Relația de divizibilitate. Divizori și multipli

Ai împărțit vreodată o pungă de bomboane în mod egal între prieteni, fără să rămână niciuna pe afară? Sau ai aranjat 12 sticle într-un bax fără să rămână loc gol? Exact aici începe divizibilitatea: ideea că un număr „intră" perfect în alt număr, fără rest. În această lecție vei învăța să spui matematic, cu rigoare, ce înseamnă că un număr divide alt număr și vei deveni expert în divizori și multipli. Este prima lecție dintr-un capitol întreg, deci aici punem temelia. Construiește bine fundația și tot ce urmează (criterii de divizibilitate, numere prime, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.) va veni natural.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești riguros relația de divizibilitate a | b folosind egalitatea b = a · c.
• Vei ști să recunoști când un număr divide alt număr și să folosești corect simbolul |.
• Vei ști să scrii mulțimea divizorilor unui număr natural, ordonat și complet.
• Vei ști să scrii mulțimea multiplilor unui număr natural și să înțelegi de ce este infinită.
• Vei ști să tratezi cazurile speciale cu numerele 0 și 1 și să eviți capcanele clasice.

Hai să descoperim împreună

1. De la împărțirea fără rest la o idee matematică

Să pornim de la ceva cunoscut din clasa a V-a: împărțirea cu rest. Când împarți 20 la 4 obții câtul 5 și restul 0:

$$20:4=5\text{ rest }0$$

Restul fiind 0 înseamnă că împărțirea „se închide perfect": 4 încape de exact 5 ori în 20, fără nimic în plus. Spunem că 20 se împarte exact la 4.

Acum hai să încercăm cu 20 și 3:

$$20:3=6\text{ rest }2$$

Aici restul este 2, deci NU este o împărțire exactă. 3 nu „intră" perfect în 20.

Diferența dintre aceste două situații este atât de importantă în matematică, încât merită un nume propriu și o notație proprie. Asta facem astăzi: transformăm observația „se împarte exact" într-o relație matematică numită relația de divizibilitate.

2. Definiția riguroasă: ce înseamnă „a divide b"

Iată inima lecției. Citește-o încet, de două ori.

Definiție. Fie a și b două numere naturale. Spunem că numărul a divide numărul b dacă există un număr natural c astfel încât: $$b=a\cdot c$$ Scriem pe scurt a | b și citim „a divide b".

Observă bine: definiția NU vorbește despre împărțire, ci despre înmulțire. Asta este genial, pentru că înmulțirea cu numere naturale este mereu „curată", fără resturi și fără fracții. Întrebarea „a divide b?" devine: „pot să obțin b înmulțind a cu un număr natural potrivit?"

Hai să verificăm pe exemplul nostru. Întrebare: 4 | 20? Caut un număr natural c cu 20 = 4 · c. Încerc c = 5: avem 4 · 5 = 20. Da! Deci 4 | 20 este adevărat.

Întrebare: 3 | 20? Caut c natural cu 20 = 3 · c. Încerc: 3 · 6 = 18 (prea mic), 3 · 7 = 21 (prea mare). Nu există niciun număr natural între 6 și 7, deci NU pot obține 20. Prin urmare 3 | 20 este fals. Scriem 3 ∤ 20 (bara tăiată înseamnă „nu divide").

3. Atenție la ordinea citirii — capcana barei

Bara verticală | se citește mereu „divide", de la stânga la dreapta. Deci:

• a | b se citește „a divide b" și înseamnă că b se obține înmulțind a cu ceva.
• b ⋮ a este o altă notație, citită „b se divide cu a" sau „b este divizibil cu a". Înseamnă exact același lucru!

Deci 4 | 20 și 20 ⋮ 4 spun același adevăr, doar din puncte de vedere diferite: primul pleacă de la 4 („eu, 4, intru perfect în 20"), al doilea pleacă de la 20 („eu, 20, mă las împărțit de 4"). Numărul mai mic (sau cel mult egal) stă mereu în poziția de „divizor".

