Reuniunea intervalelor de numere reale

Imaginează-ți că două echipe de voluntari curăță un râu. Prima echipă lucrează pe porțiunea cuprinsă între kilometrul 2 și kilometrul 5, iar a doua echipă pe porțiunea dintre kilometrul 4 și kilometrul 8. Dacă cineva te întreabă „care este toată porțiunea de râu curățată de cele două echipe la un loc?", răspunsul înseamnă exact să faci reuniunea a două intervale. În lecția aceasta înveți cum aduni toate numerele din două intervale într-o singură mulțime, cum o citești pe axa numerelor și cum o scrii corect — un instrument pe care îl vei folosi constant la inecuații și la Evaluarea Națională.

Reuniunea vine imediat după intersecția intervalelor, pe care ai studiat-o în lecția anterioară. Cele două operații sunt „surori": intersecția reține ce au intervalele în comun, reuniunea reține tot ce se află în cel puțin unul dintre ele. Vom compara des cele două idei, pentru ca la examen să nu le mai confunzi niciodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă reuniunea a două mulțimi și să folosești corect simbolul $\cup$.
• Vei ști să determini reuniunea a două intervale reprezentându-le pe aceeași axă a numerelor.
• Vei ști să decizi când reuniunea se scrie ca un singur interval și când rămâne sub forma $A\cup B$.
• Vei ști să lucrezi cu intervale disjuncte, care nu se pot comasa.
• Vei ști să rezolvi exerciții care combină intersecția și reuniunea și să redactezi rezultatul îngrijit, pentru punctaj.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă reuniunea a două mulțimi

Fie două mulțimi, $A$ și $B$. Reuniunea lor, notată $A\cup B$ (se citește „$A$ reunit cu $B$" sau „$A$ reuniune $B$"), este mulțimea formată din toate elementele care se află în $A$, în $B$, sau în ambele — fiecare element fiind luat o singură dată.

Scrisă cu limbaj de mulțimi:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{sau}x\in B\}$$

Cuvântul-cheie este sau. La reuniune, un element intră în rezultat dacă aparține măcar uneia dintre mulțimi. (La intersecție cuvântul era și: elementul trebuia să fie în ambele.)

Să luăm un exemplu cu mulțimi finite, ca să simțim ideea:

• $A=\{1,2,3,4\}$
• $B=\{3,4,5,6\}$

Adunăm toate elementele: $1,2,3,4$ (din $A$) și $3,4,5,6$ (din $B$). Dar $3$ și $4$ apar de două ori — le scriem o singură dată. Rezultă:

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Observă ceva important, valabil mereu: reuniunea este cel puțin la fel de mare ca fiecare dintre mulțimi. Ea le „înghite" pe amândouă. Prin contrast, intersecția $A\cap B=\{3,4\}$ era mai mică. Reține imaginea: intersecția strânge, reuniunea lărgește.

2. De la mulțimi finite la intervale

La clasa a VIII-a lucrăm mai ales cu intervale de numere reale — mulțimi care conțin o infinitate de numere, nu doar câteva. Ideea de reuniune rămâne exact aceeași: $A\cup B$ conține toate numerele care sunt în $A$ sau în $B$. Diferența e că nu mai putem enumera elementele unul câte unul, așa că avem nevoie de un instrument vizual: axa numerelor.

Amintește-ți notațiile de la intervalele mărginite:

• $[a,b]$ — interval închis: conține și pe $a$, și pe $b$. Pe axă îl marcăm cu puncte pline (colorate) în capete.
• $(a,b)$ — interval deschis: nu conține capetele. Pe axă marcăm capetele cu cerculețe goale.
• $[a,b)$ și $(a,b]$ — intervale semideschise: un capăt inclus, celălalt nu.
• $(-\infty ,a]$, $[a,+\infty )$ etc. — intervale nemărginite, de la lecția respectivă. La $\pm \infty$ folosim mereu paranteză rotundă.

Strategia pentru reuniune este simplă și o vei aplica de fiecare dată:

1. Desenează o singură axă.
2. Reprezintă primul interval (de exemplu deasupra axei, cu o culoare).
3. Reprezintă al doilea interval pe aceeași axă (cu altă culoare sau dedesubt).
4. Colorează tot ce este acoperit de cel puțin una dintre reprezentări.
5. Citește de pe axă porțiunea colorată și scrie-o ca interval sau ca reuniune de intervale.

