Care este mulțimea $$D_{28}$$, adică mulțimea divizorilor numărului 28?

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 7,\ 14,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28\}$$

Ce este un divizor și ce este un multiplu?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Relația de divizibilitate: divizori și multipli

Un număr este divizor al altuia dacă al doilea se poate scrie ca produsul lui cu un număr natural; atunci al doilea se numește multiplu al primului. Fiindcă $42 = 7 \cdot 6$ , numărul $7$ este divizor al lui $42$ , iar $42$ este multiplu al lui $7$ . Divizorii unui număr sunt puțini și se pot scrie toți, fiindcă niciunul nu îl depășește, în timp ce multiplii lui continuă la nesfârșit.

Relația de divizibilitate leagă două numere naturale $a$ și $b$ printr-o egalitate de înmulțire, nu de împărțire: spunem că $a$ divide $b$ , notat $a ∣ b$ , dacă există un număr natural $c$ astfel încât $b = a \cdot c$ . Atunci $a$ se numește divizor al lui $b$ , iar $b$ se numește multiplu al lui $a$ . Mulțimea tuturor divizorilor unui număr, notată $D_{b}$ , este întotdeauna finită (niciun divizor nu poate depăși numărul însuși) și se găsește sigur prin metoda perechilor de factori. Mulțimea multiplilor unui număr $a \neq = 0$ , notată $M_{a}$ , este infinită, deoarece se obține înmulțind $a$ cu $0, 1, 2, 3, \dots$ Cazuri speciale: $1$ divide orice număr, orice număr se divide pe sine, iar $0$ este multiplu al oricărui număr, dar nu divide niciun număr nenul.

Exemplu: $7 ∣ 42$ , deoarece $42 = 7 \cdot 6$ , deci 7 este divizor al lui 42, iar 42 este multiplu al lui 7.

De reținut

$a ∣ b$ înseamnă că există $c$ natural cu $b = a \cdot c$
mulțimea divizorilor este finită, mulțimea multiplilor este infinită
$1$ divide orice număr, iar $0$ este multiplu al oricărui număr

Greșeala tipică

Se inversează rolurile și se spune că numărul mare este divizor al celui mic; divizorul este cel care intră de un număr întreg de ori în celălalt, deci nu îl poate depăși niciodată.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru ca propoziția $6 ∣ 42$ să fie adevărată, conform definiției, trebuie să existe un număr natural $c$ astfel încât $42 = 6 \cdot c$ . Care este valoarea lui $c$ ?
- a) $c = 6$
- b) $c = 7$
- c) $c = 8$
- d) $c = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $c = 7$

Căutăm $c$ natural cu $42 = 6 \cdot c$ . Cum $6 \cdot 7 = 42$ , obținem $c = 7$ . Astfel $6 ∣ 42$ este adevărat, 6 este divizor al lui 42, iar 42 este multiplu al lui 6.
Care este mulțimea $D_{28}$ , adică mulțimea divizorilor numărului 28?
- a) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$
- b) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 28}$
- c) $D_{28} = {1, 2, 7, 14, 28}$
- d) $D_{28} = {2, 4, 7, 14, 28}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$

Folosim metoda perechilor de factori: $1 \cdot 28 = 28$ , $2 \cdot 14 = 28$ , $4 \cdot 7 = 28$ . Nu mai există alți divizori între 4 și 7. Ordonat crescător: $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$ . Varianta b) omite pe 14, varianta c) omite pe 4, iar varianta d) omite pe 1 (divizor obligatoriu al oricărui număr).
Care dintre următoarele afirmații despre divizibilitate este adevărată?
- a) $5 ∣ 32$
- b) $5 ∣ 35$
- c) $4 ∣ 38$
- d) $3 ∣ 29$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 ∣ 35$

Verificăm fiecare: $32 : 5$ nu este exactă (nu există $c$ natural cu $32 = 5 c$ ) — respinge a). $35 : 5 = 7$ , deci $35 = 5 \cdot 7$ , adevărat — b) este corectă. $38 : 4$ nu este exactă — respinge c). $29 : 3$ nu este exactă — respinge d). Singura afirmație adevărată este b).

Întrebări conexe

Cum arăt că 7 divide 42?

Cauți numărul cu care trebuie înmulțit $7$ ca să obții $42$ și găsești $6$ . Fiindcă egalitatea $42 = 7 \cdot 6$ este adevărată cu numere naturale, relația de divizibilitate există. Definiția se sprijină pe o înmulțire, nu pe o împărțire cu rest.

Cum găsesc toți divizorii unui număr prin metoda perechilor?

Iei pe rând numerele mici și, ori de câte ori împărțirea se face fără rest, notezi și partenerul rezultat. La $42$ obții perechile $1$ cu $42$ , $2$ cu $21$ , $3$ cu $14$ și $6$ cu $7$ . Te oprești când cei doi termeni ai perechii se apropie.

Câți multipli are un număr natural nenul?

O infinitate, fiindcă îl poți înmulți pe rând cu $0$ , cu $1$ , cu $2$ și așa mai departe, fără să te oprești vreodată. Primul multiplu al oricărui număr este $0$ , iar cel mai mic multiplu nenul este chiar numărul însuși.

Ce rol are numărul 1 în relația de divizibilitate?

Îl divide pe oricare altul, fiindcă orice număr se scrie ca produsul dintre el și $1$ . De aceea $1$ apare în mulțimea divizorilor tuturor numerelor. La rândul lui, are un singur divizor, motiv pentru care nu este considerat număr prim.

Cum scriu că 42 este multiplu al lui 7?

Se poate scrie în două feluri: $7 ∣ 42$ , citit șapte divide pe patruzeci și doi, sau 42 ⋮ 7, citit patruzeci și doi se divide cu șapte. Amândouă spun că împărțirea se face fără rest. Nu inversa rolurile: $7$ este divizorul, iar $42$ este multiplul.

La ce folosește divizibilitatea la simplificarea fracțiilor?

Îți arată cu ce numere poți împărți deodată numărătorul și numitorul. Dacă $6$ divide și $42$ , și $18$ , atunci fracția se simplifică prin $6$ și devine $\frac{7}{3}$ . Fără divizori comuni, fracția este deja în forma cea mai simplă.

Oamenii mai întreabă și: divizori și multipli · ce înseamnă divizor · ce înseamnă multiplu · relația de divizibilitate