Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Îți amintești cum, în lecția precedentă, ai învățat ce este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute și ce înseamnă soluția lui? Acolo am aflat ce căutăm — o pereche de numere $(x,y)$ care să verifice ambele ecuații în același timp. Acum vine partea cu adevărat utilă: învățăm cum găsim această pereche fără să ghicim. Metoda substituției este prima tehnică sigură care transformă un sistem cu două necunoscute într-o singură ecuație simplă, pe care știi deja s-o rezolvi. E ca atunci când, într-un joc de strategie, elimini o piesă ca să vezi clar tabla: reduci problema la ceva mai mic și mai ușor de controlat.

Ce vei învăța

• Vei ști să exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație a sistemului.
• Vei ști să înlocuiești (substitui) expresia obținută în cealaltă ecuație și să obții o ecuație cu o singură necunoscută.
• Vei ști să rezolvi un sistem de două ecuații liniare prin metoda substituției, pas cu pas.
• Vei ști să afli a doua necunoscută și să scrii corect soluția sub forma $(x,y)$.
• Vei ști să verifici soluția în sistemul inițial și să recunoști când substituția este cea mai comodă metodă.

Hai să descoperim împreună

Ideea din spatele metodei

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute arată, în general, așa:

$$\{\begin{array}{l}\text{prima ecuație}\\ \text{a doua ecuație}\end{array}$$

Problema noastră are două necunoscute, $x$ și $y$, iar acest lucru o face grea: o ecuație cu o singură necunoscută știi s-o rezolvi de la lecția despre ecuația de forma $ax+b=0$, dar cu două necunoscute deodată e altă poveste.

Ideea genială a metodei substituției este simplă: scăpăm temporar de una dintre necunoscute. Cum? Luăm una dintre ecuații, o „răsucim" astfel încât o necunoscută (să zicem $y$) să fie scrisă în funcție de cealaltă ($x$), și apoi punem acea expresie în locul lui $y$ în a doua ecuație. Astfel, a doua ecuație rămâne cu o singură necunoscută, $x$. O rezolvăm, aflăm $x$, iar din expresia pe care am pregătit-o aflăm și $y$.

Cuvântul a substitui înseamnă chiar a înlocui, a pune ceva în locul altui lucru. De aici vine numele metodei.

Cei patru pași ai metodei substituției

Ori de câte ori rezolvi un sistem prin substituție, urmezi aceiași patru pași. Memorează-i, pentru că funcționează la orice sistem liniar:

Pasul 1 — Exprimi o necunoscută. Alegi una dintre cele două ecuații și scrii o necunoscută în funcție de cealaltă. De exemplu, din $x+y=7$ scrii $y=7-x$.

Pasul 2 — Substitui (înlocuiești). Iei expresia obținută și o pui în cealaltă ecuație, în locul necunoscutei respective. Atenție: substituim mereu în ecuația pe care NU am folosit-o la Pasul 1.

Pasul 3 — Rezolvi ecuația cu o singură necunoscută. După substituție rămâi cu o ecuație liniară cu o singură necunoscută. O rezolvi ca la orice ecuație de gradul I și afli valoarea acelei necunoscute.

Pasul 4 — Afli a doua necunoscută și scrii soluția. Înlocuiești valoarea găsită în expresia de la Pasul 1 și afli cealaltă necunoscută. Apoi scrii soluția sub forma unei perechi ordonate $(x,y)$.

La final, foarte important, adăugăm un Pas de verificare: punem perechea găsită în ambele ecuații ale sistemului inițial și vedem dacă amândouă sunt adevărate.

Să urmărim pas cu pas un prim sistem

Hai să aplicăm chiar acum metoda pe un exemplu concret. Rezolvăm sistemul:

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 2x+y=11\end{array}$$

Pasul 1. Ce noroc! Prima ecuație ne oferă deja $y$ scris în funcție de $x$: avem $y=x+2$. Nu mai trebuie să facem nimic la acest pas.

Pasul 2. Substituim. În a doua ecuație, oriunde apare $y$, punem în loc expresia $x+2$:

$$2x+(x+2)=11.$$

Observă că am pus expresia în paranteză. E un obicei foarte bun: paranteza te ferește de greșeli, mai ales când în față există un semn minus.

