ca, la examen, când vezi un cub sau o piramidă, să știi imediat ce dreaptă e perpendiculară pe ce plan și cum calculezi un unghi sau o distanță.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici pozițiile relative ale punctelor, dreptelor și planelor în spațiu (paralele, concurente, necoplanare).
• Vei ști să recunoști și să justifici paralelismul dintre drepte, dintre o dreaptă și un plan și dintre două plane.
• Vei ști să aplici criteriul de perpendicularitate a unei drepte pe un plan și să construiești proiecția unui punct, a unui segment și a unei drepte pe un plan.
• Vei ști să aplici teorema celor trei perpendiculare într-o configurație spațială și să recunoști când se folosește.
• Vei ști să determini unghiul dintre o dreaptă și un plan și să identifici unghiul diedru într-un corp geometric.

Hai să descoperim împreună

Această lecție adună la un loc ideile din lecțiile Puncte, drepte și plane în spațiu, Poziții relative a două drepte, Dreaptă paralelă cu un plan, Drepte perpendiculare și dreapta perpendiculară pe un plan, Proiecții pe un plan, Unghiul dintre o dreaptă și un plan, Unghiul diedru și Teorema celor trei perpendiculare. Nu re-predau totul de la zero — recapitulăm cheile și le legăm între ele așa cum îți trebuie la examen.

1. Puncte, drepte și plane: reguli de bază

În spațiu lucrăm cu trei tipuri de obiecte: puncte (notate cu litere mari $A$, $B$, $C$), drepte (litere mici $a$, $b$ sau prin două puncte, $AB$) și plane (litere grecești $\alpha$, $\beta$ sau prin trei puncte necoliniare, $(ABC)$).

Reține cele patru determinări fundamentale:

• O dreaptă este determinată de două puncte distincte.
• Un plan este determinat de: trei puncte necoliniare; SAU o dreaptă și un punct exterior ei; SAU două drepte concurente; SAU două drepte paralele.
• Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt într-un plan, atunci toată dreapta este în acel plan.
• Două plane distincte care au un punct comun au o dreaptă comună (se numesc plane secante).

Cubul de mai sus va fi „laboratorul" nostru. Pe el testăm rapid orice noțiune.

2. Poziții relative a două drepte în spațiu

Două drepte din spațiu pot fi:

• Coplanare (există un plan care le conține pe ambele) — și atunci sunt fie concurente (au un punct comun), fie paralele (nu au niciun punct comun, dar sunt în același plan).
• Necoplanare (nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă). Se mai numesc drepte oarecare sau „strâmbe". Ele nu se intersectează și nu sunt paralele.

Atenție la capcana clasică: în plan, „nu se intersectează" înseamnă „paralele". În spațiu, NU este așa! Două drepte care nu se intersectează pot fi necoplanare.

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:

• $AB$ și $DC$ sunt paralele (laturi opuse ale unei fețe).
• $AB$ și $BC$ sunt concurente (se întâlnesc în $B$).
• $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt necoplanare: nu au punct comun și nu sunt paralele (una e orizontală în bază, cealaltă verticală, pe fețe diferite).

3. Unghiul a două drepte necoplanare

Dacă două drepte $a$ și $b$ sunt necoplanare, „unghiul dintre ele" se definește translatând una dintre ele până se intersectează cu cealaltă (sau ducem prin același punct câte o paralelă la fiecare). Unghiul a două drepte este întotdeauna un unghi cu măsura în intervalul $[0°,90°]$.

Exemplu în cub: unghiul dintre $AB$ și $C{C}^{\prime }$. Cum $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, iar $B{B}^{\prime }\perp AB$ (muchii ale unei fețe pătrate care se întâlnesc), rezultă că unghiul dintre $AB$ și $C{C}^{\prime }$ este $90°$.

4. Paralelismul în spațiu — cele trei criterii

a) Dreaptă paralelă cu un plan. O dreaptă $d$ este paralelă cu un plan $\alpha$ dacă nu are niciun punct comun cu el. Criteriul de recunoaștere: dacă $d$ este paralelă cu o dreaptă $d^{\prime }$ conținută în planul $\alpha$ (și $d$ nu e în $\alpha$), atunci $d\parallel \alpha$.

