Relații între mulțimi: incluziune și egalitate

Mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ , scris $A \subset B$ , dacă fiecare element al lui $A$ este și element al lui $B$ ; spunem că $A$ este submulțime a lui $B$ . Două mulțimi sunt egale dacă $A \subset B$ și $B \subset A$ , iar mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime. De exemplu, ${1, 3} \subset {1, 2, 3, 4}$ , dar ${1, 5} \neq \subset {1, 2, 3, 4}$ , pentru că $5$ lipsește din a doua mulțime. Atenție: $\in$ leagă un element de o mulțime, iar $\subset$ leagă două mulțimi.

Ai învățat deja cum se descrie o mulțime, cum se notează și cum o reprezinți printr-o diagramă. Acum facem pasul următor: comparăm două mulțimi între ele. Când spunem că o mulțime „se află în interiorul" alteia? Când sunt două mulțimi de fapt aceeași mulțime, chiar dacă arată diferit pe hârtie? În această lecție despre relațiile între mulțimi pentru clasa a VI-a descoperim incluziunea și egalitatea mulțimilor și învățăm să nu mai confundăm niciodată simbolul ∈ cu simbolul ⊂.

Ce vei învăța

Vei ști să stabilești dacă o mulțime este inclusă în alta și să folosești corect simbolul ⊂.
Vei ști să recunoști o submulțime a unei mulțimi date și să scrii toate submulțimile ei.
Vei ști să decizi când două mulțimi sunt egale, folosind regula „A = B dacă A ⊂ B și B ⊂ A".
Vei ști de ce mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Vei ști să faci diferența dintre relația element–mulțime (∈) și relația mulțime–mulțime (⊂).

Hai să descoperim împreună

O poveste pentru început

Imaginează-ți echipa de fotbal a clasei tale. Să-i spunem mulțimea $E$ a tuturor jucătorilor înscriși în echipă. Din toți acești jucători, antrenorul alege titularii pentru meciul de sâmbătă — să-i spunem mulțimea $T$ a titularilor. Observă ceva important: fiecare titular este, în mod sigur, și jucător al echipei. Nu poți fi titular fără să faci parte din echipă. Spunem că mulțimea titularilor $T$ este inclusă în mulțimea echipei $E$ .

Aceasta este ideea de bază a întregii lecții. O mulțime este inclusă în alta atunci când tot ce se află în prima se află și în a doua. Hai să o transformăm într-o regulă matematică precisă.

Relația de incluziune și noțiunea de submulțime

Definiție. Spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ dacă fiecare element al lui $A$ este și element al lui $B$ . Scriem $A \subset B$ și citim „ $A$ este inclusă în $B$ " sau „ $A$ este submulțime a lui $B$ ".

Simbolul $\subset$ se numește simbolul incluziunii. Vârful ascuțit (deschiderea îngustă) arată spre mulțimea mai „mică", iar deschiderea largă spre mulțimea mai „mare". Poți să-l citești ca pe o gură care „înghite" mulțimea cea mare: $A \subset B$ înseamnă că $A$ încape în $B$ .

Când $A \subset B$ , mai spunem și că $A$ este o submulțime (sau o parte) a lui $B$ . Cele două exprimări înseamnă exact același lucru:

„ $A$ este inclusă în $B$ ";
„ $A$ este submulțime a lui $B$ ".

Hai să verificăm pe un exemplu concret. Fie: $A = {2, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5} .$

Verificăm element cu element din $A$ :

$2 \in A$ . Este și în $B$ ? Da, $2 \in B$ . ✓
$4 \in A$ . Este și în $B$ ? Da, $4 \in B$ . ✓

Toate elementele lui $A$ se găsesc în $B$ , deci $A \subset B$ .

Și dacă măcar un element din prima mulțime lipsește din a doua? Atunci incluziunea nu are loc. Fie: $C = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5} .$ Aici $6 \in C$ , dar $6 \in / B$ . Un singur element „rebel" e de ajuns ca să stricăm incluziunea. Scriem $C \neq \subset B$ și citim „ $C$ nu este inclusă în $B$ ".

Reține regula de aur: ca să fie $A \subset B$ , TOATE elementele lui $A$ trebuie să fie în $B$ . Dacă unul singur lipsește, incluziunea cade.

