Reciproca teoremei lui Pitagora

Îți amintești cum, cu doar câteva lecții în urmă, ai învățat că într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor? Acum vine partea și mai interesantă: dacă ți se dau doar trei lungimi de laturi, poți afla singur, printr-un simplu calcul, dacă triunghiul respectiv are un unghi drept — fără să folosești rigla, echerul sau raportorul. Exact asta fac zilnic constructorii, dulgherii și tinichigiii care vor să verifice că un colț de casă este perfect „la 90 de grade": măsoară trei laturi și calculează. Instrumentul matematic din spatele acestei verificări se numește reciproca teoremei lui Pitagora, iar în această lecție îl vei stăpâni complet.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect reciproca teoremei lui Pitagora și să înțelegi în ce fel diferă de teorema directă.
• Vei ști să decizi, prin calcul, dacă un triunghi cu laturi date este dreptunghic sau nu.
• Vei ști să identifici corect unghiul drept și ipotenuza folosind reciproca.
• Vei ști să recunoști triunghiuri dreptunghice ascunse în figuri geometrice mai complexe.
• Vei ști să folosești numerele pitagoreice pentru a lucra rapid și pentru a evita greșelile.

Hai să descoperim împreună

Ne reamintim teorema directă

În lecția Teorema lui Pitagora am demonstrat următorul lucru: dacă un triunghi este dreptunghic, atunci pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cu notații: dacă triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$ (adică $m(\angle A)=90°$), atunci ipotenuza este latura $BC$ (latura opusă unghiului drept), iar catetele sunt $AB$ și $AC$. Relația este:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2.$$

Observă structura logică: pornim de la faptul că triunghiul este dreptunghic și ajungem la o relație între laturi. Cu alte cuvinte:

„triunghi dreptunghic" $\Rightarrow$ „$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$".

Ce înseamnă „reciproca" unei teoreme

O teoremă are, de obicei, forma „dacă ipoteza, atunci concluzia". Reciproca unei teoreme se obține schimbând între ele ipoteza și concluzia: ceea ce era concluzie devine ipoteză, iar ceea ce era ipoteză devine concluzie.

Ai mai întâlnit acest tipar. La lecția Reciproca teoremei lui Thales ai văzut că teorema directă spune „dacă o dreaptă e paralelă cu o latură, atunci taie proporțional celelalte laturi", iar reciproca spune invers: „dacă taie proporțional, atunci e paralelă". La fel procedăm și aici.

Pentru teorema lui Pitagora, dacă schimbăm între ele ipoteza și concluzia, obținem:

„$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$" $\Rightarrow$ „triunghi dreptunghic (cu unghiul drept în $A$)".

Acesta este exact enunțul reciprocei. Atenție însă: nu orice reciprocă a unei teoreme adevărate este și ea adevărată! Uneori reciproca este falsă. Norocul nostru — și motivul pentru care merită o lecție întreagă — este că reciproca teoremei lui Pitagora este adevărată. Matematicienii au demonstrat-o riguros, așa că o putem folosi cu deplină încredere.

Enunțul reciprocei teoremei lui Pitagora

Iată enunțul pe care trebuie să îl reții:

Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă în triunghiul $ABC$ pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, adică $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2,$$ atunci triunghiul $ABC$ este dreptunghic, având unghiul drept opus laturii celei mai mari, adică $m(\angle A)=90°$.

Două observații importante ascunse în acest enunț:

1. Latura care apare „singură" în stânga egalității (cea al cărei pătrat este egal cu suma) este ipotenuza. În formula $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, latura $BC$ joacă rolul ipotenuzei.
2. Unghiul drept se află în vârful opus ipotenuzei. Ipotenuza este $BC$, iar vârful opus ei este $A$. Deci unghiul drept este $\angle A$.

De ce funcționează? (o justificare intuitivă)

Nu îți cerem la clasa a VII-a să demonstrezi formal reciproca, dar merită să înțelegi de ce este credibilă. Imaginează-ți că fixăm două bețe de lungimi $AB$ și $AC$, prinse cu o balama în punctul $A$. Dacă deschidem sau închidem balamaua, unghiul $\angle A$ se schimbă, și odată cu el se schimbă și distanța $BC$ dintre capete.