În cub: muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul bazei $(ABC)$, pentru că $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, iar $AB\subset (ABC)$.

b) Plane paralele. Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Criteriu: dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan, cele două plane sunt paralele. În cub, baza $(ABC)$ și fața de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ sunt plane paralele.

c) Proprietăți utile la examen:

• Dacă un plan taie două plane paralele, dreptele de intersecție sunt paralele.
• Două plane paralele sunt „tăiate" la aceeași distanță peste tot (de aceea secțiunile paralele cu baza dintr-o prismă sunt congruente cu baza).

5. Perpendicularitatea unei drepte pe un plan

Aceasta este cheia întregului capitol.

Definiție. O dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $\alpha$ dacă este perpendiculară pe toate dreptele din plan care trec prin piciorul ei.

Criteriul practic (foarte important!). Nu verificăm „toate" dreptele. Este suficient:

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $\alpha$ dacă și numai dacă $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\alpha$.

Consecințe pe care le folosești mereu:

• Într-un cub sau într-o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor (de exemplu $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$), pentru că $A{A}^{\prime }\perp AB$ și $A{A}^{\prime }\perp AD$, două drepte concurente din bază.
• Într-o piramidă regulată, înălțimea $VO$ este perpendiculară pe planul bazei ($O$ = centrul bazei).
• Dacă $d\perp \alpha$, atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$, chiar dacă acea dreaptă nu trece prin piciorul lui $d$.

6. Plane perpendiculare

Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. În cub, orice față laterală este perpendiculară pe bază, pentru că fața laterală conține muchia verticală ($A{A}^{\prime }\perp (ABC)$).

7. Proiecția pe un plan

Proiecția unui punct $M$ pe un plan $\alpha$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe $\alpha$; o notăm $M^{\prime }$ (sau ${\text{pr}}_{\alpha }M$).

Proiecția unui segment $[AB]$ pe $\alpha$ este segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ care unește proiecțiile capetelor. Reține două lucruri:

• Proiecția unui segment este mai scurtă sau egală cu segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$. Egalitatea are loc doar când segmentul e paralel cu planul (sau conținut în el).
• Proiecția unei drepte (care nu e perpendiculară pe plan) este tot o dreaptă.

În cub, proiecția diagonalei spațiale $A^{\prime }C$ pe planul bazei $(ABC)$ este diagonala bazei $AC$: proiecția lui $A^{\prime }$ pe bază este $A$ (deoarece $A^{\prime }A\perp$ bază), iar proiecția lui $C$ este chiar $C$ (fiind deja în bază). Deci proiecția segmentului $A^{\prime }C$ pe bază este $AC$.

8. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Definiție. Unghiul dintre o dreaptă (oblică) $d$ și un plan $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.

Rețeta în trei pași, valabilă la orice problemă de examen:

1. Găsești piciorul perpendicularei din vârful oblicei pe plan (proiecția).
2. Unești proiecția cu punctul în care oblica „intră" în plan — obții proiecția dreptei.
3. Unghiul căutat este unghiul dintre oblică și proiecția ei; îl calculezi într-un triunghi dreptunghic cu $\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$ (trigonometria din clasa a VII-a).

Exemplu în cub de muchie $a$: unghiul dintre diagonala spațială $A^{\prime }C$ și baza $(ABC)$. Proiecția lui $A^{\prime }C$ pe bază este $AC$, deci unghiul este $\widehat{A^{\prime }CA}$. În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AC$ (drept în $A$, pentru că $A^{\prime }A\perp$ bază, deci $A^{\prime }A\perp AC$): $$\mathrm{tg}(\widehat{A^{\prime }CA})=\frac{A^{\prime }A}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Unghiul are tangenta $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (aproximativ $35°$).

9. Unghiul diedru

Un unghi diedru este figura formată de două semiplane care pornesc din aceeași dreaptă (muchia diedrului). Măsura lui se citește pe secțiunea plană perpendiculară pe muchie: din același punct al muchiei duci în fiecare semiplan câte o perpendiculară pe muchie; unghiul dintre cele două perpendiculare este măsura diedrului.

La o piramidă regulată, unghiul diedru dintre o față laterală și bază se măsoară cu ajutorul apotemelor: din centrul bazei $O$ duci apotema bazei $OM\perp BC$ ($M$ mijlocul laturii $BC$), iar $VM$ este apotema piramidei. Unghiul $\widehat{VMO}$ este unghiul diedru dintre fața laterală și bază.