Cum verifici incluziunea — metoda pas cu pas

Ca să nu te încurci niciodată, folosește mereu acești pași:

Pleacă de la mulțimea mai mică (cea care crezi că este inclusă).
Ia pe rând fiecare element al ei.
Întreabă-te: „Se află acest element și în mulțimea mare?"
Dacă răspunsul este „da" pentru toate elementele → incluziunea are loc ( $A \subset B$ ).
Dacă găsești măcar un element care lipsește → incluziunea nu are loc ( $A \neq \subset B$ ).

Atenție la o capcană de limbaj: pleci mereu de la mulțimea despre care vrei să arăți că este inclusă, nu de la cea mare. Întrebarea „este $A$ inclusă în $B$ ?" se verifică plimbându-te prin elementele lui $A$ , nu ale lui $B$ .

Câteva incluziuni speciale, foarte importante

1. Orice mulțime este inclusă în ea însăși. Pentru orice mulțime $A$ avem $A \subset A$ . De ce? Pentru că, evident, fiecare element al lui $A$ se află în $A$ — chiar el însuși! De exemplu, ${3, 7} \subset {3, 7}$ .

2. Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime. Îți amintești mulțimea vidă, notată $\emptyset$ (sau ${}$ )? Este mulțimea care nu are niciun element. Ei bine, pentru orice mulțime $B$ avem: $\emptyset \subset B .$ Cum se poate? Hai să gândim cu metoda de mai sus. Ca incluziunea $\emptyset \subset B$ să fie falsă, ar trebui să găsim un element din $\emptyset$ care nu se află în $B$ . Dar $\emptyset$ nu are niciun element, deci nu putem găsi niciun „element rebel". Neavând cum să stricăm incluziunea, ea rămâne adevărată. De aceea spunem: mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. Aceasta este una dintre cele mai des întâlnite întrebări la clasa a VI-a, așa că ține-o minte bine.

Diferența uriașă dintre ∈ și ⊂

Aici se fac cele mai multe greșeli la clasa a VI-a, așa că oprește-te puțin și citește cu atenție. Sunt două relații diferite:

$\in$ (apartenență) leagă un element de o mulțime. Se citește „aparține". Exemplu: $3 \in {1, 2, 3}$ — elementul $3$ aparține mulțimii.
$\subset$ (incluziune) leagă o mulțime de o altă mulțime. Se citește „inclus". Exemplu: ${3} \subset {1, 2, 3}$ — mulțimea ${3}$ este inclusă în mulțime.

Trucul de memorat: „∈ pune un element la stânga, ⊂ pune o mulțime la stânga."

Compară cele două scrieri cu aceeași mulțime $M = {1, 2, 3}$ :

Scriere	Ce este în stânga?	Citire	Adevărat?
$2 \in M$	un element ( $2$ )	„2 aparține lui M"	✓ adevărat
${2} \subset M$	o mulțime ( ${2}$ )	„mulțimea {2} e inclusă în M"	✓ adevărat
$2 \subset M$	un element cu simbol greșit	—	✗ scriere greșită
${2} \in M$	o mulțime, dar M nu o conține ca element	„{2} aparține lui M"	✗ fals

Observă ultimele două rânduri: $2 \subset M$ este o scriere greșită, pentru că $2$ este un element, nu o mulțime, iar $\subset$ cere mulțimi de ambele părți. Iar ${2} \in M$ este fals, pentru că elementele lui $M$ sunt $1$ , $2$ , $3$ — nu și mulțimea ${2}$ .

Cheia ca să nu greșești niciodată: uită-te ce ai la stânga simbolului. Dacă e un simplu element (un număr, o literă), folosești $\in$ . Dacă sunt acoladele ${}$ ale unei mulțimi, folosești $\subset$ .

Toate submulțimile unei mulțimi date

Acum o întrebare frumoasă: câte submulțimi are o mulțime și care sunt ele? Hai să le găsim pe toate pentru o mulțime mică.

