Cum aflu zeroul unei funcții de gradul întâi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnul funcției afine, pe grafic

Rezolvi ecuația $a x + b = 0$ și obții $x = - \frac{b}{a}$ , punctul în care dreapta taie axa orizontală. Pentru $f (x) = 4 x + 10$ iese $x = - \frac{5}{2}$ , cu minus. Acest număr împarte axa în două bucăți cu semne diferite: dacă panta este pozitivă, funcția are valori negative înainte de el și pozitive după; dacă panta este negativă, se întâmplă exact pe dos.

Dreapta lui $f (x) = a x + b$ (cu $a \neq = 0$ ) taie fiecare axă exact o dată, iar cele două tăieturi se citesc altfel.

Cu axa $O y$ : pui $x = 0$ și obții punctul $(0, b)$ — se vede direct pe desen, fără calcul.

Cu axa $O x$ : acolo valoarea e zero, deci rezolvi $a x + b = 0$ și obții $x = - \frac{b}{a}$ . Numărul ăsta se numește zeroul funcției.

Semnul se citește apoi din poziția dreptei față de axa orizontală: unde graficul e deasupra lui $O x$ , avem $f (x) > 0$ ; unde e dedesubt, $f (x) < 0$ . În zeroul funcției, exact pe axă, avem $f (x) = 0$ .

Zeroul taie axa numerelor în două bucăți, cu semne diferite. Dacă $a > 0$ (dreapta urcă), funcția e negativă înainte de zero și pozitivă după. Dacă $a < 0$ , e exact pe dos. De aici vine tabelul de semn: $f$ are semn contrar lui $a$ înainte de zero și semnul lui $a$ după.

De reținut

$x_{0} = - \frac{b}{a}$
graficul taie axa verticală în $(0, b)$
funcția are semn contrar lui $a$ înainte de $x_{0}$ și semnul lui $a$ după

Greșeala tipică

Rădăcina este scrisă fără minus, așa că pentru $f (x) = 4 x + 10$ apare $\frac{5}{2}$ în loc de $- \frac{5}{2}$ . Termenul liber trece de cealaltă parte a egalului cu semn schimbat, apoi se împarte la pantă.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul de mai jos este al funcției $f (x) = x - 2$ . Pentru ce valori ale lui $x$ se află graficul DEASUPRA axei $O x$ ?
- a) $x < 2$
- b) $x > 2$
- c) $x < - 2$
- d) $x > - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x > 2$

Dreapta taie axa $O x$ în $x = 2$ și urcă spre dreapta, deci după $2$ rămâne deasupra axei: $f (x) > 0$ pentru $x > 2$ . Variantele cu $- 2$ confundă termenul liber $b = - 2$ cu zeroul funcției.
Graficul funcției afine $f$ taie axa $O x$ în punctul de abscisă $- 3$ și coboară de la stânga la dreapta. Pentru ce valori ale lui $x$ avem $f (x) > 0$ ?
- a) $x < - 3$
- b) $x > - 3$
- c) $x < 3$
- d) $x > 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x < - 3$

Dreapta coboară, deci înainte de zero este sus (deasupra axei), iar după el coboară sub axă. Cum zeroul e $- 3$ , avem $f (x) > 0$ pentru $x < - 3$ . Răspunsul $x > - 3$ ar fi corect dacă dreapta ar urca.
În ce punct taie graficul funcției $f (x) = - 4 x + 12$ axa $O x$ ?
- a) $(0, 12)$
- b) $(3, 0)$
- c) $(0, 3)$
- d) $(12, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(3, 0)$

Pe axa $O x$ ordonata e $0$ , deci rezolvi $- 4 x + 12 = 0$ , adică $4 x = 12$ și $x = 3$ : punctul este $(3, 0)$ . Punctul $(0, 12)$ este intersecția cu cealaltă axă, $O y$ .

Întrebări conexe

Unde este pozitivă funcția care are formula 2x minus 6?

Rezolvi $2 x - 6 > 0$ și obții $x > 3$ . Deci funcția este pozitivă la dreapta lui $3$ și negativă la stânga, fiindcă panta $2$ este pozitivă. În punctul $3$ valoarea este chiar zero, iar graficul atinge acolo axa orizontală.

Poate o funcție afină să nu taie deloc axa orizontală?

Doar dacă panta este zero, adică funcția este constantă și diferită de zero: dreapta orizontală $y = 4$ nu întâlnește niciodată axa. Când panta este nenulă, dreapta este înclinată, deci taie axa orizontală exact o dată.

Ce legătură are zeroul cu rezolvarea unei inecuații?

Este cheia rezolvării: afli zeroul, apoi citești pe ce parte a lui funcția are semnul cerut. Pentru $- 3 x + 9 \geq 0$ zeroul este $3$ , iar panta negativă arată că valorile pozitive stau la stânga, deci soluția este $x \leq 3$ .

Câte zerouri poate avea o funcție de gradul întâi?

Exact unul, atât timp cât panta nu este zero. Ecuația $a x + b = 0$ are o singură soluție, iar geometric o dreaptă înclinată taie axa orizontală într-un singur punct. Funcțiile de gradul al doilea pot avea două zerouri sau niciunul.

Ce înseamnă că două funcții afine au același zero?

Că dreptele lor trec prin același punct de pe axa orizontală, deși pot avea înclinări diferite. Funcțiile $f (x) = 2 x - 4$ și $g (x) = - 5 x + 10$ se anulează amândouă în $2$ , dar semnele lor sunt opuse în jurul acestui punct.

Cum desenez dreapta folosind cele două tăieturi cu axele?

Marchezi punctul în care graficul întâlnește axa orizontală, adică zeroul funcției, și punctul de pe axa verticală, care are ordonata egală cu termenul liber. Prin cele două puncte tragi o singură dreaptă. La $f (x) = 4 x + 10$ ele sunt $(- \frac{5}{2}, 0)$ și $(0, 10)$ .

Oamenii mai întreabă și: zeroul funcției de gradul întâi · rădăcina funcției afine · tabelul de semn la gradul întâi · unde taie graficul axele · când este funcția pozitivă