10. Teorema celor trei perpendiculare (T3P) — steaua capitolului

Aceasta apare aproape sigur la Evaluarea Națională, într-o problemă de geometrie în spațiu.

Teorema celor trei perpendiculare. Fie un plan $\alpha$, o dreaptă $d\subset \alpha$ și un punct $V$ exterior planului. Notăm cu $O$ proiecția lui $V$ pe $\alpha$ (deci $VO\perp \alpha$). Dacă din $O$ ducem $OM\perp d$ (cu $M\in d$), atunci și $VM\perp d$.

Pe scurt: perpendiculara $VO$, proiecția $OM$ perpendiculară pe dreapta $d$ din plan $\Rightarrow$ oblica $VM$ este și ea perpendiculară pe $d$. „Cele trei perpendiculare" sunt: $VO\perp \alpha$, $OM\perp d$ și $VM\perp d$.

De ce funcționează (justificare pas cu pas):

1. $VO\perp \alpha$, deci $VO\perp d$ (fiindcă $d\subset \alpha$).
2. Prin construcție $OM\perp d$.
3. Din 1 și 2, $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente ($VO$ și $OM$) din planul $(VOM)$, deci $d\perp (VOM)$.
4. Cum $VM\subset (VOM)$, rezultă $VM\perp d$.

La ce o folosești: ca să găsești distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu (segmentul $VM$) sau ca să identifici corect un unghi diedru. Când vezi „distanța de la vârf la o dreaptă a bazei" sau „unghiul dintre o față și bază", gândește imediat: T3P.

Reciproca T3P este la fel de utilă: dacă $VM\perp d$ și $VO\perp \alpha$, atunci $OM\perp d$. O folosești ca să demonstrezi că un segment din bază e perpendicular pe o dreaptă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Poziții relative în cub

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește poziția relativă a perechilor de drepte: (a) $AD$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$; (b) $AC$ și $BD$; (c) $AB$ și $D{D}^{\prime }$.

Rezolvare. (a) $AD\parallel BC$ (laturi opuse ale bazei) și $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (muchii paralele ale cubului), deci $AD\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ — drepte paralele. (b) $AC$ și $BD$ sunt diagonalele feței $ABCD$; ele se taie în centrul feței, deci sunt concurente (și perpendiculare, fiind diagonalele unui pătrat). (c) $AB$ este în baza de jos, $D{D}^{\prime }$ este muchie verticală. Nu au punct comun (nu se ating) și nu sunt paralele (una orizontală, una verticală). Sunt necoplanare.

Exemplul 2 — Perpendiculară pe plan

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că $BD\perp A{A}^{\prime }$ și că $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Rezolvare. $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ (muchie laterală a cubului, perpendiculară pe bază), deci $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe orice dreaptă din bază, în particular pe $BD$. Așadar $BD\perp A{A}^{\prime }$. În baza pătrată, diagonalele sunt perpendiculare: $BD\perp AC$. Acum $BD$ este perpendiculară pe două drepte concurente din planul $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ — anume $AC$ și $A{A}^{\prime }$ (care se întâlnesc în $A$). Conform criteriului, $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Exemplul 3 — Unghiul unei fețe-diagonale cu baza (rezultat frumos)

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $a$, determină măsura unghiului dintre diagonala feței laterale $A{B}^{\prime }$ și planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare. Proiecția lui $B^{\prime }$ pe bază este $B$ (pentru că $B^{\prime }B\perp$ bază). Deci proiecția dreptei $A{B}^{\prime }$ pe planul $(ABC)$ este $AB$. Unghiul căutat este $\widehat{B^{\prime }AB}$. În triunghiul dreptunghic $AB{B}^{\prime }$ (drept în $B$): $$\mathrm{tg}(\widehat{B^{\prime }AB})=\frac{B{B}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{B^{\prime }AB}=45°.$$ Într-un cub, diagonala oricărei fețe laterale face cu baza un unghi de $45°$. E un rezultat care merită memorat.

Exemplul 4 — Aplicație directă a T3P (distanță)

Enunț. Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $AB=3$ cm și muchia laterală $A{A}^{\prime }=4$ cm. Calculează distanța de la vârful $A^{\prime }$ la dreapta $BC$.