3. Cazul intervalelor care se suprapun

Spunem că două intervale se suprapun dacă au numere comune (intersecția lor nu e vidă). În acest caz porțiunile colorate se lipesc și formează o singură bucată neîntreruptă — deci reuniunea este un singur interval.

Să reluăm exemplul cu râul din introducere. Fie:

• $A=[2,5]$ (prima echipă)
• $B=[4,8]$ (a doua echipă)

Ele au în comun porțiunea $[4,5]$, deci se suprapun.

Colorând tot ce e acoperit, obținem o bandă continuă de la $2$ la $8$. Capetele: $2$ este inclus (era inclus în $A$), $8$ este inclus (era inclus în $B$). Deci:

$$A\cup B=[2,8].$$

Regula pentru capete, când reuniunea devine un singur interval: capătul din stânga se ia de la intervalul care începe mai la stânga, cu tipul lui de paranteză; capătul din dreapta se ia de la intervalul care se termină mai la dreapta, cu tipul lui de paranteză.

Atenție la un caz subtil de capăt. Fie $A=[1,4)$ și $B=[4,7]$. Intervalul $A$ nu conține pe $4$, dar $B$ îl conține. Se ating în punctul $4$: $A$ ajunge până lângă $4$ (fără el), iar $B$ pornește exact din $4$ (cu el). Puse cap la cap, ele acoperă tot ce e între $1$ și $7$, inclusiv pe $4$ (fiindcă $4\in B$). Nu rămâne nicio „gaură". Prin urmare:

$$A\cup B=[1,7].$$

Ideea de reținut: chiar dacă intersecția lor este vidă ($A\cap B=\varnothing$, fiindcă $4$ nu e în ambele), intervalele sunt vecine și se lipesc, pentru că punctul $4$ este „acoperit" de $B$. Reuniunea rămâne un singur interval.

4. Cazul intervalelor vecine (lipite)

Două intervale se numesc vecine (sau alăturate) dacă se ating într-un capăt și, împreună, acoperă acel capăt fără să lase o gaură. Tocmai am văzut un astfel de exemplu: $[1,4)\cup [4,7]=[1,7]$.

Fii însă foarte atent: dacă niciunul dintre intervale nu conține punctul de contact, apare o gaură de un singur punct, iar reuniunea nu mai e un interval întreg. Exemplu:

$$[1,4)\cup (4,7]=?$$

Aici $A=[1,4)$ nu conține pe $4$ și nici $B=(4,7]$ nu conține pe $4$. Numărul $4$ lipsește din amândouă, deci lipsește și din reuniune. Rezultatul este mulțimea tuturor numerelor din $[1,7]$ cu excepția lui $4$. O scriem păstrând cele două bucăți:

$$[1,4)\cup (4,7].$$

Nu o putem comasa în $[1,7]$, pentru că $[1,7]$ ar conține și pe $4$, ceea ce ar fi fals. (Am putea scrie și $[1,7]\setminus \{4\}$, dar la clasa a VIII-a forma acceptată este să lăsăm reuniunea celor două intervale.)

Această distincție (contact „acoperit" vs. contact „gol") este exact genul de detaliu care aduce sau pierde puncte la examen. Verifică întotdeauna, la punctul de întâlnire, dacă măcar unul dintre intervale include acel punct.

5. Cazul intervalelor disjuncte

Două intervale sunt disjuncte dacă între ele rămâne o distanță (un „gol" pe axă) — deci nu se ating deloc. În acest caz porțiunile colorate sunt separate, iar reuniunea nu se poate scrie ca un singur interval: o lăsăm sub forma $A\cup B$.

Exemplu:

• $A=(-3,1]$
• $B=[4,9)$

Între $1$ și $4$ există numere (de pildă $2$, $2,5$, $3$) care nu sunt nici în $A$, nici în $B$. Există deci un gol întreg pe axă. Reuniunea rămâne:

$$A\cup B=(-3,1]\cup [4,9).$$

Cum recunoști rapid cazul? Compară capătul drept al intervalului „din stânga" cu capătul stâng al intervalului „din dreapta":

• Dacă intervalul din stânga ajunge (sau chiar depășește) capătul stâng al celuilalt, iar punctul de contact e acoperit de măcar unul dintre ele → se suprapun sau sunt vecine → un singur interval.
• Dacă între ele rămâne spațiu → disjuncte → rămâne $A\cup B$.