Fie $A = {a, b}$ . Submulțimile lui $A$ sunt toate mulțimile pe care le putem forma alegând niciunul, unul sau toate elementele lui $A$ :

$\emptyset$ — submulțimea fără niciun element (vidă; e mereu submulțime);
${a}$ — luăm doar pe $a$ ;
${b}$ — luăm doar pe $b$ ;
${a, b}$ — luăm toate elementele (adică $A$ însuși).

Deci $A = {a, b}$ are 4 submulțimi.

Hai să încercăm și cu trei elemente. Fie $B = {1, 2, 3}$ . Le scriem ordonat, după câte elemente au:

cu 0 elemente: $\emptyset$ ;
cu 1 element: ${1}, {2}, {3}$ ;
cu 2 elemente: ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ ;
cu 3 elemente: ${1, 2, 3}$ .

Numărăm: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ submulțimi.

Observă un tipar minunat:

mulțime cu $1$ element → $2$ submulțimi;
mulțime cu $2$ elemente → $4$ submulțimi;
mulțime cu $3$ elemente → $8$ submulțimi.

Numerele $2, 4, 8$ sunt $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ . Regula (pe care o vei folosi adesea): o mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi. Vom reveni asupra numărării când studiem cardinalul, la lecția Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi finite.

Două submulțimi sunt mereu prezente, oricare ar fi mulțimea $A$ :

mulțimea vidă $\emptyset$ (submulțimea „goală");
mulțimea $A$ însăși (submulțimea „plină").

Acestea două se numesc uneori submulțimile improprii. Toate celelalte se numesc submulțimi proprii.

Egalitatea a două mulțimi

Acum ajungem la a doua relație importantă: egalitatea. Când spunem că două mulțimi sunt egale?

Definiție. Două mulțimi $A$ și $B$ sunt egale dacă au exact aceleași elemente. Scriem $A = B$ .

Important: la mulțimi nu contează ordinea elementelor și nu contează repetările. Așadar: ${1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {2, 1, 3} .$ Sunt aceeași mulțime, scrisă doar în altă ordine. La fel, dacă din greșeală scrii un element de două ori, el se numără o singură dată: ${5, 5, 7}$ este de fapt mulțimea ${5, 7}$ .

Cum demonstrăm riguros, ca la clasa a VI-a, că două mulțimi sunt egale? Folosim dubla incluziune:

Regula egalității prin dublă incluziune. $A = B dac \overset{a}{˘} ș i numai dac \overset{a}{˘} A \subset B ș i B \subset A .$

Cu alte cuvinte, ca să arăți că $A = B$ , demonstrezi două incluziuni:

$A \subset B$ : fiecare element al lui $A$ se află în $B$ ;
$B \subset A$ : fiecare element al lui $B$ se află în $A$ .

Dacă amândouă sunt adevărate, mulțimile au exact aceleași elemente, deci sunt egale. Aceasta este una dintre cele mai folosite metode de raționament din toată matematica — o vei întâlni nu doar la mulțimi, ci mult mai târziu, la liceu, în multe demonstrații.

Hai să o folosim. Fie: $A = {x ∣ x este num \overset{a}{˘} r natural par, 0 < x < 7}, B = {2, 4, 6} .$ Mai întâi scriem $A$ prin enumerarea elementelor. Numerele naturale pare strict între $0$ și $7$ sunt $2$ , $4$ , $6$ . Deci $A = {2, 4, 6}$ .

$A \subset B$ ? Elementele $2, 4, 6$ sunt toate în $B$ . ✓
$B \subset A$ ? Elementele $2, 4, 6$ sunt toate în $A$ . ✓

Ambele incluziuni au loc, deci $A = B$ . Vezi cum o mulțime descrisă printr-o proprietate (descrierea cu „ $∣$ ") poate fi egală cu o mulțime scrisă prin enumerare? Asta e și frumusețea: aceeași mulțime poate „arăta" foarte diferit pe hârtie.

Legătura dintre incluziune și egalitate

Observă o idee subtilă. Dacă $A \subset B$ , sunt două situații posibile:

$A = B$ — incluziunea funcționează în ambele sensuri (și $B \subset A$ ). Atunci spunem că $A$ este o submulțime improprie a lui $B$ .
$A \neq = B$ — adică $A \subset B$ , dar există măcar un element în $B$ care nu este în $A$ . Spunem atunci că $A$ este strict inclusă în $B$ și notăm $A ⊊ B$ . Dacă, în plus, $A$ nu este mulțimea vidă, $A$ este o submulțime proprie (strict mai mică) a lui $B$ . (Reține din secțiunea anterioară: submulțimile improprii ale lui $B$ sunt $\emptyset$ și $B$ însăși.)

