Recapitulare integrată: mulțimi și divizibilitate

Ai parcurs deja zeci de lecții despre mulțimi și despre divizibilitatea numerelor naturale, iar acum a sosit momentul să le legi pe toate într-un singur fir limpede. Această recapitulare integrată pentru Evaluarea Națională la clasa a VI-a îți arată cum se întâlnesc, în aceeași problemă, reuniunea și intersecția mulțimilor cu c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Vei lucra exact pe tipul de exerciții care apar la examen, vei vedea raționamentul povestit pas cu pas și vei învăța să eviți greșelile care fură puncte. Respiră adânc: nu înveți nimic nou, doar pui ordine și viteză în ceea ce știi deja.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi exerciții tip examen care combină operații cu mulțimi (reuniune, intersecție, diferență) cu divizibilitatea în ℕ.
• Vei ști să descompui rapid un număr în produs de factori primi și să afli din el c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
• Vei ști să folosești criteriile de divizibilitate (cu 2, 3, 5, 9, 10) pentru a verifica și a elimina răspunsuri greșite.
• Vei ști să transpui o problemă practică (cutii, rânduri, intervale de timp) în limbaj de divizibilitate.
• Vei ști să recunoști și să eviți greșelile frecvente la mulțimi și la divizibilitate.

Hai să descoperim împreună

Înainte de a rezolva exerciții, hai să strângem într-un loc toate uneltele de care ai nevoie. Gândește-te la această secțiune ca la „trusa de instrumente" pe care o așezi pe masă înainte de examen. Le luăm pe rând, cu calm.

1. Mulțimile: limbaj și operații

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate, numite elemente. La examen lucrăm aproape mereu cu mulțimi de numere. O mulțime se poate scrie în două feluri:

• prin enumerarea elementelor: $A=\{1,2,3,6\}$;
• printr-o proprietate comună: $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ divide }6\}$ (se citește „mulțimea numerelor naturale $x$ care divid pe 6").

Reține cele trei semne care apar tot timpul:

• $x\in A$ înseamnă „$x$ aparține mulțimii $A$" (este element al ei);
• $x\notin A$ înseamnă „$x$ nu aparține";
• $A\subset B$ înseamnă „$A$ este inclusă în $B$" (orice element din $A$ se află și în $B$).

Acum operațiile. Sunt trei, și e bine să le ții minte printr-o imagine, nu doar prin definiție.

Reuniunea $A\cup B$ adună la un loc toate elementele, din $A$ sau din $B$, fără să repeți pe cele comune. Cuvântul-cheie este „sau".

Intersecția $A\cap B$ păstrează doar elementele care se află și în $A$, și în $B$ (cele comune). Cuvântul-cheie este „și".

Diferența $A\setminus B$ (citește „$A$ minus $B$") păstrează elementele care sunt în $A$, dar nu în $B$. Atenție: $A\setminus B$ nu este același lucru cu $B\setminus A$!

Hai un exemplu concret. Fie $A=\{1,2,3,4,6\}$ și $B=\{2,4,8\}$.

• $A\cup B=\{1,2,3,4,6,8\}$ (toate, fără repetare);
• $A\cap B=\{2,4\}$ (doar ce e în ambele);
• $A\setminus B=\{1,3,6\}$ (ce e în $A$, dar nu în $B$);
• $B\setminus A=\{8\}$ (ce e în $B$, dar nu în $A$).

Numărul de elemente al unei mulțimi finite se numește cardinal și se notează $|A|$ sau $\text{card}A$. Aici $|A|=5$, $|B|=3$, $|A\cup B|=6$, $|A\cap B|=2$.

Observă o legătură frumoasă, foarte folosită la problemele cu diagrame Venn: $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$ De ce scădem $|A\cap B|$? Pentru că, atunci când adunăm $|A|+|B|$, elementele comune au fost numărate de două ori; le scădem o dată ca să le numărăm corect, o singură dată. Verifică: $5+3-2=6$. Exact!