6. Reuniunea cu intervale nemărginite

Regulile sunt identice și când apar $\pm \infty$. De exemplu:

$$(-\infty ,3]\cup [0,+\infty ).$$

Intervalul $(-\infty ,3]$ acoperă tot ce e $\le 3$, iar $[0,+\infty )$ acoperă tot ce e $\ge 0$. Împreună acoperă absolut toate numerele reale (se suprapun pe porțiunea $[0,3]$). Rezultatul este întreaga axă:

$$(-\infty ,3]\cup [0,+\infty )=\mathbb{R}.$$

În schimb, $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ acoperă tot, mai puțin punctul $0$ (care nu e în niciunul), deci NU este $\mathbb{R}$; se lasă sub forma $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$, adică toate numerele reale nenule.

7. Reuniune și intersecție împreună

La probleme combinate ai grijă la ordinea operațiilor: se rezolvă mai întâi ceea ce e în paranteze. Simbolurile $\cap$ și $\cup$ se aplică pe intervalele indicate, exact ca la operațiile cu numere.

Un pas de aur, care te scapă de erori: la fiecare operație redesenezi axa. Nu încerca să ții totul în minte. Fă intersecția pe o axă, scrie rezultatul, apoi fă reuniunea pe altă axă cu rezultatul obținut.

Vom lucra astfel de exerciții combinate în secțiunea următoare. Reține deocamdată cele trei situații-cheie pentru reuniune:

1. Se suprapun (au numere comune) → un singur interval.
2. Vecine cu punct acoperit → un singur interval.
3. Disjuncte sau vecine cu punct gol → rămâne $A\cup B$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — intervale care se suprapun

Determină $[-2,3]\cup [1,6]$.

Rezolvare. Reprezentăm ambele pe aceeași axă.

Intervalele au în comun porțiunea $[1,3]$, deci se suprapun. Reuniunea este o singură bucată, de la cel mai mic capăt stâng ($-2$, inclus) până la cel mai mare capăt drept ($6$, inclus):

$$[-2,3]\cup [1,6]=[-2,6].$$

Exemplul 2 — intervale disjuncte

Determină $(-5,-1)\cup (2,4]$.

Rezolvare. Capătul drept al primului este $-1$; capătul stâng al celui de-al doilea este $2$. Între $-1$ și $2$ există numere (de exemplu $0$, $1$) care nu aparțin niciunui interval. Intervalele sunt disjuncte, deci reuniunea rămâne scrisă cu ambele bucăți:

$$(-5,-1)\cup (2,4].$$

Nu o putem comasa, pentru că nu formează o bandă continuă.

Exemplul 3 — intervale vecine care se lipesc

Determină $(-\infty ,2)\cup [2,5]$.

Rezolvare. Primul interval merge până lângă $2$ (fără $2$), iar al doilea pornește chiar din $2$ (cu $2$). Punctul $2$ este acoperit de al doilea interval, deci nu rămâne nicio gaură.

Reuniunea acoperă tot ce e $\le 5$:

$$(-\infty ,2)\cup [2,5]=(-\infty ,5].$$

Exemplul 4 — vecine, fără gaură (punct de contact acoperit)

Determină $(0,4]\cup (4,9)$.

Rezolvare. Verificăm punctul de contact, $4$. Primul interval, $(0,4]$, conține pe $4$ (paranteză dreaptă închisă). Deci $4$ este acoperit, iar al doilea, $(4,9)$, continuă imediat de după el. Nu apare nicio gaură:

$$(0,4]\cup (4,9)=(0,9).$$

Capătul stâng $0$ rămâne exclus (era exclus în primul), capătul drept $9$ rămâne exclus (era exclus în al doilea).

(Compară cu cazul $(0,4)\cup (4,9)$: acolo $4$ ar lipsi din amândouă, iar reuniunea NU s-ar putea comasa — ar rămâne $(0,4)\cup (4,9)$. Un singur semn de paranteză schimbă complet răspunsul!)

Exemplul 5 — reuniune cu $\pm \infty$

Determină $(-\infty ,-1]\cup (-3,+\infty )$.

Rezolvare. Primul acoperă tot ce e $\le -1$; al doilea acoperă tot ce e $>-3$. Ele se suprapun puternic (pe porțiunea $(-3,-1]$) și, împreună, acoperă toate numerele reale.

$$(-\infty ,-1]\cup (-3,+\infty )=\mathbb{R}.$$

Un truc de verificare: dacă unul dintre intervale începe „de la $-\infty$" și celălalt merge „până la $+\infty$", iar ele se ating sau se suprapun, reuniunea este $\mathbb{R}$.

