În triunghiul $$ABC$$, $$M \in AB$$ și $$N \in AC$$ cu $$AM = 6$$ cm, $$MB = 9$$ cm, $$AN = 8$$ cm și $$NC = 12$$ cm. Ce poți spune despre dreptele $$MN$$ și $$BC$$?

Sunt paralele, pentru că $$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC} = \dfrac{2}{3}$$

Nu sunt paralele, pentru că rapoartele diferă

Nu se poate stabili fără a măsura unghiurile

Sunt paralele doar dacă triunghiul este isoscel

În triunghiul $$PQR$$, $$S \in PQ$$ și $$T \in PR$$ cu $$PS = 5$$, $$SQ = 10$$, $$PT = 4$$ și $$TR = 9$$. Este $$ST \parallel QR$$?

Nu, pentru că $$\dfrac{5}{10} \ne \dfrac{4}{9}$$

Da, pentru că ambele rapoarte sunt egale cu $$\dfrac{1}{2}$$

Da, pentru că suma segmentelor de pe fiecare latură este aceeași

Nu se poate ști fără lungimea lui $$QR$$

În triunghiul $$ABC$$, $$M \in AB$$ și $$N \in AC$$ cu $$AM=4$$ cm, $$AB=10$$ cm, $$AN=6$$ cm și $$AC=15$$ cm. Este $$MN \parallel BC$$?

Da, pentru că $$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{5}$$

Nu, pentru că rapoartele diferă

Da, dar numai dacă triunghiul este echilateral

Nu se poate stabili fără unghiuri

Cum demonstrez paralelismul cu Thales?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Reciproca teoremei lui Thales

Într-un triunghi $A B C$ , cu $M$ pe $A B$ și $N$ pe $A C$ , calculezi cele două rapoarte $\frac{A M}{M B}$ și $\frac{A N}{N C}$ . Dacă ies egale, atunci $M N$ este paralelă cu $B C$ . Aceeași concluzie iese și din $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ . Exemplu: la $A M = 4$ , $M B = 6$ , $A N = 6$ și $N C = 9$ , amândouă rapoartele dau $\frac{2}{3}$ , deci paralelismul e dovedit.

Teorema lui Thales pornește de la paralelism și ajunge la o proporție. Reciproca ei merge exact invers: pornim de la o proporție și ajungem la paralelism.

Într-un triunghi $A B C$ , cu $M \in A B$ și $N \in A C$ , dacă $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C},$ atunci $M N ∥ B C$ .

Aceeași condiție se poate scrie și cu laturile întregi la numitor: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ .

Exemplu minimal. Dacă $A M = 4$ , $M B = 6$ , $A N = 6$ , $N C = 9$ , calculăm $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ și $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Rapoartele sunt egale, deci $M N ∥ B C$ .

Regula de aur: dacă ți se dau lungimi și ți se cere să arăți paralelismul, folosești reciproca; dacă paralelismul e deja dat și cauți o lungime, folosești teorema directă. Iar dacă rapoartele nu sunt egale, dreptele nu sunt paralele.

De reținut

din $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ rezultă $M N ∥ B C$
forma echivalentă: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$
din proporție iese paralelismul, din paralelism iese proporția

Greșeala tipică

Se pornește de la paralelism ca să se dovedească tot paralelismul, folosind teorema directă în locul reciprocei. Reciproca se alege atunci când pornești de la lungimi și trebuie să ajungi la paralelism.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , $M \in A B$ și $N \in A C$ cu $A M = 6$ cm, $M B = 9$ cm, $A N = 8$ cm și $N C = 12$ cm. Ce poți spune despre dreptele $M N$ și $B C$ ?
- a) Sunt paralele, pentru că $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} = \frac{2}{3}$
- b) Nu sunt paralele, pentru că rapoartele diferă
- c) Nu se poate stabili fără a măsura unghiurile
- d) Sunt paralele doar dacă triunghiul este isoscel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt paralele, pentru că $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} = \frac{2}{3}$