2. Divizibilitatea: divizori, multipli, numere prime

Spunem că numărul natural $a$ se divide cu $b$ (sau că $b$ divide pe $a$) dacă împărțirea $a:b$ se face exact, fără rest. Scriem $b\mid a$. Atunci $b$ este divizor al lui $a$, iar $a$ este multiplu al lui $b$.

De exemplu $3\mid 12$ pentru că $12:3=4$ rest $0$. Mulțimea divizorilor lui 12 este $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$, iar multiplii lui 3 sunt $M_3=\{0,3,6,9,12,15,\dots \}$ — o mulțime infinită.

Criteriile de divizibilitate sunt prietenii tăi la examen, pentru că îți dau răspunsul fără împărțire:

• cu 2: numărul se termină în $0,2,4,6,8$ (ultima cifră pară);
• cu 5: ultima cifră este $0$ sau $5$;
• cu 10: ultima cifră este $0$;
• cu 3: suma cifrelor se divide cu 3;
• cu 9: suma cifrelor se divide cu 9.

Exemplu: numărul 2 358. Suma cifrelor este $2+3+5+8=18$. Cum $18$ se divide cu 3 și cu 9, numărul 2 358 se divide și cu 3, și cu 9. Ultima cifră este 8 (pară), deci se divide și cu 2. Nu se termină în 0 sau 5, deci nu se divide cu 5.

Un număr prim este un număr natural mai mare ca 1 care are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Primele numere prime sunt $2,3,5,7,11,13,17,19,23,\dots$ Reține: 2 este singurul număr prim par. Numărul 1 nu este prim (are un singur divizor). Un număr cu mai mult de doi divizori se numește compus.

3. Descompunerea în factori primi — inima recapitulării

Aproape orice exercițiu de divizibilitate de la examen pornește de la descompunerea în produs de puteri de numere prime. Metoda: împarți numărul, pe rând, la cele mai mici numere prime, până ajungi la 1.

Să descompunem 360. Folosim bara verticală:

360 | 2
180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1

Deci $360=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=2^3\cdot 3^2\cdot 5$.

Din descompunere afli imediat numărul divizorilor: aduni câte 1 la fiecare exponent și înmulțești rezultatele. Pentru $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5^1$, numărul divizorilor este $(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$. Adică 360 are 24 de divizori.

4. c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. din factori primi

Acestea două sunt vedetele examenului, așa că le fixăm bine prin regula factorilor primi.

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.), notat $(a,b)$, se obține luând factorii primi comuni, fiecare la puterea cea mai mică care apare. „Comuni" și „mică" — ține minte perechea.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.), notat $[a,b]$, se obține luând factorii primi comuni și necomuni, fiecare la puterea cea mai mare. „Toți" și „mare".

Să le calculăm pentru $a=360$ și $b=84$.

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ și $84=2^2\cdot 3\cdot 7$.

• $(360,84)$: factori comuni sunt 2 și 3. Puterea cea mai mică a lui 2 este $2^2$, a lui 3 este $3^1$. Deci $(360,84)=2^2\cdot 3=12$.
• $[360,84]$: factori comuni și necomuni: $2,3,5,7$. Puterea cea mai mare a fiecăruia: $2^3,3^2,5,7$. Deci $[360,84]=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=8\cdot 9\cdot 5\cdot 7=2520$.

Există o verificare de aur, pe care merită s-o folosești mereu: $$(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b.$$ Verificăm: $(360,84)\cdot [360,84]=12\cdot 2520=30240$, iar $360\cdot 84=30240$. Se potrivește! Dacă la examen ai timp, această egalitate îți confirmă că nu ai greșit.

Două numere se numesc prime între ele dacă $(a,b)=1$, adică nu au niciun factor prim comun. De exemplu, $(8,15)=1$, deși nici 8, nici 15 nu sunt prime. Pentru numere prime între ele, $[a,b]=a\cdot b$ (pentru că nu ai ce să „simplifici").