Exemplul 6 — problemă combinată (intersecție și reuniune)

Fie $A=[-4,2]$, $B=(-1,5)$ și $C=[3,7]$. Determină $(A\cap B)\cup C$.

Rezolvare. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi paranteza $A\cap B$.

Pasul 1 — intersecția $A\cap B=[-4,2]\cap (-1,5)$. Reținem porțiunea comună: de la cel mai mare capăt stâng ($-1$, exclus, fiindcă $B$ îl exclude) până la cel mai mic capăt drept ($2$, inclus, fiindcă $A$ îl include).

$$A\cap B=(-1,2].$$

Pasul 2 — reuniunea cu $C$: $(-1,2]\cup [3,7]$. Capătul drept al primului este $2$; capătul stâng al lui $C$ este $3$. Între $2$ și $3$ există numere (de exemplu $2,5$) care nu-s în niciunul. Intervalele sunt disjuncte:

$$(A\cap B)\cup C=(-1,2]\cup [3,7].$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând de fiecare dată axa. Verifică-te apoi la secțiunea de răspunsuri.

1. Determină reuniunea mulțimilor finite: $\{2,4,6,8\}\cup \{4,5,6,7\}$.
2. Determină $[1,5]\cup [3,9]$.
3. Determină $[-4,0]\cup [-1,6]$.
4. Determină $(2,7)\cup [5,10]$.
5. Determină $(-6,-2)\cup (1,4)$.
6. Determină $[-3,1)\cup [1,5]$.
7. Determină $[-3,1)\cup (1,5]$. (Atenție la punctul $1$!)
8. Determină $(-\infty ,4)\cup [4,+\infty )$.
9. Determină $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$.
10. Determină $(-\infty ,5)\cup (-2,+\infty )$.
11. Adevărat sau fals, cu justificare: „$[2,6]\cup [6,9]=[2,9]$."
12. Adevărat sau fals, cu justificare: „$(1,3)\cup (3,5)=(1,5)$."
13. Fie $A=[-2,4]$ și $B=[0,7]$. Determină $A\cap B$ și $A\cup B$, apoi compară numărul de „bucăți" al fiecăruia.
14. Fie $A=(-5,2]$, $B=[-1,6)$, $C=(4,9]$. Determină $(A\cup B)\cap C$.
15. Fie $A=[-3,3]$, $B=(1,8)$, $C=[-6,-1]$. Determină $(A\cap B)\cup C$.
16. Item tip Evaluare Națională. Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -2\le x<5\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 3<x\le 8\}$. Scrie $A$ și $B$ ca intervale, apoi determină $A\cup B$.
17. Determină toate numerele întregi care aparțin mulțimii $(-4,1]\cup [3,6)$.
18. Problemă aplicată. Un magazin oferă reducere la produsele cu prețul în intervalul $[20,50]$ lei și, separat, la produsele cu prețul în intervalul $[40,90]$ lei (o altă promoție). Care este intervalul tuturor prețurilor care beneficiază de cel puțin una dintre reduceri? Scrie rezultatul ca interval.

Răspunsuri și explicații

1. $\{2,4,5,6,7,8\}$. Adunăm toate elementele, iar pe cele repetate ($4$ și $6$) le scriem o singură dată.

2. $[1,9]$. Se suprapun pe $[3,5]$; capăt stâng $1$ (inclus), capăt drept $9$ (inclus).

3. $[-4,6]$. Se suprapun pe $[-1,0]$; capăt stâng $-4$, capăt drept $6$, ambele incluse.

4. $(2,10]$. Se suprapun pe $[5,7)$; capăt stâng $2$ (exclus, din primul), capăt drept $10$ (inclus, din al doilea).

5. $(-6,-2)\cup (1,4)$. Disjuncte: între $-2$ și $1$ e un gol (de exemplu $0$ nu aparține niciunuia). Rămâne scrisă cu ambele bucăți.

6. $[-3,5]$. Punctul $1$ nu e în $[-3,1)$, dar este în $[1,5]$, deci e acoperit. Intervalele sunt vecine și se lipesc.

7. $[-3,1)\cup (1,5]$. Punctul $1$ lipsește din amândouă ($[-3,1)$ nu-l are, $(1,5]$ nu-l are), deci rămâne o gaură în $1$. NU se comasează.

8. $\mathbb{R}$. Punctul $4$ e acoperit de al doilea interval; împreună acoperă toate numerele reale.

9. $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$. Disjuncte: numerele din $(0,2)$ (de exemplu $1$) nu sunt în niciunul. Rămâne cu ambele bucăți.