O analogie: gândește-te la un lacăt și o cheie. „Cheia descuie lacătul" (a | b) și „lacătul este descuiat de cheie" (b ⋮ a) descriu același eveniment, doar că accentul cade pe altul. Important este să nu inversezi numerele: a scrie 20 | 4 ar însemna „20 divide 4", adică 4 = 20 · c — ceea ce este fals, pentru că niciun număr natural înmulțit cu 20 nu dă 4 (c ar trebui să fie o fracție, nu un număr natural).

4. Cuvintele meseriei: divizor, multiplu, factor

Când a | b este adevărat, folosim un vocabular special. Memorează-l, pentru că îl vom folosi în tot capitolul:

• a se numește divizor al lui b (sau spunem că a este un factor al lui b).
• b se numește multiplu al lui a.

Exemplu: din 4 | 20 deducem că 4 este divizor al lui 20, iar 20 este multiplu al lui 4. Tot din 4 · 5 = 20 vedem că și 5 este divizor al lui 20, iar 20 este multiplu și al lui 5. Cei doi factori ai unei înmulțiri sunt amândoi divizori ai produsului — perechi care „lucrează împreună".

5. Mulțimea divizorilor unui număr

Un număr poate avea mai mulți divizori. Strângem toți divizorii unui număr într-o mulțime și o notăm cu litera D.

Notație. D₂₀ (citit „D de 20") este mulțimea tuturor divizorilor numărului 20.

Cum o găsim, fără să uităm niciunul? Metoda sigură este să căutăm perechi de factori: parcurgem numerele naturale de la 1 în sus și, de fiecare dată când unul divide numărul, scriem și „perechea" lui.

Pentru 20:

• 1 · 20 = 20 → divizorii 1 și 20
• 2 · 10 = 20 → divizorii 2 și 10
• 4 · 5 = 20 → divizorii 4 și 5
• 3 nu divide 20 (am verificat), îl sărim
• când factorii se apropie unul de altul (4 și 5 sunt alături), ne oprim — i-am găsit pe toți.

Așezăm divizorii crescător:

$$D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$$

Observă frumusețea metodei perechilor: 1 merge cu 20, 2 merge cu 10, 4 merge cu 5. Mereu „de la margini spre centru". Asta garantează că nu uităm și nu repetăm niciun divizor.

Câți divizori are un număr? Depinde. Numărul 20 are 6 divizori. Numărul 7 are doar 2 divizori: D₇ = {1, 7} (astfel de numere se numesc prime — le studiem în lecția Numere prime și numere compuse. Ciurul lui Eratostene). Mereu însă mulțimea divizorilor este finită, pentru că un divizor nu poate fi mai mare decât numărul însuși.

6. Mulțimea multiplilor unui număr

Acum invers. Multiplii lui a sunt toate numerele pe care le obținem înmulțind a cu numerele naturale 0, 1, 2, 3, …. Notăm mulțimea cu M.

Notație. M₄ (citit „M de 4") este mulțimea multiplilor numărului 4.

Construim:

• 4 · 0 = 0
• 4 · 1 = 4
• 4 · 2 = 8
• 4 · 3 = 12
• 4 · 4 = 16
• 4 · 5 = 20
• … și tot așa, fără să se termine niciodată.

$$M_4=\{0,4,8,12,16,20,24,\dots \}$$

Cele trei puncte de la final („…") sunt esențiale: arată că șirul continuă la infinit. De aici o regulă de aur:

Mulțimea divizorilor unui număr (diferit de 0) este FINITĂ. Mulțimea multiplilor unui număr (diferit de 0) este INFINITĂ.

De ce? Pentru că oricât de departe ai merge, mai poți înmulți a cu un număr și mai mare. Multiplii sunt ca treptele unei scări care urcă la nesfârșit, din a în a.

Observă și legătura: numerele 0, 4, 8, 12… sunt multiplii lui 4, dar tot ele se obțin și „sărind din 4 în 4" pe axă. Multiplii lui a sunt numerele pe care le „nimerești" dacă numeri din a în a pornind de la 0.