5. Cum se întâlnesc mulțimile cu divizibilitatea

Iată ideea care leagă cele două capitole, exact ce cere titlul „recapitulare integrată". De multe ori, o mulțime este definită printr-o proprietate de divizibilitate:

$$A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 12\}=\{1,2,3,4,6,12\}=D_{12},$$ $$B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 18\}=\{1,2,3,6,9,18\}=D_{18}.$$

Atunci $A\cap B$ este mulțimea divizorilor comuni ai lui 12 și 18: $$A\cap B=\{1,2,3,6\}.$$ Iar cel mai mare element din $A\cap B$ este chiar $(12,18)=6$! Iată legătura ascunsă: intersecția mulțimilor de divizori = divizorii comuni, iar cel mai mare dintre ei este c.m.m.d.c. La fel, intersecția a două mulțimi de multipli (fără 0) începe cu c.m.m.m.c.

Acum că trusa e completă, hai să o folosim pe exerciții reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Operații cu mulțimi de divizori

Enunț. Se dau mulțimile $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 24\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 36\}$. Determină $A\cap B$, $A\setminus B$ și precizează cel mai mare element al lui $A\cap B$.

Rezolvare. Întâi scriem mulțimile prin enumerare. Divizorii lui 24: pornim cu perechi care dau 24 — $1\cdot 24,2\cdot 12,3\cdot 8,4\cdot 6$. Deci $$A=D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}.$$ Divizorii lui 36: $1\cdot 36,2\cdot 18,3\cdot 12,4\cdot 9,6\cdot 6$. Deci $$B=D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}.$$ Acum intersecția — elementele comune: $$A\cap B=\{1,2,3,4,6,12\}.$$ Diferența $A\setminus B$ — ce e în $A$, dar nu în $B$. Din $A$ scoatem ce apare și în $B$; rămân 8 și 24: $$A\setminus B=\{8,24\}.$$ Cel mai mare element din $A\cap B$ este 12, adică tocmai $(24,36)=12$. Verificare prin factori primi: $24=2^3\cdot 3$, $36=2^2\cdot 3^2$, deci $(24,36)=2^2\cdot 3=12$. Corect.

Exemplul 2 — Descompunere și numărul divizorilor

Enunț. Descompune 600 în produs de puteri de numere prime și află câți divizori are.

Rezolvare. Împărțim succesiv la numere prime:

600 | 2
300 | 2
150 | 2
 75 | 3
 25 | 5
  5 | 5
  1

Așadar $600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$. Numărul divizorilor: adunăm 1 la fiecare exponent și înmulțim: $(3+1)(1+1)(2+1)=4\cdot 2\cdot 3=24$. Deci 600 are 24 de divizori. (Exponentul lui 3 este 1, nu uita să-l numeri!)

Exemplul 3 — c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. cu verificare

Enunț. Pentru $a=48$ și $b=72$, calculează $(a,b)$ și $[a,b]$, apoi verifică folosind egalitatea $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$.

Rezolvare. Descompunem: $48=2^4\cdot 3$ și $72=2^3\cdot 3^2$.

• c.m.m.d.c.: factori comuni 2 și 3, la puterea cea mai mică: $(48,72)=2^3\cdot 3=8\cdot 3=24$.
• c.m.m.m.c.: factori la puterea cea mai mare: $[48,72]=2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144$.

Verificare: $(48,72)\cdot [48,72]=24\cdot 144=3456$, iar $a\cdot b=48\cdot 72=3456$. Egalitatea se confirmă, deci rezultatele sunt corecte.

Exemplul 4 — Problemă practică cu c.m.m.d.c.

Enunț. Un florar are 56 de trandafiri și 84 de lalele. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fiecare buchet având același număr de trandafiri și același număr de lalele. Care este numărul maxim de buchete? Câte flori de fiecare fel intră într-un buchet?

Rezolvare. Cuvântul-cheie este „maxim de grupuri egale care împart toate obiectele" — asta înseamnă c.m.m.d.c. Calculăm $(56,84)$.

$56=2^3\cdot 7$ și $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. Factori comuni: 2 și 7, la puterea cea mai mică: $(56,84)=2^2\cdot 7=4\cdot 7=28$.