Exemplu pentru cazul 2: ${2, 4} \subset {2, 4, 6}$ , dar ${2, 4} \neq = {2, 4, 6}$ , fiindcă $6$ este în a doua mulțime și lipsește din prima.

Reține deci: egalitatea este un caz particular de incluziune — cel în care incluziunea merge în ambele direcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — verificăm o incluziune

Fie $A = {1, 3, 5}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Este adevărat că $A \subset B$ ?

Rezolvare. Plecăm de la mulțimea mai mică, $A$ , și luăm fiecare element:

$1 \in A$ → este $1 \in B$ ? Da. ✓
$3 \in A$ → este $3 \in B$ ? Da. ✓
$5 \in A$ → este $5 \in B$ ? Da. ✓

Toate elementele lui $A$ se află în $B$ , deci $A \subset B$ este adevărat. Mai mult, cum $B$ are elemente ( $2, 4, 6$ ) care lipsesc din $A$ , mulțimile nu sunt egale: $A$ este submulțime proprie a lui $B$ .

Exemplul 2 — când incluziunea NU are loc

Fie $C = {0, 2, 8}$ și $D = {0, 2, 4, 6}$ . Este $C \subset D$ ?

Rezolvare. Verificăm elementele lui $C$ :

$0 \in C$ → $0 \in D$ ? Da. ✓
$2 \in C$ → $2 \in D$ ? Da. ✓
$8 \in C$ → $8 \in D$ ? Nu! $8 \in / D$ . ✗

Am găsit un element ( $8$ ) care este în $C$ , dar nu în $D$ . Un singur „rebel" e de ajuns. Concluzie: $C \neq \subset D$ .

Exemplul 3 — ∈ sau ⊂?

Completează spațiile cu simbolul potrivit ( $\in$ , $\in /$ sau $\subset$ ), pentru $M = {2, 4, 6, 8}$ : a) $4 □ M$ ; b) ${4} □ M$ ; c) ${2, 6} □ M$ ; d) $5 □ M$ .

Rezolvare. Privim mereu ce avem la stânga.

a) În stânga e elementul $4$ . El aparține lui $M$ , deci folosim $\in$ : $4 \in M$ .
b) În stânga e mulțimea ${4}$ (are acolade). O mulțime cu $\subset$ . Cum $4 \in M$ , avem ${4} \subset M$ .
c) În stânga e mulțimea ${2, 6}$ . Verificăm: $2 \in M$ și $6 \in M$ , deci ${2, 6} \subset M$ .
d) În stânga e elementul $5$ . El nu aparține lui $M$ , deci $5 \in / M$ .

Exemplul 4 — toate submulțimile

Scrie toate submulțimile mulțimii $A = {p, q}$ și spune câte sunt.

Rezolvare. Le luăm după numărul de elemente:

cu 0 elemente: $\emptyset$ ;
cu 1 element: ${p}$ , ${q}$ ;
cu 2 elemente: ${p, q}$ .

Submulțimile sunt: $\emptyset, {p}, {q}, {p, q}$ — în total 4 submulțimi. Verificare cu formula: $A$ are $n = 2$ elemente, deci $2^{2} = 4$ submulțimi. ✓

Exemplul 5 — egalitate prin dublă incluziune

Arată că mulțimile $A = {x ∣ x \in N, x divide 12, x < 5}$ și $B = {1, 2, 3, 4}$ sunt egale.

Rezolvare. Mai întâi enumerăm $A$ . Divizorii lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Dintre ei, cei mai mici decât $5$ sunt $1, 2, 3, 4$ . Deci $A = {1, 2, 3, 4}$ .

Acum aplicăm dubla incluziune:

$A \subset B$ : elementele $1, 2, 3, 4$ sunt toate în $B$ . ✓
$B \subset A$ : elementele $1, 2, 3, 4$ sunt toate în $A$ . ✓

Ambele incluziuni au loc, deci $A = B$ . (Despre divizori vei afla mai multe la Relația de divizibilitate. Divizori și multipli.)

