Reciproca teoremei lui Thales

Îți amintești cum, în lecția despre teorema lui Thales, pornim de la două drepte paralele și obținem segmente proporționale? Ei bine, acum vom merge exact în sens invers: dacă știm că niște segmente sunt proporționale, putem oare fi siguri că două drepte sunt paralele? Răspunsul este da, iar instrumentul care ne permite acest lucru se numește reciproca teoremei lui Thales. Este o unealtă folosită zilnic de arhitecți, dulgheri și ingineri: ori de câte ori cineva verifică dacă o grindă este „la fel de înclinată" cu alta sau dacă un raft este perfect paralel cu podeaua, măsurând doar câteva lungimi, folosește ideea din spatele acestei teoreme.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect reciproca teoremei lui Thales.
• Vei ști să demonstrezi că o dreaptă este paralelă cu o latură a unui triunghi verificând proporția dintre segmente.
• Vei ști să alegi între teorema directă și reciproca ei în funcție de ceea ce cere problema.
• Vei ști să recunoști capcanele: ce condiție trebuie neapărat verificată înainte de a trage concluzia paralelismului.
• Vei ști să aplici reciproca în probleme concrete de paralelism, atât în triunghi, cât și în configurații cu mai multe drepte.

Hai să descoperim împreună

O scurtă recapitulare: ce spunea teorema directă

Înainte de a merge mai departe, să ne reamintim ce înseamnă teorema lui Thales (varianta directă). Fie un triunghi $ABC$ și o dreaptă $d$ paralelă cu latura $BC$, care taie laturile $AB$ și $AC$ în punctele $M$, respectiv $N$.

Atunci teorema directă ne spune că segmentele determinate pe laturi sunt proporționale:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

Cu alte cuvinte: din paralelism obținem proporție. Punctul de plecare (ipoteza) este $MN\parallel BC$, iar ceea ce demonstrăm (concluzia) este egalitatea rapoartelor.

Ideea reciprocei: schimbăm ipoteza cu concluzia

Într-o teoremă avem mereu o ipoteză (ce știm, ce ni se dă) și o concluzie (ce demonstrăm). Reciproca unei teoreme se obține schimbând rolurile: ceea ce era concluzie devine ipoteză, iar ceea ce era ipoteză devine concluzie.

La teorema lui Thales lucrurile stau așa:

Deci reciproca pornește de la proporție și ajunge la paralelism. Este exact instrumentul de care avem nevoie când vrem să demonstrăm că două drepte sunt paralele, fără să le măsurăm unghiurile.

Enunțul reciprocei teoremei lui Thales

Să formulăm acum riguros. Reține că punctele $M$ și $N$ trebuie să fie pe laturile triunghiului (sau pe prelungirile lor), câte unul pe fiecare, iar dreapta $MN$ este cea despre care ne întrebăm dacă e paralelă cu $BC$.

Reciproca teoremei lui Thales. Fie triunghiul $ABC$ și punctele $M\in AB$, $N\in AC$, distincte de vârfuri. Dacă $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC},$$ atunci dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele: $MN\parallel BC$.

Enunțul se poate scrie și cu alte rapoarte echivalente, iar acest lucru este foarte util în practică. Din $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ rezultă (și reciproc) și egalitatea rapoartelor față de întreaga latură:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$

De ce sunt echivalente aceste două forme? Pentru că $AB=AM+MB$ și $AC=AN+NC$. Dacă notăm raportul comun cu $k$, adică $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=k$, atunci:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k\cdot MB}{k\cdot MB+MB}=\frac{k}{k+1},$$

și la fel $\frac{AN}{AC}=\frac{k}{k+1}$. Deci cele două rapoarte $\frac{AM}{AB}$ și $\frac{AN}{AC}$ sunt egale. Vei folosi foarte des forma cu $AB$ și $AC$ la numitor, pentru că în multe probleme cunoști direct lungimile laturilor întregi.