• Când unghiul $\angle A$ este mic (aproape închis), capetele $B$ și $C$ sunt aproape, deci $BC$ e mică.
• Când unghiul $\angle A$ este mare (aproape întins), capetele se depărtează, deci $BC$ e mare.

Există o singură deschidere pentru care $BC$ are exact valoarea care satisface $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, și aceea corespunde fix unghiului de $90°$. Dacă unghiul ar fi mai mic, $BC$ ar fi mai mică, deci $B{C}^2<A{B}^2+A{C}^2$; dacă unghiul ar fi mai mare, $B{C}^2>A{B}^2+A{C}^2$. Egalitatea „prinde" exact unghiul drept. Acesta este miezul intuitiv al reciprocei.

Algoritmul de verificare pas cu pas

Iată rețeta pe care o vei folosi de fiecare dată când ai trei lungimi și vrei să afli dacă formează un triunghi dreptunghic. O poți memora ca pe trei pași simpli.

Pasul 1 — Identifică latura cea mai mare. Într-un triunghi, cea mai lungă latură ar putea fi ipotenuza. De ce cea mai mare? Pentru că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură (este opusă celui mai mare unghi, cel de $90°$). Notează-i lungimea; să o numim $c$ (cea mai mare), iar celelalte două $a$ și $b$.

Pasul 2 — Calculează separat cei doi membri.

• Calculează pătratul laturii celei mai mari: $c^2$.
• Calculează suma pătratelor celorlalte două: $a^2+b^2$.

Pasul 3 — Compară cele două rezultate.

• Dacă $c^2=a^2+b^2$, atunci triunghiul ESTE dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii de lungime $c$ (ipotenuza este latura $c$).
• Dacă $c^2\ne a^2+b^2$, atunci triunghiul NU este dreptunghic.

Este esențial să pui întotdeauna latura cea mai mare la pătrat de o parte a egalității. Dacă o compari greșit cu o catetă, obții un rezultat fals. Reține: pătratul celei mai lungi laturi trebuie comparat cu suma pătratelor celor două mai scurte.

Un prim exemplu introductiv

Să verificăm dacă un triunghi cu laturile $6$, $8$ și $10$ este dreptunghic.

Pasul 1: cea mai mare latură este $10$. Deci $c=10$, iar $a=6$, $b=8$.

Pasul 2: $$c^2=10^2=100,$$ $$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100.$$

Pasul 3: cele două rezultate sunt egale ($100=100$), deci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii de lungime $10$. Latura de $10$ este ipotenuza, iar $6$ și $8$ sunt catetele.

Vezi cât de simplu? Nu ai avut nevoie de niciun instrument de măsură — doar de trei calcule.

Numerele pitagoreice — prietenii tăi de nădejde

Anumite triplete de numere naturale satisfac relația $c^2=a^2+b^2$ și se numesc numere (triplete) pitagoreice. Când le recunoști dintr-o privire, verificarea devine instantanee. Iată cele mai des întâlnite la clasa a VII-a:

Un truc foarte util: dacă înmulțești toate cele trei numere ale unui triplet pitagoreic cu același număr, obții tot un triplet pitagoreic. De exemplu, din $(3,4,5)$ obții $(6,8,10)$ înmulțind cu $2$, sau $(9,12,15)$ înmulțind cu $3$, sau $(15,20,25)$ înmulțind cu $5$. Toate acestea sunt triunghiuri dreptunghice! Motivul e simplu: dacă $c^2=a^2+b^2$, atunci și $(kc{)}^2=k^2{c}^2=k^2(a^2+b^2)=(ka{)}^2+(kb{)}^2$.

Când laturile conțin radicali

Uneori laturile nu sunt numere întregi, ci conțin radicali — de exemplu $\sqrt{5}$, $2\sqrt{3}$ etc. Nu te speria! Algoritmul rămâne identic, doar că vei folosi proprietatea rădăcinii pătrate pe care ai învățat-o la lecția Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: pentru orice număr pozitiv, $(\sqrt{x}{)}^2=x$. Deci pătratul unei laturi de forma $\sqrt{5}$ este pur și simplu $5$.

