Rezolvarea sistemelor prin metoda reducerii

Îți amintești cum, la un joc de echilibru, dacă pui pe cele două talere ale unei balanțe aceleași greutăți și le iei simultan, balanța rămâne echilibrată? Exact pe această idee simplă se sprijină metoda reducerii — una dintre cele mai rapide și mai elegante căi de a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. În loc să „scoatem" o necunoscută dintr-o ecuație (așa cum ai făcut la metoda substituției), aici combinăm inteligent cele două ecuații ca să facem o necunoscută să dispară dintr-un foc. Este o metodă folosită și în inginerie, în economie și în programarea jocurilor, ori de câte ori trebuie găsite două mărimi necunoscute care se condiționează reciproc.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi ecuațiile unui sistem, înmulțindu-le cu numere convenabile, astfel încât o necunoscută să aibă coeficienți opuși.
• Vei ști să elimini o necunoscută prin adunarea sau scăderea ecuațiilor.
• Vei ști să rezolvi complet un sistem de două ecuații liniare prin metoda reducerii, aflând ambele necunoscute.
• Vei ști să verifici dacă soluția obținută este corectă, înlocuind-o în ambele ecuații.
• Vei ști să recunoști când metoda reducerii este cea mai rapidă alegere față de metoda substituției.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă a „reduce" o necunoscută

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute arată, în forma lui generală, așa:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$

Aici $x$ și $y$ sunt necunoscutele, iar numerele $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ sunt coeficienți cunoscuți. A rezolva sistemul înseamnă a găsi acea pereche de numere $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații.

La lecția despre metoda substituției am scos o necunoscută dintr-o ecuație și am înlocuit-o în cealaltă. Metoda reducerii merge pe alt drum: ea caută să facă una dintre necunoscute să se reducă (adică să se anuleze), astfel încât să rămânem cu o singură ecuație, cu o singură necunoscută — genul de ecuație pe care știi deja s-o rezolvi din lecția Ecuația de forma ax + b = 0.

Cheia stă într-o observație simplă despre numere opuse: dacă un termen are coeficient $+5$ într-o ecuație și $-5$ în cealaltă, atunci adunând cele două ecuații, acel termen dispare, pentru că $5y+(-5y)=0$.

De ce avem voie să adunăm două ecuații

Poate te întrebi: e corect din punct de vedere matematic să adunăm două ecuații între ele? Da, și iată de ce. O ecuație precum $a_{2}x+b_{2}y=c_2$ ne spune că partea din stânga și partea din dreapta reprezintă exact același număr. Dacă la ambele părți ale primei ecuații adăugăm cantități egale, egalitatea se păstrează — este exact regula transformărilor echivalente pe care ai studiat-o la Ecuații echivalente. Transformări echivalente.

Concret: pornim de la $a_{1}x+b_{1}y=c_1$. Adăugăm în stânga cantitatea $a_{2}x+b_{2}y$ și în dreapta cantitatea $c_2$. Dar cele două cantități sunt egale (asta ne spune a doua ecuație!), deci am adăugat „același lucru" în ambele părți. Rezultă ecuația:

$$(a_1+a_2)x+(b_1+b_2)y=c_1+c_2$$

Aceasta este o consecință corectă a sistemului. Trucul metodei este să aranjăm lucrurile astfel încât fie $a_1+a_2=0$, fie $b_1+b_2=0$ — adică o necunoscută să dispară.

Cazul cel mai simplu: coeficienți deja opuși

Uneori sistemul îți face cadou coeficienți opuși de la bun început. Privește:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ 5x-2y=8\end{array}$$

Observă coeficienții lui $y$: în prima ecuație este $+2$, în a doua este $-2$. Sunt numere opuse! Dacă adunăm cele două ecuații, membru cu membru (adică stânga cu stânga, dreapta cu dreapta), termenii cu $y$ se anulează:

• Stânga: $(3x+2y)+(5x-2y)=3x+5x+2y-2y=8x$
• Dreapta: $16+8=24$

Obținem ecuația $8x=24$, deci $x=3$. Am redus necunoscuta $y$ dintr-o singură mișcare!