Calculăm $\frac{A M}{M B} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ și $\frac{A N}{N C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . Rapoartele sunt egale, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $M N ∥ B C$ .
În triunghiul $P QR$ , $S \in P Q$ și $T \in P R$ cu $P S = 5$ , $S Q = 10$ , $P T = 4$ și $T R = 9$ . Este $S T ∥ QR$ ?
- a) Da, pentru că ambele rapoarte sunt egale cu $\frac{1}{2}$
- b) Nu, pentru că $\frac{5}{10} \neq = \frac{4}{9}$
- c) Da, pentru că suma segmentelor de pe fiecare latură este aceeași
- d) Nu se poate ști fără lungimea lui $QR$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că $\frac{5}{10} \neq = \frac{4}{9}$

$\frac{P S}{S Q} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ , iar $\frac{P T}{T R} = \frac{4}{9}$ . Cum $\frac{1}{2} \neq = \frac{4}{9}$ , rapoartele nu sunt egale, deci reciproca nu se aplică și $S T$ nu este paralelă cu $QR$ .
În triunghiul $A B C$ , $M \in A B$ și $N \in A C$ cu $A M = 4$ cm, $A B = 10$ cm, $A N = 6$ cm și $A C = 15$ cm. Este $M N ∥ B C$ ?
- a) Da, pentru că $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{2}{5}$
- b) Nu, pentru că rapoartele diferă
- c) Da, dar numai dacă triunghiul este echilateral
- d) Nu se poate stabili fără unghiuri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{2}{5}$

$\frac{A M}{A B} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ și $\frac{A N}{A C} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ . Rapoartele sunt egale, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $M N ∥ B C$ .

Întrebări conexe

Cum aleg ce segmente pun la numărător și la numitor?

Le scrii în același fel pentru amândouă laturile: bucata de lângă vârf sus și bucata rămasă jos. Dacă începi cu $\frac{A M}{M B}$ , atunci a doua trebuie să fie $\frac{A N}{N C}$ , nu $\frac{N C}{A N}$ . Amestecarea ordinii duce la rapoarte care nu se pot compara.

Cum arăt paralelismul într-un trapez folosind rapoarte?

Prelungești laturile neparalele până se întâlnesc într-un punct și obții un triunghi. În el, bazele trapezului devin cele două segmente despre care trebuie să arăți că sunt paralele. Compari apoi rapoartele determinate pe laturile triunghiului, exact ca la figura obișnuită.

Ce diferență e între reciproca lui Thales și cea a lui Pitagora?

Amândouă pornesc de la numere și ajung la o proprietate a figurii, dar spun lucruri diferite. Cea a lui Thales dovedește un paralelism, pornind de la două rapoarte egale. Cea a lui Pitagora dovedește un unghi drept, pornind de la o egalitate între pătratele laturilor.

Cum simplific rapoartele înainte de a le compara?

Împarți numărătorul și numitorul la același număr, până obții forma cea mai scurtă. Din $\frac{12}{18}$ rămâne $\frac{2}{3}$ , iar din $\frac{10}{15}$ tot $\frac{2}{3}$ , deci egalitatea sare în ochi. Alternativ, verifici direct produsele încrucișate, care trebuie să iasă egale.

Ce cerințe de examen cer reciproca teoremei lui Thales?

La subiectul al treilea apar cerințe de tipul demonstrați că un segment este paralel cu o latură, unde ți se dau lungimile. Alteori paralelismul astfel dovedit se folosește mai departe, ca să arăți că un patrulater este trapez sau paralelogram.

Se poate folosi reciproca dacă punctele sunt pe prelungiri?

Da, rezultatul rămâne valabil și când punctele cad pe prelungirile laturilor, dincolo de vârfuri. Rapoartele se scriu cu aceleași segmente, iar concluzia este tot paralelismul. Trebuie doar să fii atent la desen, fiindcă figura arată altfel decât cea obișnuită din manual.

Oamenii mai întreabă și: reciproca teoremei lui Thales · cum demonstrez că două drepte sunt paralele · din proporție rezultă paralelism · reciproca lui Thales exemplu · segmente proporționale și paralelism