Deci se pot face cel mult 28 de buchete. Într-un buchet intră $56:28=2$ trandafiri și $84:28=3$ lalele. Verificare: $28\cdot 2=56$ trandafiri și $28\cdot 3=84$ lalele. Tot.

Exemplul 5 — Problemă practică cu c.m.m.m.c.

Enunț. În stația din fața școlii, autobuzul pleacă din 12 în 12 minute, iar troleibuzul din 18 în 18 minute. La ora 8:00 pleacă amândouă deodată. Peste cât timp pleacă din nou amândouă în același moment? La ce oră se întâmplă asta?

Rezolvare. Căutăm primul moment care este și multiplu de 12, și multiplu de 18 — adică cel mai mic multiplu comun, c.m.m.m.c. Calculăm $[12,18]$.

$12=2^2\cdot 3$ și $18=2\cdot 3^2$. La puterea cea mai mare: $[12,18]=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$.

Deci peste 36 de minute pleacă din nou împreună, adică la ora 8:36. Verificare: $36:12=3$ (al treilea autobuz) și $36:18=2$ (al doilea troleibuz) — ambele numere întregi, deci 36 chiar este moment comun.

Exemplul 6 — Exercițiu integrat: mulțimi + divizibilitate + criterii

Enunț. Fie $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x<30,3\mid x\text{ și }2\mid x\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x<30,9\mid x\}$. Determină $A$, $B$, $A\cap B$ și $A\cup B$.

Rezolvare. Un număr care se divide și cu 3, și cu 2 se divide cu $[2,3]=6$. Deci $A$ este mulțimea multiplilor lui 6 mai mici ca 30 (luăm și 0, care e multiplu al oricărui număr): $$A=\{0,6,12,18,24\}.$$ $B$ este mulțimea multiplilor lui 9 mai mici ca 30: $$B=\{0,9,18,27\}.$$ Intersecția — elementele comune: 0 și 18 apar în ambele. (18 e și multiplu de 6, și de 9, fiindcă $[6,9]=18$.) $$A\cap B=\{0,18\}.$$ Reuniunea — toate, fără repetare: $$A\cup B=\{0,6,9,12,18,24,27\}.$$ Verificare cu cardinalul: $|A|=5$, $|B|=4$, $|A\cap B|=2$, deci $|A\cup B|=5+4-2=7$. Numărăm în $A\cup B$: 0, 6, 9, 12, 18, 24, 27 — chiar 7 elemente. Corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Sunt așezate de la ușor la greu; dacă te blochezi, întoarce-te la exemplul cu structură asemănătoare.

1. Scrie prin enumerare mulțimea $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\mid 20\}$.

2. Adevărat sau fals: numărul 1 este număr prim.

3. Fie $A=\{1,2,4,5,10\}$ și $B=\{2,4,6,8,10\}$. Determină $A\cap B$.

4. Pentru aceleași mulțimi de la exercițiul 3, determină $A\setminus B$ și $B\setminus A$.

5. Folosind criteriile de divizibilitate, încercuiește dintre numerele $135,246,510,729$ pe cele care se divid cu 9.

6. Descompune 540 în produs de puteri de numere prime.

7. Câți divizori are numărul $2^2\cdot 5^3$? (Nu calcula valoarea numerică, folosește regula exponenților.)

8. Calculează $(90,126)$ folosind descompunerea în factori primi.

9. Calculează $[90,126]$ folosind descompunerea în factori primi.

10. Completează: dacă $(a,b)=1$, atunci numerele $a$ și $b$ se numesc ........., iar $[a,b]=......$.

11. Fie $A=D_{30}$ (divizorii lui 30) și $B=D_{45}$ (divizorii lui 45). Determină $A\cap B$ și precizează care este $(30,45)$.

12. Un bibliotecar are 48 de cărți de poezie și 60 de cărți de povești. Le așază pe rafturi, fiecare raft având doar un fel de carte și același număr de cărți pe raft. Care este numărul maxim de cărți pe un raft?