Cum aplicăm reciproca, pas cu pas

Ori de câte ori ți se cere să demonstrezi că două drepte sunt paralele folosind reciproca teoremei lui Thales, urmează acești pași:

1. Identifică triunghiul și punctele. Găsește triunghiul în care lucrezi și cele două puncte de pe laturi (sau pe prelungiri) prin care trece dreapta despre care vrei să arăți că e paralelă.
2. Scrie rapoartele care trebuie comparate. De obicei $\frac{AM}{MB}$ și $\frac{AN}{NC}$, sau forma echivalentă $\frac{AM}{AB}$ și $\frac{AN}{AC}$. Ai grijă să iei segmentele „corespunzătoare": de pe aceeași latură, măsurate de la același vârf.
3. Calculează fiecare raport. Înlocuiește lungimile date și adu fiecare raport la forma de fracție (eventual simplificată sau ca număr zecimal).
4. Compară. Dacă cele două rapoarte sunt egale, condiția din reciprocă este îndeplinită.
5. Trage concluzia. Scrie: „Conform reciprocei teoremei lui Thales, rezultă $MN\parallel BC$."

Foarte important: dacă rapoartele nu sunt egale, concluzia este că dreptele nu sunt paralele. Reciproca funcționează în ambele sensuri de decizie: egalitate $\Rightarrow$ paralele; inegalitate $\Rightarrow$ neparalele.

Un mic exemplu de încălzire

Fie triunghiul $ABC$ cu $M\in AB$ și $N\in AC$ astfel încât $AM=4$ cm, $MB=6$ cm, $AN=6$ cm, $NC=9$ cm. Sunt paralele $MN$ și $BC$?

Calculăm: $$\frac{AM}{MB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{AN}{NC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

Rapoartele sunt egale, deci da, $MN\parallel BC$ (conform reciprocei teoremei lui Thales).

Observă ce frumos e: nu am măsurat niciun unghi, nu am folosit raportor. Doar patru lungimi și o comparație de fracții ne-au permis să fim siguri de paralelism. Aceasta este puterea reciprocei.

De ce este adevărată reciproca? O justificare intuitivă

La clasa a VII-a, reciproca teoremei lui Thales se acceptă (ca și teorema directă) fără o demonstrație formală completă. Dar merită să înțelegi de ce funcționează, printr-un raționament de tipul „ce s-ar întâmpla dacă nu ar fi așa".

Presupune că avem $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, dar, printr-o presupunere greșită, dreapta $MN$ nu ar fi paralelă cu $BC$. Atunci ducem prin $M$ o dreaptă $M{N}^{\prime }$ paralelă cu $BC$, care taie latura $AC$ într-un punct $N^{\prime }$ diferit de $N$.

Pentru dreapta $M{N}^{\prime }$, care este paralelă cu $BC$, se aplică teorema directă a lui Thales: $$\frac{AM}{MB}=\frac{A{N}^{\prime }}{N^{\prime }C}.$$

Dar din ipoteză știm și că $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. Prin urmare: $$\frac{A{N}^{\prime }}{N^{\prime }C}=\frac{AN}{NC}.$$

Această egalitate spune că punctul $N^{\prime }$ împarte segmentul $AC$ în exact aceeași proporție ca punctul $N$. Însă pe un segment dat există un singur punct care îl împarte într-un raport dat (pornind de la același capăt). Deci $N^{\prime }=N$. Asta înseamnă că dreapta $M{N}^{\prime }$ (care e paralelă cu $BC$) coincide cu dreapta $MN$. Concluzie: $MN\parallel BC$, exact ce voiam. Presupunerea că $MN$ nu ar fi paralelă cu $BC$ ne-a dus la o contradicție, deci ea era falsă.

Nu trebuie să reproduci această justificare la fiecare problemă — este suficient să citezi „conform reciprocei teoremei lui Thales". Dar înțelegând raționamentul, îți vei aminti mult mai bine ce condiție trebuie verificată.

Diferența dintre teorema directă și reciproca ei

Multe greșeli apar pentru că elevii amestecă cele două teoreme. Ține minte regula de aur:

• Teorema directă: pornești de la paralelism (îl știi din enunț) și obții proporția. O folosești când ai deja „$\parallel$" în ipoteză și vrei să afli o lungime necunoscută.
• Reciproca: pornești de la proporție (verifici numeric egalitatea rapoartelor) și obții paralelismul. O folosești când ți se cere să demonstrezi că două drepte sunt paralele.

O analogie simplă: teorema directă e ca și cum ai ști că afară plouă și deduci că asfaltul e ud. Reciproca ar fi: vezi asfaltul ud și te întrebi dacă a plouat. La geometrie, spre deosebire de vreme, reciproca teoremei lui Thales este mereu adevărată — asta o face un instrument sigur de demonstrație.