7. Cazuri speciale — fii foarte atent aici

Există trei situații care îi încurcă pe mulți elevi. Le lămurim definitiv.

a) Orice număr se divide cu 1. Pentru orice număr natural b avem b = 1 · b, deci 1 | b este adevărat mereu. Concluzie: 1 este divizor al oricărui număr natural. De aceea 1 apare în mulțimea divizorilor a oricărui număr.

b) Orice număr se divide cu el însuși. Pentru orice b avem b = b · 1, deci b | b. Concluzie: orice număr este divizor al lui însuși. De aceea în D₂₀ apare și 20.

Așadar, orice număr natural mai mare ca 1 are cel puțin doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Aceștia se numesc divizori improprii (sau „banali"). Ceilalți, dacă există, se numesc divizori proprii.

c) Rolul special al lui 0 și al lui 1.

• 1 divide orice număr, dar singurul divizor al lui 1 este 1 însuși: D₁ = {1}. Numărul 1 este „cheia universală" care intră în orice, dar în care nu intră nimic altceva.
• 0 este multiplu al oricărui număr. Într-adevăr, pentru orice a avem a · 0 = 0, deci a | 0. Concluzie: orice număr natural divide pe 0, iar 0 apare în mulțimea multiplilor oricărui număr (de aceea am scris 0 la începutul lui M₄).
• Cu 0 NU avem voie să împărțim, deci 0 nu poate fi divizor pentru un număr diferit de 0. Spune-o așa: 0 nu „intră" în niciun număr nenul, dar toate numerele „intră" în 0.

Reține într-o singură frază: 1 este divizorul tuturor, 0 este multiplul tuturor. Aceste două adevăruri vor reveni des.

8. O hartă mintală a întregii lecții

Hai să strângem totul într-un singur tablou, ca să vezi cum se leagă noțiunile:

• Pleci de la o egalitate de tip b = a · c.
• Din ea citești simultan: a | b (a divide b), a este divizor, b este multiplu.
• Aduni toți divizorii lui b → mulțimea D_b (finită).
• Aduni toți multiplii lui a → mulțimea M_a (infinită).
• Cazuri sigure: 1 este în orice D, numărul însuși este în propriul D, 0 este în orice M.

Cu această hartă, ești pregătit să rezolvi orice exercițiu din lecție. Hai la exemple!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea relației de divizibilitate prin definiție

Cerință: Este adevărat că 6 | 54? Justifică folosind definiția.

Rezolvare: Conform definiției, 6 | 54 este adevărat dacă găsim un număr natural c cu 54 = 6 · c. Împart pentru a-l ghici pe c: 54 : 6 = 9. Verific: 6 · 9 = 54. ✓ Am găsit c = 9, număr natural. Deci 6 | 54 este adevărat, iar 6 este divizor al lui 54, în timp ce 54 este multiplu al lui 6.

Exemplul 2 — Când relația NU se verifică

Cerință: Este adevărat că 7 | 50?

Rezolvare: Caut c natural cu 50 = 7 · c. Încerc multiplii lui 7 din jurul lui 50: 7 · 7 = 49, 7 · 8 = 56. Numărul 50 cade între 49 și 56, deci nu este multiplu de 7; nu există c natural potrivit. 7 | 50 este fals, scriem 7 ∤ 50. (Verificare cu rest: 50 : 7 = 7 rest 1, iar restul nenul confirmă că nu este divizibilitate.)

Exemplul 3 — Mulțimea divizorilor unui număr

Cerință: Scrie D₃₆, mulțimea divizorilor lui 36.

Rezolvare: Folosesc metoda perechilor de factori, urcând de la 1:

• 1 · 36 = 36 → 1 și 36
• 2 · 18 = 36 → 2 și 18
• 3 · 12 = 36 → 3 și 12
• 4 · 9 = 36 → 4 și 9
• 5 nu divide 36 (36 : 5 are rest), îl sar
• 6 · 6 = 36 → 6 (apare o singură dată, fiindcă perechea sa este tot 6) — aici factorii s-au întâlnit, mă opresc.

Ordonez crescător: $$D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$$ 36 are 9 divizori. (Observație frumoasă: 36 este un pătrat perfect, 6 · 6, de aceea are un număr impar de divizori — cel din mijloc, 6, nu are pereche distinctă.)