De exemplu, un triunghi cu laturile $\sqrt{3}$, $2$ și $\sqrt{7}$: cea mai mare este $\sqrt{7}$ (pentru că $\sqrt{7}\approx 2,65>2>\sqrt{3}\approx 1,73$). Verificăm: $(\sqrt{3}{)}^2+2^2=3+4=7=(\sqrt{7}{)}^2$. Egalitate! Deci triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza $\sqrt{7}$.

Ce fel de triunghi obții când egalitatea nu iese

Reciproca teoremei lui Pitagora se ocupă de cazul egalității $c^2=a^2+b^2$, care dă exact un triunghi dreptunghic. Dar ce se întâmplă când cei doi membri nu sunt egali? Comparând $c^2$ (pătratul laturii celei mai mari) cu $a^2+b^2$ (suma pătratelor celorlalte două), putem clasifica orice triunghi după unghiuri:

• Dacă $c^2=a^2+b^2$, triunghiul este dreptunghic (unghiul cel mai mare are exact $90°$).
• Dacă $c^2<a^2+b^2$, triunghiul este ascuțitunghic (toate unghiurile sunt mai mici de $90°$).
• Dacă $c^2>a^2+b^2$, triunghiul este obtuzunghic (unghiul cel mai mare depășește $90°$).

Această legătură se sprijină pe aceeași idee cu balamaua din secțiunea anterioară: cu cât unghiul dintre laturile $a$ și $b$ este mai mare, cu atât latura opusă $c$ (și deci $c^2$) crește. Pragul dintre „ascuțit" și „obtuz" este fix unghiul drept, adică fix cazul egalității. La clasa a VII-a te interesează în primul rând recunoașterea triunghiului dreptunghic, dar este util să știi să spui repede și dacă un triunghi „aproape dreptunghic" este de fapt puțin ascuțit sau puțin obtuz. Reține însă că această clasificare are sens doar după ce ai ales corect latura cea mai mare drept $c$ — altfel comparația nu spune nimic.

Recunoașterea triunghiurilor dreptunghice în configurații

La ce ne folosește reciproca în probleme mai complicate? Adesea, într-o figură geometrică apar mai multe triunghiuri, iar tu trebuie să demonstrezi că unul dintre ele are un unghi drept, ca apoi să poți aplica alte relații metrice (teorema catetei, teorema înălțimii, funcții trigonometrice). Reciproca teoremei lui Pitagora este exact instrumentul care „certifică" existența unghiului drept.

De exemplu, dacă într-o problemă ai calculat deja lungimile a trei laturi și obții că pătratul celei mai mari e suma pătratelor celorlalte două, ai dreptul să scrii: „conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic". Aceasta este o justificare completă și acceptată într-o demonstrație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificare simplă cu numere întregi

Enunț: Un triunghi are laturile de $9$ cm, $40$ cm și $41$ cm. Este el dreptunghic? Dacă da, care este ipotenuza?

Rezolvare:

Pasul 1 — cea mai mare latură este $41$. Deci $c=41$, $a=9$, $b=40$.

Pasul 2: $$c^2=41^2=1681,$$ $$a^2+b^2=9^2+40^2=81+1600=1681.$$

Pasul 3 — cele două valori sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic. Ipotenuza este latura de $41$ cm, iar unghiul drept este opus ei. ✓

Exemplul 2 — Un triunghi care NU este dreptunghic

Enunț: Poate fi dreptunghic un triunghi cu laturile de $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm?

Rezolvare:

Cea mai mare latură este $6$, deci $c=6$, $a=4$, $b=5$.

$$c^2=6^2=36,$$ $$a^2+b^2=4^2+5^2=16+25=41.$$

Cum $36\ne 41$, relația din reciprocă nu este îndeplinită. Prin urmare triunghiul nu este dreptunghic.

Observație suplimentară: deoarece $c^2=36<41=a^2+b^2$, unghiul cel mai mare (opus laturii de $6$) este mai mic de $90°$, deci triunghiul este ascuțitunghic. (Vei mai întâlni această clasificare în câteva exerciții de mai jos.)

