Fie $$A = \{3, 6, 9\}$$ și $$B = \{1, 3, 5, 6, 8, 9\}$$. Este adevărat că $$A \subset B$$?

Da, pentru că fiecare element al lui $$A$$ se află și în $$B$$

Nu, pentru că $$B$$ are mai multe elemente decât $$A$$

Nu se poate stabili fără o diagramă

Fie $$A = \{2, 5, 7\}$$ și $$B = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$$. Este adevărat că $$A \subset B$$?

Da, pentru că fiecare element al lui $$A$$ se află și în $$B$$

Nu, pentru că $$A$$ are mai puține elemente decât $$B$$

Nu se poate stabili fără o diagramă

Ce înseamnă că o mulțime este inclusă în alta?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Incluziune și egalitate de mulțimi

Înseamnă că fiecare element al celei dintâi se regăsește și în a doua, iar scrierea folosită este $A \subset B$ . Ajunge un singur element din $A$ care lipsește din $B$ ca incluziunea să nu mai fie adevărată. Pentru $A = {2, 4}$ și $B = {1, 2, 3, 4}$ verifici pe rând cele două elemente și le găsești pe amândouă, deci $A \subset B$ . Când incluziunea merge în ambele sensuri, mulțimile au aceleași elemente, adică sunt egale.

O mulțime $A$ este inclusă în mulțimea $B$ (scriem $A \subset B$ ) dacă fiecare element al lui $A$ se află și în $B$ . Dacă un singur element al lui $A$ lipsește din $B$ , incluziunea cade: $A \neq \subset B$ . Atenție la diferență: $\in$ leagă un element de o mulțime, iar $\subset$ leagă o mulțime de altă mulțime. Mulțimea vidă $\emptyset$ este inclusă în orice mulțime, iar orice mulțime este inclusă în ea însăși.

Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente; se demonstrează prin dublă incluziune: $A = B$ dacă și numai dacă $A \subset B$ și $B \subset A$ .

Exemplu. Fie $A = {2, 4}$ , $B = {1, 2, 3, 4}$ . Cum $2 \in B$ și $4 \in B$ , rezultă $A \subset B$ . O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi.

De reținut

$A \subset B$ : toate elementele lui $A$ sunt și în $B$
$\emptyset \subset A$ și $A \subset A$ , oricare ar fi $A$
$A = B$ înseamnă $A \subset B$ și $B \subset A$
$\in$ leagă un element de o mulțime, $\subset$ leagă două mulțimi

Greșeala tipică

Se scrie $2 \subset M$ pentru un element. Semnul de incluziune cere mulțimi de amândouă părțile, deci se scrie $2 \in M$ sau ${2} \subset M$ .

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A = {3, 6, 9}$ și $B = {1, 3, 5, 6, 8, 9}$ . Este adevărat că $A \subset B$ ?
- a) Da, pentru că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$
- b) Nu, pentru că $3 \in / B$
- c) Nu, pentru că $B$ are mai multe elemente decât $A$
- d) Nu se poate stabili fără o diagramă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$

Verificăm fiecare element al lui $A$ (mulțimea mai mică): $3 \in A$ și $3 \in B$ ✓; $6 \in A$ și $6 \in B$ ✓; $9 \in A$ și $9 \in B$ ✓. Toate elementele lui $A$ se află în $B$ , deci $A \subset B$ este adevărat. Faptul că $B$ are mai multe elemente nu are legătură cu incluziunea — contează doar dacă vreun element din $A$ lipsește din $B$ .
Pentru mulțimea $M = {5, 10, 15}$ , care dintre scrierile de mai jos este corectă?
- a) $5 \subset M$
- b) ${5} \in M$
- c) ${5, 10} \subset M$
- d) ${5, 10} \in M$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${5, 10} \subset M$

La stânga simbolului trebuie să privim ce avem: dacă e un element simplu, folosim $\in$ ; dacă sunt acolade (o mulțime), folosim $\subset$ . La a) $5$ e element, nu mulțime, deci $\subset$ e greșit (corect ar fi $5 \in M$ ). La b) și d), ${5}$ și ${5, 10}$ sunt mulțimi, deci $\in$ e greșit — elementele lui $M$ sunt $5$ , $10$ , $15$ , nu mulțimi. La c), ${5, 10}$ este o mulțime și $5 \in M$ , $10 \in M$ , deci ${5, 10} \subset M$ este corect.
Fie $A = {2, 5, 7}$ și $B = {1, 2, 3, 5, 6, 8}$ . Este adevărat că $A \subset B$ ?
- a) Da, pentru că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$
- b) Nu, pentru că $7 \in / B$
- c) Nu, pentru că $A$ are mai puține elemente decât $B$
- d) Nu se poate stabili fără o diagramă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că $7 \in / B$

Verificăm fiecare element al lui $A$ : $2 \in A$ și $2 \in B$ ✓; $5 \in A$ și $5 \in B$ ✓; $7 \in A$ , dar $7 \in / B$ (elementele lui $B$ sunt $1, 2, 3, 5, 6, 8$ ) ✗. Cum lipsește un element din $B$ , incluziunea cade: $A \neq \subset B$ . Faptul că $A$ are mai puține elemente nu are legătură — contează doar dacă vreun element din $A$ lipsește din $B$ .

Întrebări conexe

Cum verific dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B?

Iei pe rând fiecare element din $A$ și cauți dacă apare și în $B$ . Pornești mereu de la mulțimea din stânga semnului, nu de la cealaltă. Dacă toate se regăsesc, incluziunea este adevărată; la primul element negăsit te oprești, fiindcă răspunsul este deja nu.

Cum scriu toate submulțimile mulțimii cu elementele 1, 2 și 3?

Le iei după numărul de elemente: mulțimea vidă, apoi ${1}$ , ${2}$ , ${3}$ , apoi ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${2, 3}$ și, la urmă, mulțimea întreagă. Ies opt, adică $2^{3}$ , iar ordinea asta te ferește să sari vreuna.

Cum demonstrez că două mulțimi sunt egale prin dublă incluziune?

Arăți întâi că orice element al primei se află în a doua, apoi că orice element al celei de a doua se află în prima. Cele două verificări împreună înseamnă că mulțimile au exact aceleași elemente. Metoda se folosește mult mai târziu, la mulțimi descrise prin proprietăți.

Poate o mulțime să fie inclusă într-una cu mai puține elemente?

Nu poate. Dacă toate elementele primei ar încăpea în a doua, atunci a doua ar avea cel puțin tot atâtea. Numărul de elemente al mulțimii incluse este așadar mai mic sau egal cu al celeilalte, egalitatea având loc doar când mulțimile coincid.

Cum arată incluziunea într-o diagramă Venn?

Cercul mulțimii incluse se desenează în întregime înăuntrul celuilalt, fără să iasă nicăieri afară. Dacă cele două cercuri se taie doar parțial, atunci niciuna nu este inclusă în cealaltă, ci au doar câteva elemente comune.

Cum se includ mulțimile de numere naturale și întregi?

Naturalele intră în întregi, fiindcă orice număr natural este și întreg, iar întregii intră mai departe în raționale. Se scrie $N \subset Z \subset Q$ . Fiecare treaptă adaugă numere noi, fără să le piardă pe cele dinainte.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă inclusă · simbolul de incluziune la mulțimi · submulțime · când sunt două mulțimi egale · A inclus în B