Cum rezolv un sistem prin substituție?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Metoda substituției la sisteme

Scoți o necunoscută dintr-o ecuație, luând-o de preferință pe aceea al cărei coeficient este $1$ sau $- 1$ , ca fracțiile să nu apară. Pui expresia obținută în locul ei în cealaltă ecuație și rămâi cu o singură literă. Rezolvi, apoi te întorci și afli și a doua valoare. Din $y = x + 2$ și $x + y = 8$ iese $2 x + 2 = 8$ , deci $x = 3$ și $y = 5$ .

Când ai un sistem de două ecuații cu $x$ și $y$ , metoda substituției te scapă de una dintre necunoscute ca să rămâi cu o singură ecuație, ușor de rezolvat. Urmezi patru pași: (1) exprimi o necunoscută din una dintre ecuații (alege-o pe cea cu coeficient $1$ sau $- 1$ , ca să nu apară fracții); (2) pui expresia obținută în locul acelei necunoscute în cealaltă ecuație; (3) rezolvi ecuația rămasă, cu o singură necunoscută; (4) afli și a doua necunoscută, apoi scrii soluția $(x, y)$ .

Exemplu minimal: din ${y = x + 2 x + y = 8$ , substitui $y$ în a doua ecuație: $x + (x + 2) = 8 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ , apoi $y = 5$ . Soluția: $(3, 5)$ . Nu uita verificarea în ambele ecuații!

De reținut

alegi necunoscuta cu coeficient $1$ sau $- 1$
expresia se pune în cealaltă ecuație, între paranteze
soluția se scrie ca pereche ordonată $(x, y)$

Greșeala tipică

Se înlocuiește expresia în aceeași ecuație din care a fost scoasă, iar necunoscutele se sting între ele. Substituția se face întotdeauna în cealaltă ecuație.

Exerciții din această mini-lecție

Din ecuația $x + y = 8$ , cum se exprimă corect $y$ în funcție de $x$ ?
- a) $y = 8 - x$
- b) $y = x - 8$
- c) $y = 8 + x$
- d) $y = - 8 - x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 8 - x$

Trecem $x$ în dreapta egalului, schimbând semnul: din $x + y = 8$ obținem $y = 8 - x$ .
La rezolvarea sistemului ${x = 2 y x + y = 15$ prin substituție, ce ecuație obții după înlocuire?
- a) $2 y + y = 15$
- b) $2 y + 15 = y$
- c) $y + 2 = 15$
- d) $2 x + y = 15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 y + y = 15$

Substituim $x = 2 y$ în a doua ecuație, în locul lui $x$ : $2 y + y = 15$ , de unde $y = 5$ și $x = 10$ .
Din ecuația $2 x + y = 15$ , cum se exprimă corect $y$ în funcție de $x$ ?
- a) $y = 15 - 2 x$
- b) $y = 2 x - 15$
- c) $y = 15 + 2 x$
- d) $y = - 15 - 2 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 15 - 2 x$

Trecem $2 x$ în dreapta egalului, schimbând semnul: din $2 x + y = 15$ obținem $y = 15 - 2 x$ .

Întrebări conexe

Cum scriu paranteza când înlocuiesc o expresie întreagă?

Pui expresia între paranteze de fiecare dată, mai ales când în fața ei stă un coeficient sau un minus. Din $3 (2 y - 1) + y = 11$ obții $7 y = 14$ , deci $y = 2$ . Fără paranteză, ai fi înmulțit doar primul termen și rezultatul ar fi ieșit greșit.

În care ecuație pun expresia găsită?

În cealaltă, nu în cea din care ai scos-o. Dacă o pui înapoi de unde a venit, obții o egalitate adevărată, dar fără nicio informație nouă. Doar folosind a doua condiție ajungi la o ecuație cu o singură necunoscută, care se poate rezolva.

Cum arată substituția la un sistem cu coeficienți mari?

Merge, dar apar fracții. Din $5 x + 3 y = 21$ scoți $y = \frac{21 - 5 x}{3}$ și înlocuiești în a doua ecuație. Calculul rămâne corect, doar că devine mai greoi, așa că în asemenea cazuri reducerea e de obicei mai comodă.

Ce se întâmplă dacă înlocuiesc în aceeași ecuație?

Ajungi la ceva de tipul $8 = 8$ , adevărat dar nefolositor. Necunoscutele se simplifică între ele, fiindcă ai folosit de două ori aceeași informație. Semnalul acesta îți spune să te întorci și să înlocuiești în ecuația pe care încă nu ai atins-o.

Cât de multe fracții pot apărea la substituție?

Depinde de coeficienți. Când necunoscuta aleasă are $1$ sau $- 1$ în față, nu apare nicio fracție. În rest pot apărea, dar se pot elimina înmulțind toată ecuația cu numitorul comun. Iar soluția însăși poate fi o fracție, ceea ce e cu totul normal și nu arată vreo greșeală.

Cum scriu soluția după ce am aflat ambele necunoscute?

O scrii ca pereche ordonată, cu abscisa pe primul loc. Pentru $x = 3$ și $y = 5$ notezi $S = {(3, 5)}$ , nu invers. Înainte de asta faci verificarea în amândouă ecuațiile de la început, ca să prinzi o eventuală greșeală de semn.

Oamenii mai întreabă și: metoda substituției la sisteme · cum rezolv un sistem prin substituție · pașii metodei substituției · substituție sisteme de ecuații · înlocuirea unei necunoscute