Exemplul 3 — Identificarea unghiului drept și a ipotenuzei

Enunț: În triunghiul $MNP$ se cunosc $MN=20$, $NP=21$ și $MP=29$. Arată că triunghiul este dreptunghic și precizează în ce vârf se află unghiul drept.

Rezolvare:

Comparăm pătratul laturii celei mai mari cu suma pătratelor celorlalte. Cea mai mare latură este $MP=29$.

$$M{P}^2=29^2=841,$$ $$M{N}^2+N{P}^2=20^2+21^2=400+441=841.$$

Deoarece $M{P}^2=M{N}^2+N{P}^2$, conform reciprocei teoremei lui Pitagora triunghiul $MNP$ este dreptunghic.

Ipotenuza este latura cea mai mare, adică $MP$. Unghiul drept este opus ipotenuzei $MP$, iar vârful opus laturii $MP$ este $N$. Deci $m(\angle N)=90°$. ✓

Exemplul 4 — Laturi cu radicali

Enunț: Verifică dacă triunghiul cu laturile $2\sqrt{5}$, $\sqrt{11}$ și $\sqrt{31}$ este dreptunghic.

Rezolvare:

Mai întâi aflăm care latură este cea mai mare, comparând pătratele lor (mai comod decât să comparăm radicalii direct):

• $(2\sqrt{5}{)}^2=4\cdot 5=20$,
• $(\sqrt{11}{)}^2=11$,
• $(\sqrt{31}{)}^2=31$.

Cea mai mare latură este $\sqrt{31}$ (pentru că pătratul ei, $31$, este cel mai mare). O luăm drept posibilă ipotenuză.

$$(\sqrt{31}{)}^2=31,$$ $$(2\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{11}{)}^2=20+11=31.$$

Egalitate! Deci triunghiul este dreptunghic, iar ipotenuza este latura $\sqrt{31}$. ✓

Exemplul 5 — Aplicație practică (verificarea unui colț drept)

Enunț: Un dulgher vrea să verifice dacă colțul unei mese este perfect drept. Măsoară pe cele două margini care se întâlnesc în colț câte $30$ cm și $40$ cm, marchează punctele, apoi măsoară distanța dintre cele două marcaje și obține $50$ cm. Este colțul drept?

Rezolvare:

Cele două margini și segmentul dintre marcaje formează un triunghi cu laturile $30$, $40$ și $50$. Verificăm cu reciproca:

$$50^2=2500,$$ $$30^2+40^2=900+1600=2500.$$

Cum $2500=2500$, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este chiar cel din colțul mesei (opus laturii de $50$). Deci da, colțul este perfect drept. Acesta este binecunoscutul „truc 3-4-5" folosit de constructori (aici înmulțit cu $10$: $30$-$40$-$50$). ✓

Exemplul 6 — Triunghi ascuns într-o figură

Enunț: Punctele $A(1,2)$, $B(5,2)$ și $C(5,5)$ sunt vârfurile unui triunghi în reperul cartezian. Arată, folosind lungimile laturilor, că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

Rezolvare:

Calculăm lungimile laturilor folosind ce ai învățat la Distanța dintre două puncte din plan.

• $AB$: punctele au aceeași ordonată ($y=2$), deci $AB=|5-1|=4$.
• $BC$: punctele au aceeași abscisă ($x=5$), deci $BC=|5-2|=3$.
• $AC=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Cea mai mare latură este $AC=5$. Verificăm: $$A{C}^2=25,A{B}^2+B{C}^2=16+9=25.$$

Deoarece $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, triunghiul $ABC$ este dreptunghic, cu unghiul drept în $B$ (vârful opus laturii $AC$). ✓

Exemplul 7 — Clasificarea unui triunghi „aproape dreptunghic"

Enunț: Un triunghi are laturile de $8$ cm, $9$ cm și $12$ cm. Este el dreptunghic? Dacă nu, este ascuțitunghic sau obtuzunghic?

