Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Exerciții și redactare corectă

Ai învățat deja cum se rezolvă un sistem: prin metoda substituției și prin metoda reducerii. Acum vine partea care face diferența la un test, la o teză sau la un examen: să rezolvi corect și să redactezi îngrijit, pas cu pas, astfel încât oricine îți citește lucrarea să înțeleagă exact ce ai făcut. Un inginer care calculează cât beton intră într-un planșeu, un programator care rezolvă două condiții deodată sau un contabil care împarte o sumă — toți lucrează, de fapt, cu sisteme de ecuații. În această lecție ne concentrăm pe exerciții cu sisteme de ecuații liniare rezolvate complet, pe alegerea metodei potrivite, pe sistemele cu fracții și paranteze și, mai ales, pe redactarea corectă a rezolvării unui sistem de clasa a 7-a, cu verificarea soluției de fiecare dată.

Ce vei învăța

• Vei ști să redactezi corect și complet rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, pas cu pas, într-o formă ușor de urmărit.
• Vei ști să alegi metoda potrivită (substituție sau reducere) în funcție de forma sistemului.
• Vei ști să aduci la forma standard un sistem cu coeficienți fracționari sau cu paranteze.
• Vei ști să verifici soluția în ambele ecuații și să scrii corect mulțimea soluțiilor.
• Vei ști să recunoști și să eviți greșelile frecvente de calcul și de scriere.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „redactare corectă" și de ce contează

A rezolva un sistem înseamnă să găsești perechea de numere $(x,y)$ care verifică ambele ecuații. A redacta rezolvarea înseamnă să scrii pe hârtie, ordonat și complet, drumul de la sistemul dat până la soluție, astfel încât fiecare pas să fie justificat.

De ce contează redactarea? Pentru că la matematică nu se punctează doar rezultatul final, ci și raționamentul. Dacă scrii doar „$x=3$, $y=5$", fără să arăți cum ai ajuns acolo, poți pierde majoritatea punctelor, chiar dacă rezultatul e corect. În schimb, o rezolvare bine scrisă îți aduce punctaj pe fiecare etapă și, în plus, te ajută pe tine să nu greșești, pentru că vezi clar fiecare mișcare.

O redactare bună a unui sistem are, de regulă, aceste etape:

1. Rescrii sistemul dat (eventual după ce l-ai adus la forma standard).
2. Anunți metoda aleasă: „Rezolv prin substituție" sau „Rezolv prin reducere".
3. Efectuezi pașii metodei, scriind fiecare transformare pe un rând nou, cu justificare scurtă.
4. Găsești prima necunoscută, apoi o înlocuiești ca să o afli pe a doua.
5. Verifici perechea $(x,y)$ în ambele ecuații ale sistemului inițial.
6. Scrii soluția clar: $(x,y)=(\dots ,\dots )$ sau mulțimea soluțiilor $S=\{(\dots ,\dots )\}$.

Ține minte formularea corectă a soluției: soluția unui sistem este o pereche ordonată, nu două numere separate. Ordinea contează — pe primul loc este întotdeauna valoarea lui $x$, pe al doilea valoarea lui $y$. Scriem $S=\{(3,5)\}$, cu acolade, pentru că mulțimea soluțiilor conține o singură pereche.

2. Cum alegi metoda potrivită

Ambele metode duc la același răspuns, dar una dintre ele e adesea mai rapidă pentru un sistem dat. Iată cum decizi rapid:

Alege substituția când:

• una dintre necunoscute este deja „scoasă", adică ai ceva de forma $y=\dots$ sau $x=\dots$;
• o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$, deci o poți izola ușor, fără fracții.

Alege reducerea când:

• coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși (de exemplu $+3y$ și $-3y$) — atunci aduni sau scazi direct ecuațiile;
• sistemul este scris „frumos", cu $x$ și $y$ aliniate pe aceeași coloană, iar niciuna dintre necunoscute nu are coeficient $1$.

Dacă niciuna dintre situații nu e evidentă, poți folosi oricare metodă: la reducere înmulțești ecuațiile cu numere potrivite ca să obții coeficienți opuși, iar la substituție izolezi necunoscuta cu coeficientul cel mai simplu. Nu există „metodă greșită" — există doar metoda mai comodă și metoda mai laborioasă. Cu experiență, alegi din prima privire.