Întrebarea-cheie pe care să ți-o pui la fiecare problemă: „Ce mi se dă și ce mi se cere?"

• Dacă mi se dă paralelism și mi se cere o lungime → teorema directă.
• Dacă mi se dau lungimi (rapoarte) și mi se cere să arăt paralelismul → reciproca.

O configurație mai generală: puncte pe prelungiri

Reciproca funcționează și când $M$ și $N$ nu sunt strict între vârfuri, ci pe prelungirile laturilor, atâta timp cât rapoartele orientate sunt egale. Cel mai frecvent caz la clasa a VII-a este însă cel cu punctele pe laturile triunghiului, așa cum am prezentat. Vei mai întâlni și configurația cu două drepte tăiate de secante (fără triunghi explicit), dar și acolo ideea rămâne aceeași: proporția segmentelor determinate garantează paralelismul.

Legătura cu lecțiile vecine

Reciproca teoremei lui Thales se sprijină pe noțiunea de segmente proporționale și pe teorema lui Thales. Mai departe, o vei folosi la împărțirea unui segment în părți proporționale și, mai ales, ca punct de plecare către triunghiuri asemenea și teorema fundamentală a asemănării. Practic, verificarea paralelismului prin proporții este primul pas către identificarea unor triunghiuri asemenea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea paralelismului prin rapoarte simple

Enunț. În triunghiul $ABC$, punctul $M\in AB$ și punctul $N\in AC$ sunt astfel încât $AM=5$ cm, $MB=8$ cm, $AN=7,5$ cm și $NC=12$ cm. Arată că $MN\parallel BC$.

Rezolvare. Aplicăm reciproca teoremei lui Thales, deci calculăm și comparăm rapoartele $\frac{AM}{MB}$ și $\frac{AN}{NC}$:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{5}{8},\frac{AN}{NC}=\frac{7,5}{12}.$$

Aducem al doilea raport la o formă comparabilă. Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu $2$ pentru a scăpa de zecimală: $$\frac{7,5}{12}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}.$$

Cele două rapoarte sunt egale: $\frac{5}{8}=\frac{5}{8}$. Prin urmare, conform reciprocei teoremei lui Thales, rezultă $MN\parallel BC$. $■$

Exemplul 2 — Decizia: sunt sau nu paralele?

Enunț. În triunghiul $PQR$, se iau $S\in PQ$ și $T\in PR$ cu $PS=6$, $SQ=4$, $PT=9$ și $TR=5$. Sunt paralele dreptele $ST$ și $QR$?

Rezolvare. Verificăm egalitatea rapoartelor: $$\frac{PS}{SQ}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5,\frac{PT}{TR}=\frac{9}{5}=1,8.$$

Deoarece $1,5\ne 1,8$, rapoartele nu sunt egale. În consecință, $ST$ nu este paralelă cu $QR$.

Observație. Aici reciproca ne-a ajutat să dăm un răspuns negativ ferm. Dacă rapoartele ar fi fost egale, ar fi urmat paralelismul; fiind diferite, paralelismul este exclus. $■$

Exemplul 3 — Aflarea unei lungimi ca să fie paralelism

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$ și $N\in AC$ cu $AM=4$ cm, $MB=10$ cm și $AN=6$ cm. Ce lungime trebuie să aibă $NC$ pentru ca $MN\parallel BC$?

Rezolvare. Vrem ca $MN\parallel BC$, deci, conform reciprocei, trebuie ca: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

Înlocuim valorile cunoscute și notăm $NC=x$: $$\frac{4}{10}=\frac{6}{x}.$$

Rezolvăm această proporție prin regula produsului mezilor egal cu produsul extremilor („înmulțire în cruce"): $$4\cdot x=10\cdot 6\Rightarrow 4x=60\Rightarrow x=15.$$

Deci $NC=15$ cm. Verificare: $\frac{AM}{MB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Egalitate confirmată, deci pentru $NC=15$ cm avem $MN\parallel BC$. $■$

Exemplul 4 — Cu latura întreagă la numitor

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$ și $N\in AC$ cu $AB=20$ cm, $AM=8$ cm, $AC=15$ cm și $AN=6$ cm. Demonstrează că $MN\parallel BC$.