Rezolvare:

Cea mai mare latură este $12$, deci $c=12$, iar $a=8$, $b=9$.

$$c^2=12^2=144,$$ $$a^2+b^2=8^2+9^2=64+81=145.$$

Cum $144\ne 145$, triunghiul nu este dreptunghic. Diferența este însă foarte mică: $c^2=144<145=a^2+b^2$, deci pătratul laturii celei mai mari este puțin mai mic decât suma celorlalte pătrate. Prin urmare triunghiul este ascuțitunghic, dar foarte aproape de a fi dreptunghic. Acest exemplu arată de ce nu ne putem baza doar pe „ochi": la măsurare, un astfel de triunghi ar părea aproape dreptunghic, dar calculul spune adevărul exact. ✓

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. Pentru fiecare triunghi, arată calculele: pătratul laturii celei mai mari și suma pătratelor celorlalte două.

1. Verifică dacă triunghiul cu laturile $5$, $12$ și $13$ este dreptunghic.

2. Este dreptunghic un triunghi cu laturile $7$, $8$ și $9$? Justifică.

3. Un triunghi are laturile $8$, $15$ și $17$. Arată că este dreptunghic și precizează care latură este ipotenuza.

4. În triunghiul $ABC$ avem $AB=7$, $BC=24$, $AC=25$. Este triunghiul dreptunghic? Dacă da, în ce vârf se află unghiul drept?

5. Adevărat sau fals, cu motivare: „Un triunghi cu laturile $10$, $24$ și $26$ este dreptunghic."

6. Verifică dacă triunghiul cu laturile $9$, $12$ și $15$ este dreptunghic. Recunoști tripletul?

7. Un triunghi are laturile $2$, $3$ și $4$. Este el dreptunghic? Dar ascuțitunghic sau obtuzunghic (compară $c^2$ cu $a^2+b^2$)?

8. Laturile unui triunghi sunt $\sqrt{5}$, $2$ și $3$. Este triunghiul dreptunghic? Care ar fi ipotenuza?

9. Verifică dacă triunghiul cu laturile $\sqrt{7}$, $\sqrt{9}$ și $4$ este dreptunghic. (Indicație: $\sqrt{9}=3$.)

10. În triunghiul $DEF$ avem $DE=20$, $EF=21$, $DF=29$. Arată că este dreptunghic și scrie în ce vârf este unghiul drept.

11. Un triunghi are laturile $1,5$; $2$ și $2,5$. Este el dreptunghic? (Indicație: gândește-te la tripletul $3$-$4$-$5$.)

12. Punctele $P(0,0)$, $Q(6,0)$ și $R(0,8)$ sunt vârfurile unui triunghi. Calculează laturile și arată că triunghiul $PQR$ este dreptunghic.

13. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă într-un triunghi $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, atunci ipotenuza este $AB$."

14. Un triunghi are laturile $x$, $x$ și $x\sqrt{2}$, unde $x>0$. Arată că este dreptunghic, indiferent de valoarea lui $x$. Ce fel de triunghi dreptunghic este (ce poți spune despre catete)?

15. O grădină dreptunghiulară are dimensiunile $12$ m și $16$ m. Un grădinar întinde o sfoară pe diagonală și măsoară $20$ m. Verifică, folosind reciproca, faptul că cele două laturi ale grădinii sunt perpendiculare.

16. În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=6$, $AC=8$ și că $M$ este mijlocul laturii $BC$, cu $BC=10$. Arată mai întâi că triunghiul $ABC$ este dreptunghic, apoi calculează lungimea medianei $AM$. (Indicație: într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.)

17. Un triunghi are laturile $11$, $60$ și $61$. Fără calculator, verifică dacă este dreptunghic. (Indicație: $61^2=3721$, $60^2=3600$.)

18. Găsește un număr natural $n$ astfel încât triunghiul cu laturile $n$, $n+1$ și $5$ să fie dreptunghic, cu ipotenuza $5$. (Indicație: caută două numere naturale consecutive ale căror pătrate să dea împreună $25$.)

19. Un triunghi are laturile $6$, $10$ și $8$. Verifică dacă este dreptunghic, având grijă să identifici corect care este latura cea mai mare înainte de a compara pătratele.