3. Aducerea la forma standard: fracții și paranteze

Multe sisteme nu vin gata pregătite. Ele pot avea paranteze sau numitori (fracții). Înainte de a aplica orice metodă, le aducem la forma standard:

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$$

adică fiecare ecuație are termenii cu $x$ și $y$ în stânga, iar numărul liber în dreapta.

Când sunt paranteze, le desfacem folosind înmulțirea (distributivitatea), apoi reducem termenii asemenea și mutăm termenii liberi în dreapta. De exemplu: $$2(x-1)+3(y+2)=17\Rightarrow 2x-2+3y+6=17\Rightarrow 2x+3y=13.$$

Atenție la semne: dacă în fața parantezei este minus, toți termenii din paranteză își schimbă semnul, de exemplu $-(y-3)=-y+3$.

Când sunt fracții (numitori), cel mai curat este să înmulțim toată ecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Așa scăpăm complet de fracții. De exemplu: $$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=4|\cdot 6\Rightarrow 2x+3y=24.$$ Am înmulțit fiecare termen cu $6$: $\frac{x}{3}\cdot 6=2x$, $\frac{y}{2}\cdot 6=3y$, iar $4\cdot 6=24$. Regula de aur: când înmulțești o ecuație cu un număr, înmulțești absolut toți termenii ei, inclusiv pe cel din dreapta egalului.

Abia după ce sistemul e la forma standard, alegi metoda și rezolvi. Vom vedea imediat, în exemple, cum arată totul scris corect.

4. Verificarea: pasul pe care nu-l sari niciodată

După ce ai găsit perechea $(x,y)$, o verifici înlocuind valorile în ambele ecuații ale sistemului inițial (cel dat în enunț, nu o formă transformată de tine). Dacă ambele egalități sunt adevărate, soluția e corectă. Dacă măcar una nu iese, ai greșit undeva și te întorci să cauți eroarea.

De ce în ambele ecuații? Pentru că soluția unui sistem trebuie să le mulțumească pe amândouă simultan. O pereche poate verifica prima ecuație, dar nu și pe a doua — atunci nu este soluția sistemului. Verificarea în ambele ecuații este singura garanție că răspunsul e bun. Este ca la un lacăt cu două chei: amândouă trebuie să se potrivească.

Verificarea nu este o formalitate. Este plasa ta de siguranță: prinde greșelile de calcul înainte să conteze. Un elev bun verifică întotdeauna, chiar și când e sigur pe el.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Substituție, cu redactare completă

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=14\end{array}$$

Aleg metoda. Prima ecuație are deja $y$ izolat ($y=2x-1$), așa că substituția este cea mai rapidă.

Pasul 1. Înlocuiesc $y$ din prima ecuație în a doua: $$3x+(2x-1)=14.$$

Pasul 2. Rezolv ecuația cu o singură necunoscută: $$3x+2x-1=14\Rightarrow 5x-1=14\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3.$$

Pasul 3. Aflu $y$ înlocuind $x=3$ în $y=2x-1$: $$y=2\cdot 3-1=6-1=5.$$

Pasul 4 — verificarea. Înlocuiesc $(x,y)=(3,5)$ în ambele ecuații inițiale:

• ecuația 1: $y=2x-1\Rightarrow 5=2\cdot 3-1=5$ ✓
• ecuația 2: $3x+y=14\Rightarrow 3\cdot 3+5=9+5=14$ ✓

Soluția: $S=\{(3,5)\}$.

Exemplul 2 — Reducere prin adunare

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=16\\ 5x-3y=-2\end{array}$$

Aleg metoda. Observ că $y$ are coeficienți opuși: $+3y$ și $-3y$. Prin adunarea ecuațiilor, termenii cu $y$ dispar. Folosesc reducerea.

Pasul 1. Adun cele două ecuații, termen cu termen: $$(2x+3y)+(5x-3y)=16+(-2).$$ $$7x=14\Rightarrow x=2.$$

Pasul 2. Înlocuiesc $x=2$ în prima ecuație: $$2\cdot 2+3y=16\Rightarrow 4+3y=16\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4.$$

Pasul 3 — verificarea. Cu $(x,y)=(2,4)$:

• ecuația 1: $2\cdot 2+3\cdot 4=4+12=16$ ✓
• ecuația 2: $5\cdot 2-3\cdot 4=10-12=-2$ ✓

Soluția: $S=\{(2,4)\}$.