10. $\mathbb{R}$. Se suprapun pe $(-2,5)$; unul pornește din $-\infty$, celălalt ajunge la $+\infty$ → toată axa.

11. Adevărat. Punctul $6$ e comun (aparține ambelor), deci se suprapun; reuniunea este $[2,9]$.

12. Fals. Punctul $3$ nu aparține nici lui $(1,3)$, nici lui $(3,5)$, deci lipsește din reuniune. Corect: $(1,3)\cup (3,5)$ (cu gaură în $3$), NU $(1,5)$.

13. $A\cap B=[0,4]$ (o bucată). $A\cup B=[-2,7]$ (o bucată). Aici ambele au câte o bucată, dar reuniunea $[-2,7]$ e „mai lungă" (le cuprinde pe amândouă), iar intersecția $[0,4]$ e „mai scurtă" (doar partea comună).

14. Mai întâi $A\cup B=(-5,2]\cup [-1,6)$. Se suprapun pe $[-1,2]$, deci $A\cup B=(-5,6)$. Apoi $(-5,6)\cap C=(-5,6)\cap (4,9]=(4,6)$ (capăt stâng $4$ exclus, capăt drept $6$ exclus). Rezultat: $(4,6)$.

15. Mai întâi $A\cap B=[-3,3]\cap (1,8)=(1,3]$. Apoi $(1,3]\cup C=(1,3]\cup [-6,-1]$. Între $-1$ și $1$ e un gol (de exemplu $0$ nu e în niciunul), deci disjuncte. Scriem în ordine crescătoare: $[-6,-1]\cup (1,3]$. Rezultat: $[-6,-1]\cup (1,3]$.

16. $A=[-2,5)$ și $B=(3,8]$. Se suprapun pe $(3,5)$. Capăt stâng $-2$ (inclus), capăt drept $8$ (inclus). $A\cup B=[-2,8]$.

17. Elementele întregi: din $(-4,1]$ sunt $-3,-2,-1,0,1$; din $[3,6)$ sunt $3,4,5$. Reunite: $\{-3,-2,-1,0,1,3,4,5\}$. (Observă că $2$ NU apare, fiind în golul dintre bucăți.)

18. $[20,50]\cup [40,90]=[20,90]$. Se suprapun pe $[40,50]$, deci toate prețurile de la $20$ la $90$ lei beneficiază de cel puțin o reducere.

De reținut

• Reuniunea $A\cup B=\{x\mid x\in A\text{sau}x\in B\}$ — toate elementele din $A$ sau din $B$, luate o singură dată. Cuvântul-cheie: sau.
• Reuniunea este un singur interval dacă intervalele se suprapun sau sunt vecine cu punctul de contact acoperit de măcar unul dintre ele.
• Reuniunea rămâne $A\cup B$ (nu se comasează) dacă intervalele sunt disjuncte sau dacă punctul de contact lipsește din amândouă (gaură de un punct).
• La un singur interval: capătul stâng vine de la cel care începe mai la stânga, capătul drept de la cel care se termină mai la dreapta, fiecare cu tipul lui de paranteză.
• La probleme combinate cu $\cap$ și $\cup$: rezolvi întâi parantezele și redesenezi axa la fiecare pas.

Greșeli frecvente

• Confuzia „și" / „sau". La intersecție ($\cap$) elementul trebuie să fie în ambele („și"); la reuniune ($\cup$) e de ajuns să fie în măcar unul („sau"). Dacă amesteci cuvintele, obții exact operația greșită. Compară mereu cu lecția despre intersecție.
• Comasarea greșită a intervalelor disjuncte. Scrii $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )=\mathbb{R}$? Greșit — lipsesc numerele din $(0,2)$. Verifică întotdeauna dacă rămâne un gol; dacă da, NU ai voie să scrii un singur interval.
• Neglijarea punctului de contact. La intervale vecine, verifică dacă punctul de întâlnire aparține măcar unuia. Dacă da → se lipesc (un interval); dacă lipsește din amândouă → rămâne o gaură și scrii reuniunea cu ambele bucăți.
• Greșeli de paranteză la capete. Când comasezi, păstrezi tipul de paranteză al capătului: dacă un capăt era exclus în intervalul care „dă" acel capăt, rămâne exclus și în rezultat. Nu schimba din reflex parantezele.