Acum aflăm $y$. Înlocuim $x=3$ în oricare dintre ecuațiile inițiale — să alegem prima: $3\cdot 3+2y=16$, adică $9+2y=16$, deci $2y=7$ și $y=3,5$.

Soluția sistemului este perechea $(x,y)=(3;3,5)$.

Când coeficienții sunt egali, nu opuși: scădem

Dacă necunoscuta pe care vrem s-o eliminăm are același coeficient (nu opus) în ambele ecuații, atunci în loc să adunăm, scădem o ecuație din cealaltă. Scăderea este tot o transformare permisă, pentru că a scădea din ambele părți ale unei ecuații cantități egale păstrează egalitatea.

Exemplu:

$$\{\begin{array}{l}4x+3y=18\\ 4x+y=10\end{array}$$

Coeficientul lui $x$ este $4$ în ambele ecuații — coeficienți egali, nu opuși. Scădem a doua ecuație din prima:

• Stânga: $(4x+3y)-(4x+y)=4x-4x+3y-y=2y$
• Dreapta: $18-10=8$

Rezultă $2y=8$, deci $y=4$. Apoi, din a doua ecuație: $4x+4=10$, deci $4x=6$ și $x=1,5$.

Soluția este $(1,5;4)$.

⚠️ Atenție uriașă la scădere! Când scazi o ecuație, scazi fiecare termen. Semnul minus se distribuie la tot ce urmează: $-(4x+y)=-4x-y$. Greșeala clasică este să schimbi semnul doar la primul termen. Pune paranteză și distribuie cu grijă.

Cazul general: „fabricăm" coeficienți opuși prin înmulțire

Cel mai des, coeficienții nu sunt nici opuși, nici egali. Nicio problemă — îi fabricăm noi. Ne folosim de o proprietate esențială: dacă înmulțim ambele părți ale unei ecuații cu același număr diferit de zero, obținem o ecuație echivalentă (cu exact aceleași soluții). Este ca și cum am mări proporțional ambele talere ale balanței — echilibrul rămâne.

Privește sistemul:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 5x+4y=23\end{array}$$

Vrem să eliminăm, să zicem, necunoscuta $x$. Coeficienții ei sunt $2$ și $5$. Ne întrebăm: cu ce înmulțim fiecare ecuație ca să obținem coeficienți opuși pentru $x$?

Un truc sigur: căutăm cel mai mic multiplu comun al coeficienților, $\text{cmmmc}(2,5)=10$. Vrem ca într-o ecuație $x$ să aibă coeficient $+10$, iar în cealaltă $-10$.

• Înmulțim prima ecuație cu $5$: $10x+15y=60$
• Înmulțim a doua ecuație cu $-2$: $-10x-8y=-46$

Acum coeficienții lui $x$ sunt $+10$ și $-10$ — opuși. Adunăm:

• Stânga: $10x-10x+15y-8y=7y$
• Dreapta: $60+(-46)=14$

Rezultă $7y=14$, deci $y=2$. Înlocuim în prima ecuație inițială: $2x+3\cdot 2=12$, deci $2x+6=12$, $2x=6$, $x=3$.

Soluția este $(3;2)$.

Pașii metodei reducerii, pe scurt

Ori de câte ori rezolvi un sistem prin metoda reducerii clasa 7, urmezi acești pași:

1. Aranjează ambele ecuații în forma $ax+by=c$ (necunoscutele într-o parte, numerele libere în cealaltă, $x$ sub $x$ și $y$ sub $y$).
2. Alege necunoscuta pe care o elimini (de obicei cea cu coeficienți mai simpli).
3. Înmulțește fiecare ecuație cu numărul convenabil, ca acea necunoscută să capete coeficienți opuși (sau egali, dacă preferi scăderea).
4. Adună ecuațiile (pentru coeficienți opuși) sau scade-le (pentru coeficienți egali). O necunoscută dispare.
5. Rezolvă ecuația rămasă, cu o singură necunoscută.
6. Înlocuiește valoarea găsită într-una din ecuațiile inițiale ca să afli cealaltă necunoscută.
7. Verifică perechea $(x,y)$ în ambele ecuații inițiale.