Pasul 3. Rezolvăm ecuația obținută, care are doar necunoscuta $x$:

$$2x+x+2=11\Rightarrow 3x+2=11\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3.$$

Pasul 4. Aflăm $y$ folosind expresia de la Pasul 1, $y=x+2$:

$$y=3+2=5.$$

Deci soluția sistemului este perechea $(x,y)=(3,5)$.

Verificare. Punem $x=3$ și $y=5$ în ambele ecuații:

• Prima: $y=x+2\Rightarrow 5=3+2$, adevărat. ✓
• A doua: $2x+y=11\Rightarrow 2\cdot 3+5=6+5=11$, adevărat. ✓

Ambele ecuații sunt satisfăcute, așa că perechea $(3,5)$ este într-adevăr soluția sistemului. Frumos, nu? Am transformat un sistem cu două necunoscute într-o singură ecuație simplă.

Cum aleg necunoscuta pe care o exprim?

De multe ori ai de ales: poți exprima $x$ sau $y$, din prima sau din a doua ecuație. Metoda funcționează în oricare variantă, dar unele alegeri fac calculul mult mai comod. Regula de aur:

Alege să exprimi necunoscuta care are coeficientul $1$ sau $-1$, ca să eviți fracțiile.

De exemplu, în ecuația $x+3y=5$, necunoscuta $x$ are coeficientul $1$, deci o exprimi ușor: $x=5-3y$, fără nicio împărțire. Dacă în schimb ai exprima $y$, ai ajunge la $y=\frac{5-x}{3}$, cu fracție — se poate și așa, dar e mai incomod.

Când nicio necunoscută nu are coeficientul $1$ sau $-1$, nu-i nimic: alegi ce ți se pare mai simplu și lucrezi cu fracția. O să vezi un astfel de caz în exemplele rezolvate.

Cum exprim corect o necunoscută

Exprimarea unei necunoscute înseamnă, de fapt, să rezolvi o ecuație tratând cealaltă necunoscută ca pe un „număr obișnuit". Folosești exact transformările echivalente de la ecuații echivalente: treci termeni dintr-o parte în alta schimbând semnul și, la nevoie, împarți la coeficient.

Câteva exemple de exprimare (exersează-le cu ochii):

• Din $x+y=9$ obții $y=9-x$ (am trecut $x$ în dreapta cu semn schimbat).
• Din $2x-y=3$ obții $y=2x-3$ (am izolat $-y$, apoi am înmulțit cu $-1$).
• Din $x-3y=5$ obții $x=5+3y$ (am trecut $-3y$ în dreapta).
• Din $3x+y=10$ obții $y=10-3x$.

Fii mereu atent la semne! O greșeală tipică este să scrii din $x-y=4$ că „$y=4-x$", ceea ce e greșit. Corect: trecem $x$ în dreapta, $-y=4-x$, apoi înmulțim tot cu $-1$ și obținem $y=x-4$.

De ce funcționează metoda? (justificarea)

Poate te întrebi: e permis să înlocuiesc $y$ cu $x+2$? Da, și iată de ce. Prima ecuație, $y=x+2$, ne spune că pentru soluția sistemului, valoarea lui $y$ este exact aceeași cu valoarea expresiei $x+2$. Dacă două cantități sunt egale, atunci una poate lua locul celeilalte oriunde — asta e chiar proprietatea de bază a egalității. Punând $x+2$ în locul lui $y$, nu schimbăm cu nimic adevărul celei de-a doua ecuații; doar o rescriem folosind o singură literă. De aceea soluția obținută la final chiar verifică sistemul inițial — și de aceea verificarea, când o faci corect, iese mereu.

Când este substituția cea mai comodă alegere?

Vei mai învăța și metoda reducerii, o altă tehnică sigură. Amândouă dau același rezultat, dar fiecare are momentele ei. Substituția strălucește mai ales atunci când:

• una dintre ecuații are deja o necunoscută izolată, de exemplu $y=3x-1$ sau $x=2y$;
• o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$, deci o exprimi fără fracții;
• ai o ecuație de tipul „o necunoscută egală cu un multiplu al celeilalte", cum apare des în problemele cu vârste sau cu prețuri.