13. Două becuri de pe un panou clipesc: unul din 8 în 8 secunde, celălalt din 10 în 10 secunde. Dacă au clipit împreună acum, peste câte secunde clipesc din nou simultan?

14. Adevărat sau fals: $A\setminus B=B\setminus A$ pentru orice mulțimi $A$ și $B$. Justifică printr-un exemplu.

15. Determină cifra $a$ astfel încât numărul $\overline{3a4}$ să se dividă cu 3. (Scrie toate valorile posibile.)

16. Fie $a=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ și $b=2^2\cdot 3^3$. Fără a calcula valorile lui $a$ și $b$, scrie $(a,b)$ și $[a,b]$ sub formă de produs de puteri.

17. Problemă integrată. Fie $A$ mulțimea numerelor naturale mai mici ca 50 care se divid cu 6, iar $B$ mulțimea celor mai mici ca 50 care se divid cu 8. Determină $A\cap B$ și spune care este cel mai mic element nenul al ei. La ce noțiune corespunde acest număr?

18. Problemă de examen. Suma a două numere naturale este 60, iar c.m.m.d.c. al lor este 12. Numerele sunt prime între ele după ce le împarți la c.m.m.d.c. Găsește o pereche de astfel de numere.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\{1,2,4,5,10,20\}$. Divizorii lui 20 din perechile $1\cdot 20,2\cdot 10,4\cdot 5$.

2. Fals. Numărul 1 are un singur divizor (pe el însuși), iar un număr prim trebuie să aibă exact doi divizori. Deci 1 nu este nici prim, nici compus.

3. $A\cap B=\{2,4,10\}$. Sunt elementele care apar în ambele mulțimi.

4. $A\setminus B=\{1,5\}$ (în $A$, dar nu în $B$); $B\setminus A=\{6,8\}$ (în $B$, dar nu în $A$). Observă că sunt diferite.

5. Se divid cu 9: 135 (suma cifrelor $1+3+5=9$) și 729 (suma $7+2+9=18$). La 246, suma e $12$ (se divide cu 3, dar nu cu 9); la 510, suma e $6$ (nu cu 9).

6. $540=2^2\cdot 3^3\cdot 5$. Verificare: $4\cdot 27\cdot 5=540$. (Împărțiri succesive: $540:2=270$, $:2=135$, $:3=45$, $:3=15$, $:3=5$, $:5=1$.)

7. $(2+1)(3+1)=3\cdot 4=12$ divizori.

8. $90=2\cdot 3^2\cdot 5$, $126=2\cdot 3^2\cdot 7$. Comuni la puterea minimă: $(90,126)=2\cdot 3^2=18$.

9. La puterea maximă: $[90,126]=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=630$. Verificare: $(90,126)\cdot [90,126]=18\cdot 630=11340=90\cdot 126$. Corect.

10. Numerele se numesc prime între ele, iar $[a,b]=a\cdot b$.

11. $D_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$, $D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\}$. $A\cap B=\{1,3,5,15\}$, iar cel mai mare este $(30,45)=15$.

12. Numărul maxim de cărți pe raft = $(48,60)$. $48=2^4\cdot 3$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, deci $(48,60)=2^2\cdot 3=12$. 12 cărți pe raft.

13. $[8,10]$. $8=2^3$, $10=2\cdot 5$, deci $[8,10]=2^3\cdot 5=40$. Peste 40 de secunde.

14. Fals. De exemplu, pentru $A=\{1,2\}$ și $B=\{2,3\}$ avem $A\setminus B=\{1\}$, dar $B\setminus A=\{3\}$, deci nu sunt egale. Diferența mulțimilor nu este comutativă.

15. Suma cifrelor este $3+a+4=7+a$. Aceasta trebuie să se dividă cu 3. Pentru $a\in \{0,1,\dots ,9\}$ obținem sume divizibile cu 3 când $a\in \{2,5,8\}$ (sumele $9,12,15$). Deci $a\in \{2,5,8\}$.