Cum verificăm soluția

Verificarea nu este o formalitate — este plasa ta de siguranță. Iei perechea $(x,y)$ găsită și o înlocuiești în fiecare ecuație a sistemului original (nu în ecuațiile transformate). Dacă ambele egalități sunt adevărate, soluția e corectă.

Pentru sistemul de mai sus, cu $(3;2)$:

• Prima ecuație: $2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$ ✓
• A doua ecuație: $5\cdot 3+4\cdot 2=15+8=23$ ✓

Ambele se verifică, deci $(3;2)$ este într-adevăr soluția.

Când este metoda reducerii cea mai rapidă?

Metoda reducerii strălucește mai ales când:

• una dintre necunoscute are deja coeficienți opuși sau egali (aduni/scazi direct, fără nicio înmulțire);
• coeficienții sunt numere „prietenoase", ușor de adus la un multiplu comun;
• ambele ecuații sunt deja în forma ordonată $ax+by=c$.

În schimb, metoda substituției e adesea mai comodă când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$ și poate fi „scoasă" fără fracții. Vei compara sistematic cele două metode în lecția Compararea metodelor. Vestea bună: ambele metode dau exact aceeași soluție — alegi doar drumul mai scurt.

O idee cheie despre eliminare

Nu contează pe care necunoscută o elimini prima — $x$ sau $y$. Rezultatul final este același. De obicei alegem să eliminăm necunoscuta pentru care înmulțirile ies cu numere mai mici. De exemplu, dacă $y$ are coeficienții $3$ și $6$, e foarte comod: înmulțim doar prima ecuație cu $2$ (sau $-2$) și gata, fără să atingem a doua. Ochiul antrenat caută mereu varianta cu cel mai puțin efort.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — coeficienți deja opuși (doar adunăm)

Rezolvă prin reducere:

$$\{\begin{array}{l}7x-4y=15\\ 2x+4y=18\end{array}$$

Rezolvare. Coeficienții lui $y$ sunt $-4$ și $+4$, deci opuși. Adunăm ecuațiile:

$$(7x-4y)+(2x+4y)=15+18⟹9x=33⟹x=\frac{33}{9}=\frac{11}{3}$$

Înlocuim în a doua ecuație: $2\cdot \frac{11}{3}+4y=18$, adică $\frac{22}{3}+4y=18$. Deci $4y=18-\frac{22}{3}=\frac{54-22}{3}=\frac{32}{3}$, de unde $y=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}$.

Verificare în prima ecuație: $7\cdot \frac{11}{3}-4\cdot \frac{8}{3}=\frac{77}{3}-\frac{32}{3}=\frac{45}{3}=15$ ✓

Soluția: $\left(\frac{11}{3};\frac{8}{3}\right)$.

Exemplul 2 — coeficienți egali (scădem)

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}5x+6y=34\\ 5x+2y=18\end{array}$$

Rezolvare. Necunoscuta $x$ are coeficientul $5$ în ambele ecuații. Scădem a doua din prima (atenție la distribuirea semnului minus):

$$(5x+6y)-(5x+2y)=34-18⟹4y=16⟹y=4$$

Înlocuim în a doua ecuație: $5x+2\cdot 4=18$, deci $5x+8=18$, $5x=10$, $x=2$.

Verificare în prima ecuație: $5\cdot 2+6\cdot 4=10+24=34$ ✓

Soluția: $(2;4)$.

Exemplul 3 — înmulțim o singură ecuație

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=21\\ x-y=2\end{array}$$

Rezolvare. Vom elimina $y$. Coeficienții lui $y$ sunt $+2$ și $-1$. Înmulțim a doua ecuație cu $2$, ca $y$ să capete coeficientul $-2$ (opus lui $+2$):

$$2\cdot (x-y)=2\cdot 2⟹2x-2y=4$$

Sistemul devine:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=21\\ 2x-2y=4\end{array}$$

Adunăm: $(3x+2y)+(2x-2y)=21+4⟹5x=25⟹x=5$.

Înlocuim în $x-y=2$: $5-y=2$, deci $y=3$.