Când ambele ecuații au coeficienți „urâți" (de pildă $3$, $5$, $7$), uneori reducerea e mai rapidă. Dar substituția funcționează întotdeauna, chiar și atunci — n-o să te lase niciodată baltă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — sistem clasic, exprim $y$

Rezolvă prin substituție:

$$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ 2x-y=5\end{array}$$

Pasul 1. În prima ecuație, $y$ are coeficientul $1$. Îl exprimăm: $y=7-x$.

Pasul 2. Substituim în a doua ecuație: $2x-(7-x)=5$. Fii atent la minusul din fața parantezei!

Pasul 3. Rezolvăm: $2x-7+x=5\Rightarrow 3x-7=5\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$.

Pasul 4. Aflăm $y=7-x=7-4=3$. Soluția: $(4,3)$.

Verificare. $4+3=7$ ✓ și $2\cdot 4-3=8-3=5$ ✓. Corect.

Exemplul 2 — exprim $x$ din a doua ecuație

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ x-y=2\end{array}$$

Pasul 1. A doua ecuație e cea mai simplă: $x$ are coeficientul $1$. Exprimăm $x=y+2$.

Pasul 2. Substituim în prima ecuație (cea pe care n-am folosit-o): $3(y+2)+2y=16$.

Pasul 3. Rezolvăm: $3y+6+2y=16\Rightarrow 5y+6=16\Rightarrow 5y=10\Rightarrow y=2$.

Pasul 4. Aflăm $x=y+2=2+2=4$. Soluția: $(4,2)$.

Verificare. $3\cdot 4+2\cdot 2=12+4=16$ ✓ și $4-2=2$ ✓.

Exemplul 3 — apar și numere negative

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}3x+4y=10\\ x+2y=6\end{array}$$

Pasul 1. În a doua ecuație, $x$ are coeficientul $1$. Exprimăm $x=6-2y$.

Pasul 2. Substituim în prima: $3(6-2y)+4y=10$.

Pasul 3. $18-6y+4y=10\Rightarrow 18-2y=10\Rightarrow -2y=-8\Rightarrow y=4$.

Pasul 4. $x=6-2\cdot 4=6-8=-2$. Soluția: $(-2,4)$.

Verificare. $3\cdot (-2)+4\cdot 4=-6+16=10$ ✓ și $-2+2\cdot 4=-2+8=6$ ✓. Vezi? Soluția poate conține și numere negative — perfect normal.

Exemplul 4 — când termenul liber este negativ

Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}5x+2y=16\\ x-2y=-4\end{array}$$

Pasul 1. Din a doua ecuație exprimăm $x$: $x=2y-4$.

Pasul 2. Substituim în prima: $5(2y-4)+2y=16$.

Pasul 3. $10y-20+2y=16\Rightarrow 12y-20=16\Rightarrow 12y=36\Rightarrow y=3$.

Pasul 4. $x=2\cdot 3-4=6-4=2$. Soluția: $(2,3)$.

Verificare. $5\cdot 2+2\cdot 3=10+6=16$ ✓ și $2-2\cdot 3=2-6=-4$ ✓.

Exemplul 5 — coeficientul $-1$ ne ferește de fracții

Uneori nicio necunoscută nu are coeficientul $1$, dar una are coeficientul $-1$ — la fel de bun. Rezolvă:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ 4x-y=5\end{array}$$

Aici cel mai comod e să exprimăm $y$ din a doua ecuație, pentru că are coeficientul $-1$.

Pasul 1. Din $4x-y=5$ obținem $-y=5-4x$, apoi $y=4x-5$.

Pasul 2. Substituim în prima: $2x+3(4x-5)=13$.

Pasul 3. $2x+12x-15=13\Rightarrow 14x-15=13\Rightarrow 14x=28\Rightarrow x=2$.

Pasul 4. $y=4\cdot 2-5=8-5=3$. Soluția: $(2,3)$.

Verificare. $2\cdot 2+3\cdot 3=4+9=13$ ✓ și $4\cdot 2-3=8-3=5$ ✓.

Dacă ai fi ales să exprimi $x$ din prima ecuație, ai fi obținut $x=\frac{13-3y}{2}$, iar substituția ar fi dus la o ecuație cu fracție. S-ar fi putut și așa (înmulțeai totul cu $2$ ca să scapi de numitor), dar vezi cât de important e să alegi înțelept necunoscuta cu coeficient $\pm 1$.