Rezolvare. Aici cunoaștem laturile întregi $AB$ și $AC$, așa că folosim forma echivalentă a reciprocei: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$

Calculăm: $$\frac{AM}{AB}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},\frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$$

Rapoartele sunt egale, deci conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$.

De ce a mers și așa? Pentru că, așa cum am arătat la teorie, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ este echivalentă cu $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. Poți alege forma care se potrivește datelor din problemă. $■$

Exemplul 5 — Aflarea unei necunoscute dintr-o ecuație

Enunț. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$ și $N\in AC$ cu $AM=x$, $MB=12$, $AN=x+2$ și $NC=20$. Știind că $MN\parallel BC$, află $x$.

Rezolvare. Din $MN\parallel BC$, teorema directă a lui Thales (folosim aici sensul „paralelism $\Rightarrow$ proporție") ne dă: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{x}{12}=\frac{x+2}{20}.$$

Înmulțim în cruce: $$20x=12(x+2)\Rightarrow 20x=12x+24\Rightarrow 8x=24\Rightarrow x=3.$$

Deci $AM=3$ și $AN=5$. Verificare: $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ și $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ — egale, corect.

Observație despre care teoremă folosim. În acest exemplu paralelismul era dat, deci am folosit teorema directă pentru a scrie proporția. Ține minte diferența față de exemplele 1 și 4, unde paralelismul era cerut și l-am demonstrat cu reciproca. $■$

Exemplul 6 — O mică problemă aplicată

Enunț. Un pictor sprijină o schelă triunghiulară de un perete. Cadrul are vârful $A$ sus și baza $BC$ jos, pe podea. Pe montantul $AB$ fixează o traversă orizontală la punctul $M$, iar pe montantul $AC$ la punctul $N$. Măsoară: $AM=90$ cm, $MB=60$ cm, $AN=120$ cm, $NC=80$ cm. Este traversa $MN$ perfect paralelă cu podeaua $BC$?

Rezolvare. Verificăm reciproca: $$\frac{AM}{MB}=\frac{90}{60}=\frac{3}{2},\frac{AN}{NC}=\frac{120}{80}=\frac{3}{2}.$$

Rapoartele sunt egale, deci da, traversa $MN$ este paralelă cu podeaua $BC$. Pictorul poate fi liniștit că traversa e „la nivel" relativ la bază, fără să folosească o nivelă cu bulă — i-a fost suficient să măsoare patru lungimi. Aceasta este exact aplicația reciprocei în viața reală: garantarea paralelismului prin măsurători de lungimi. $■$

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, făcând întâi un desen acolo unde e cazul. La final, verifică-te cu secțiunea „Răspunsuri și explicații".

1. Enunță cu cuvintele tale reciproca teoremei lui Thales, precizând clar ipoteza și concluzia.

2. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=3$, $MB=6$, $AN=4$, $NC=8$. Sunt paralele $MN$ și $BC$?

3. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=5$, $MB=7$, $AN=10$, $NC=15$. Verifică dacă $MN\parallel BC$.

4. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci $MN\parallel BC$."

5. Adevărat sau fals, cu justificare: „Reciproca teoremei lui Thales pornește de la paralelism și obține proporția segmentelor."

6. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=6$, $MB=9$ și $AN=8$. Cât trebuie să fie $NC$ pentru ca $MN\parallel BC$?

7. În triunghiul $ABC$, $AB=24$, $AM=9$, $AC=16$, $AN=6$, cu $M\in AB$, $N\in AC$. Arată, folosind forma cu laturile întregi, că $MN\parallel BC$.

8. În triunghiul $PQR$, $S\in PQ$, $T\in PR$ cu $PS=2,4$, $SQ=3,6$, $PT=4$, $TR=6$. Este $ST\parallel QR$?

9. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=x$, $MB=8$, $AN=6$, $NC=12$. Știind că $MN\parallel BC$, află $x$.

10. Pentru fiecare situație, spune ce folosești: teorema directă sau reciproca. a) Se dă $MN\parallel BC$ și se cere lungimea lui $AN$. b) Se dau toate cele patru segmente și se cere să arăți că $MN\parallel BC$. c) Se dau trei segmente și se cere al patrulea astfel încât $MN\parallel BC$.

11. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=2,5$ cm, $MB=1,5$ cm, $AN=5$ cm, $NC=3$ cm. Demonstrează că $MN\parallel BC$.

12. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=x+1$, $MB=6$, $AN=x+3$, $NC=10$. Dacă $MN\parallel BC$, află $x$.

13. Un elev scrie: „$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, unde $AM=4$, $MB=5$, $AN=5$, $NC=4$, deci $MN\parallel BC$." Are dreptate? Justifică.

14. În triunghiul $ABC$, $AB=30$, $AM=12$, $AC=25$, $AN=10$. Verifică dacă $MN\parallel BC$, unde $M\in AB$, $N\in AC$.

15. Într-un triunghi $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$ și $N$ este mijlocul laturii $AC$. Folosind reciproca teoremei lui Thales, arată că $MN\parallel BC$. (Aceasta este o cale alternativă de a obține proprietatea liniei mijlocii.)

16. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=3k$, $MB=5k$, $AN=3m$, $NC=5m$ (unde $k,m>0$). Arată că $MN\parallel BC$, oricare ar fi $k$ și $m$.

17. Într-un triunghi $ABC$, se dau $AB=18$ cm, $AC=27$ cm. Punctul $M\in AB$ cu $AM=6$ cm. Unde trebuie așezat $N$ pe $AC$ (adică ce lungime $AN$) pentru ca $MN\parallel BC$?

18. Problemă de sinteză. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ cu $AM=8$, $MB=12$, $AN=10$, $NC=15$. a) Arată că $MN\parallel BC$. b) Știind în plus că $BC=25$ cm, află lungimea segmentului $MN$. (Indicație: după ce ai paralelismul, folosește proporția $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$, pe care o dă teorema fundamentală a asemănării.)

Răspunsuri și explicații

1. Reciproca: dacă într-un triunghi $ABC$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$, avem $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (ipoteza), atunci $MN\parallel BC$ (concluzia). Pornim de la proporție și obținem paralelismul.

2. $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{AN}{NC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Egale $\Rightarrow$ da, $MN\parallel BC$.

3. $\frac{5}{7}\approx 0,714$; $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\approx 0,667$. Diferite $\Rightarrow$ nu, $MN$ nu este paralelă cu $BC$.

4. Adevărat. Este chiar enunțul reciprocei teoremei lui Thales (cu $M\in AB$, $N\in AC$).

5. Fals. Cea care pornește de la paralelism și obține proporția este teorema directă. Reciproca merge invers: din proporție $\Rightarrow$ paralelism.

6. Condiția: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{6}{9}=\frac{8}{NC}$. Înmulțire în cruce: $6\cdot NC=9\cdot 8=72\Rightarrow NC=12$. Deci $NC=12$. Verificare: $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ și $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. ✓

7. $\frac{AM}{AB}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$; $\frac{AN}{AC}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. Egale $\Rightarrow$ $MN\parallel BC$ (conform reciprocei).

8. $\frac{PS}{SQ}=\frac{2,4}{3,6}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$; $\frac{PT}{TR}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Egale $\Rightarrow$ da, $ST\parallel QR$.

9. $MN\parallel BC\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, deci $x=8\cdot \frac{1}{2}=4$. $x=4$ (adică $AM=4$). Verificare: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$. ✓

10. a) Directă (paralelismul e dat, se cere o lungime). b) Reciproca (se dau lungimile, se cere paralelismul). c) Reciproca (impunem condiția de paralelism prin egalitatea rapoartelor și aflăm segmentul lipsă).

11. $\frac{AM}{MB}=\frac{2,5}{1,5}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$; $\frac{AN}{NC}=\frac{5}{3}$. Egale $\Rightarrow$ $MN\parallel BC$ (reciproca).

12. $MN\parallel BC\Rightarrow \frac{x+1}{6}=\frac{x+3}{10}$. În cruce: $10(x+1)=6(x+3)\Rightarrow 10x+10=6x+18\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$. $x=2$ ($AM=3$, $AN=5$). Verificare: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ și $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. ✓

13. Nu are dreptate. $\frac{AM}{MB}=\frac{4}{5}=0,8$, dar $\frac{AN}{NC}=\frac{5}{4}=1,25$. Rapoartele nu sunt egale, deci reciproca nu se aplică și $MN$ nu este paralelă cu $BC$. Elevul a scris egalitatea fără să o verifice numeric — capcană clasică.