Verificare: $3\cdot 5+2\cdot 3=15+6=21$ ✓ și $5-3=2$ ✓

Soluția: $(5;3)$.

Exemplul 4 — înmulțim ambele ecuații

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}4x+3y=27\\ 3x+5y=34\end{array}$$

Rezolvare. Eliminăm $x$. Coeficienții lui $x$ sunt $4$ și $3$, iar $\text{cmmmc}(4,3)=12$. Înmulțim prima ecuație cu $3$ și a doua cu $-4$:

$$\{\begin{array}{l}12x+9y=81\\ -12x-20y=-136\end{array}$$

Adunăm: $9y-20y=81-136⟹-11y=-55⟹y=5$.

Înlocuim în prima ecuație inițială: $4x+3\cdot 5=27$, deci $4x+15=27$, $4x=12$, $x=3$.

Verificare: $4\cdot 3+3\cdot 5=12+15=27$ ✓ și $3\cdot 3+5\cdot 5=9+25=34$ ✓

Soluția: $(3;5)$.

Exemplul 5 — sistem care trebuie mai întâi ordonat

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}2x+5y=3x+1\\ 4x-y=11-2y\end{array}$$

Rezolvare. Ecuațiile nu sunt în forma standard, așa că le aducem întâi la forma $ax+by=c$, mutând termenii cu necunoscute în stânga și numerele în dreapta.

Prima ecuație: $2x+5y=3x+1⟹2x-3x+5y=1⟹-x+5y=1$.

A doua ecuație: $4x-y=11-2y⟹4x-y+2y=11⟹4x+y=11$.

Sistemul ordonat:

$$\{\begin{array}{l}-x+5y=1\\ 4x+y=11\end{array}$$

Eliminăm $x$. Înmulțim prima ecuație cu $4$: $-4x+20y=4$. Adunăm cu a doua:

$$(-4x+20y)+(4x+y)=4+11⟹21y=15⟹y=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$$

Înlocuim în $4x+y=11$: $4x+\frac{5}{7}=11$, deci $4x=11-\frac{5}{7}=\frac{77-5}{7}=\frac{72}{7}$, de unde $x=\frac{72}{28}=\frac{18}{7}$.

Verificare în $-x+5y=1$: $-\frac{18}{7}+5\cdot \frac{5}{7}=-\frac{18}{7}+\frac{25}{7}=\frac{7}{7}=1$ ✓

Soluția: $\left(\frac{18}{7};\frac{5}{7}\right)$.

Exemplul 6 — o mică problemă aplicată

La un magazin de tehnologie, $3$ căști și $2$ mouse-uri costă împreună $310$ lei, iar $5$ căști și $2$ mouse-uri costă $470$ lei. Cât costă o cască și cât costă un mouse?

Rezolvare. Notăm cu $x$ prețul unei căști și cu $y$ prețul unui mouse (în lei). Traducem enunțul într-un sistem:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=310\\ 5x+2y=470\end{array}$$

Coeficientul lui $y$ este $2$ în ambele ecuații (egal), deci scădem prima din a doua:

$$(5x+2y)-(3x+2y)=470-310⟹2x=160⟹x=80$$

Înlocuim în prima ecuație: $3\cdot 80+2y=310$, deci $240+2y=310$, $2y=70$, $y=35$.

Verificare: $5\cdot 80+2\cdot 35=400+70=470$ ✓

O cască costă $80$ lei, iar un mouse costă $35$ lei.

Să exersăm

Rezolvă fiecare sistem prin metoda reducerii. Nu uita verificarea!

1. $\{\begin{array}{l}x+y=9\\ x-y=3\end{array}$

2. $\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ 4x-3y=5\end{array}$

3. $\{\begin{array}{l}6x+y=20\\ 6x-3y=12\end{array}$

4. $\{\begin{array}{l}3x+4y=26\\ 3x+y=14\end{array}$

5. $\{\begin{array}{l}5x-2y=16\\ x+2y=8\end{array}$

6. $\{\begin{array}{l}2x+3y=16\\ 3x-y=2\end{array}$ (indicație: înmulțește a doua ecuație cu $3$)

7. $\{\begin{array}{l}4x+5y=22\\ 3x+2y=12\end{array}$

8. $\{\begin{array}{l}7x-3y=1\\ 2x+5y=30\end{array}$

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „Pentru a elimina o necunoscută prin adunare, coeficienții ei trebuie să fie numere opuse."