Exemplul 4 — Mulțimea multiplilor (primii câțiva)

Cerință: Scrie primii 6 multipli ai lui 9 și apoi mulțimea M₉.

Rezolvare: Înmulțesc 9 cu 0, 1, 2, 3, 4, 5: 9·0 = 0, 9·1 = 9, 9·2 = 18, 9·3 = 27, 9·4 = 36, 9·5 = 45.

Primii 6 multipli: 0, 9, 18, 27, 36, 45. Mulțimea completă, infinită: $$M_9=\{0,9,18,27,36,45,54,\dots \}$$ Punctele „…" arată că șirul nu se oprește. (Atenție: 0 este primul multiplu al oricărui număr.)

Exemplul 5 — Cazurile speciale 0 și 1

Cerință: Stabilește, cu justificare, dacă propozițiile sunt adevărate: (a) 1 | 83; (b) 15 | 0; (c) 0 | 7.

Rezolvare:

• (a) 1 | 83? Avem 83 = 1 · 83, deci da, adevărat. (1 divide orice număr.)
• (b) 15 | 0? Avem 0 = 15 · 0, deci da, adevărat. (Orice număr divide pe 0; 0 este multiplul tuturor.)
• (c) 0 | 7? Ar trebui 7 = 0 · c. Dar 0 · c = 0 pentru orice c, deci nu putem obține niciodată 7. Fals — 0 nu divide niciun număr nenul.

Exemplul 6 — Mică problemă cu context

Cerință: Un antrenor are 48 de mingi și vrea să le împartă în cutii egale, fără să rămână vreo minge pe afară și cu cel puțin 2 mingi în fiecare cutie. În câte moduri poate alege numărul de cutii?

Rezolvare: „Cutii egale, fără rest" înseamnă că numărul de cutii trebuie să fie un divizor al lui 48. Scriu D₄₈ cu metoda perechilor: 1·48, 2·24, 3·16, 4·12, 6·8. Deci $$D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}.$$ Condiția „cel puțin 2 mingi în fiecare cutie" înseamnă că numărul de mingi pe cutie, adică 48 : (nr. cutii), trebuie să fie ≥ 2. Asta exclude varianta cu 48 de cutii (ar fi 1 minge fiecare). Pe cea cu 1 cutie (48 de mingi) o păstrăm? Are 48 ≥ 2 mingi, deci da. Numărul de cutii poate fi orice divizor al lui 48 în afară de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24. Există 9 moduri.

Să exersăm

1. Completează: 8 · 7 = 56, deci 8 | __ și 7 | __. Numerele 8 și 7 sunt ____ ai lui 56, iar 56 este ____ al lor.

2. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt: (a) 9 | 72; (b) 5 | 38; (c) 11 | 88.

3. Caută numărul natural c din definiție și stabilește dacă 13 | 91.

4. Scrie mulțimea divizorilor: D₁₅.

5. Scrie mulțimea divizorilor: D₂₄.

6. Scrie primii 5 multipli (începând cu 0) ai numărului 6, apoi mulțimea M₆.

7. Încercuiește numerele care sunt multipli ai lui 7: 14, 21, 30, 35, 49, 50, 63.

8. Completează spațiile cu „divizor" sau „multiplu": În 3 · 9 = 27, numărul 3 este ____ al lui 27, iar 27 este ____ al lui 9.

9. Adevărat sau fals? (a) 1 | 200; (b) 0 | 5; (c) 12 | 0; (d) numărul 17 are exact 2 divizori.

10. Potrivește fiecare număr cu mulțimea divizorilor săi: A) 10 B) 9 C) 16 — și mulțimile: I) {1, 3, 9} II) {1, 2, 4, 8, 16} III) {1, 2, 5, 10}.

11. Scrie toți multiplii lui 8 cuprinși între 20 și 60 (capetele incluse dacă e cazul).

12. Găsește toți divizorii lui 30 care sunt numere pare.

13. Un număr n are D_n = {1, 2, 3, 6}. Care este numărul n? Explică.

14. Câți divizori are numărul 49? Scrie-i. Ce observi față de numerele 36 sau 16?

15. Problemă: O clasă are 32 de elevi. Profesorul vrea să formeze grupe egale, fiecare grupă cu mai mult de un elev și mai puțin de tot grupul. Câte mărimi posibile pot avea grupele?