14. $\frac{AM}{AB}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4$; $\frac{AN}{AC}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0,4$. Egale $\Rightarrow$ $MN\parallel BC$.

15. $M$ mijlocul lui $AB$ $\Rightarrow AM=MB$, deci $\frac{AM}{MB}=1$. $N$ mijlocul lui $AC$ $\Rightarrow AN=NC$, deci $\frac{AN}{NC}=1$. Cele două rapoarte sunt egale (ambele $=1$), deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$. (Acesta e chiar paralelismul din proprietatea liniei mijlocii.)

16. $\frac{AM}{MB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$; $\frac{AN}{NC}=\frac{3m}{5m}=\frac{3}{5}$. Pentru orice $k,m>0$, factorii $k$ și $m$ se simplifică, iar ambele rapoarte sunt $\frac{3}{5}$. Fiind egale $\Rightarrow$ $MN\parallel BC$, indiferent de valorile lui $k$ și $m$.

17. Condiția $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$: $\frac{6}{18}=\frac{AN}{27}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{AN}{27}\Rightarrow AN=9$ cm. $AN=9$ cm. Verificare: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$ și $\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$. ✓

18. a) $\frac{AM}{MB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$; $\frac{AN}{NC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Egale $\Rightarrow$ $MN\parallel BC$. b) Acum că avem paralelismul, folosim proporția cu latura întreagă $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ (dată de teorema fundamentală a asemănării). Aici $AB=AM+MB=8+12=20$, deci $\frac{8}{20}=\frac{MN}{25}\Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{MN}{25}\Rightarrow MN=\frac{2\cdot 25}{5}=10$ cm. $MN=10$ cm.

De reținut

• Reciproca teoremei lui Thales: în triunghiul $ABC$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$, dacă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci $MN\parallel BC$.
• Condiția se poate scrie și echivalent cu laturile întregi la numitor: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
• Din proporție $\Rightarrow$ paralelism (reciproca). Din paralelism $\Rightarrow$ proporție (teorema directă).
• Pentru a demonstra paralelismul: calculează cele două rapoarte, compară-le; dacă sunt egale, scrii concluzia „conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$".
• Dacă rapoartele nu sunt egale, dreptele nu sunt paralele.

Greșeli frecvente

• Confundarea celor două teoreme. Dacă ți se cere să demonstrezi paralelismul, folosești reciproca (pornești de la lungimi). Dacă paralelismul e deja dat și cauți o lungime, folosești teorema directă. Întreabă-te mereu: „Ce mi se dă și ce mi se cere?"
• Așezarea greșită a segmentelor în raport. Segmentele trebuie luate corespunzător: de pe aceeași latură și de la același vârf. Nu compara $\frac{AM}{MB}$ cu $\frac{NC}{AN}$ (raport inversat) — ar da un rezultat fals.
• Scrierea egalității fără verificare. Nu ai voie să scrii $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ ca și cum ar fi automat adevărată. Trebuie să înlocuiești numerele și să arăți prin calcul că cele două fracții sunt egale. Vezi capcana din exercițiul 13.
• Uitarea condiției de egalitate. Reciproca dă paralelism numai dacă rapoartele sunt egale. Dacă sunt aproape egale, dar nu chiar (de exemplu $\frac{5}{7}$ față de $\frac{2}{3}$), concluzia este că dreptele nu sunt paralele.

Aplică acasă

• Rama „la nivel". Ia o ramă triunghiulară sau desenează pe o coală un triunghi mare. Marchează pe cele două laturi câte un punct la aceeași fracție (de exemplu, la o treime de vârf pe fiecare latură), măsoară cu rigla segmentele obținute și verifică prin reciprocă dacă segmentul dintre puncte este paralel cu baza. Apoi confirmă vizual cu o riglă sau o linie.
• Detectivul paralelismului. Roagă un părinte sau un prieten să deseneze un triunghi și să pună două puncte pe laturi, dându-ți doar cele patru lungimi (fără să-ți spună dacă a făcut segmentul paralel sau nu). Tu, folosind reciproca, decide dacă segmentul este paralel cu baza. Verificați împreună dacă ai avut dreptate.
• Umbra și stâlpul. Într-o zi însorită, observă cum umbra unui stâlp și umbra unui băț mai scurt formează, împreună cu obiectele, o configurație de triunghiuri. Discută cum egalitatea rapoartelor lungimilor (obiect/umbră) exprimă un paralelism/o asemănare — o punte spre lecțiile viitoare despre aproximarea distanțelor folosind asemănarea.