Rezolvare. Baza $ABCD$ este dreptunghi, deci $AB\perp BC$. Muchia $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, deci $A^{\prime }A\perp$ bază, iar $A$ este proiecția lui $A^{\prime }$ pe bază. Avem: perpendiculara $A^{\prime }A\perp (ABC)$ și, în bază, $AB\perp BC$. Conform teoremei celor trei perpendiculare, oblica $A^{\prime }B\perp BC$. Prin urmare, distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BC$ este lungimea segmentului $A^{\prime }B$. În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AB$ (drept în $A$): $$A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ cm}.$$ Distanța cerută este $5$ cm.

Exemplul 5 — Unghiul diedru la o piramidă regulată

Enunț. O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $16$ cm și înălțimea $VO=6$ cm ($O$ = centrul bazei). Determină tangenta unghiului diedru format de o față laterală cu baza.

Rezolvare. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$. Apotema bazei este $OM=\frac{\text{latura}}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm (distanța de la centru la mijlocul laturii, într-un pătrat). Deoarece $OM\perp BC$ și $VO\perp$ bază, prin T3P avem $VM\perp BC$. Deci unghiul diedru dintre fața $(VBC)$ și bază este $\widehat{VMO}$. În triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$): $$\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$ De asemenea, apotema piramidei este $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm. Tangenta unghiului diedru este $\frac{3}{4}$.

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională (mai multe subpuncte)

Enunț. Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia de $6$ cm. (a) Calculează lungimea diagonalei $A^{\prime }C$. (b) Arată că $BD\perp A^{\prime }C$. (c) Calculează tangenta unghiului dintre $A^{\prime }C$ și baza $(ABC)$.

Rezolvare. (a) Diagonala spațială a unui cub de muchie $a$ este $a\sqrt{3}$. Deci $A^{\prime }C=6\sqrt{3}$ cm. (b) În baza pătrată, $BD\perp AC$. Din $A{A}^{\prime }\perp$ bază rezultă $BD\perp A{A}^{\prime }$. Așadar $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (două drepte concurente). Cum $A^{\prime }C\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, obținem $BD\perp A^{\prime }C$. (c) Proiecția lui $A^{\prime }C$ pe bază este $AC=6\sqrt{2}$. În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AC$ (drept în $A$): $$\mathrm{tg}(\widehat{A^{\prime }CA})=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură acolo unde e cerută. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu; ultimele sunt de tip examen.

1. Adevărat sau fals, cu justificare: „Două drepte din spațiu care nu se intersectează sunt paralele."

2. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, precizează poziția relativă a perechilor: (a) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $DC$; (b) $A{A}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$; (c) $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

3. Completează: „Dacă o dreaptă este perpendiculară pe ______ drepte ______ dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan."

4. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, care este proiecția vârfului $C^{\prime }$ pe planul bazei $(ABC)$? Dar proiecția segmentului $[A^{\prime }{C}^{\prime }]$ pe aceeași bază?

5. Adevărat sau fals, cu justificare: „Proiecția unui segment pe un plan poate fi mai lungă decât segmentul."

6. Enunță teorema celor trei perpendiculare completând: „$VO\perp \alpha$, $O\in \alpha$; dacă $OM\perp d$ (cu $d\subset \alpha$, $M\in d$), atunci ______."

7. Un paralelipiped dreptunghic are $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=6$ cm. Folosind T3P, calculează distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BC$.

8. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $a$, arată că muchia $D{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $(ABC)$ și precizează unghiul dintre $D{D}^{\prime }$ și $AB$.

9. O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $10$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează apotema piramidei și tangenta unghiului diedru dintre o față laterală și bază.

10. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un cub, muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul bazei $(ABC)$."

11. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ de muchie $8$ cm, calculează tangenta unghiului dintre diagonala spațială $A^{\prime }C$ și baza $(ABC)$.

12. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $18$ cm și înălțimea $VO=12$ cm. Calculează apotema bazei $OM$ și apotema piramidei $VM$.

13. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, justifică de ce planul $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ este perpendicular pe baza $(ABC)$.

14. (Tip Evaluare Națională) Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $AB=12$ cm, $BC=5$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm. (a) Calculează diagonala bazei $BD$. (b) Calculează diagonala paralelipipedului $A^{\prime }C$. (c) Calculează, folosind T3P, distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BC$.