16. Adevărat sau fals și corectează: „Numărul 0 are mulțimea multiplilor infinită."

17. Desenează pe o axă a numerelor de la 0 la 30 și marchează (îngroașă) toți multiplii lui 5. Câți sunt?

18. Provocare: Găsește un număr natural mai mic decât 50 care are exact 3 divizori. (Indiciu: gândește-te la pătratele unor numere prime.)

19. Problemă: Un florar are 60 de trandafiri și vrea să facă buchete egale, fără să rămână vreun trandafir. Câte mărimi de buchet sunt posibile, dacă fiecare buchet trebuie să aibă între 5 și 20 de trandafiri (capetele incluse)?

20. Compară D₁₂ și D₂₄. Este adevărat că orice divizor al lui 12 este și divizor al lui 24? Scrie cele două mulțimi și justifică folosind o egalitate de forma b = a · c.

Răspunsuri și explicații

1. 8 | 56 și 7 | 56. 8 și 7 sunt divizori (factori) ai lui 56; 56 este multiplu al lor. (Din 8 · 7 = 56, ambii factori divid produsul.)

2. (a) Adevărat: 72 = 9 · 8. (b) Fals: 5 · 7 = 35, 5 · 8 = 40, iar 38 e între ele, deci 5 ∤ 38. (c) Adevărat: 88 = 11 · 8.

3. Caut c cu 91 = 13 · c. 13 · 7 = 91, deci c = 7. 13 | 91 este adevărat (13 divizor, 91 multiplu).

4. Perechi: 1·15, 3·5. D₁₅ = {1, 3, 5, 15} (4 divizori).

5. Perechi: 1·24, 2·12, 3·8, 4·6. D₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (8 divizori).

6. 6·0=0, 6·1=6, 6·2=12, 6·3=18, 6·4=24. Primii 5: 0, 6, 12, 18, 24. M₆ = {0, 6, 12, 18, 24, 30, …} (infinită).

7. Multipli de 7: 14, 21, 35, 49, 63. NU sunt: 30 (7·4=28, 7·5=35) și 50 (7·7=49, 7·8=56).

8. 3 este divizor al lui 27; 27 este multiplu al lui 9. (Din 3 · 9 = 27.)

9. (a) Adevărat (200 = 1·200, 1 divide orice). (b) Fals (0 nu divide niciun număr nenul; ar trebui 5 = 0·c, imposibil). (c) Adevărat (0 = 12·0, orice număr divide pe 0). (d) Adevărat (17 este prim: D₁₇ = {1, 17}).

10. A → III (D₁₀ = {1,2,5,10}); B → I (D₉ = {1,3,9}); C → II (D₁₆ = {1,2,4,8,16}).

11. Multipli de 8: 8·3=24, 8·4=32, 8·5=40, 8·6=48, 8·7=56. Între 20 și 60: 24, 32, 40, 48, 56.

12. D₃₀ = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Cei pari: 2, 6, 10, 30.

13. Cel mai mare divizor al unui număr este numărul însuși. În {1, 2, 3, 6} cel mai mare este 6, deci n = 6. (Verific: D₆ = {1, 2, 3, 6}. ✓)

14. D₄₉ = {1, 7, 49} → 3 divizori. La fel ca 36 (6·6) și 16 (4·4), numărul 49 este pătrat perfect (7·7), iar pătratele perfecte au un număr impar de divizori, fiindcă divizorul din mijloc se „dublează" cu el însuși.

15. Grupe egale, fără rest → numărul de elevi pe grupă este divizor al lui 32. D₃₂ = {1, 2, 4, 8, 16, 32}. „Mai mult de un elev" elimină 1; „mai puțin de tot grupul" elimină 32. Rămân 4 mărimi posibile: 2, 4, 8, 16.