16. $(a,b)=2^2\cdot 3^2=36$ (comuni, putere minimă); $[a,b]=2^3\cdot 3^3\cdot 5=1080$ (toți, putere maximă).

17. Multipli de 6 sub 50: $\{0,6,12,18,24,30,36,42,48\}$; multipli de 8 sub 50: $\{0,8,16,24,32,40,48\}$. $A\cap B=\{0,24,48\}$. Cel mai mic element nenul este 24, care este $[6,8]=24$ (c.m.m.m.c.).

18. Dacă $(a,b)=12$, scriem $a=12m$, $b=12n$ cu $m,n$ prime între ele. Atunci $12m+12n=60$, deci $m+n=5$. Perechi de numere prime între ele cu suma 5: $(m,n)=(1,4)$ sau $(2,3)$. Obținem, de exemplu, $a=12$, $b=48$ (din $1$ și $4$) sau $a=24$, $b=36$ (din $2$ și $3$). Verificare pentru a doua: $(24,36)=12$ și $24+36=60$. Corect. (Oricare dintre perechi este răspuns valabil.)

De reținut

• Intersecția păstrează ce e comun („și"), reuniunea adună tot fără repetare („sau"), diferența $A\setminus B$ scoate din $A$ ce e în $B$ — și nu este comutativă.
• c.m.m.d.c. = factori primi comuni la puterea cea mai mică; c.m.m.m.c. = factori comuni și necomuni la puterea cea mai mare.
• Verificarea de aur: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$. Folosește-o mereu când ai timp.
• „Numărul maxim de grupuri egale" → c.m.m.d.c.; „peste cât timp se întâmplă din nou simultan" → c.m.m.m.c.
• Divizorii comuni ai două numere = intersecția mulțimilor de divizori, iar cel mai mare dintre ei este chiar c.m.m.d.c.

Greșeli frecvente

• Confunzi c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. Ține minte: divizor este mic (intră în număr), deci c.m.m.d.c. ≤ fiecare număr; multiplu este mare (numărul intră în el), deci c.m.m.m.c. ≥ fiecare număr. Dacă rezultatul tău pentru c.m.m.d.c. e mai mare decât numerele, sigur ai greșit.
• Uiți exponentul 1. La $600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$, factorul 3 are exponent 1 și trebuie numărat: $(3+1)(1+1)(2+1)$, nu doar $(3+1)(2+1)$.
• Crezi că diferența mulțimilor este comutativă. $A\setminus B$ și $B\setminus A$ sunt, în general, mulțimi diferite. Citește cu atenție care e prima.
• Spui că 1 este prim sau că 2 nu e prim. 1 nu este prim (un singur divizor); 2 este prim (și e singurul prim par). Aceste două capcane apar des la exercițiile de tip „adevărat/fals".

Joc acasă

1. Loto cu divizori. Scrie pe bilețele numerele de la 1 la 12. Alege un număr „țintă", de exemplu 24. Trage pe rând bilețelele și pune deoparte doar pe cele care divid 24. La final ar trebui să rămână în mână $\{1,2,3,4,6,12\}$. Schimbă ținta (36, 30, 18) și repetă. Cine adună cei mai mulți divizori corecți câștigă.

2. Întâlnirea autobuzelor. Cu un cronometru de telefon și două foi, desenează o linie a timpului de la 0 la 60 de minute. Marchează cu roșu multiplii de 10 (un autobuz) și cu albastru multiplii de 15 (alt autobuz). Punctul unde apar ambele culori este c.m.m.m.c. al lui 10 și 15. Verifică prin calcul: $[10,15]=30$.

3. Cutia de descompunere. Ia un număr de pe o cutie din bucătărie (de exemplu masa în grame: 250, 500, 120). Descompune-l în factori primi pe o hârtie, apoi numără-i divizorii cu regula exponenților. Cere unui părinte să verifice numărând divizorii „de mână".