15. (Tip Evaluare Națională) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $16$ cm și înălțimea $VO=6$ cm. (a) Calculează apotema piramidei. (b) Calculează, cu T3P, distanța de la $V$ la dreapta $BC$. (c) Determină tangenta unghiului dintre muchia laterală $VA$ și planul bazei.

16. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $\alpha$, atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$, chiar dacă acea dreaptă nu trece prin piciorul perpendicularei."

17. În cubul de muchie $a$, care este unghiul dintre diagonala unei fețe laterale și baza cubului? Justifică pe scurt.

18. (Raționament) Explică, în 2–3 rânduri, de ce la o piramidă regulată înălțimea $VO$ este perpendiculară pe apotema bazei $OM$, iar apoi de ce $VM\perp BC$.

Răspunsuri și explicații

1. Fals. În spațiu, dreptele care nu se intersectează pot fi și necoplanare (nu doar paralele). Paralelismul cere, în plus, ca dreptele să fie coplanare. Exemplu: $AB$ și $C{C}^{\prime }$ în cub.

2. (a) $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel DC$ — paralele ($A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB\parallel DC$). (b) $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ — paralele (muchii verticale ale cubului). (c) $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ — necoplanare (nu se ating și nu sunt paralele; $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, iar $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$).

3. „...perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan." (Criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan.)

4. Proiecția lui $C^{\prime }$ pe bază este $C$ (deoarece $C^{\prime }C\perp$ bază). Proiecția lui $A^{\prime }$ este $A$, a lui $C^{\prime }$ este $C$, deci proiecția segmentului $[A^{\prime }{C}^{\prime }]$ pe baza $(ABC)$ este $[AC]$, diagonala bazei.

5. Fals. Proiecția unui segment este întotdeauna mai scurtă sau egală cu segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$. Egalitatea are loc doar când segmentul este paralel cu planul (sau conținut în el).

6. „...atunci $VM\perp d$." (Concluzia teoremei celor trei perpendiculare.)

7. $AB\perp BC$ în bază și $A^{\prime }A\perp$ bază; prin T3P, $A^{\prime }B\perp BC$, deci distanța este $A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm.

8. $D{D}^{\prime }\perp DA$ și $D{D}^{\prime }\perp DC$ (muchii ale unor fețe pătrate care se întâlnesc în $D$), iar $DA$ și $DC$ sunt concurente în bază; deci $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$. Cum $D{D}^{\prime }\perp$ bază, este perpendiculară pe orice dreaptă din bază, deci și pe $AB$: unghiul dintre $D{D}^{\prime }$ și $AB$ este $90°$.

9. Apotema bazei $OM=10/2=5$ cm. Apotema piramidei $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. Tangenta diedrului: $\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}=\frac{12}{5}$.

10. Adevărat. $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ și $AB\subset (ABC)$, iar $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nu este în bază; conform criteriului, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$.

11. Proiecția lui $A^{\prime }C$ pe bază este $AC=8\sqrt{2}$. În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AC$: $\mathrm{tg}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{8}{8\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

12. Apotema bazei $OM=18/2=9$ cm. Apotema piramidei $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.

13. Planul $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ conține muchia $A{A}^{\prime }$, iar $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$. Un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan, deci $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABC)$.

14. (a) În dreptunghiul $ABCD$, triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ cm și $AD=BC=5$ cm; deci $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. (b) Diagonala paralelipipedului: $A^{\prime }C=\sqrt{A{C}^2+A{A}^{\prime 2}}$, unde $AC=BD=13$; deci $A^{\prime }C=\sqrt{13^2+8^2}=\sqrt{169+64}=\sqrt{233}$ cm. (c) $AB\perp BC$ și $A^{\prime }A\perp$ bază $\Rightarrow$ (T3P) $A^{\prime }B\perp BC$; distanța $=A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$ cm.

15. (a) $OM=16/2=8$; $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm. (b) $OM\perp BC$, $VO\perp$ bază $\Rightarrow$ (T3P) $VM\perp BC$, deci distanța de la $V$ la $BC$ este $VM=10$ cm. (c) $OA$ = jumătate din diagonala bazei $=\frac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$; în triunghiul $VOA$: $\mathrm{tg}(\widehat{VAO})=\frac{VO}{OA}=\frac{6}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}$.