Exemplul 6 — adevărat sau fals, cu justificare

Stabilește valoarea de adevăr a afirmațiilor, pentru $A = {1, 2}$ și $B = {1, 2, 3}$ : a) $\emptyset \subset A$ ; b) $A \subset A$ ; c) $B \subset A$ ; d) $A \subset B$ și $B \subset A$ .

Rezolvare.

a) Adevărat. Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime.
b) Adevărat. Orice mulțime este inclusă în ea însăși.
c) Fals. $3 \in B$ , dar $3 \in / A$ , deci $B \neq \subset A$ .
d) Fals. Avem $A \subset B$ (✓), dar nu avem $B \subset A$ (vezi punctul c). Cum nu sunt adevărate amândouă incluziunile, nu putem spune $A = B$ . (Și chiar nu sunt egale: $A \neq = B$ .)

Să exersăm

1. Fie $A = {2, 5}$ și $B = {2, 5, 8, 9}$ . Este adevărat că $A \subset B$ ? Justifică pe scurt.

2. Încercuiește incluziunile adevărate: a) ${1} \subset {1, 2, 3}$ ; b) ${4} \subset {1, 2, 3}$ ; c) ${2, 3} \subset {1, 2, 3}$ ; d) ${0} \subset {1, 2, 3}$ .

3. Completează cu $\in$ , $\in /$ sau $\subset$ , pentru $M = {3, 6, 9, 12}$ : a) $6 □ M$ ; b) ${6} □ M$ ; c) $7 □ M$ ; d) ${3, 12} □ M$ .

4. Scrie toate submulțimile mulțimii $A = {x, y}$ și spune câte sunt.

5. Scrie toate submulțimile mulțimii $B = {a, b, c}$ . Câte au exact două elemente?

6. Adevărat sau fals? Justifică fiecare: a) $\emptyset \subset {7, 8}$ ; b) ${7, 8} \subset {7, 8}$ ; c) ${8} \in {7, 8}$ ; d) $8 \in {7, 8}$ .

7. Fie $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Dintre mulțimile de mai jos, care sunt submulțimi ale lui $A$ ? $P = {1, 3}$ , $Q = {2, 6}$ , $R = {5}$ , $S = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $T = \emptyset$ .

8. Sunt egale mulțimile $A = {4, 7, 4, 9, 7}$ și $B = {9, 4, 7}$ ? Explică de ce.

9. Sunt egale mulțimile $A = {m ∣ m \in N, m par, 1 < m < 9}$ și $B = {2, 4, 6, 8}$ ? Folosește dubla incluziune.

10. Găsește numărul natural $a$ astfel încât mulțimile $A = {1, a, 5}$ și $B = {1, 3, 5}$ să fie egale.

11. Potrivește fiecare scriere din coloana stângă cu „corectă" sau „greșită/falsă", pentru $M = {1, 2, 3}$ : a) $2 \in M$ ; b) $2 \subset M$ ; c) ${2} \subset M$ ; d) ${2} \in M$ .

12. Desenează o diagramă Venn care arată $A \subset B$ , unde $A = {a, e}$ și $B = {a, e, i, o, u}$ .

13. Fie $A = {1, 2}$ , $B = {1, 2, 3}$ , $C = {1, 2, 3, 4}$ . Stabilește, justificând, dacă $A \subset C$ . (Indiciu: observă că $A \subset B$ și $B \subset C$ .)

14. Câte submulțimi are o mulțime cu $4$ elemente? Dar cu $5$ elemente? Folosește regula $2^{n}$ .

15. Scrie o mulțime $B$ astfel încât ${3, 6} \subset B$ și $B$ să aibă exact $4$ elemente. Există mai multe variante?

16. Fie $A = {0, 1, 2}$ . Alege dintre următoarele DOAR submulțimile proprii ale lui $A$ (adică diferite de $\emptyset$ și de $A$ ): $\emptyset, {0}, {1, 2}, {0, 1, 2}, {2}$ .