Exemplul 3 — Reducere cu înmulțire (când coeficienții nu se potrivesc)

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 5x+3y=11\end{array}$$

Aleg metoda. Niciuna dintre necunoscute nu are coeficient $1$, iar coeficienții nu sunt nici egali, nici opuși. Folosesc reducerea, dar întâi pregătesc coeficienții lui $y$ să devină egali. Cel mai mic multiplu comun al lui $2$ și $3$ este $6$.

Pasul 1. Înmulțesc prima ecuație cu $3$ și a doua cu $2$, ca să obțin $6y$ în ambele: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=7|\cdot 3\\ 5x+3y=11|\cdot 2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}9x+6y=21\\ 10x+6y=22\end{array}$$

Pasul 2. Scad prima ecuație din a doua ca să elimin $y$: $$(10x+6y)-(9x+6y)=22-21\Rightarrow x=1.$$

Pasul 3. Înlocuiesc $x=1$ în ecuația inițială $3x+2y=7$: $$3\cdot 1+2y=7\Rightarrow 2y=4\Rightarrow y=2.$$

Pasul 4 — verificarea. Cu $(x,y)=(1,2)$:

• ecuația 1: $3\cdot 1+2\cdot 2=3+4=7$ ✓
• ecuația 2: $5\cdot 1+3\cdot 2=5+6=11$ ✓

Soluția: $S=\{(1,2)\}$.

Exemplul 4 — Sistem cu coeficienți fracționari

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=4\end{array}$$

Aduc la forma standard. Scap de numitori înmulțind fiecare ecuație cu numitorul comun.

Prima ecuație are numitorii $2$ și $3$, deci înmulțesc cu $6$: $$\frac{x}{2}\cdot 6+\frac{y}{3}\cdot 6=4\cdot 6\Rightarrow 3x+2y=24.$$

A doua ecuație are numitorii $4$ și $2$, deci înmulțesc cu $4$: $$\frac{x}{4}\cdot 4+\frac{y}{2}\cdot 4=4\cdot 4\Rightarrow x+2y=16.$$

Sistemul devine, la forma standard: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=24\\ x+2y=16\end{array}$$

Aleg metoda. Acum $y$ are același coeficient ($2y$) în ambele ecuații. Folosesc reducerea prin scădere.

Pasul 1. Scad a doua ecuație din prima: $$(3x+2y)-(x+2y)=24-16\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4.$$

Pasul 2. Înlocuiesc $x=4$ în $x+2y=16$: $$4+2y=16\Rightarrow 2y=12\Rightarrow y=6.$$

Pasul 3 — verificarea (în sistemul inițial, cu fracții):

• ecuația 1: $\frac{4}{2}+\frac{6}{3}=2+2=4$ ✓
• ecuația 2: $\frac{4}{4}+\frac{6}{2}=1+3=4$ ✓

Soluția: $S=\{(4,6)\}$.

Exemplul 5 — Sistem cu paranteze

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}2(x-1)+3(y+2)=17\\ 3(x+2)-2(y-1)=8\end{array}$$

Aduc la forma standard. Desfac parantezele și reduc termenii asemenea.

Prima ecuație: $$2x-2+3y+6=17\Rightarrow 2x+3y+4=17\Rightarrow 2x+3y=13.$$

A doua ecuație (atenție: minus în fața parantezei schimbă semnele): $$3x+6-2y+2=8\Rightarrow 3x-2y+8=8\Rightarrow 3x-2y=0.$$

Sistemul standard: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ 3x-2y=0\end{array}$$

Aleg metoda. Folosesc reducerea. Elimin $y$: înmulțesc prima ecuație cu $2$ și a doua cu $3$, ca să obțin $+6y$ și $-6y$. $$\{\begin{array}{l}2x+3y=13|\cdot 2\\ 3x-2y=0|\cdot 3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x+6y=26\\ 9x-6y=0\end{array}$$

Pasul 1. Adun ecuațiile: $$(4x+6y)+(9x-6y)=26+0\Rightarrow 13x=26\Rightarrow x=2.$$

Pasul 2. Înlocuiesc $x=2$ în $3x-2y=0$: $$3\cdot 2-2y=0\Rightarrow 6-2y=0\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3.$$

Pasul 3 — verificarea (în sistemul inițial, cu paranteze):

• ecuația 1: $2(2-1)+3(3+2)=2\cdot 1+3\cdot 5=2+15=17$ ✓
• ecuația 2: $3(2+2)-2(3-1)=3\cdot 4-2\cdot 2=12-4=8$ ✓

Soluția: $S=\{(2,3)\}$.