10. Adevărat sau fals, cu motivare: „Când scad o ecuație din alta, schimb semnul doar la primul termen al ecuației scăzute."

11. În sistemul $\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ 5x+4y=33\end{array}$, cu ce numere înmulțești fiecare ecuație pentru a elimina $x$ prin adunare? (Doar strategia, apoi rezolvă.)

12. $\{\begin{array}{l}x+4y=2x-1\\ 3x-y=y+8\end{array}$ (ordonează întâi ecuațiile)

13. $\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+y=5\\ x-y=1\end{array}$ (indicație: înmulțește prima ecuație cu $2$ ca să scapi de numitor)

14. Suma a două numere naturale este $27$, iar diferența lor este $9$. Scrie sistemul și află numerele prin reducere.

15. Doi prieteni cumpără bilete la un parc de aventură: $4$ bilete de adult și $3$ de copil costă $372$ lei, iar $2$ bilete de adult și $3$ de copil costă $252$ lei. Cât costă un bilet de adult și unul de copil?

16. $\{\begin{array}{l}6x+4y=10\\ 9x+6y=15\end{array}$ Ce observi când încerci să elimini o necunoscută? Ce poți spune despre soluțiile sistemului?

17. $\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 6x-4y=1\end{array}$ Elimină $x$ și interpretează rezultatul.

18. Găsește numerele $a$ și $b$ știind că $\{\begin{array}{l}5a+2b=24\\ 3a-2b=8\end{array}$ Apoi calculează $a^2+b^2$.

Răspunsuri și explicații

1. Adunăm direct ($y$ are coeficienți opuși): $2x=12\Rightarrow x=6$; din $x+y=9\Rightarrow y=3$. Soluție: $(6;3)$. Verificare: $6-3=3$ ✓

2. Coeficienții lui $y$ sunt $+3$ și $-3$ (opuși). Adunăm: $6x=18\Rightarrow x=3$; din prima: $6+3y=13\Rightarrow 3y=7\Rightarrow y=\frac{7}{3}$. Soluție: $\left(3;\frac{7}{3}\right)$. Verificare a doua: $4\cdot 3-3\cdot \frac{7}{3}=12-7=5$ ✓

3. Coeficientul lui $x$ este $6$ în ambele (egal). Scădem a doua din prima: $(6x+y)-(6x-3y)=20-12\Rightarrow 4y=8\Rightarrow y=2$; din prima: $6x+2=20\Rightarrow x=3$. Soluție: $(3;2)$. Verificare: $6\cdot 3-3\cdot 2=18-6=12$ ✓

4. Coeficientul lui $x$ este $3$ în ambele. Scădem a doua din prima: $3y=12\Rightarrow y=4$; din a doua: $3x+4=14\Rightarrow x=\frac{10}{3}$. Soluție: $\left(\frac{10}{3};4\right)$. Verificare prima: $3\cdot \frac{10}{3}+4\cdot 4=10+16=26$ ✓

5. Coeficienții lui $y$ sunt $-2$ și $+2$ (opuși). Adunăm: $6x=24\Rightarrow x=4$; din a doua: $4+2y=8\Rightarrow y=2$. Soluție: $(4;2)$. Verificare prima: $5\cdot 4-2\cdot 2=20-4=16$ ✓

6. Înmulțim a doua ecuație cu $3$: $9x-3y=6$. Coeficienții lui $y$ devin $+3$ și $-3$. Adunăm cu prima: $11x=22\Rightarrow x=2$; din a doua inițială: $3\cdot 2-y=2\Rightarrow y=4$. Soluție: $(2;4)$. Verificare prima: $2\cdot 2+3\cdot 4=4+12=16$ ✓