20. Fără să faci desenul, stabilește dacă triunghiul cu laturile $5$, $6$ și $8$ este dreptunghic, ascuțitunghic sau obtuzunghic. Justifică prin compararea lui $c^2$ cu $a^2+b^2$.

Răspunsuri și explicații

1. Dreptunghic. $13^2=169$ și $5^2+12^2=25+144=169$. Egalitate ⇒ dreptunghic, ipotenuza $13$.

2. Nu este dreptunghic. Cea mai mare latură este $9$: $9^2=81$, iar $7^2+8^2=49+64=113$. Cum $81\ne 113$, nu e dreptunghic (de fapt $81<113$, deci ascuțitunghic).

3. Dreptunghic. $17^2=289$ și $8^2+15^2=64+225=289$. Ipotenuza este latura cea mai mare, $17$.

4. Dreptunghic. Cea mai mare latură este $AC=25$: $25^2=625$ și $7^2+24^2=49+576=625$. Ipotenuza este $AC$, deci unghiul drept este în $B$ (vârful opus lui $AC$).

5. Adevărat. Cea mai mare latură este $26$: $26^2=676$ și $10^2+24^2=100+576=676$. Egalitate ⇒ dreptunghic. (Este tripletul $5$-$12$-$13$ înmulțit cu $2$.)

6. Dreptunghic. $15^2=225$ și $9^2+12^2=81+144=225$. Este tripletul $3$-$4$-$5$ înmulțit cu $3$.

7. Nu este dreptunghic. Cea mai mare latură este $4$: $4^2=16$, iar $2^2+3^2=4+9=13$. Cum $16>13$, unghiul mare depășește $90°$, deci triunghiul este obtuzunghic.

8. Dreptunghic. Cea mai mare latură este $3$ (deoarece $3>2>\sqrt{5}\approx 2,24$). Verificare: $3^2=9$ și $(\sqrt{5}{)}^2+2^2=5+4=9$. Ipotenuza ar fi latura $3$.

9. Dreptunghic. $\sqrt{9}=3$, deci laturile sunt $\sqrt{7}$, $3$ și $4$. Cea mai mare este $4$: $4^2=16$ și $(\sqrt{7}{)}^2+3^2=7+9=16$. Egalitate ⇒ dreptunghic, ipotenuza $4$.

10. Dreptunghic. $DF=29$ este cea mai mare: $29^2=841$ și $20^2+21^2=400+441=841$. Ipotenuza este $DF$, deci unghiul drept este în $E$.

11. Dreptunghic. Cea mai mare latură este $2,5$: $2,5^2=6,25$ și $1,5^2+2^2=2,25+4=6,25$. Egalitate ⇒ dreptunghic. (Este tripletul $3$-$4$-$5$ împărțit la $2$.)

12. Laturile: $PQ=6$ (pe axa $Ox$), $PR=8$ (pe axa $Oy$), $QR=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Cea mai mare este $QR=10$: $10^2=100=6^2+8^2$. Dreptunghic, cu unghiul drept în $P$ (originea). De fapt se vede și direct: laturile $PQ$ și $PR$ sunt pe axe perpendiculare.

13. Fals. Din $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ rezultă că $BC$ este ipotenuza (latura al cărei pătrat este suma celorlalte pătrate), nu $AB$. Unghiul drept este în $A$.

14. Cea mai mare latură este $x\sqrt{2}$ (deoarece $\sqrt{2}>1$, deci $x\sqrt{2}>x$). Verificăm: $(x\sqrt{2}{)}^2=x^2\cdot 2=2x^2$, iar $x^2+x^2=2x^2$. Egalitate pentru orice $x>0$ ⇒ dreptunghic. Cum cele două catete sunt egale ($x$ și $x$), triunghiul este dreptunghic isoscel (are unghiurile ascuțite de câte $45°$).

15. Diagonala împreună cu cele două laturi $12$ m și $16$ m formează un triunghi cu laturile $12$, $16$, $20$. Verificare: $20^2=400$ și $12^2+16^2=144+256=400$. Egalitate ⇒ triunghiul este dreptunghic, deci unghiul dintre laturile de $12$ m și $16$ m este drept: laturile sunt perpendiculare, exact cum trebuie la un dreptunghi.

