Pentru sistemul $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 11 \end{cases}$$, care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?

Substituție, pentru că $$y$$ este deja izolat în prima ecuație

Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $$y$$ fiind opuși

Reducere prin înmulțirea ambelor ecuații cu numere diferite

Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode

Ai găsit perechea $$(5, 2)$$ pentru sistemul $$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$. Ce se întâmplă la verificare?

Perechea verifică doar prima ecuație, deci nu este soluția sistemului

Perechea verifică ambele ecuații, deci este soluția sistemului

Perechea verifică doar a doua ecuație, deci nu este soluția sistemului

Perechea nu verifică nicio ecuație

Pentru sistemul $$\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 2x+y=7 \end{cases}$$, care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?

Reducere prin scădere, pentru că ambele ecuații au coeficientul lui $$x$$ egal cu $$2$$

Substituție, pentru că $$x$$ este deja izolat

Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $$y$$ fiind opuși

Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode

Cum verific soluția unui sistem de ecuații?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Rezolvare și verificare sisteme

Înlocuiești perechea găsită în amândouă ecuațiile inițiale, nu doar în una. Fiecare egalitate trebuie să se închidă exact. Pentru $y = x + 1$ și $x + y = 5$ obții $x = 2$ și $y = 3$ , apoi controlezi că $3 = 2 + 1$ și că $2 + 3 = 5$ . Abia după aceea scrii soluția ca pereche ordonată, $S = {(2, 3)}$ . Verificarea prinde atât greșelile de calcul, cât și pe cele de copiere.

Când rezolvi un sistem de ecuații liniare, nu ajunge să găsești perechea $(x, y)$ — trebuie să și redactezi clar drumul până acolo. O rezolvare completă are 6 pași: rescrii sistemul, anunți metoda aleasă (substituție sau reducere), aplici pașii metodei, afli prima necunoscută, o înlocuiești ca să o afli pe a doua, apoi verifici perechea în ambele ecuații inițiale și scrii soluția ca pereche ordonată $S = {(x, y)}$ .

Alegi substituția când o necunoscută e deja izolată sau are coeficient $1$ , și reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși. Exemplu minimal: în ${y = x + 1 x + y = 5$ , înlocuiești $y$ în a doua ecuație: $x + (x + 1) = 5 \Rightarrow x = 2$ , apoi $y = 3$ . Verifici: $3 = 2 + 1$ ✓ și $2 + 3 = 5$ ✓, deci $S = {(2, 3)}$ .

Cea mai frecventă greșeală: verificarea într-o singură ecuație, nu în amândouă.

De reținut

soluția se scrie ca pereche ordonată: $S = {(x, y)}$
verificarea se face în amândouă ecuațiile inițiale
substituție când o necunoscută e izolată, reducere la coeficienți opuși

Greșeala tipică

Se verifică soluția doar în ecuația folosită la final, care iese corectă oricum. Controlul se face în amândouă ecuațiile scrise la început.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru sistemul ${y = 3 x - 4 2 x + y = 11$ , care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?
- a) Substituție, pentru că $y$ este deja izolat în prima ecuație
- b) Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $y$ fiind opuși
- c) Reducere prin înmulțirea ambelor ecuații cu numere diferite
- d) Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Substituție, pentru că $y$ este deja izolat în prima ecuație

Prima ecuație are deja $y$ scos în evidență ( $y = 3 x - 4$ ), deci cea mai rapidă cale este să înlocuiești această expresie a lui $y$ direct în a doua ecuație — asta înseamnă metoda substituției.
Ai găsit perechea $(5, 2)$ pentru sistemul ${x + y = 7 x - y = 1$ . Ce se întâmplă la verificare?
- a) Perechea verifică ambele ecuații, deci este soluția sistemului
- b) Perechea verifică doar prima ecuație, deci nu este soluția sistemului
- c) Perechea verifică doar a doua ecuație, deci nu este soluția sistemului
- d) Perechea nu verifică nicio ecuație
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Perechea verifică doar prima ecuație, deci nu este soluția sistemului

Prima ecuație: $5 + 2 = 7$ ✓. A doua ecuație: $5 - 2 = 3 \neq = 1$ ✗. Cum nu se verifică amândouă simultan, $(5, 2)$ nu este soluția sistemului — exact de aceea verificarea se face mereu în ambele ecuații.
Pentru sistemul ${2 x + 3 y = 13 2 x + y = 7$ , care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?
- a) Reducere prin scădere, pentru că ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal cu $2$
- b) Substituție, pentru că $x$ este deja izolat
- c) Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $y$ fiind opuși
- d) Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Reducere prin scădere, pentru că ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal cu $2$

Ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal ( $2$ ), deci scăzând ecuațiile membru cu membru eliminăm $x$ : aceasta este metoda reducerii prin scădere.

Întrebări conexe

Cum scriu soluția dacă sistemul nu are nicio pereche potrivită?

Scrii că mulțimea soluțiilor este vidă, adică $S = \emptyset$ . Situația apare când, după reducere, rămâne o egalitate falsă, precum $0 = 7$ . Reprezentate grafic, cele două drepte sunt paralele și nu se întâlnesc nicăieri, deci nicio pereche nu poate verifica amândouă ecuațiile.

Cum scap de paranteze într-un sistem înainte de a-l rezolva?

Desfaci fiecare paranteză, ținând cont de semnul din fața ei, apoi aduni termenii asemenea. Din $2 (x - 3) + y = 5$ obții $2 x + y = 11$ . Abia după ce amândouă ecuațiile sunt curate treci la substituție sau la reducere, altfel te încurci în calcule.

Cât timp îmi ia rezolvarea completă a unui sistem la test?

Cu antrenament, între trei și cinci minute pentru un sistem obișnuit, verificarea inclusă. Cea mai mare parte a timpului se duce pe scrierea îngrijită a pașilor, nu pe calcul. Dacă depășești mult acest răstimp, de obicei ai ales metoda mai anevoioasă pentru sistemul respectiv.

Ce punctaj pierd dacă nu fac verificarea?

De obicei niciunul direct, fiindcă punctele se dau pe pași. Pierzi însă siguranța: o greșeală mică de semn rămâne nedescoperită și trage după ea un răspuns greșit. Verificarea durează câteva secunde și îți spune imediat dacă drumul a fost bun.

Cum înlocuiesc corect prima necunoscută aflată?

O pui într-una dintre ecuațiile de la început, nu într-una schimbată pe parcurs. Dacă ai aflat $x = 2$ și prima ecuație este $3 x + y = 11$ , obții $6 + y = 11$ , deci $y = 5$ . Alegerea ecuației mai simple îți scurtează calculul.

Cum arată o rezolvare prin reducere scrisă pe pași?

Scrii sistemul, apoi te uiți dacă o necunoscută are deja coeficienți opuși; dacă nu, înmulțești o ecuație până îi obții. Aduni ecuațiile și rămâi cu una singură. Din $2 x + 3 y = 12$ și $x - 3 y = 3$ obții direct $3 x = 15$ , deci $x = 5$ , apoi $y = \frac{2}{3}$ .

Oamenii mai întreabă și: verificarea soluției unui sistem · cum redactez rezolvarea unui sistem · soluția unui sistem ca pereche ordonată · exerciții cu sisteme de ecuații liniare · pașii rezolvării unui sistem