Aplică acasă

1. Programul a două activități. Notează pe o axă a orelor cele două intervale în care ești ocupat mâine (de exemplu școala $[8,14]$ și antrenamentul $[13,15]$). Determină reuniunea — intervalul total în care ești ocupat — și verifică dacă se suprapun sau lasă timp liber între ele.
2. Reducerile din magazin. Găsește două promoții reale (online sau într-un pliant) care se aplică pe două intervale de preț. Scrie fiecare interval, determină reuniunea și spune care este intervalul de prețuri ce beneficiază de cel puțin o promoție.
3. Provocare cu paranteze. Alege două intervale vecine (de exemplu care se ating în $5$) și scrie toate cele patru variante posibile ale capetelor din jurul lui $5$ (inclus/exclus în fiecare). Determină reuniunea în fiecare caz și observă când rezultă un singur interval și când rămâne o gaură.

Pentru părinți și profesori

Reuniunea intervalelor este a doua operație fundamentală (după intersecție) din unitatea „Intervale de numere reale" și un instrument esențial pentru inecuațiile de gradul I, care urmează imediat în programă: mulțimea soluțiilor unei inecuații se exprimă des ca interval, iar la sisteme sau la cazuri cu module apar reuniuni de intervale.

Cum sprijiniți elevul:

• Insistați pe desenul pe axă. Multe greșeli dispar dacă elevul reprezintă întâi ambele intervale și abia apoi scrie rezultatul.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Numărul $4$ aparține reuniunii? De ce?", „De ce aici reuniunea NU se poate scrie ca un singur interval?", „Ce se schimbă dacă transform paranteza dreaptă în paranteză rotundă la punctul de contact?".
• Semn că a înțeles cu adevărat: distinge corect cazul vecin-acoperit (se comasează) de cazul vecin-gol (nu se comasează) — este cel mai fin și cel mai valoros detaliu.

La Evaluarea Națională, operațiile cu intervale apar frecvent la Subiectul I (itemi cu răspuns scurt) și în combinație cu inecuații la Subiectul al II-lea. Se punctează redactarea corectă a rezultatului, inclusiv tipul parantezelor, deci merită exersată scrierea îngrijită, nu doar „găsirea" răspunsului.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă reuniunea a două intervale la clasa a 8-a? Reuniunea $A\cup B$ este mulțimea tuturor numerelor care se află în $A$, în $B$ sau în ambele, fiecare luat o singură dată. Practic, aduni tot ce e acoperit de cele două intervale pe axa numerelor.

Cum calculez reuniunea a două intervale? Reprezinți ambele intervale pe aceeași axă, colorezi tot ce e acoperit de cel puțin unul și citești porțiunea colorată. Dacă e o bandă continuă, scrii un singur interval; dacă are întreruperi, o scrii ca $A\cup B$.

Când reuniunea se scrie ca un singur interval? Atunci când intervalele se suprapun (au numere comune) sau sunt vecine, iar punctul de contact este inclus în cel puțin unul dintre ele. În aceste cazuri porțiunea colorată nu are nicio gaură.

Când reuniunea rămâne scrisă ca A ∪ B? Când intervalele sunt disjuncte (rămâne un gol între ele) sau când punctul de contact lipsește din amândouă (gaură de un singur punct). Atunci nu ai voie să le comasezi într-un singur interval.

Care e diferența dintre intersecția și reuniunea intervalelor? Intersecția ($\cap$) reține doar ce au intervalele în comun (cuvântul „și"), deci un rezultat mai mic; reuniunea ($\cup$) reține tot ce e în cel puțin unul (cuvântul „sau"), deci un rezultat mai mare. Le poți compara direct în lecția despre intersecție.

Ce simbol se folosește pentru reuniune? Simbolul reuniunii este $\cup$ și se citește „reunit cu" sau „reuniune". Nu îl confunda cu $\cap$ (intersecție), care are deschiderea în jos.

Reuniunea a două intervale nemărginite poate fi toată axa reală? Da. Dacă un interval pornește din $-\infty$ și celălalt ajunge la $+\infty$, iar ele se ating sau se suprapun, reuniunea este $\mathbb{R}$, de exemplu $(-\infty ,3]\cup [1,+\infty )=\mathbb{R}$.

De ce (1, 3) ∪ (3, 5) nu este egal cu (1, 5)? Pentru că numărul $3$ nu aparține niciunuia dintre cele două intervale, deci lipsește și din reuniune. Intervalul $(1,5)$ ar conține pe $3$, ceea ce ar fi fals; de aceea reuniunea se lasă scrisă cu ambele bucăți.