16. Cea mai mare latură este $BC=10$: $10^2=100$ și $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$. Egalitate ⇒ triunghiul $ABC$ este dreptunghic, cu unghiul drept în $A$ (opus lui $BC$). Cum $A$ este vârful unghiului drept și $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$, mediana este $AM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$.

17. Dreptunghic. $61^2=3721$ și $11^2+60^2=121+3600=3721$. Egalitate ⇒ dreptunghic, ipotenuza $61$.

18. Căutăm două numere naturale consecutive $n$ și $n+1$ cu $n^2+(n+1{)}^2=5^2=25$. Încercăm: pentru $n=3$: $3^2+4^2=9+16=25$. ✓ Deci $n=3$: triunghiul cu laturile $3$, $4$, $5$ este dreptunghic cu ipotenuza $5$.

19. Dreptunghic. Atenție: latura cea mai mare nu este ultima din enunț, ci $10$. Comparăm $10^2=100$ cu $6^2+8^2=36+64=100$. Egalitate ⇒ triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza $10$. (Dacă am fi comparat greșit $8^2$ cu $6^2+10^2$, am fi obținut $64\ne 136$ și am fi tras o concluzie falsă — de aceea pasul „identifică latura cea mai mare" este esențial.)

20. Cea mai mare latură este $8$: $8^2=64$, iar $5^2+6^2=25+36=61$. Cum $64>61$, triunghiul nu este dreptunghic; deoarece $c^2>a^2+b^2$, el este obtuzunghic.

De reținut

• Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi $ABC$ avem $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, atunci triunghiul este dreptunghic, cu $m(\angle A)=90°$.
• Ipotenuza este latura al cărei pătrat este egal cu suma pătratelor celorlalte două — adică latura cea mai mare.
• Unghiul drept se află întotdeauna în vârful opus ipotenuzei.
• Algoritmul: ia latura cea mai mare, ridic-o la pătrat și compar-o cu suma pătratelor celorlalte două. Egale ⇒ dreptunghic; diferite ⇒ nu.
• Numere pitagoreice utile: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(20,21,29)$ și multiplii lor.

Greșeli frecvente

• Compari greșit laturile. Unii elevi calculează suma pătratelor primelor două laturi din enunț, fără să verifice care este cea mai mare. Corect este să pui întotdeauna la pătrat latura cea mai lungă și să o compari cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă folosești o catetă în locul ipotenuzei, egalitatea nu iese, iar concluzia devine falsă.
• Confuzia dintre teoremă și reciprocă. Teorema directă pornește de la „triunghi dreptunghic" și obține relația între laturi; reciproca pornește de la relația între laturi și obține „triunghi dreptunghic". Într-o problemă unde ți se dau doar lungimile și trebuie să afli dacă e dreptunghic, folosești reciproca.
• Uiți să indici unde este unghiul drept. Când problema cere să precizezi vârful unghiului drept, nu uita: el este opus laturii celei mai mari (ipotenuzei). Multe puncte se pierd la teze pentru că elevul demonstrează că triunghiul e dreptunghic, dar nu spune în ce vârf.
• Ridici greșit la pătrat un radical. La laturi cu radicali, ține minte că $(\sqrt{x}{)}^2=x$ și $(k\sqrt{x}{)}^2=k^{2}x$. De exemplu $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$, nu $2\cdot 3=6$.

Aplică acasă

1. Colțul camerei tale. Ia o riglă sau un metru de croitorie. Alege un colț al mesei sau al ușii. Măsoară pe una din margini $30$ cm și marchează, apoi pe cealaltă margine $40$ cm și marchează. Măsoară distanța dintre cele două marcaje. Dacă obții aproximativ $50$ cm, colțul este drept (metoda $30$-$40$-$50$). Notează cât ți-a ieșit și decide dacă mobila e „la echer".

2. Ecranul unui dispozitiv. Ia un telefon, o tabletă sau o carte dreptunghiulară. Măsoară cele două laturi (lungimea și lățimea) și diagonala. Verifică prin calcul dacă pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor laturilor. Va ieși foarte aproape — micile diferențe vin din erorile de măsurare.