16. Fals. Mulțimea multiplilor lui 0 este M₀ = {0} (fiindcă 0·c = 0 mereu), deci este finită, cu un singur element. (În schimb, orice număr este divizor al lui 0 — nu trebuie confundate.)

17. Multiplii lui 5 între 0 și 30: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30. Sunt 7 puncte îngroșate.

axă a numerelor 0–30 cu puncte îngroșate la 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, restul numerelor marcate ușor.

18. Numerele cu exact 3 divizori sunt pătratele numerelor prime. Exemple sub 50: 4 (=2², D₄={1,2,4}), 9 (=3², D₉={1,3,9}), 25 (=5², D₂₅={1,5,25}), 49 (=7²). Oricare dintre 4, 9, 25, 49 este un răspuns corect.

19. „Buchete egale, fără rest" → numărul de trandafiri dintr-un buchet este divizor al lui 60. Cu metoda perechilor: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12, 6·10, deci D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Dintre aceștia, cei cuprinși între 5 și 20 (inclusiv) sunt: 5, 6, 10, 12, 15, 20. Există 6 mărimi posibile de buchet.

20. D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} și D₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Da, orice divizor al lui 12 este și divizor al lui 24 — observă că toate elementele lui D₁₂ apar în D₂₄. Justificarea generală: dacă a | 12, atunci 12 = a · c pentru un c natural; cum 24 = 12 · 2 = a · c · 2 = a · (2c), găsim un nou factor natural 2c, deci a | 24. Pe scurt: fiindcă 12 | 24, orice divizor al lui 12 „se moștenește" și de către 24. (Reciproca este falsă: 8 divide 24, dar nu divide 12.)

De reținut

• a | b (a divide b) înseamnă că există un număr natural c cu b = a · c. Definiția folosește înmulțirea, nu împărțirea.
• Dacă a | b, atunci a este divizor al lui b, iar b este multiplu al lui a. a | b și b ⋮ a exprimă același adevăr.
• Mulțimea divizorilor D_b este finită (pentru b ≠ 0); o găsim sigur cu metoda perechilor de factori. Mulțimea multiplilor M_a este infinită (pentru a ≠ 0) și începe de la 0.
• 1 este divizor al oricărui număr; orice număr este divizor al lui însuși. 0 este multiplu al oricărui număr, iar orice număr divide pe 0.
• Numărul 1 are un singur divizor (el însuși), iar 0 nu divide niciun număr nenul.

Greșeli frecvente

• Inversarea ordinii în a | b. Mulți scriu 20 | 4 când vor să spună „4 divide 20". Corect: numărul mic (divizorul) stă în stânga barei: 4 | 20. Verifică mereu cu definiția b = a · c.
• Uitarea divizorilor de la margini (1 și numărul însuși). Când scrii D_n, începe ÎNTOTDEAUNA cu 1 și termină cu n. Metoda perechilor te ferește de omisiuni.
• Confuzia 0 ↔ 1 în cazurile speciale. Reține fraza-cheie: „1 divide totul, 0 este divizat de tot." Deci 1 | n mereu adevărat, iar n | 0 mereu adevărat, dar 0 | n (cu n ≠ 0) este fals.
• Credința că multiplii sunt finiți. Mulțimea multiplilor nu se termină niciodată — de aceea scriem „…" la final. A scrie M₄ = {4, 8, 12} fără puncte și fără 0 este greșit de două ori (lipsește 0 și lipsește infinitul).

Joc acasă

1. Vânătoarea de divizori cu cuburi de zahăr (sau piese Lego). Ia 24 de piese identice. Încearcă să le aranjezi într-un dreptunghi perfect (rânduri egale, fără goluri). Notează fiecare aranjare reușită: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6 și „rotirile" lor. Numerele de rânduri/coloane pe care le poți folosi sunt exact divizorii lui 24. Verifică apoi cu D₂₄ = {1,2,3,4,6,8,12,24}. Repetă cu 36 de piese.