Exemplul 6 — Atenție la semne (soluție cu numere pozitive dintr-un sistem cu minus)

Rezolvă sistemul: $$\{\begin{array}{l}5x-2y=-4\\ -3x+4y=22\end{array}$$

Aleg metoda. Folosesc reducerea, eliminând $y$. Coeficienții lui $y$ sunt $-2$ și $4$; cel mai mic multiplu comun al lui $2$ și $4$ este $4$. Înmulțesc prima ecuație cu $2$, ca să obțin $-4y$, opusul lui $+4y$.

Pasul 1. Înmulțesc prima ecuație cu $2$: $$5x-2y=-4|\cdot 2\Rightarrow 10x-4y=-8.$$ Sistemul devine: $$\{\begin{array}{l}10x-4y=-8\\ -3x+4y=22\end{array}$$

Pasul 2. Adun ecuațiile (termenii cu $y$ se anulează): $$(10x-4y)+(-3x+4y)=-8+22\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2.$$

Pasul 3. Înlocuiesc $x=2$ în prima ecuație inițială $5x-2y=-4$: $$5\cdot 2-2y=-4\Rightarrow 10-2y=-4\Rightarrow -2y=-14\Rightarrow y=7.$$

Pasul 4 — verificarea. Cu $(x,y)=(2,7)$:

• ecuația 1: $5\cdot 2-2\cdot 7=10-14=-4$ ✓
• ecuația 2: $-3\cdot 2+4\cdot 7=-6+28=22$ ✓

Soluția: $S=\{(2,7)\}$.

Să exersăm

Rezolvă fiecare sistem redactând complet, pas cu pas, și verifică soluția în ambele ecuații. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Prin substituție: $$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 2x+y=11\end{array}$$

2. Prin substituție: $$\{\begin{array}{l}x=3y-1\\ 2x+3y=16\end{array}$$

3. Prin reducere: $$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x-y=2\end{array}$$

4. Prin reducere: $$\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ 3x-y=8\end{array}$$

5. Alege metoda potrivită și justifică alegerea: $$\{\begin{array}{l}3x+4y=10\\ 2x-y=3\end{array}$$

6. Prin reducere: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$$

7. Prin reducere cu înmulțire: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ 3x+2y=8\end{array}$$

8. Adu la forma standard, apoi rezolvă: $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=4\\ \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1\end{array}$$

9. Sistem cu paranteze: $$\{\begin{array}{l}3(x+y)=24\\ x-y=2\end{array}$$

10. Sistem cu paranteze: $$\{\begin{array}{l}2(x-1)+y=8\\ x+2(y-1)=9\end{array}$$

11. Adevărat sau fals, cu motivare: perechea $(2,3)$ este soluție a sistemului $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x-y=1\end{array}$$

12. Adevărat sau fals, cu motivare: perechea $(4,1)$ este soluție a sistemului $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=2\end{array}$$

13. Problemă: suma a două numere este $30$, iar diferența lor este $8$. Scrie sistemul și află numerele.

14. Problemă: la o librărie, $2$ caiete și $3$ pixuri costă $23$ de lei, iar un caiet și $2$ pixuri costă $13$ lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

15. Rezolvă (atenție la semne — soluția are un număr negativ): $$\{\begin{array}{l}4x+3y=1\\ 2x-3y=5\end{array}$$

16. Alege metoda și rezolvă: $$\{\begin{array}{l}y=2x\\ 3x+2y=14\end{array}$$

17. Adevărat sau fals, cu motivare: perechea $(3,-2)$ este soluție a sistemului $$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ x-3y=9\end{array}$$

18. Adu la forma standard, apoi rezolvă: $$\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}=6\\ \frac{x-y}{2}=1\end{array}$$

Răspunsuri și explicații

1. $S=\{(3,5)\}$. Substituim $y=x+2$ în a doua: $2x+(x+2)=11\Rightarrow 3x+2=11\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$; apoi $y=3+2=5$. Verificare în ecuațiile date: $y=x+2\Rightarrow 5=3+2$ ✓ și $2\cdot 3+5=11$ ✓.