17. (Problemă) Într-o clasă, mulțimea $E$ a elevilor care joacă șah are $7$ membri, iar mulțimea $C$ a elevilor din clubul de șah avansat este inclusă în $E$ . Dacă $C$ are $4$ membri, câți elevi joacă șah, dar nu sunt în clubul avansat?

18. (Provocare) Fie $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ și $B$ o submulțime a lui $A$ care conține toate numerele pare din $A$ și are exact $4$ elemente. Scrie toate variantele posibile pentru $B$ .

Răspunsuri și explicații

1. Adevărat. $2 \in B$ și $5 \in B$ ; toate elementele lui $A$ sunt în $B$ , deci $A \subset B$ .

2. Adevărate: a) și c). La b) $4 \in / {1, 2, 3}$ , iar la d) $0 \in / {1, 2, 3}$ , deci acele incluziuni sunt false.

3. a) $6 \in M$ ; b) ${6} \subset M$ ; c) $7 \in / M$ ; d) ${3, 12} \subset M$ (fiindcă $3 \in M$ și $12 \in M$ ).

4. Submulțimile lui ${x, y}$ sunt: $\emptyset, {x}, {y}, {x, y}$ — în total 4 (adică $2^{2}$ ).

5. Submulțimile lui ${a, b, c}$ : $\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}$ — în total 8 ( $2^{3}$ ). Cu exact două elemente sunt 3: ${a, b}, {a, c}, {b, c}$ .

6. a) Adevărat (vidul e inclus în orice mulțime). b) Adevărat (orice mulțime e inclusă în ea însăși). c) Fals: elementele lui ${7, 8}$ sunt $7$ și $8$ , nu mulțimea ${8}$ ; corect ar fi ${8} \subset {7, 8}$ . d) Adevărat: $8$ este element al mulțimii.

7. Submulțimi ale lui $A$ sunt: $P = {1, 3}$ ✓, $R = {5}$ ✓, $S = {1, 2, 3, 4, 5}$ ✓ (egală cu $A$ ), $T = \emptyset$ ✓. Nu este: $Q = {2, 6}$ , pentru că $6 \in / A$ .

8. Da, sunt egale. Repetările nu contează, iar ordinea nu contează. $A = {4, 7, 4, 9, 7}$ înseamnă de fapt ${4, 7, 9}$ , care are aceleași elemente ca $B = {9, 4, 7}$ . Deci $A = B$ .

9. Numerele naturale pare strict între $1$ și $9$ sunt $2, 4, 6, 8$ , deci $A = {2, 4, 6, 8}$ . Apoi: $A \subset B$ ✓ și $B \subset A$ ✓ (au aceleași elemente). Prin dublă incluziune, $A = B$ .

10. $a = 3$ . Ca mulțimile ${1, a, 5}$ și ${1, 3, 5}$ să fie egale, elementul lipsă $a$ trebuie să fie $3$ . (Pentru orice altă valoare, mulțimile ar avea elemente diferite.)

11. a) corectă (element ∈ mulțime). b) greșită ( $2$ e element, nu mulțime; cu $\subset$ scrierea e incorectă). c) corectă (mulțime ⊂ mulțime). d) falsă ( ${2}$ nu este element al lui $M$ ; elementele sunt $1, 2, 3$ ).

12. Un oval mare $B$ cu elementele $a, e, i, o, u$ , iar în interiorul lui un oval mic $A$ cu $a$ și $e$ .

13. Adevărat, $A \subset C$ . Verificăm direct: $1 \in C$ și $2 \in C$ , deci toate elementele lui $A$ sunt în $C$ . (Altă cale: din $A \subset B$ și $B \subset C$ rezultă $A \subset C$ — incluziunea „se transmite".)

14. O mulțime cu $4$ elemente are $2^{4} = 16$ submulțimi; cu $5$ elemente are $2^{5} = 32$ submulțimi.

15. $B$ trebuie să conțină $3$ și $6$ și încă două elemente la alegere. De exemplu $B = {3, 6, 1, 9}$ sau $B = {3, 6, 7, 10}$ . Da, există mai multe variante, fiindcă cele două elemente suplimentare pot fi alese în multe feluri.

16. Submulțimile proprii (diferite de $\emptyset$ și de $A$ ): ${0}$ , ${1, 2}$ , ${2}$ . (Se exclud $\emptyset$ și ${0, 1, 2} = A$ .)