16. Adevărat. Prin definiție și consecință, dacă $d\perp \alpha$, atunci $d$ formează unghi drept cu orice dreaptă a planului — și cu cele care nu trec prin piciorul perpendicularei, pentru că le putem translata printr-o paralelă ce trece prin picior, fără a schimba unghiul.

17. Unghiul este $45°$. Diagonala feței laterale (ex. $A{B}^{\prime }$) se proiectează pe bază în muchia $AB$, iar în triunghiul dreptunghic $AB{B}^{\prime }$ avem $\mathrm{tg}=B{B}^{\prime }/AB=a/a=1$, deci $45°$.

18. La o piramidă regulată, vârful se proiectează în centrul $O$ al bazei, deci $VO\perp$ planul bazei; atunci $VO$ e perpendiculară pe orice dreaptă din bază, în special pe apotema bazei $OM$. Apoi, cum $OM\perp BC$ prin construcție și $VO\perp$ bază, teorema celor trei perpendiculare dă $VM\perp BC$.

De reținut

• Poziții relative a două drepte în spațiu: concurente, paralele (ambele coplanare) sau necoplanare. „Nu se intersectează" NU înseamnă „paralele" în spațiu.
• Criteriul dreaptă ⊥ plan: o dreaptă e perpendiculară pe un plan dacă e perpendiculară pe două drepte concurente din plan. De aici: muchiile laterale ⊥ bază, înălțimea piramidei ⊥ bază.
• Proiecția unui segment pe un plan e mai scurtă sau egală cu segmentul; unghiul dreaptă–plan = unghiul dintre dreaptă și proiecția ei, calculat într-un triunghi dreptunghic.
• Teorema celor trei perpendiculare (T3P): dacă $VO\perp \alpha$ și $OM\perp d$ (cu $d\subset \alpha$), atunci $VM\perp d$. O folosești pentru distanțe punct–dreaptă și pentru unghiuri diedre.
• Formule-cheie de sprijin: diagonala feței pătrate $a\sqrt{2}$, diagonala cubului $a\sqrt{3}$; apotema bazei unui pătrat = jumătate din latură; apotema piramidei $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}$.

Greșeli frecvente

• Confunzi drepte necoplanare cu drepte paralele. Dacă două drepte nu se intersectează, verifică întâi dacă sunt în același plan. Dacă nu, sunt necoplanare, nu paralele.
• Aplici T3P „pe dos". Ordinea corectă: mai întâi perpendiculara pe plan ($VO$), apoi perpendiculara din picior pe dreaptă ($OM\perp d$), și abia atunci concluzia $VM\perp d$. Nu porni de la oblică.
• Greșești proiecția. Proiecția unui punct e piciorul perpendicularei pe plan, nu „umbra oblică". Verifică mereu că segmentul de proiecție este chiar perpendicular pe plan.
• Uiți că unghiul dreaptă–plan se calculează cu proiecția. Nu lua unghiul dintre oblică și o muchie oarecare; ia-l între oblică și proiecția ei, într-un triunghi dreptunghic.

Aplică acasă

1. Camera ta ca laborator de geometrie. Alege un colț al camerei unde se întâlnesc doi pereți și podeaua. Identifică: o pereche de drepte paralele, o pereche de drepte concurente și o pereche de drepte necoplanare (de exemplu muchia de jos a unui perete și muchia verticală a peretelui opus). Notează-le și explică de ce sunt necoplanare.

2. Umbra la prânz (proiecție și unghi dreaptă–plan). Într-o zi însorită, înfige vertical un băț (sau ține un creion drept) și măsoară lungimea bățului și lungimea umbrei pe sol. Umbra este proiecția bățului pe planul solului. Calculează $\mathrm{tg}$ al unghiului dintre o „oblică" imaginară (de la vârful umbrei la vârful bățului) și sol, folosind $\mathrm{tg}=\frac{\text{ıˆna˘lțime ba˘ț}}{\text{lungime umbra˘}}$.

3. Piramida de acasă. Construiește din carton o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei $8$ cm și înălțimea $3$ cm. Calculează apotema bazei ($4$ cm), apotema piramidei ($VM=\sqrt{9+16}=5$ cm) și tangenta unghiului diedru dintre o față și bază ($3/4$). Verifică prin măsurare că apotema piramidei chiar are $5$ cm.