Exemplul 6 — o problemă din viața reală

La un meci amical, o familie cumpără bilete. Se știe că un bilet de adult plus un bilet de copil costă $30$ de lei, iar două bilete de adult plus trei bilete de copil costă $74$ de lei. Cât costă un bilet de adult și cât un bilet de copil?

Traducem în sistem. Notăm cu $x$ prețul unui bilet de adult și cu $y$ prețul unui bilet de copil (în lei). Din enunț:

$$\{\begin{array}{l}x+y=30\\ 2x+3y=74\end{array}$$

Pasul 1. Din prima ecuație: $x=30-y$.

Pasul 2. Substituim în a doua: $2(30-y)+3y=74$.

Pasul 3. $60-2y+3y=74\Rightarrow 60+y=74\Rightarrow y=14$.

Pasul 4. $x=30-14=16$. Soluția: $(16,14)$.

Interpretăm. Un bilet de adult costă $16$ lei, iar unul de copil $14$ lei. Verificare: $16+14=30$ ✓ și $2\cdot 16+3\cdot 14=32+42=74$ ✓. Observă cât de natural s-a potrivit metoda substituției aici: aveam o ecuație „simplă" ($x+y=30$) din care am izolat imediat o necunoscută.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând cei patru pași. Nu uita verificarea!

1. Exprimă necunoscuta cerută din fiecare ecuație:   a) $y$ din $x+y=9$; b) $y$ din $2x-y=3$; c) $x$ din $x-3y=5$; d) $y$ din $3x+y=10$.

2. Rezolvă prin substituție: $$\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x+y=9\end{array}$$

3. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}x=2y\\ x+y=12\end{array}$$

4. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x-y=4\end{array}$$

5. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ x-y=-1\end{array}$$

6. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}x+2y=11\\ 3x-y=5\end{array}$$

7. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ x+y=5\end{array}$$

8. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}4x-3y=5\\ x+y=3\end{array}$$

9. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}2x+y=9\\ x+3y=12\end{array}$$

10. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}5x+2y=16\\ x-2y=-4\end{array}$$

11. Rezolvă (atenție la numărul negativ din soluție): $$\{\begin{array}{l}3x+4y=10\\ x+2y=6\end{array}$$

12. Adevărat sau fals? Motivează fiecare răspuns:   a) Perechea $(2,3)$ este soluția sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=-1\end{array}$.   b) Din ecuația $x-y=4$ rezultă $y=4-x$.   c) Metoda substituției poate fi aplicată doar dacă o necunoscută are coeficientul $1$.

13. Suma a două numere este $24$, iar diferența lor este $6$. Scrie sistemul și află numerele prin substituție.

14. La o librărie, $3$ caiete și $2$ pixuri costă $26$ de lei, iar $1$ caiet și $1$ pix costă $10$ lei. Cât costă un caiet și cât un pix?

15. Rezolvă și verifică: $$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x-y=9\end{array}$$

16. Un tată are de $3$ ori vârsta fiului său, iar diferența dintre vârstele lor este de $28$ de ani. Ce vârstă are fiecare?

17. Rezolvă (soluția are un număr negativ mare): $$\{\begin{array}{l}2x+5y=1\\ x+3y=2\end{array}$$

18. Provocare — niciun coeficient nu este $1$: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 3x+2y=5\end{array}$$

Răspunsuri și explicații

1. a) $y=9-x$; b) din $2x-y=3$ avem $-y=3-2x$, deci $y=2x-3$; c) $x=5+3y$; d) $y=10-3x$.

2. Prima ecuație dă deja $y=x-1$. Substituim în a doua: $x+(x-1)=9\Rightarrow 2x-1=9\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$, apoi $y=5-1=4$. Soluția: $(5,4)$. Verificare: $5+4=9$ ✓.

3. Din prima, $x=2y$. Substituim: $2y+y=12\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4$, apoi $x=2\cdot 4=8$. Soluția: $(8,4)$. Verificare: $8=2\cdot 4$ ✓ și $8+4=12$ ✓.