7. Eliminăm $y$: $\text{cmmmc}(5,2)=10$. Înmulțim prima cu $2$ și a doua cu $-5$: $\{\begin{array}{l}8x+10y=44\\ -15x-10y=-60\end{array}$. Adunăm: $-7x=-16\Rightarrow x=\frac{16}{7}$. Din a doua inițială: $3\cdot \frac{16}{7}+2y=12\Rightarrow \frac{48}{7}+2y=12\Rightarrow 2y=\frac{84-48}{7}=\frac{36}{7}\Rightarrow y=\frac{18}{7}$. Soluție: $\left(\frac{16}{7};\frac{18}{7}\right)$. Verificare prima: $4\cdot \frac{16}{7}+5\cdot \frac{18}{7}=\frac{64+90}{7}=\frac{154}{7}=22$ ✓

8. Aflăm mai întâi $y$, eliminând $x$: $\text{cmmmc}(7,2)=14$, deci înmulțim prima cu $2$ și a doua cu $-7$: $\{\begin{array}{l}14x-6y=2\\ -14x-35y=-210\end{array}$. Adunăm: $-41y=-208\Rightarrow y=\frac{208}{41}$. Pentru $x$ eliminăm $y$: înmulțim prima cu $5$ și a doua cu $3$: $\{\begin{array}{l}35x-15y=5\\ 6x+15y=90\end{array}$. Adunăm: $41x=95\Rightarrow x=\frac{95}{41}$. Soluție: $\left(\frac{95}{41};\frac{208}{41}\right)$. Verificare prima: $7\cdot \frac{95}{41}-3\cdot \frac{208}{41}=\frac{665-624}{41}=\frac{41}{41}=1$ ✓; a doua: $2\cdot \frac{95}{41}+5\cdot \frac{208}{41}=\frac{190+1040}{41}=\frac{1230}{41}=30$ ✓

9. Adevărat. Adunarea anulează o necunoscută doar dacă termenii ei sunt opuși, pentru că $ky+(-ky)=0$. Dacă nu sunt opuși din start, îi facem opuși prin înmulțiri potrivite.

10. Fals. Semnul minus se distribuie la toți termenii ecuației scăzute: $-(ax+by)=-ax-by$. A schimba semnul doar la primul termen este exact greșeala clasică ce duce la rezultate false.

11. $\text{cmmmc}(2,5)=10$: înmulțim prima ecuație cu $5$ și a doua cu $-2$ (sau prima cu $-5$ și a doua cu $2$). Obținem $\{\begin{array}{l}10x-15y=20\\ -10x-8y=-66\end{array}$, adunăm: $-23y=-46\Rightarrow y=2$; din prima inițială: $2x-6=4\Rightarrow x=5$. Soluție: $(5;2)$. Verificare a doua: $5\cdot 5+4\cdot 2=25+8=33$ ✓

12. Ordonăm. Prima: $x+4y=2x-1\Rightarrow -x+4y=-1$. A doua: $3x-y=y+8\Rightarrow 3x-2y=8$. Sistem: $\{\begin{array}{l}-x+4y=-1\\ 3x-2y=8\end{array}$. Înmulțim prima cu $3$: $-3x+12y=-3$; adunăm cu a doua: $10y=5\Rightarrow y=\frac{1}{2}$; din a doua: $3x-2\cdot \frac{1}{2}=8\Rightarrow 3x-1=8\Rightarrow x=3$. Soluție: $\left(3;\frac{1}{2}\right)$. Verificare prima ordonată: $-3+4\cdot \frac{1}{2}=-3+2=-1$ ✓

13. Înmulțim prima cu $2$: $x+2y=10$. Sistem: $\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ x-y=1\end{array}$. Scădem a doua din prima: $3y=9\Rightarrow y=3$; din a doua: $x-3=1\Rightarrow x=4$. Soluție: $(4;3)$. Verificare prima inițială: $\frac{4}{2}+3=2+3=5$ ✓

14. Fie numerele $x$ și $y$. Sistem: $\{\begin{array}{l}x+y=27\\ x-y=9\end{array}$. Adunăm: $2x=36\Rightarrow x=18$; scădem: $2y=18\Rightarrow y=9$. Numerele sunt $18$ și $9$. Verificare: $18+9=27$ ✓ și $18-9=9$ ✓