2. Scara multiplilor pe scări reale. Mergi pe scările din casă sau bloc și numără cu voce tare „din 3 în 3": 3, 6, 9, 12, 15… Fiecare număr rostit este un multiplu al lui 3. Provoacă un membru al familiei: cine ajunge mai sus fără să greșească multiplul? Apoi schimbați cu „din 4 în 4" și „din 7 în 7".

3. Adevărat/Fals în familie. Scrie pe bilețele afirmații de tipul 6 | 30, 4 | 18, 1 | 99, 0 | 8, 5 | 0. Amestecă-le, trage câte unul și fiecare jucător trebuie să decidă adevărat/fals și să justifice cu egalitatea b = a · c. Câștigă cine adună mai multe justificări corecte.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune temelia întregului capitol de divizibilitate, deci merită răbdare. Sfaturi practice:

• Plecați de la concret spre abstract. Înainte de definiție, arătați împărțirea fără rest cu obiecte (bomboane, monede, piese). Abia după ce copilul „simte" ideea, treceți la notația a | b și la egalitatea b = a · c.
• Insistați pe definiția cu înmulțire, nu pe împărțire. Mulți elevi rezolvă corect dar nu pot justifica; cereți-le mereu „arată-mi numărul c". Această disciplină îi pregătește pentru demonstrațiile riguroase de mai târziu.
• Întrebări utile de pus: „Cine divide pe cine aici?", „Care e divizorul și care e multiplul?", „Poți găsi c?", „De ce 0 apare în mulțimea multiplilor?", „De ce mulțimea divizorilor nu poate fi infinită?".
• Verificați înțelegerea cerând copilului să scrie de unul singur D₁₂ și primii 5 multipli ai lui 5, apoi să explice diferența: divizorii se TERMINĂ, multiplii NU. Dacă reușește asta și tratează corect cazurile cu 0 și 1, lecția este însușită.
• Capcana clasică este inversarea barei și uitarea cazurilor speciale. Reveniți des la fraza „1 divide totul, 0 este divizat de tot".

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un număr divide alt număr la clasa a 6-a? Înseamnă că prima cantitate „intră" exact în a doua, fără rest. Riguros: a | b (a divide b) este adevărat dacă există un număr natural c cu b = a · c. De exemplu 4 | 20 pentru că 20 = 4 · 5.

Care este diferența dintre divizor și multiplu? Sunt cele două roluri din aceeași relație a | b: a este divizorul (numărul care încape), iar b este multiplul (numărul format). Din 4 · 5 = 20, atât 4 cât și 5 sunt divizori ai lui 20, iar 20 este multiplu al amândurora.

Cum se citește simbolul | în divizibilitate? Bara verticală se citește „divide", de la stânga la dreapta. Astfel 4 | 20 se citește „4 divide 20". Atenție la ordine: numărul mai mic (divizorul) stă în stânga.

De ce mulțimea multiplilor este infinită, iar a divizorilor finită? Multiplii lui a se obțin înmulțind a cu 0, 1, 2, 3, …, iar numerele naturale nu se termină, deci nici multiplii. Divizorii însă nu pot depăși numărul însuși, deci sunt mărginiți și, prin urmare, finiți.

Numărul 0 are divizori? Dar 1? Pe 0 îl divide orice număr natural (fiindcă a · 0 = 0), deci 0 este multiplul tuturor. Numărul 1 are un singur divizor — pe el însuși: D₁ = {1} — dar 1 divide, în schimb, orice număr.

Cum scriu corect mulțimea divizorilor unui număr? Folosește metoda perechilor de factori: pleacă de la 1 · n, apoi 2 · …, 3 · … și tot așa până când factorii se întâlnesc. Scrie apoi divizorii crescător, între acolade, de exemplu D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

a | b și b ⋮ a înseamnă același lucru? Da. a | b se citește „a divide b", iar b ⋮ a se citește „b se divide cu a" sau „b este divizibil cu a". Descriu exact aceeași situație, doar din perspectiva celuilalt număr.

De unde știu repede dacă un număr este divizibil cu 2, 3, 5 sau 9? Există reguli rapide numite criterii de divizibilitate, pe care le înveți în lecția Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9 — consolidare și aplicații. Până atunci, te poți baza pe definiție: caută numărul natural c cu b = a · c.