4. Din prima, $x=10-y$. Substituim în a doua: $(10-y)-y=4\Rightarrow 10-2y=4\Rightarrow -2y=-6\Rightarrow y=3$, apoi $x=10-3=7$. Soluția: $(7,3)$. Verificare: $7+3=10$ ✓ și $7-3=4$ ✓.

5. Din a doua, $x=y-1$. Substituim în prima: $2(y-1)+y=7\Rightarrow 2y-2+y=7\Rightarrow 3y=9\Rightarrow y=3$, apoi $x=3-1=2$. Soluția: $(2,3)$. Verificare: $2\cdot 2+3=7$ ✓ și $2-3=-1$ ✓.

6. Din a doua exprimăm $y=3x-5$. Substituim în prima: $x+2(3x-5)=11\Rightarrow x+6x-10=11\Rightarrow 7x=21\Rightarrow x=3$, apoi $y=3\cdot 3-5=4$. Soluția: $(3,4)$. Verificare: $3+2\cdot 4=11$ ✓ și $3\cdot 3-4=5$ ✓.

7. Din a doua, $x=5-y$. Substituim în prima: $3(5-y)+2y=12\Rightarrow 15-3y+2y=12\Rightarrow 15-y=12\Rightarrow y=3$, apoi $x=5-3=2$. Soluția: $(2,3)$. Verificare: $3\cdot 2+2\cdot 3=12$ ✓ și $2+3=5$ ✓.

8. Din a doua, $x=3-y$. Substituim în prima: $4(3-y)-3y=5\Rightarrow 12-4y-3y=5\Rightarrow 12-7y=5\Rightarrow -7y=-7\Rightarrow y=1$, apoi $x=3-1=2$. Soluția: $(2,1)$. Verificare: $4\cdot 2-3\cdot 1=5$ ✓ și $2+1=3$ ✓.

9. Din prima, $y=9-2x$. Substituim în a doua: $x+3(9-2x)=12\Rightarrow x+27-6x=12\Rightarrow -5x=-15\Rightarrow x=3$, apoi $y=9-2\cdot 3=3$. Soluția: $(3,3)$. Verificare: $2\cdot 3+3=9$ ✓ și $3+3\cdot 3=12$ ✓.

10. Din a doua, $x=2y-4$. Substituim în prima: $5(2y-4)+2y=16\Rightarrow 10y-20+2y=16\Rightarrow 12y=36\Rightarrow y=3$, apoi $x=2\cdot 3-4=2$. Soluția: $(2,3)$. Verificare: $5\cdot 2+2\cdot 3=16$ ✓ și $2-2\cdot 3=-4$ ✓.

11. Din a doua, $x=6-2y$. Substituim în prima: $3(6-2y)+4y=10\Rightarrow 18-6y+4y=10\Rightarrow 18-2y=10\Rightarrow -2y=-8\Rightarrow y=4$, apoi $x=6-2\cdot 4=-2$. Soluția: $(-2,4)$. Verificare: $3\cdot (-2)+4\cdot 4=-6+16=10$ ✓ și $-2+2\cdot 4=6$ ✓.

12. a) Adevărat. Verificăm: $2+3=5$ ✓ și $2-3=-1$ ✓ — ambele ecuații sunt satisfăcute, deci $(2,3)$ este soluția. b) Fals. Din $x-y=4$ obținem corect $-y=4-x$, apoi, înmulțind cu $-1$, $y=x-4$. Răspunsul „$y=4-x$" ar veni din uitarea schimbării semnelor. c) Fals. Substituția se poate aplica întotdeauna. Dacă nicio necunoscută nu are coeficientul $1$, exprimarea produce o fracție, dar metoda merge la fel de bine (vezi Exemplul 5 și exercițiul 18).

13. Notăm numerele cu $x$ și $y$. Sistemul: $\{\begin{array}{l}x+y=24\\ x-y=6\end{array}$. Din prima, $x=24-y$. Substituim: $(24-y)-y=6\Rightarrow 24-2y=6\Rightarrow -2y=-18\Rightarrow y=9$, apoi $x=24-9=15$. Numerele sunt $15$ și $9$. Verificare: $15+9=24$ ✓ și $15-9=6$ ✓.

14. Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix (lei). Sistemul: $\{\begin{array}{l}3c+2p=26\\ c+p=10\end{array}$. Din a doua, $c=10-p$. Substituim: $3(10-p)+2p=26\Rightarrow 30-3p+2p=26\Rightarrow 30-p=26\Rightarrow p=4$, apoi $c=10-4=6$. Un caiet costă $6$ lei, un pix $4$ lei. Verificare: $3\cdot 6+2\cdot 4=18+8=26$ ✓ și $6+4=10$ ✓.

15. Din prima, $x=-y$. Substituim în a doua: $2(-y)-y=9\Rightarrow -3y=9\Rightarrow y=-3$, apoi $x=-(-3)=3$. Soluția: $(3,-3)$. Verificare: $3+(-3)=0$ ✓ și $2\cdot 3-(-3)=6+3=9$ ✓.

16. Notăm cu $t$ vârsta tatălui și cu $f$ vârsta fiului. Sistemul: $\{\begin{array}{l}t=3f\\ t-f=28\end{array}$. Din prima, $t=3f$. Substituim în a doua: $3f-f=28\Rightarrow 2f=28\Rightarrow f=14$, apoi $t=3\cdot 14=42$. Fiul are $14$ ani, tatăl $42$ de ani. Verificare: $42=3\cdot 14$ ✓ și $42-14=28$ ✓.

17. Din a doua, $x=2-3y$. Substituim în prima: $2(2-3y)+5y=1\Rightarrow 4-6y+5y=1\Rightarrow 4-y=1\Rightarrow y=3$, apoi $x=2-3\cdot 3=-7$. Soluția: $(-7,3)$. Verificare: $2\cdot (-7)+5\cdot 3=-14+15=1$ ✓ și $-7+3\cdot 3=2$ ✓.

18. Niciun coeficient nu este $1$, așa că vom lucra cu o fracție. Din prima ecuație exprimăm $y$: $3y=5-2x$, deci $y=\frac{5-2x}{3}$. Substituim în a doua: $3x+2\cdot \frac{5-2x}{3}=5$. Înmulțim toată ecuația cu $3$ ca să scăpăm de numitor: $9x+2(5-2x)=15\Rightarrow 9x+10-4x=15\Rightarrow 5x=5\Rightarrow x=1$. Apoi $y=\frac{5-2\cdot 1}{3}=\frac{3}{3}=1$. Soluția: $(1,1)$. Verificare: $2\cdot 1+3\cdot 1=5$ ✓ și $3\cdot 1+2\cdot 1=5$ ✓.

De reținut

• Metoda substituției transformă un sistem cu două necunoscute într-o singură ecuație cu o necunoscută, care se rezolvă ușor.
• Cei patru pași: (1) exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă; (2) o substitui în cealaltă ecuație; (3) rezolvi ecuația cu o singură necunoscută; (4) afli a doua necunoscută și scrii soluția $(x,y)$.
• Alege să exprimi necunoscuta cu coeficientul $1$ sau $-1$, ca să eviți fracțiile.
• Substituie mereu în cealaltă ecuație, nu în cea din care ai exprimat.
• Fă întotdeauna verificarea: pune perechea găsită în ambele ecuații ale sistemului inițial.

Greșeli frecvente

• Substituția în ecuația greșită. Dacă ai exprimat o necunoscută din prima ecuație, trebuie să substitui în a doua. Dacă o pui înapoi în prima, obții ceva de tipul $7=7$ (o identitate) și „pierzi" necunoscuta. Ține minte: exprim din una, substitui în cealaltă.
• Semnele la exprimare. Din $x-y=4$ NU rezultă $y=4-x$, ci $y=x-4$. Când izolezi o necunoscută cu semn minus în față, nu uita să înmulțești tot cu $-1$ și să schimbi toate semnele.
• Uitarea parantezei la substituție. Când pui o expresie în locul unei necunoscute, mai ales după un minus, scrie-o în paranteză: $2x-(7-x)$, nu $2x-7-x$. Fără paranteză, semnul se pierde și rezultatul iese greșit.
• Oprirea după aflarea primei necunoscute. Ai găsit $x$, dar soluția unui sistem este o pereche $(x,y)$. Nu uita Pasul 4: întoarce-te și află și $y$, apoi scrie ambele valori.