15. Fie $x$ = prețul biletului de adult, $y$ = prețul biletului de copil. Sistem: $\{\begin{array}{l}4x+3y=372\\ 2x+3y=252\end{array}$. Coeficientul lui $y$ este $3$ în ambele ecuații (egal); scădem a doua din prima: $2x=120\Rightarrow x=60$; din a doua: $2\cdot 60+3y=252\Rightarrow 3y=132\Rightarrow y=44$. Bilet adult $60$ lei, bilet copil $44$ lei. Verificare prima: $4\cdot 60+3\cdot 44=240+132=372$ ✓

16. Eliminăm $x$: înmulțim prima cu $3$ ($18x+12y=30$) și a doua cu $-2$ ($-18x-12y=-30$); adunăm: $0=0$. Egalitate mereu adevărată! Cele două ecuații sunt de fapt echivalente (a doua e prima înmulțită cu $1,5$). Sistemul are o infinitate de soluții (dreptele coincid). Vei studia acest caz pe larg în lecția Compararea metodelor și tipuri de soluții.

17. Eliminăm $x$: înmulțim prima cu $2$ ($6x-4y=10$) și scădem a doua ($6x-4y=1$): $0=9$, egalitate falsă. Sistemul nu are soluție (dreptele sunt paralele, fără punct comun).

18. Coeficienții lui $b$ sunt $+2$ și $-2$ (opuși). Adunăm: $8a=32\Rightarrow a=4$; din prima: $5\cdot 4+2b=24\Rightarrow 2b=4\Rightarrow b=2$. Atunci $a^2+b^2=16+4=20$. Verificare a doua: $3\cdot 4-2\cdot 2=12-4=8$ ✓

De reținut

• Ideea metodei reducerii: aduci o necunoscută la coeficienți opuși (sau egali) în cele două ecuații, apoi o elimini adunând (coeficienți opuși) sau scăzând (coeficienți egali) ecuațiile.
• Ai voie să înmulțești o ecuație cu orice număr diferit de zero și să aduni/scazi două ecuații — acestea sunt transformări echivalente care păstrează soluțiile.
• Pentru coeficienți opuși, alege multiplii lui $\text{cmmmc}$ al coeficienților necunoscutei pe care o elimini.
• La scădere, distribuie semnul minus la toți termenii: $-(ax+by)=-ax-by$.
• Verifică întotdeauna perechea $(x,y)$ în ambele ecuații inițiale.
• Un sistem poate avea o soluție unică ($ax=b$ cu $a\ne 0$), nicio soluție (ajungi la o egalitate falsă, ex. $0=9$) sau o infinitate de soluții (ajungi la $0=0$).

Greșeli frecvente

• Semnul minus la scădere. Când scazi o ecuație, elevii schimbă semnul doar la primul termen. Corect: pune paranteză și distribuie minusul peste tot — $-(3x-2y)=-3x+2y$.
• Uiți să înmulțești și partea dreaptă. Dacă înmulțești ecuația $2x+3y=12$ cu $5$, trebuie să înmulțești și $12$: rezultă $10x+15y=60$, nu $10x+15y=12$. Înmulțește toată ecuația, ambele părți.
• Aduni ecuații nealiniate. Înainte de adunare, așază $x$ sub $x$, $y$ sub $y$ și numerele libere în dreapta. Dacă o ecuație e $2x+5y=3x+1$, ordoneaz-o întâi.
• Te oprești după ce afli o necunoscută. Soluția unui sistem este o pereche $(x,y)$. Nu uita să înlocuiești valoarea găsită într-o ecuație inițială pentru a afla și a doua necunoscută.

Aplică acasă

• Cumpărături detectiv. Găsește două bonuri de la același magazin care conțin doar două tipuri de produse (ex. $2$ pâini + $3$ iaurturi și $2$ pâini + $1$ iaurt, cu totalurile respective). Scrie sistemul și află, prin metoda reducerii, prețul fiecărui produs. Compară cu prețul real de pe raft — ar trebui să coincidă!
• Provocare pentru un prieten. Inventează tu un sistem al cărui răspuns să fie, de exemplu, $(4;-1)$: pornește de la $x=4$, $y=-1$ și construiește două ecuații pe care le verifică. Dă-i sistemul unui coleg și verifică-i rezolvarea prin reducere.
• Bugetul de weekend. Dacă în două ieșiri cu prietenii ai cheltuit sume cunoscute pe două categorii (ex. transport și mâncare), în proporții diferite, modelează situația cu un sistem și află costul unitar al fiecărei categorii.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul consolidează transformările echivalente aplicate la un sistem, nu doar la o singură ecuație. Sprijinul cel mai util este să-l lăsați să explice cu voce tare de ce o necunoscută dispare la adunare — verbalizarea consolidează înțelegerea.