17. Cum $C \subset E$ , toți cei $4$ din clubul avansat sunt printre cei $7$ care joacă șah. Elevii care joacă șah, dar nu sunt în clubul avansat: $7 - 4 = 3$ elevi.

18. Numerele pare din $A$ sunt $2, 4, 6$ (trei elemente). $B$ trebuie să le conțină pe toate trei și să aibă exact $4$ elemente, deci mai adăugăm un singur număr impar din $A$ : $1$ , $3$ sau $5$ . Variantele: ${2, 4, 6, 1}$ , ${2, 4, 6, 3}$ , ${2, 4, 6, 5}$ — adică 3 variante.

De reținut

Incluziune: $A \subset B$ înseamnă că toate elementele lui $A$ sunt și în $B$ . Un singur element din $A$ care lipsește din $B$ strică incluziunea.
$A$ inclusă în $B$ = „ $A$ este submulțime a lui $B$ ". Sunt două nume pentru același lucru.
Mulțimea vidă $\emptyset$ este inclusă în orice mulțime, iar orice mulțime este inclusă în ea însăși: $\emptyset \subset A$ și $A \subset A$ .
Egalitate: $A = B$ dacă și numai dacă $A \subset B$ și $B \subset A$ (dubla incluziune). La mulțimi nu contează ordinea și nici repetările.
∈ vs ⊂: $\in$ leagă un element de o mulțime; $\subset$ leagă o mulțime de o mulțime. Privește mereu ce ai la stânga simbolului. O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi.

Greșeli frecvente

Confuzia ∈ cu ⊂. Mulți scriu $2 \subset M$ în loc de $2 \in M$ . Reține: dacă la stânga e un element simplu (un număr), folosești $\in$ ; dacă la stânga sunt acolade (o mulțime), folosești $\subset$ .
Uită mulțimea vidă printre submulțimi. Când scrii toate submulțimile, $\emptyset$ se uită cel mai des. Începe mereu lista cu $\emptyset$ și termin-o cu mulțimea însăși.
Verifici incluziunea plecând de la mulțimea greșită. Pentru „ $A \subset B$ ?" te plimbi prin elementele lui $A$ (cea mică), nu ale lui $B$ . Întrebarea e dacă fiecare element din $A$ încape în $B$ .
Crezi că ordinea sau repetările schimbă mulțimea. ${1, 2, 3}$ , ${3, 2, 1}$ și ${1, 1, 2, 3}$ sunt aceeași mulțime. Nu te lăsa păcălit de cum „arată" pe hârtie.

Joc acasă

1. Cutia și sertarele. Ia o cutie mare și pune în ea câteva obiecte mici (creioane, nasturi, monede). Cutia mare = mulțimea $B$ . Acum ia o pungă transparentă și pune în ea doar câteva dintre obiectele din cutie = mulțimea $A$ . Întreabă-te: este $A \subset B$ ? Da, pentru că tot ce e în pungă vine din cutie. Apoi pune în pungă un obiect din altă cameră (care nu era în cutie) și vezi cum incluziunea „se strică".

2. Cartonașe ∈ / ⊂. Scrie pe cartonașe câteva afirmații: „ $3 \in {1, 2, 3}$ ", „ ${3} \subset {1, 2, 3}$ ", „ $3 \subset {1, 2, 3}$ ", „ ${5} \in {1, 2, 3}$ ". Pe rând, sortează-le în două grămezi: „corect / adevărat" și „greșit / fals". Provoacă un membru al familiei să le sorteze și el și comparați rezultatele.

3. Vânătoarea de submulțimi. Alege o mulțime mică, de exemplu literele numelui tău fără repetări (să zicem ${A, N, A} = {A, N}$ sau ${D, A, N}$ ). Scrie pe o foaie toate submulțimile ei, pornind de la $\emptyset$ . Apoi numără-le și verifică cu formula $2^{n}$ . Dacă numărul iese fix, ai prins toate submulțimile!

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce două relații-cheie din teoria mulțimilor: incluziunea și egalitatea. Cel mai important rezultat al lecției nu este o formulă, ci o distincție de gândire: diferența dintre relația element–mulțime ( $\in$ ) și relația mulțime–mulțime ( $\subset$ ). Această confuzie persistă uneori până în liceu, așa că merită fixată bine acum.