2. $S=\{(5,2)\}$. Substituim $x=3y-1$: $2(3y-1)+3y=16\Rightarrow 6y-2+3y=16\Rightarrow 9y=18\Rightarrow y=2$; apoi $x=3\cdot 2-1=5$. Verificare: $x=3\cdot 2-1=5$ ✓ și $2\cdot 5+3\cdot 2=10+6=16$ ✓.

3. $S=\{(6,4)\}$. Adunăm ecuațiile: $(x+y)+(x-y)=10+2\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$; apoi $6+y=10\Rightarrow y=4$. Verificare: $6+4=10$ ✓ și $6-4=2$ ✓.

4. $S=\{(3,1)\}$. Adunăm (coeficienți opuși la $y$): $(2x+y)+(3x-y)=7+8\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$; apoi $2\cdot 3+y=7\Rightarrow y=1$. Verificare: $2\cdot 3+1=7$ ✓ și $3\cdot 3-1=8$ ✓.

5. $S=\{(2,1)\}$. A doua ecuație are $y$ cu coeficient $-1$: cea mai comodă e substituția (izolăm $y=2x-3$), sau reducerea înmulțind a doua cu $4$. Prin substituție: $3x+4(2x-3)=10\Rightarrow 3x+8x-12=10\Rightarrow 11x=22\Rightarrow x=2$; apoi $y=2\cdot 2-3=1$. Verificare: $3\cdot 2+4\cdot 1=10$ ✓ și $2\cdot 2-1=3$ ✓.

6. $S=\{(3,2)\}$. Adunăm (opuși la $y$): $6x=18\Rightarrow x=3$; apoi $2\cdot 3+3y=12\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2$. Verificare: $2\cdot 3+3\cdot 2=12$ ✓ și $4\cdot 3-3\cdot 2=12-6=6$ ✓.

7. $S=\{(2,1)\}$. Eliminăm $y$: prima $\cdot 2$, a doua $\cdot 3$: $\{4x+6y=14;9x+6y=24\}$. Scădem: $5x=10\Rightarrow x=2$; apoi $2\cdot 2+3y=7\Rightarrow 3y=3\Rightarrow y=1$. Verificare: $2\cdot 2+3\cdot 1=7$ ✓ și $3\cdot 2+2\cdot 1=8$ ✓.

8. $S=\{(6,4)\}$. Prima $\cdot 6$: $2x+3y=24$; a doua $\cdot 12$: $4x-3y=12$. Adunăm: $6x=36\Rightarrow x=6$; apoi $2\cdot 6+3y=24\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4$. Verificare: $\frac{6}{3}+\frac{4}{2}=2+2=4$ ✓ și $\frac{6}{3}-\frac{4}{4}=2-1=1$ ✓.

9. $S=\{(5,3)\}$. Desfacem prima: $3x+3y=24\Rightarrow x+y=8$. Cu a doua $x-y=2$, adunăm: $2x=10\Rightarrow x=5$; apoi $5+y=8\Rightarrow y=3$. Verificare: $3(5+3)=3\cdot 8=24$ ✓ și $5-3=2$ ✓.

10. $S=\{(3,4)\}$. Forma standard: $2x-2+y=8\Rightarrow 2x+y=10$ și $x+2y-2=9\Rightarrow x+2y=11$. Reducere: prima $\cdot 2$: $4x+2y=20$; scădem a doua: $3x=9\Rightarrow x=3$; apoi $2\cdot 3+y=10\Rightarrow y=4$. Verificare: $2(3-1)+4=4+4=8$ ✓ și $3+2(4-1)=3+6=9$ ✓.

11. Adevărat. Înlocuim $(2,3)$: ecuația 1: $2+3=5$ ✓; ecuația 2: $2\cdot 2-3=4-3=1$ ✓. Ambele se verifică, deci perechea este soluție.

12. Fals. Înlocuim $(4,1)$: ecuația 1: $4+1=5$ ✓; ecuația 2: $4-1=3\ne 2$ ✗. Deoarece a doua ecuație nu se verifică, perechea nu este soluție a sistemului. (Reține: trebuie verificate ambele ecuații.)