Întrebări bune de verificare:

• „De ce ai voie să aduni cele două ecuații?" (Răspuns așteptat: pentru că adaug cantități egale în ambele părți.)
• „Ce faci dacă coeficienții sunt egali, nu opuși?" (Scad ecuațiile.)
• „Cum știi că soluția e corectă?" (O înlocuiesc în ambele ecuații inițiale.)

Semne că a înțeles: alege singur necunoscuta cu înmulțiri mai simple, distribuie corect semnul minus la scădere și verifică soluția fără să i se ceară. Dacă apar erori, cel mai frecvent sunt de semn sau de înmulțire incompletă (uită partea dreaptă) — cereți-i să recitească pasul cu creionul, termen cu termen. Este util să compare, la același sistem, rezultatul obținut prin reducere cu cel prin substituție: dacă diferă, sigur există o greșeală de calcul de vânat.

Întrebări frecvente

Ce este metoda reducerii la clasa a 7-a? Este o metodă de rezolvare a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, prin care faci o necunoscută să aibă coeficienți opuși (sau egali) în cele două ecuații și apoi o elimini adunând sau scăzând ecuațiile. Rămâi cu o ecuație cu o singură necunoscută, ușor de rezolvat.

Când adun și când scad ecuațiile la metoda reducerii? Aduni ecuațiile când necunoscuta de eliminat are coeficienți opuși (de exemplu $+2y$ și $-2y$). Scazi o ecuație din cealaltă când necunoscuta are coeficienți egali (de exemplu $4x$ și $4x$). În ambele situații, necunoscuta respectivă dispare.

Cum aleg cu ce număr înmulțesc fiecare ecuație? Te uiți la coeficienții necunoscutei pe care vrei s-o elimini și calculezi cel mai mic multiplu comun al lor. Înmulțești fiecare ecuație astfel încât acea necunoscută să capete acel multiplu comun, cu semne opuse — apoi aduni.

Metoda reducerii sau metoda substituției — care e mai bună? Niciuna nu e „mai bună" în general; alegi cea mai rapidă pentru sistemul dat. Reducerea e ideală când coeficienții sunt deja opuși/egali sau ușor de egalat. Substituția e comodă când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$. Ambele dau exact aceeași soluție.

Ce fac dacă după reducere obțin 0 = 0 sau 0 = un număr nenul? Dacă obții $0=0$, ecuațiile sunt echivalente și sistemul are o infinitate de soluții. Dacă obții o egalitate falsă precum $0=9$, sistemul nu are nicio soluție. Un sistem obișnuit, cu soluție unică, îți dă o valoare clară pentru necunoscuta rămasă.

Trebuie să elimin întâi pe x sau pe y? Poți începe cu oricare — rezultatul final este identic. Alege necunoscuta pentru care înmulțirile ies cu numere mai mici și calculul e mai simplu, ca să eviți greșelile.

De ce este obligatorie verificarea soluției? Pentru că orice mică greșeală de semn sau de înmulțire poate strica rezultatul, iar verificarea o prinde imediat. Înlocuiești perechea $(x,y)$ în ambele ecuații inițiale; dacă amândouă egalitățile sunt adevărate, ești sigur că soluția e corectă.

Pot apărea fracții în soluția unui sistem rezolvat prin reducere? Da, este perfect normal. Soluția unui sistem liniar poate fi orice pereche de numere raționale, deci $\left(\frac{11}{3};\frac{8}{3}\right)$ este un răspuns valid. Lasă rezultatul ca fracție ireductibilă sau ca număr zecimal, după cum ți se cere.