Când se unesc două intervale într-unul singur?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Reuniunea intervalelor pe axă

Atunci când porțiunile lor de axă se ating sau se suprapun, fără să rămână niciun gol între ele. Astfel $[2, 5] \cup [4, 8]$ devine $[2, 8]$ , fiindcă bucata comună le lipește. Punctul de contact decide: când el aparține măcar unuia dintre ele, unirea se face; când nu apare nicăieri, rămâne o gaură într-un singur loc, iar rezultatul păstrează ambele bucăți, ca la $(1, 3) \cup (3, 5)$ .

Reuniunea a două mulțimi, notată $A \cup B$ , adună toate elementele care se află în $A$ , în $B$ sau în ambele — fiecare o singură dată. Cuvântul-cheie este sau (spre deosebire de intersecție, unde era și).

La intervale de numere reale, desenezi ambele intervale pe aceeași axă și colorezi tot ce e acoperit de cel puțin unul. Dacă porțiunea colorată e o bandă continuă, scrii un singur interval; dacă rămâne un gol, scrii $A \cup B$ cu ambele bucăți.

Exemplu: $[2, 5] \cup [4, 8]$ . Cele două intervale se suprapun pe $[4, 5]$ , deci se lipesc într-o singură bucată: $[2, 5] \cup [4, 8] = [2, 8]$ .

Fii atent la punctul de contact dintre intervale vecine: dacă e inclus în măcar unul dintre ele, se comasează; dacă lipsește din amândouă, rămâne o gaură de un punct și nu poți uni cele două bucăți.

De reținut

$A \cup B$ = numerele aflate în cel puțin unul dintre intervale
intervalele care se ating sau se suprapun se scriu ca unul singur
un punct lipsă din amândouă lasă un gol, deci bucățile rămân despărțite

Greșeala tipică

Se unesc două intervale vecine care nu conțin punctul de contact, scriind un singur interval. Numărul din capăt lipsind din amândouă, el trebuie scos din rezultat, deci scrierea rămâne cu două bucăți.

Exerciții din această mini-lecție

Determină $[1, 4] \cup [3, 7]$ .
- a) $[1, 7]$
- b) $[1, 4] \cup [3, 7]$
- c) $[3, 4]$
- d) $[1, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[1, 7]$

Intervalele se suprapun pe $[3, 4]$ , deci reuniunea este o singură bucată: capătul stâng $1$ (de la primul interval) și capătul drept $7$ (de la al doilea), ambele incluse. $[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$ .
Determină $(2, 6] \cup (6, 9)$ .
- a) $(2, 9)$
- b) $(2, 9]$
- c) $(2, 6] \cup (6, 9)$
- d) $[2, 9]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(2, 9)$

Punctul de contact este $6$ . El este inclus în primul interval, $(2, 6]$ , deci este acoperit — nu rămâne nicio gaură. Capătul stâng $2$ rămâne exclus, capătul drept $9$ rămâne exclus: $(2, 6] \cup (6, 9) = (2, 9)$ .
Determină $[2, 5] \cup [4, 9]$ .
- a) $[2, 9]$
- b) $[4, 5]$
- c) $[2, 5] \cup [4, 9]$
- d) $(2, 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[2, 9]$

Cele două intervale se suprapun (au în comun $[4, 5]$ ), deci reuniunea acoperă o bandă continuă de la cel mai mic capăt la cel mai mare: $[2, 9]$ .

Întrebări conexe

Care este reuniunea intervalelor de la doi la cinci și de la patru la opt?

Se suprapun pe porțiunea de la $4$ la $5$ , deci se contopesc într-unul singur: rezultatul este $[2, 8]$ . Capetele exterioare rămân așa cum erau în intervalele de plecare. Suprapunerea este condiția care permite scrierea scurtă.

Cum desenez reuniunea pe axă?

Trasezi ambele intervale unul sub altul, pe aceeași axă, apoi colorezi tot ce este acoperit de cel puțin unul dintre ele. Zona colorată, citită de la stânga la dreapta, îți dă răspunsul. Golurile rămase se văd imediat.

Câte numere întregi are reuniunea a două intervale?

Le numeri pe cele din zona colorată, fără să repeți numerele aflate în ambele intervale. Din $[1, 4] \cup [3, 6]$ obții $[1, 6]$ , deci șase numere întregi. Numărarea separată pe fiecare interval ar da un rezultat prea mare.

Ce obțin dacă un interval îl cuprinde complet pe celălalt?

Chiar intervalul mai mare, fiindcă el acoperă deja tot. Din $[0, 10] \cup [3, 4]$ rezultă $[0, 10]$ . Este cazul cel mai simplu și se recunoaște dintr-o privire pe desen.

Cum folosesc reuniunea la o problemă cu două condiții alternative?

Când enunțul cere ca măcar una dintre condiții să fie îndeplinită, soluția este reuniunea celor două mulțimi. Dacă ar cere ambele condiții deodată, ai avea nevoie de intersecție. Cuvântul din enunț decide operația.

De ce cuvântul care descrie reuniunea este sau?

Fiindcă un număr intră în rezultat dacă se află în primul interval, în al doilea sau în amândouă. Este de ajuns o singură apartenență. La intersecție, dimpotrivă, se cer amândouă deodată.

Oamenii mai întreabă și: reuniunea intervalelor · când se unesc două intervale · cum calculez reuniunea a două intervale · simbolul de reuniune · intervale lipite pe axă