Cum leg mulțimile de divizibilitate?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mulțimi și divizibilitate integrate

Ideea-cheie: o mulțime de numere poate fi definită printr-o proprietate de divizibilitate, de exemplu $D_{10}=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 10\}=\{1,2,5,10\}$. Când intersectăm două astfel de mulțimi de divizori, $D_a\cap D_b$ este chiar mulțimea divizorilor comuni, iar cel mai mare element al ei este exact $(a,b)$, adică c.m.m.d.c.

Calculul se face rapid prin descompunerea în factori primi: c.m.m.d.c. = factorii comuni, la puterea cea mai mică; c.m.m.m.c. = factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare. Verificarea de aur este $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$.

Exemplu: $D_{10}=\{1,2,5,10\}$, $D_{15}=\{1,3,5,15\}$, deci $D_{10}\cap D_{15}=\{1,5\}$, iar cel mai mare element, $5$, este $(10,15)$. Verificare: $10=2\cdot 5$, $15=3\cdot 5$, $(10,15)=5$, $[10,15]=30$, și $5\cdot 30=150=10\cdot 15$.

De reținut

• divizorii comuni = partea comună a celor două mulțimi de divizori
• cmmdc: factorii comuni la puterea cea mai mică; cmmmc: toți factorii la puterea cea mai mare
• verificare: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$

Greșeala tipică

Se iau la multiplul comun doar factorii care apar la ambele numere, ca la divizor; acolo intră toate bazele întâlnite, altfel rezultatul iese prea mic și nu mai este multiplu al fiecărui număr.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 40\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 64\}$. Care este cel mai mare element din $A\cap B$?

   • a) $8$
   • b) $4$
   • c) $16$
   • d) $40$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $8$

   $A=D_{40}=\{1,2,4,5,8,10,20,40\}$ și $B=D_{64}=\{1,2,4,8,16,32,64\}$, deci $A\cap B=\{1,2,4,8\}$, cu cel mai mare element $8$. Verificare prin factori primi: $40=2^3\cdot 5$, $64=2^6$; singurul factor comun este $2$, la puterea cea mai mică, $2^3=8$, deci $(40,64)=8$, exact cel mai mare element din intersecție.

2. O florăreasă are $45$ de garoafe și $75$ de trandafiri și vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fiecare buchet având același număr de garoafe și același număr de trandafiri. Care este numărul maxim de buchete pe care le poate face?

   • a) $15$
   • b) $3$
   • c) $5$
   • d) $25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $15$

   Cuvântul-cheie „maxim de grupuri egale care folosesc toate florile” înseamnă c.m.m.d.c. Descompunem: $45=3^2\cdot 5$ și $75=3\cdot 5^2$. Factorii comuni sunt $3$ și $5$, la puterea cea mai mică: $(45,75)=3\cdot 5=15$. Deci se pot face cel mult 15 buchete, fiecare cu $45:15=3$ garoafe și $75:15=5$ trandafiri.

3. Fie $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 60\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 100\}$. Care este cel mai mare element din $A\cap B$?

   • a) $20$
   • b) $10$
   • c) $30$
   • d) $50$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $20$

   $A=D_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ și $B=D_{100}=\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}$, deci $A\cap B=\{1,2,4,5,10,20\}$, cu cel mai mare element $20$. Verificare prin factori primi: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, $100=2^2\cdot 5^2$; factorii comuni sunt $2^2$ și $5$, deci $(60,100)=4\cdot 5=20$. Varianta b) este un divizor comun, dar nu cel mai mare; c) este divizor doar al lui $60$, iar d) este divizor doar al lui $100$ — niciunul nu este comun celor două mulțimi.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: mulțimea divizorilor și cmmdc · recapitulare mulțimi și divizibilitate · divizori comuni prin intersecție · cmmdc și cmmmc pentru examen