Cum sprijiniți elevul:

Insistați pe regula „ce e la stânga simbolului": element → $\in$ , mulțime (cu acolade) → $\subset$ . Cereți-i să citească cu voce tare fiecare scriere („doi aparține lui M", „mulțimea {2} este inclusă în M").
Pentru incluziune, verificați mereu plecând de la mulțimea mică, element cu element. Întrebarea de control: „Există vreun element în prima care lipsește din a doua?" Dacă da, incluziunea cade.
Pentru egalitate, cereți dubla incluziune explicit: „Arată-mi că $A \subset B$ . Acum arată-mi că $B \subset A$ ." Asta îl obișnuiește cu structura unei demonstrații.

Întrebări bune de pus:

„De ce este mulțimea vidă inclusă în orice mulțime?" (Răspuns așteptat: pentru că nu putem găsi în ea niciun element care să lipsească din cealaltă.)
„Câte submulțimi are o mulțime cu 3 elemente și de ce $2^{3}$ ?"
„Dă-mi un exemplu de două mulțimi care arată diferit, dar sunt egale." (ordine/repetări)

Cum verificați că a înțeles: dați-i o scriere amestecată, de exemplu ${4} \in {4, 5}$ , și cereți-i să spună dacă e adevărată și să o corecteze. Dacă recunoaște singur că ar trebui ${4} \subset {4, 5}$ sau $4 \in {4, 5}$ , a prins ideea esențială. Lecția pregătește operațiile cu mulțimi (reuniune, intersecție, diferență) din lecțiile următoare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă simbolul ⊂ la clasa a 6-a? Simbolul $\subset$ se citește „inclus" și arată că o mulțime este parte a alteia. $A \subset B$ înseamnă că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$ . Spunem atunci că $A$ este submulțime a lui $B$ .

Care este diferența dintre ∈ și ⊂? Simbolul $\in$ (aparține) leagă un element de o mulțime, de exemplu $3 \in {1, 2, 3}$ . Simbolul $\subset$ (inclus) leagă o mulțime de altă mulțime, de exemplu ${3} \subset {1, 2, 3}$ . Regula simplă: dacă la stânga ai un element, folosești $\in$ ; dacă la stânga ai o mulțime (cu acolade), folosești $\subset$ .

Când sunt două mulțimi egale? Două mulțimi sunt egale când au exact aceleași elemente, indiferent de ordine sau de repetări. Riguros, $A = B$ dacă $A \subset B$ și $B \subset A$ (dubla incluziune). De exemplu ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$ .

De ce este mulțimea vidă submulțime a oricărei mulțimi? Pentru că, neavând niciun element, mulțimea vidă nu poate avea un element care să lipsească din cealaltă mulțime. Cum incluziunea nu poate fi stricată, ea rămâne adevărată: $\emptyset \subset A$ pentru orice mulțime $A$ .

Câte submulțimi are o mulțime? O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi. De exemplu, o mulțime cu $3$ elemente are $2^{3} = 8$ submulțimi, iar una cu $4$ elemente are $2^{4} = 16$ submulțimi. Printre ele se numără mereu mulțimea vidă și mulțimea însăși.

Contează ordinea elementelor într-o mulțime? Nu. La mulțimi ordinea nu contează și nici repetările. ${2, 5, 9}$ și ${9, 2, 5}$ sunt aceeași mulțime, iar ${4, 4, 7}$ este de fapt ${4, 7}$ .

Ce este o submulțime proprie? O submulțime proprie a lui $A$ este o submulțime diferită atât de mulțimea vidă, cât și de $A$ însăși. De exemplu, pentru $A = {1, 2, 3}$ , mulțimea ${1, 2}$ este o submulțime proprie, în timp ce $\emptyset$ și ${1, 2, 3}$ sunt submulțimi improprii.

Este orice mulțime inclusă în ea însăși? Da. Pentru orice mulțime $A$ avem $A \subset A$ , fiindcă fiecare element al lui $A$ se află, evident, în $A$ . Aceasta este o submulțime improprie a lui $A$ .