3. Vânătoare de triplete. Provoacă un prieten sau un părinte: găsiți împreună cel puțin trei triplete pitagoreice noi pornind de la $(3,4,5)$ și $(5,12,13)$, prin înmulțirea cu $2$, $3$, $4$… Verificați fiecare triplet cu reciproca, ca să vă convingeți că formează triunghiuri dreptunghice.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează gândirea logică „dacă…, atunci…" și distincția dintre o teoremă și reciproca ei — o competență esențială pentru toată matematica de gimnaziu și liceu. Cel mai important lucru pe care elevul trebuie să îl automatizeze este algoritmul în trei pași: identifică latura cea mai mare, calculează separat cei doi membri, compară.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Care latură dintr-un triunghi ar putea fi ipotenuza și de ce cea mai mare?"
• „Dacă $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, în ce vârf este unghiul drept?"
• „Prin ce diferă teorema lui Pitagora de reciproca ei?"

Veți vedea că elevul a înțeles cu adevărat dacă, primind trei numere, decide corect și rapid dacă triunghiul e dreptunghic și indică fără ezitare vârful unghiului drept. Un semn de stăpânire avansată este recunoașterea instantanee a tripletelor pitagoreice și a multiplilor lor (de exemplu, să vadă că $30$-$40$-$50$ e „ruda" lui $3$-$4$-$5$). Dacă greșește, cel mai frecvent motiv este compararea unei catete în loc de ipotenuză — insistați pe pasul „identifică latura cea mai mare".

Întrebări frecvente

Ce spune reciproca teoremei lui Pitagora la clasa a 7-a? Reciproca spune că, dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. Unghiul drept se află în vârful opus laturii celei mai mari, iar acea latură este ipotenuza.

Cum știu dacă un triunghi este dreptunghic doar din lungimile laturilor? Iei latura cea mai lungă și o ridici la pătrat, apoi ridici la pătrat celelalte două laturi și le aduni. Dacă cele două rezultate sunt egale, triunghiul este dreptunghic; dacă sunt diferite, nu este. Nu ai nevoie de raportor sau echer, doar de calcule.

Care este diferența dintre teorema lui Pitagora și reciproca ei? Teorema directă pleacă de la faptul că triunghiul este dreptunghic și obține relația $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$. Reciproca pleacă de la relația $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ și obține concluzia că triunghiul este dreptunghic. Practic, ele „schimbă locurile" ipotezei și concluziei.

Cum aflu care latură este ipotenuza folosind reciproca? Ipotenuza este latura al cărei pătrat este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, adică latura cea mai mare a triunghiului dreptunghic. Unghiul drept este întotdeauna opus ipotenuzei.

Ce sunt numerele pitagoreice și de ce sunt utile? Sunt triplete de numere naturale care satisfac relația $c^2=a^2+b^2$, de exemplu $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ sau $(8,15,17)$. Sunt utile pentru că, atunci când le recunoști, poți spune imediat că triunghiul respectiv este dreptunghic, fără calcule lungi.

Funcționează reciproca și dacă laturile au radicali sau zecimale? Da, algoritmul este exact același. La radicali folosești $(\sqrt{x}{)}^2=x$, iar la zecimale ridici la pătrat ca de obicei. De exemplu, triunghiul cu laturile $1,5$; $2$ și $2,5$ este dreptunghic, pentru că $2,5^2=1,5^2+2^2$.

Dacă egalitatea nu iese, ce fel de triunghi am? Dacă pătratul laturii celei mai mari este mai mic decât suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este ascuțitunghic; dacă este mai mare, triunghiul este obtuzunghic. Doar egalitatea exactă dă un triunghi dreptunghic. (La clasa a VII-a te interesează în principal cazul egalității.)

Unde se folosește reciproca teoremei lui Pitagora în viața reală? Constructorii, dulgherii și zidarii o folosesc pentru a verifica dacă un colț este perfect drept, prin metoda „$3$-$4$-$5$" (sau multiplii ei). Măsoară trei lungimi și, dacă formează un triplet pitagoreic, colțul este la $90°$ — exact ce trebuie pentru pereți, mobilă sau pardoseli drepte.