Pentru părinți și profesori

Această lecție îl învață pe elev să demonstreze paralelismul, nu doar să-l observe — un salt important în gândirea geometrică. Cel mai frecvent obstacol este confuzia dintre teorema directă și reciprocă. Ajutați elevul cerându-i, la fiecare problemă, să spună cu voce tare „ce se dă" și „ce se cere"; asta clarifică imediat ce instrument trebuie folosit.

Întrebări bune de verificare:

• „Care este ipoteza reciprocei și care este concluzia ei?" (proporție $\to$ paralelism)
• „Dacă cele două rapoarte NU sunt egale, ce concluzie tragi?" (dreptele nu sunt paralele)
• „Poți scrie condiția și cu laturile întregi la numitor?" ($\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$)

Semne că elevul a înțeles: alege corect între directă și reciprocă fără să fie ghidat, simplifică fracțiile înainte de a le compara, și scrie explicit propoziția de concluzie („conform reciprocei..., $MN\parallel BC$"). Dacă elevul scrie egalitatea rapoartelor fără să o verifice numeric (ca în exercițiul 13), reveniți asupra ideii că o egalitate trebuie demonstrată, nu presupusă.

Întrebări frecvente

Ce spune reciproca teoremei lui Thales, pe scurt? Spune că, într-un triunghi $ABC$ cu $M\in AB$ și $N\in AC$, dacă rapoartele $\frac{AM}{MB}$ și $\frac{AN}{NC}$ sunt egale, atunci dreapta $MN$ este paralelă cu latura $BC$. Practic, din proporția segmentelor deducem paralelismul.

Care este diferența dintre teorema lui Thales și reciproca ei? Teorema directă pornește de la paralelism ($MN\parallel BC$) și obține proporția segmentelor. Reciproca merge invers: pornește de la proporția segmentelor și obține paralelismul. Directa se folosește pentru a afla lungimi când știi că dreptele sunt paralele; reciproca se folosește pentru a demonstra că sunt paralele.

Cum demonstrez că două drepte sunt paralele folosind reciproca? Identifici triunghiul și punctele de pe laturi, calculezi cele două rapoarte ($\frac{AM}{MB}$ și $\frac{AN}{NC}$, sau $\frac{AM}{AB}$ și $\frac{AN}{AC}$), le compari, iar dacă sunt egale scrii concluzia: „conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$". Dacă rapoartele diferă, dreptele nu sunt paralele.

Ce fac dacă cele două rapoarte nu sunt egale? Atunci concluzia este că dreptele nu sunt paralele. Reciproca garantează paralelismul doar când rapoartele sunt egale; inegalitatea lor exclude paralelismul.

Pot folosi forma $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ în loc de $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$? Da, cele două forme sunt echivalente, pentru că $AB=AM+MB$ și $AC=AN+NC$. Alege forma care se potrivește datelor: dacă cunoști laturile întregi $AB$ și $AC$, e mai comod cu ele la numitor.

Reciproca teoremei lui Thales se demonstrează la clasa a VII-a? La clasa a VII-a, atât teorema lui Thales, cât și reciproca ei se acceptă (se folosesc) fără o demonstrație formală obligatorie. Este bine totuși să înțelegi justificarea intuitivă bazată pe unicitatea paralelei prin punctul $M$, pentru a reține corect condiția.

De ce e utilă reciproca în practică? Pentru că permite verificarea paralelismului prin simple măsurători de lungimi, fără raportor sau nivelă. Constructorii, dulgherii și inginerii folosesc această idee pentru a se asigura că o traversă, un raft sau o grindă este paralelă cu o referință dată.

Cum îmi dau seama dacă o problemă cere teorema directă sau reciproca? Pune-ți întrebarea „ce mi se dă și ce mi se cere?". Dacă paralelismul e dat și cauți o lungime, folosești directa. Dacă ai lungimile și trebuie să arăți paralelismul (sau să afli o lungime care să-l asigure), folosești reciproca.