În sistemul $$\begin{cases} 2x + 5y = 11 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases}$$, ce operație elimină necunoscuta $$y$$ dintr-o singură mișcare?

Înmulțim prima ecuație cu $$5$$

Împărțim ambele ecuații la $$2$$

În sistemul $$\begin{cases} 3x + 4y = 19 \\ 3x + y = 10 \end{cases}$$, necunoscuta $$x$$ are coeficientul $$3$$ în ambele ecuații. Ce faci pentru a o elimina?

Scazi a doua ecuație din prima

Înmulțești prima ecuație cu $$3$$

Nu poți elimina $$x$$ în acest sistem

În sistemul $$\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 4y = 6 \end{cases}$$, ce operație elimină necunoscuta $$y$$ dintr-o singură mișcare?

Înmulțim prima ecuație cu $$4$$

Împărțim ambele ecuații la $$2$$

Cum rezolv un sistem prin metoda reducerii?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Metoda reducerii la sisteme

Faci ca una dintre necunoscute să dispară. Dacă are coeficienți opuși în cele două ecuații, le aduni; dacă îi are egali, scazi o ecuație din cealaltă. Când nu se potrivesc, înmulțești fiecare ecuație cu un număr potrivit până ajung acolo. Din $x + 2 y = 8$ și $x - 2 y = 0$ aduni și obții $2 x = 8$ , deci $x = 4$ , iar apoi $y = 2$ .

Metoda reducerii rezolvă un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute făcând o necunoscută să dispară. Dacă acea necunoscută are coeficienți opuși în cele două ecuații (de exemplu $+ 3 y$ și $- 3 y$ ), aduni ecuațiile și $y$ se anulează. Dacă are coeficienți egali (de exemplu $4 x$ și $4 x$ ), scazi o ecuație din cealaltă. Când coeficienții nu sunt nici opuși, nici egali, îi „fabricăm" înmulțind fiecare ecuație cu numărul potrivit (de obicei folosind cmmmc).

Exemplu minimal: ${x + 2 y = 8 x - 2 y = 0$ . Coeficienții lui $y$ sunt opuși ( $+ 2$ și $- 2$ ), deci adunăm: $2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ . Înlocuim în a doua ecuație: $4 - 2 y = 0 \Rightarrow y = 2$ . Soluția este $(4; 2)$ .

Nu uita: verifici mereu perechea găsită în ambele ecuații inițiale!

De reținut

la coeficienți opuși aduni ecuațiile, la coeficienți egali le scazi
poți înmulți o ecuație cu orice număr nenul
perechea găsită se verifică în amândouă ecuațiile

Greșeala tipică

Se scade doar termenul cu necunoscuta, iar termenii liberi rămân neatinși. Scăderea se aplică deodată tuturor termenilor din cele două ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

În sistemul ${2 x + 5 y = 11 2 x - 5 y = - 1$ , ce operație elimină necunoscuta $y$ dintr-o singură mișcare?
- a) Adunăm cele două ecuații
- b) Scădem cele două ecuații
- c) Înmulțim prima ecuație cu $5$
- d) Împărțim ambele ecuații la $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Adunăm cele două ecuații

Coeficienții lui $y$ sunt $+ 5$ și $- 5$ , adică opuși. Adunând ecuațiile, termenii cu $y$ se anulează: $5 y + (- 5 y) = 0$ , rămânând doar o ecuație cu $x$ .
În sistemul ${3 x + 4 y = 19 3 x + y = 10$ , necunoscuta $x$ are coeficientul $3$ în ambele ecuații. Ce faci pentru a o elimina?
- a) Aduni cele două ecuații
- b) Scazi a doua ecuație din prima
- c) Înmulțești prima ecuație cu $3$
- d) Nu poți elimina $x$ în acest sistem
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Scazi a doua ecuație din prima

Coeficienții lui $x$ sunt egali (nu opuși), deci scazi o ecuație din cealaltă: $(3 x + 4 y) - (3 x + y) = 19 - 10 \Rightarrow 3 y = 9$ , iar $x$ dispare.
În sistemul ${3 x + 4 y = 10 5 x - 4 y = 6$ , ce operație elimină necunoscuta $y$ dintr-o singură mișcare?
- a) Adunăm cele două ecuații
- b) Scădem cele două ecuații
- c) Înmulțim prima ecuație cu $4$
- d) Împărțim ambele ecuații la $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Adunăm cele două ecuații

Coeficienții lui $y$ sunt $+ 4$ și $- 4$ , adică opuși. Adunând ecuațiile, termenii cu $y$ se anulează: $4 y + (- 4 y) = 0$ , rămânând doar o ecuație cu $x$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv prin reducere un sistem cu coeficienți 2 și 3?

Aduci coeficienții la același multiplu. Pentru $2 x + 5 y = 16$ și $3 x - 2 y = 5$ , înmulțești prima cu $3$ și a doua cu $2$ , ca să obții $6 x$ în amândouă, apoi le scazi. Rămâne o ecuație doar cu $y$ , ușor de rezolvat.

Pot elimina prima dată necunoscuta cu coeficienți mai mici?

Poți, și de multe ori e mai comod. Alegi necunoscuta ai cărei coeficienți se potrivesc cel mai ușor, ca să înmulțești cu numere mici sau chiar deloc. Rezultatul final iese același, indiferent pe care o elimini prima, doar drumul e mai scurt sau mai lung.

Cum scriu semnele corect când scad două ecuații?

Scăderea se aplică fiecărui termen, inclusiv celui liber, iar semnele se schimbă la toți. Din $4 x + 3 y = 17$ minus $4 x - y = 5$ obții $4 y = 12$ , nu $2 y = 12$ . Ca să nu greșești, poți înmulți a doua ecuație cu $- 1$ și apoi să aduni.

Se poate folosi reducerea la un sistem cu fracții?

Da, dar mai întâi scapi de numitori. Înmulțești fiecare ecuație cu numitorul comun al ei, ca să rămâi doar cu întregi. Din $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ obții $3 x + 2 y = 24$ , iar de aici reducerea merge ca de obicei.

Cum aflu a doua necunoscută după ce am eliminat-o pe prima?

O înlocuiești pe cea aflată într-una dintre ecuațiile de la început, de preferat cea mai simplă. Dacă ai obținut $x = 4$ și prima ecuație este $x + 2 y = 8$ , rămâne $2 y = 4$ , deci $y = 2$ . Poți relua reducerea și pentru a doua necunoscută, dacă îți vine mai ușor.

De ce am voie să adun două ecuații între ele?

Fiindcă amândouă sunt egalități adevărate în același timp pentru perechea căutată. Adunând părțile din stânga și părțile din dreapta, egalitatea se păstrează. La fel se întâmplă și la scădere sau la înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul, care nu schimbă soluțiile.

Oamenii mai întreabă și: metoda reducerii la sisteme · cum elimin o necunoscută dintr-un sistem · reducere sisteme de ecuații · când adun și când scad ecuațiile · metoda reducerii exemplu