13. $S=\{(19,11)\}$; numerele sunt $19$ și $11$. Notăm numerele $x$ și $y$: $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ x-y=8\end{array}$. Adunăm: $2x=38\Rightarrow x=19$; apoi $19+y=30\Rightarrow y=11$. Verificare: $19+11=30$ ✓ și $19-11=8$ ✓.

14. Un caiet costă $7$ lei, un pix costă $3$ lei. Notăm $x$ = prețul caietului, $y$ = prețul pixului: $\{\begin{array}{l}2x+3y=23\\ x+2y=13\end{array}$. Din a doua, $x=13-2y$; substituim: $2(13-2y)+3y=23\Rightarrow 26-4y+3y=23\Rightarrow 26-y=23\Rightarrow y=3$; apoi $x=13-6=7$. Verificare: $2\cdot 7+3\cdot 3=14+9=23$ ✓ și $7+2\cdot 3=13$ ✓.

15. $S=\{(1,-1)\}$. Adunăm (opuși la $y$): $6x=6\Rightarrow x=1$; apoi $4\cdot 1+3y=1\Rightarrow 3y=-3\Rightarrow y=-1$. Verificare: $4\cdot 1+3\cdot (-1)=4-3=1$ ✓ și $2\cdot 1-3\cdot (-1)=2+3=5$ ✓.

16. $S=\{(2,4)\}$. $y$ este deja izolat, deci substituție: $3x+2\cdot (2x)=14\Rightarrow 3x+4x=14\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2$; apoi $y=2\cdot 2=4$. Verificare: $y=2\cdot 2=4$ ✓ și $3\cdot 2+2\cdot 4=6+8=14$ ✓.

17. Adevărat. Înlocuim $(3,-2)$: ecuația 1: $2\cdot 3+(-2)=6-2=4$ ✓; ecuația 2: $3-3\cdot (-2)=3+6=9$ ✓. Ambele se verifică, deci perechea este soluție.

18. $S=\{(7,5)\}$. Prima $\cdot 2$: $x+y=12$; a doua $\cdot 2$: $x-y=2$. Adunăm: $2x=14\Rightarrow x=7$; apoi $7+y=12\Rightarrow y=5$. Verificare: $\frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=6$ ✓ și $\frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1$ ✓.

De reținut

• Redactarea completă are 6 etape: rescriu sistemul → anunț metoda → aplic pașii → aflu prima necunoscută → aflu a doua → verific și scriu soluția.
• Soluția se scrie ca pereche ordonată: $S=\{(x,y)\}$, cu $x$ pe primul loc și $y$ pe al doilea.
• Alegerea metodei: substituție când o necunoscută e izolată sau are coeficient $1$; reducere când coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși (eventual după înmulțire).
• Forma standard $ax+by=c$: mai întâi desfaci parantezele și înmulțești ecuația cu numitorul comun ca să scapi de fracții, apoi rezolvi.
• Verificarea se face în ambele ecuații ale sistemului inițial; dacă măcar una nu iese, ai o greșeală de căutat.

Greșeli frecvente

• Verificarea într-o singură ecuație. O pereche poate mulțumi o ecuație, dar nu și pe cealaltă. Verifică întotdeauna în ambele ecuații ale sistemului dat — altfel poți declara „soluție" o pereche greșită (vezi exercițiul 12).
• Uiți să înmulțești termenul liber. Când înmulțești o ecuație cu un număr (ca să scapi de fracții sau să egalezi coeficienți), înmulțești toți termenii, inclusiv numărul din dreapta. $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4$ înmulțit cu $6$ dă $3x+2y=24$, nu $3x+2y=4$.
• Semnul greșit la desfacerea parantezelor. Când în fața parantezei este minus, toți termenii își schimbă semnul: $-2(y-1)=-2y+2$, nu $-2y-2$. O singură greșeală de semn strică tot rezultatul.
• Afli o necunoscută și te oprești. Un sistem cu două necunoscute are nevoie de amândouă valorile. După ce afli $x$, mai ai un pas: îl înlocuiești ca să afli și $y$. Soluția înseamnă perechea completă.