Aplică acasă

• Bonul de cumpărături. Ia două bonuri de la magazin în care apar de două ori aceleași două produse în cantități diferite (de exemplu, „$2$ sucuri + $1$ apă" pe un bon și „$1$ suc + $3$ ape" pe altul), dar cu totalul șters. Alege tu prețurile unitare, calculează cele două totaluri, apoi dă-le unui coleg ca sistem și cere-i să afle prețurile prin substituție.
• Ghicește cele două numere. Roagă un membru al familiei să se gândească la două numere. Tu întrebi doar suma și diferența lor. Scrie sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=S\\ x-y=D\end{array}$ și află numerele prin substituție. Îi vei uimi pe toți că le găsești imediat.
• Vârste în familie. Află diferența de vârstă dintre doi membri ai familiei și de câte ori este unul mai în vârstă (aproximativ). Formează un sistem ca la exercițiul 16 și verifică dacă soluția se potrivește cu vârstele reale.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul face un pas important: trece de la rezolvarea unei singure ecuații la rezolvarea unui sistem. Cel mai bun sprijin este să insistați pe disciplina celor patru pași — mulți elevi știu ideea, dar greșesc din grabă la semne sau uită să afle a doua necunoscută. Cereți-i mereu să scrie soluția ca pereche $(x,y)$ și să facă verificarea cu voce tare.

Întrebări utile de verificare: „Din ce ecuație ai exprimat și în care substitui?", „De ce ai pus expresia în paranteză?", „Ce faci acum că ai aflat $x$?", „Cum știi sigur că soluția e corectă?". Dacă elevul poate răspunde la aceste patru întrebări, a înțeles metoda. Un semn clar de stăpânire a materiei este când alege singur necunoscuta cu coeficient $1$ sau $-1$ ca să evite fracțiile — asta arată că nu aplică mecanic, ci gândește. Dacă apar dificultăți la exprimarea corectă cu semne, recomandați o recitire scurtă a lecției despre ecuații echivalente și transformări.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă metoda substituției la clasa a 7-a? Este o metodă de rezolvare a unui sistem de două ecuații liniare în care exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație, apoi înlocuiești (substitui) expresia obținută în cealaltă ecuație. Astfel rămâi cu o singură ecuație și o singură necunoscută, ușor de rezolvat.

Care sunt pașii metodei substituției? Sunt patru: (1) exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă; (2) substitui acea expresie în cealaltă ecuație; (3) rezolvi ecuația cu o singură necunoscută; (4) afli a doua necunoscută și scrii soluția $(x,y)$. La final faci verificarea în ambele ecuații.

Din care ecuație exprim necunoscuta? Din ecuația în care exprimarea este cea mai simplă — de preferat cea în care o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$, ca să nu apară fracții. Apoi substitui obligatoriu în cealaltă ecuație, nu în cea folosită.

Ce fac dacă niciun coeficient nu este 1? Metoda funcționează la fel. Exprimi o necunoscută, chiar dacă rezultă o fracție (de exemplu $y=\frac{5-2x}{3}$), o substitui, apoi înmulțești toată ecuația cu numitorul ca să scapi de fracție. Vezi exercițiul 18 pentru un exemplu complet.

Cum verific dacă soluția sistemului este corectă? Înlocuiești perechea $(x,y)$ găsită în ambele ecuații ale sistemului inițial. Dacă amândouă egalitățile devin adevărate, soluția este corectă. Dacă măcar una nu se verifică, ai greșit undeva la calcul sau la semne.

Metoda substituției dă mereu răspunsul corect? Da, dacă o aplici corect. Este o metodă sigură care funcționează la orice sistem de două ecuații liniare. Diferența față de metoda reducerii este doar de comoditate — ambele conduc la aceeași soluție.

De ce am voie să înlocuiesc o necunoscută cu o expresie? Pentru că ecuația din care ai exprimat spune că cele două sunt egale pentru soluția sistemului. Dacă $y=x+2$, atunci $y$ și $x+2$ au aceeași valoare, deci una poate lua locul celeilalte fără să schimbe adevărul celeilalte ecuații. Aceasta este proprietatea de bază a egalității.

Când e mai bună substituția decât reducerea? Substituția e cea mai comodă când o ecuație are deja o necunoscută izolată (de pildă $y=3x-1$) sau când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$. Astfel de situații apar des în problemele cu prețuri, vârste sau sume și diferențe de numere.