Un triunghi are laturile de $$18$$ cm, $$24$$ cm și $$30$$ cm. Ce poți spune despre acest triunghi, aplicând reciproca teoremei lui Pitagora?

Este dreptunghic, cu ipotenuza de $$30$$ cm

Este dreptunghic, cu ipotenuza de $$24$$ cm

Cum aflu dacă un triunghi e dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Reciproca teoremei lui Pitagora

Îți ajung cele trei lungimi, fără riglă sau echer. Notezi cu $c$ latura cea mai lungă, apoi compari $c^{2}$ cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă cele două numere ies la fel, triunghiul are unghi drept, chiar în vârful din fața laturii $c$ . Dacă $c^{2}$ e mai mic, triunghiul e ascuțitunghic; dacă e mai mare, e obtuzunghic. La $6$ , $8$ și $10$ obții $100 = 36 + 64$ .

Reciproca teoremei lui Pitagora îți dă o putere aproape magică: din doar trei lungimi de laturi, afli sigur dacă un triunghi are un unghi de $90°$ , fără riglă sau echer.

Pașii sunt simpli. Ia latura cea mai mare și numește-o $c$ , iar pe celelalte două $a$ și $b$ . Calculează separat $c^{2}$ și $a^{2} + b^{2}$ . Dacă cele două rezultate sunt egale, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află exact în vârful opus laturii $c$ — adică $c$ este ipotenuza. Dacă $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ , triunghiul e ascuțitunghic; dacă $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ , e obtuzunghic.

Exemplu: pentru laturile $6$ , $8$ și $10$ : $c = 10$ , deci $c^{2} = 100$ , iar $a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ . Egalitate ⇒ triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza $10$ .

Reține și tripletele pitagoreice utile: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ — și multiplii lor.

De reținut

dacă $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , triunghiul e dreptunghic, cu ipotenuza $c$
unghiul drept stă în vârful opus laturii celei mai lungi
$c^{2} < a^{2} + b^{2}$ dă ascuțitunghic, iar $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ dă obtuzunghic

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat o latură oarecare, nu pe cea mai lungă, iar concluzia iese greșită. Comparația pornește întotdeauna de la latura mare.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi are laturile de $18$ cm, $24$ cm și $30$ cm. Ce poți spune despre acest triunghi, aplicând reciproca teoremei lui Pitagora?
- a) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $30$ cm
- b) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $24$ cm
- c) Este obtuzunghic
- d) Este ascuțitunghic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $30$ cm

Latura cea mai mare este $30$ : $3 0^{2} = 900$ , iar $1 8^{2} + 2 4^{2} = 324 + 576 = 900$ . Egalitate ⇒ triunghiul este dreptunghic, iar ipotenuza este latura cea mai mare, $30$ cm (este tripletul $3$ - $4$ - $5$ înmulțit cu $6$ ).
În triunghiul $X Y Z$ avem $X Y = 21$ , $Y Z = 28$ și $X Z = 35$ . Știind că triunghiul este dreptunghic, în ce vârf se află unghiul drept?
- a) În vârful $X$
- b) În vârful $Y$
- c) În vârful $Z$
- d) Triunghiul nu este dreptunghic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) În vârful $Y$

Latura cea mai mare este $X Z = 35$ : $3 5^{2} = 1225$ și $X Y^{2} + Y Z^{2} = 2 1^{2} + 2 8^{2} = 441 + 784 = 1225$ . Egalitate ⇒ dreptunghic, iar ipotenuza este $X Z$ . Unghiul drept se află în vârful opus ipotenuzei, adică în $Y$ .
Un triunghi are laturile de $7$ cm, $8$ cm și $12$ cm. Ce poți spune despre acest triunghi, aplicând reciproca teoremei lui Pitagora?
- a) Este ascuțitunghic
- b) Este dreptunghic
- c) Este obtuzunghic
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Este obtuzunghic

Latura cea mai mare este $12$ : $1 2^{2} = 144$ , iar $7^{2} + 8^{2} = 49 + 64 = 113$ . Cum $144 > 113$ , triunghiul este obtuzunghic (unghiul opus laturii de $12$ cm este obtuz).

Întrebări conexe

Este dreptunghic un triunghi cu laturile 7, 9 și 12?

Nu este. Latura cea mai lungă e $12$ , deci compari $144$ cu $49 + 81 = 130$ . Cum $144$ trece de $130$ , unghiul din fața laturii mari depășește $9 0^{\circ}$ , deci triunghiul este obtuzunghic. Egalitatea ar fi cerut exact aceeași valoare de amândouă părțile.

Cum scriu corect demonstrația cu reciproca pe foaie?

Scrii pe rânduri separate cele două calcule, apoi concluzia. Mai întâi pătratul laturii mari, apoi suma pătratelor celorlalte două, iar la final propoziția care spune că, fiind egale, se aplică reciproca. Numești explicit vârful unde se află unghiul drept, altfel demonstrația rămâne neterminată.

De ce se ia mereu latura cea mai lungă la pătrat?

Fiindcă unghiul drept, dacă există, stă întotdeauna în fața celei mai lungi laturi. Un unghi mai mare privește o latură mai mare, iar cel de nouăzeci de grade este cel mai mare într-un triunghi dreptunghic. Punând altă latură la pătrat, comparația nu ar avea niciun sens.

Cum verific un colț drept la o construcție folosind sfoara?

Faci o sfoară cu treisprezece noduri la distanțe egale, ceea ce îți dă douăsprezece părți. Le împarți în trei, patru și cinci și formezi un triunghi. Cum $9 + 16 = 25$ , colțul dintre laturile de trei și patru iese drept. Metoda e folosită de zidari de mii de ani.

De ce trebuie demonstrată reciproca separat de teoremă?

Fiindcă sunt două afirmații diferite: una pornește de la unghiul drept și ajunge la relația dintre pătrate, cealaltă face drumul invers. Dintr-o teoremă adevărată nu rezultă că și reciproca ei este adevărată, așa că fiecare își cere demonstrația ei.

Cum aflu tipul unui triunghi cu laturile 5, 6 și 10?

Verifici întâi că triunghiul poate exista: $5 + 6 = 11$ , mai mult decât $10$ , deci se închide. Compari apoi $100$ cu $25 + 36 = 61$ ; fiind mai mare, triunghiul este obtuzunghic. Existența laturilor se controlează mereu înaintea comparării pătratelor.

Oamenii mai întreabă și: reciproca teoremei lui Pitagora · cum verific dacă un triunghi e dreptunghic · triplete pitagoreice · din laturi aflu unghiul drept · triunghiul cu laturile 3 4 5