Aplică acasă

• Bugetul de la cumpărături. Data viitoare când mergi cu un părinte la magazin, alege două produse (de exemplu suc și covrig). Notează cât costă $2$ sucuri și $1$ covrig împreună, apoi $1$ suc și $2$ covrigi. Scrie un sistem și află prețul fiecărui produs; verifică-l la casă.
• Numere ascunse. Cere unui coleg sau frate să se gândească la două numere și să-ți spună doar suma și diferența lor. Formează sistemul $\{x+y=S;x-y=D\}$, rezolvă-l prin reducere și ghicește numerele. Verifică dacă ai nimerit.
• Fișă de redactare-model. Ia trei sisteme din lecție (unul cu fracții, unul cu paranteze, unul simplu) și rescrie-le rezolvarea „la curat", numerotând fiecare pas și marcând verificarea. Compară cu redactarea din exemplele lecției: ce ai putea scrie și mai clar?

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două competențe cheie: redactarea unei rezolvări și verificarea soluției. Sprijinul cel mai util nu este să dați răspunsul, ci să cereți elevului să explice cu voce tare fiecare pas: „De ce ai ales substituția aici?", „Ce înmulțești cu ce și de ce?", „Cum arăți că soluția e corectă?".

Câteva întrebări de verificare care arată că elevul a înțeles cu adevărat:

• „Poți rezolva același sistem și prin cealaltă metodă? Îți dă tot aceeași pereche?" (răspunsul corect: da, întotdeauna).
• „De ce verificăm în ambele ecuații, nu doar în una?"
• „Ce faci mai întâi cu un sistem care are fracții sau paranteze?" (îl aduci la forma standard).

Semne că elevul stăpânește lecția: scrie soluția ca pereche ordonată $(x,y)$ cu acolade, nu uită pasul de verificare, desface corect parantezele cu minus în față și înmulțește toți termenii unei ecuații (inclusiv termenul liber) când elimină fracțiile. Dacă apar erori repetate de semn, exersați separat desfacerea parantezelor pe câteva expresii scurte, înainte de a reveni la sisteme.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă un sistem de ecuații la clasa a 7-a? Alegi una dintre cele două metode — substituția sau reducerea — o aplici pas cu pas ca să afli o necunoscută, o înlocuiești ca să o afli pe a doua, apoi verifici perechea $(x,y)$ în ambele ecuații. Ambele metode duc la același rezultat; contează să redactezi clar și să verifici la final.

Ce metodă e mai bună, substituția sau reducerea? Niciuna nu e „mai bună" în general — depinde de sistem. Folosește substituția când o necunoscută e deja izolată sau are coeficient $1$, și reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși. Cu puțină practică, vei alege din prima privire metoda mai rapidă.

Cum redactez corect rezolvarea unui sistem? Rescrie sistemul, anunță metoda aleasă, scrie fiecare pas pe un rând nou cu o scurtă justificare, află ambele necunoscute, verifică soluția în ambele ecuații și scrie clar mulțimea soluțiilor $S=\{(x,y)\}$. Redactarea îngrijită îți aduce punctaj pe fiecare etapă, nu doar pe rezultat.

Ce fac dacă sistemul are fracții? Înmulțești fiecare ecuație cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor ei, ca să scapi complet de fracții și să ajungi la forma standard $ax+by=c$. Ai grijă să înmulțești toți termenii, inclusiv numărul din dreapta egalului. Abia apoi alegi metoda și rezolvi.

De ce trebuie să verific soluția în ambele ecuații? Pentru că soluția unui sistem trebuie să facă adevărate amândouă ecuațiile în același timp. O pereche poate verifica una singură, dar dacă nu o verifică și pe cealaltă, nu este soluția sistemului. Verificarea în ambele ecuații este singura garanție că răspunsul e corect.

Cum scriu corect soluția unui sistem? Soluția este o pereche ordonată: se scrie $S=\{(x,y)\}$, cu valoarea lui $x$ pe primul loc și a lui $y$ pe al doilea, între paranteze rotunde și cu acolade. De exemplu, $S=\{(2,3)\}$ înseamnă $x=2$ și $y=3$.

Un sistem are întotdeauna o singură soluție? De obicei da, dar nu întotdeauna. Un sistem poate avea o soluție unică, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Poți afla mai multe în lecția Compararea metodelor și tipurile de soluții ale unui sistem.

Pot verifica soluția și fără să refac tot calculul? Da — exact asta face pasul de verificare. Iei perechea $(x,y)$ găsită și înlocuiești valorile în cele două ecuații originale. Dacă ambele egalități ies adevărate, soluția e corectă, indiferent de metoda cu care ai obținut-o.