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o recapitulare integrată, deci scopul nu este să predați noțiuni noi, ci să consolidați legăturile dintre mulțimi și divizibilitate înainte de Evaluarea Națională. Cel mai util lucru pe care îl puteți face este să cereți copilului să verbalizeze raționamentul: „de ce ai folosit aici c.m.m.d.c. și nu c.m.m.m.c.?". Dacă răspunde corect la întrebarea „grupez în porții egale" versus „aștept un moment comun", a înțeles esența.

Întrebări bune de pus: „Cum recunoști dintr-un enunț că trebuie c.m.m.d.c.?"; „Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele?"; „De ce scădem intersecția când numărăm reuniunea?". Pentru verificare rapidă, cereți să refacă verificarea de aur $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ la orice exercițiu cu cei doi indicatori — dacă egalitatea iese, rezultatul e aproape sigur corect.

Dacă elevul greșește, evitați să dați direct soluția. Reveniți la o mulțime mică, scrisă prin enumerare, și lăsați-l să „vadă" elementele comune cu degetul pe caiet. Legătura cu lecțiile c.m.m.d.c. prin descompunere și c.m.m.m.c. prin descompunere este recomandată pentru recuperarea rapidă a metodei, iar probleme de numărare cu diagrame Venn ajută la partea de mulțimi.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă o problemă cere c.m.m.d.c. sau c.m.m.m.c.? Dacă împarți o cantitate în grupuri egale cât mai mari („număr maxim de buchete/rafturi/cutii"), folosești c.m.m.d.c. Dacă aștepți un moment sau o cantitate comună care se repetă („peste cât timp pleacă/clipesc din nou împreună"), folosești c.m.m.m.c. Cuvintele „maxim" și „divide totul" trimit spre c.m.m.d.c.; cuvintele „din nou simultan" și „cel mai mic comun" trimit spre c.m.m.m.c.

Care e diferența dintre divizor și multiplu? Un divizor al lui $a$ intră exact în $a$ (este mai mic sau egal cu $a$), de exemplu 3 este divizor al lui 12. Un multiplu al lui $a$ se obține înmulțind $a$ cu un număr natural (este mai mare sau egal cu $a$), de exemplu 12 este multiplu al lui 3. Pe scurt: divizorul „intră în", multiplul „conține pe".

Cum aflu repede câți divizori are un număr? Descompune numărul în produs de puteri de numere prime, adună 1 la fiecare exponent și înmulțește rezultatele. De exemplu, $72=2^3\cdot 3^2$ are $(3+1)(2+1)=12$ divizori. Această metodă este mult mai rapidă decât scrierea tuturor divizorilor.

De ce nu numărăm de două ori elementele comune la reuniune? Pentru că un element care apare și în $A$, și în $B$ este tot un singur element al mulțimii $A\cup B$. Când calculezi cardinalul cu $|A|+|B|$, elementele comune sunt numărate de două ori, de aceea scazi $|A\cap B|$ o dată, cu formula $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Este 0 multiplu al oricărui număr? Da, $0$ este multiplu al oricărui număr natural, pentru că $0=a\cdot 0$ pentru orice $a$. De aceea apare în mulțimile de multipli. În schimb, $0$ nu este divizor al niciunui număr nenul (nu poți împărți la 0).

Pot fi două numere prime între ele fără să fie ele însele prime? Da. „Prime între ele" înseamnă doar că nu au niciun factor prim comun, adică $(a,b)=1$. De exemplu, 8 și 15 sunt prime între ele, deși $8=2^3$ și $15=3\cdot 5$ sunt numere compuse.

Verificarea $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ funcționează mereu? Da, pentru orice două numere naturale nenule. Este o relație sigură, foarte utilă la examen: dacă ai calculat c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și produsul lor nu dă $a\cdot b$, înseamnă că ai o greșeală de calcul undeva. O verifici în câteva secunde.

Ce greșeală pierde cele mai multe puncte la acest capitol? Confuzia dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și inversarea regulii puterilor (comuni la putere mică vs. toți la putere mare). Memorează formula scurtă: „c.m.m.d.c. = comuni, mici; c.m.m.m.c. = toți, mari" și verifică mereu că c.m.m.d.c. nu depășește numerele date.