Pentru părinți și profesori

Geometria în spațiu este, pentru mulți elevi, partea cea mai grea a Evaluării Naționale, pentru că cere „vederea în spațiu" pe o foaie plană. Cel mai mare ajutor pe care îl puteți da este să lucrați cu obiecte reale: o cutie (paralelipiped), un zar (cub), un cort sau un con din hârtie. Puneți elevul să arate cu degetul dreapta perpendiculară pe un plan, proiecția unui vârf pe podea și segmentul care măsoară o distanță.

Întrebări de verificare care arată dacă a înțeles cu adevărat:

• „Arată-mi două muchii necoplanare pe această cutie. De ce nu sunt paralele?"
• „Care este proiecția acestui colț de sus pe masă?"
• „Când folosești teorema celor trei perpendiculare? Spune-mi ordinea celor trei perpendiculare."
• „Cum calculezi unghiul dintre o muchie oblică și podea?"

La Evaluarea Națională, geometria în spațiu apare de regulă în Subiectul al III-lea, într-o problemă cu un corp geometric (prismă, cub, paralelipiped sau piramidă) cu mai multe subpuncte care cresc în dificultate: calcule de lungimi (diagonale), o justificare de perpendicularitate, o distanță obținută cu T3P și un unghi (dreaptă–plan sau diedru). Redactarea contează la punctaj: fiecare afirmație trebuie justificată („din $A{A}^{\prime }\perp$ bază rezultă...", „prin T3P obținem..."). Încurajați elevul să scrie complet, nu doar rezultatul.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă drepte necoplanare la clasa a 8-a? Sunt două drepte pentru care nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă. Ele nu se intersectează și nici nu sunt paralele. Într-un cub, o muchie de jos și o muchie verticală de pe fața opusă sunt necoplanare.

Cum aplic teorema celor trei perpendiculare la Evaluarea Națională? Identifici perpendiculara pe plan (de obicei înălțimea corpului), apoi din piciorul ei duci o perpendiculară pe dreapta din plan care te interesează; teorema îți garantează că oblica de la vârf la acel picior este și ea perpendiculară pe dreaptă. Astfel obții rapid distanțe și unghiuri diedre.

Când sunt două plane perpendiculare în spațiu? Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. De exemplu, orice față laterală a unui cub este perpendiculară pe bază, pentru că fața conține o muchie verticală, iar aceasta e perpendiculară pe planul bazei.

Cum calculez unghiul dintre o dreaptă și un plan? Găsești proiecția dreptei pe plan (unind piciorul perpendicularei din vârf cu punctul de intrare în plan), apoi calculezi unghiul dintre dreaptă și proiecția ei într-un triunghi dreptunghic, folosind $\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$ din clasa a VII-a.

Ce este proiecția unui segment pe un plan? Este segmentul care unește proiecțiile capetelor pe plan; poți să-l vezi ca „umbra" segmentului. Proiecția este întotdeauna mai scurtă sau egală cu segmentul original și devine egală doar când segmentul e paralel cu planul (sau conținut în el).

De ce diagonala unei fețe de cub face 45° cu baza? Pentru că proiecția ei pe bază este o muchie a bazei, iar în triunghiul dreptunghic format cateta verticală (muchia) este egală cu cateta orizontală (muchia bazei); tangenta unghiului este $a/a=1$, deci unghiul este $45°$.

Ce formule de geometrie în spațiu trebuie să știu sigur pentru examen? Diagonala feței pătrate $a\sqrt{2}$, diagonala cubului $a\sqrt{3}$, diagonala paralelipipedului $\sqrt{L^2+l^2+h^2}$, apotema piramidei $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}$ și criteriul perpendicularității dreaptă–plan. La acestea adaugi teorema lui Pitagora și trigonometria din triunghiul dreptunghic.

Care e diferența dintre unghiul diedru și unghiul dintre o dreaptă și un plan? Unghiul diedru se formează între două plane și se măsoară pe o secțiune perpendiculară pe muchia lor comună. Unghiul dintre o dreaptă și un plan se formează între o dreaptă și un plan și se măsoară între dreaptă și proiecția ei pe plan. Ambele se calculează, până la urmă, într-un triunghi dreptunghic.