Sistemul $$\begin{cases}x^2+y^2=13\\xy=6\end{cases}$$ este:

atât sistem omogen, cât și sistem simetric

doar sistem omogen, nu și simetric

doar sistem simetric, nu și omogen

niciunul dintre cele două tipuri

Pentru un sistem simetric adus la forma $$s=x+y=4$$, $$p=xy=5$$, ce se poate spune despre soluțiile reale?

condiția $$s^2-4p\ge0$$ nu este îndeplinită, deci sistemul nu are soluții reale

condiția $$s^2-4p\ge0$$ este îndeplinită, deci există soluții reale

condiția e îndeplinită doar dacă $$p<0$$

nu se poate decide fără a rezolva efectiv sistemul

Cum rezolv un sistem cu ecuații de gradul doi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sisteme cu ecuații de gradul doi

Alegi metoda după forma sistemului. Dacă una dintre ecuații este de gradul întâi, scoți o necunoscută din ea și o înlocuiești în cealaltă, rămânând cu o ecuație pătratică. Dacă toți termenii cu necunoscute au gradul al doilea, elimini termenii liberi și notezi raportul celor două necunoscute. Dacă sistemul nu se schimbă la interschimbarea literelor, folosești suma și produsul. Soluțiile se scriu ca perechi și se verifică.

Un sistem cu ecuații de gradul al doilea cere toate perechile ordonate $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații; programa cere trei tipuri, fiecare cu metoda lui. La sistemul cu o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea, exprimi o necunoscută din ecuația liniară și substitui, rămânând cu o ecuație de gradul al doilea cu o singură necunoscută — numărul soluțiilor e dat de semnul discriminantului ei. Un sistem omogen (toți termenii de grad $2$ : $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ ) se rezolvă eliminând termenii liberi (înmulțind și scăzând cele două ecuații), tratând separat cazul $y = 0$ , apoi împărțind la $y^{2}$ și notând $t = \frac{x}{y}$ , ceea ce dă o ecuație $A t^{2} + B t + C = 0$ . Un sistem simetric (neschimbat la interschimbarea lui $x$ cu $y$ ) se rezolvă cu substituția $s = x + y$ , $p = x y$ — aceleași $S, P$ de la Viète — traducând ambele ecuații prin $s, p$ , apoi revenind la $x, y$ ca rădăcini ale ecuației $z^{2} - sz + p = 0$ , care are soluții reale exact când $s^{2} - 4 p \geq 0$ . Fiecare metodă se încheie obligatoriu cu verificarea soluțiilor, pentru a elimina eventualele soluții străine apărute pe parcurs (mai ales la $y = 0$ sau la ramuri cu $s^{2} - 4 p < 0$ ).

De reținut

gradul întâi plus gradul doi: substituție
sistem omogen: elimini termenii liberi și notezi $t = \frac{x}{y}$
sistem simetric: $s = x + y$ , $p = x y$ , apoi $z^{2} - sz + p = 0$
soluții reale doar dacă $s^{2} - 4 p \geq 0$

Greșeala tipică

La sistemul omogen se împarte cu una dintre necunoscute fără a discuta cazul în care ea este zero, iar o soluție se pierde; tratează separat acel caz înainte de împărțire.

Exerciții din această mini-lecție

Sistemul ${x^{2} + y^{2} = 13 x y = 6$ este:
- a) doar sistem omogen, nu și simetric
- b) doar sistem simetric, nu și omogen
- c) atât sistem omogen, cât și sistem simetric
- d) niciunul dintre cele două tipuri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) atât sistem omogen, cât și sistem simetric

Toți termenii care conțin necunoscutele au gradul $2$ ( $x^{2}$ , $y^{2}$ , $x y$ ), deci sistemul este omogen. În plus, schimbând între ele $x$ și $y$ , ambele ecuații rămân neschimbate, deci sistemul este și simetric. Rezolvat prin metoda simetrică: $s^{2} - 2 p = 13$ cu $p = 6$ dă $s^{2} = 25$ , deci $s = \pm 5$ ; pentru $s = 5$ obținem $(2, 3)$ și $(3, 2)$ , iar pentru $s = - 5$ obținem $(- 2, - 3)$ și $(- 3, - 2)$ — patru soluții în total, confirmate și pe drumul omogen.
Rezolvând sistemul simetric ${x + y = 8 x y = 15$ , obținem soluțiile:
- a) $(5, 3)$ și $(3, 5)$
- b) $(7, 1)$ și $(1, 7)$
- c) doar perechea $(5, 3)$
- d) sistemul nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(5, 3)$ și $(3, 5)$

Cu $s = 8$ , $p = 15$ : testul de existență $s^{2} - 4 p = 64 - 60 = 4 \geq 0$ ✓. Atunci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $z^{2} - 8 z + 15 = 0$ , cu $Δ = 4$ , deci $z = \frac{8 \pm 2}{2}$ , adică $5$ și $3$ . Soluțiile sistemului sunt perechile ordonate $(5, 3)$ și $(3, 5)$ — ambele, conform simetriei. Verificare: $5 + 3 = 8$ ✓ și $5 \cdot 3 = 15$ ✓.
Pentru un sistem simetric adus la forma $s = x + y = 4$ , $p = x y = 5$ , ce se poate spune despre soluțiile reale?
- a) condiția $s^{2} - 4 p \geq 0$ este îndeplinită, deci există soluții reale
- b) condiția $s^{2} - 4 p \geq 0$ nu este îndeplinită, deci sistemul nu are soluții reale
- c) condiția e îndeplinită doar dacă $p < 0$
- d) nu se poate decide fără a rezolva efectiv sistemul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) condiția $s^{2} - 4 p \geq 0$ nu este îndeplinită, deci sistemul nu are soluții reale

Testul de existență pentru un sistem simetric este $s^{2} - 4 p \geq 0$ . Aici $s^{2} - 4 p = 16 - 20 = - 4 < 0$ : nu există două numere reale cu suma $4$ și produsul $5$ , deci sistemul nu are soluții reale. Aceeași concluzie s-ar obține rezolvând ecuația $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ , care are $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv sistemul care dă suma și produsul a două numere?

Numerele căutate sunt rădăcinile ecuației $z^{2} - S z + P = 0$ , unde $S$ este suma și $P$ produsul. Din $x + y = 8$ și $x y = 15$ obții $z^{2} - 8 z + 15 = 0$ , deci numerele sunt $5$ și $3$ . Soluțiile sistemului sunt perechile scrise în ambele ordini.

Cum aflu două numere știind suma lor și suma pătratelor lor?

Treci suma pătratelor în funcție de sumă și produs, cu relația prin care ea este egală cu pătratul sumei minus dublul produsului. Scoți de acolo produsul, apoi rezolvi ecuația formată din sumă și produs. Pentru sumă $8$ și suma pătratelor $34$ iese produsul $15$ .

De ce trebuie verificate soluțiile după substituție?

Pentru că pe drum pot apărea perechi care nu satisfac ecuația de la care ai plecat, mai ales când ai împărțit cu o expresie sau ai tratat separat un caz. Verificarea în ambele ecuații este singurul control sigur și cere doar câteva înlocuiri.

Cum notez soluțiile unui sistem sub formă de perechi?

Le scrii ordonat, cu abscisa înaintea ordonatei, între paranteze rotunde. La un sistem simetric apar de obicei ambele ordini, deci $(5, 3)$ și $(3, 5)$ sunt soluții diferite. Mulțimea soluțiilor se scrie ca mulțime de perechi, nu ca listă de numere.

Cum apar sistemele cu ecuații de gradul doi în probleme cu arii?

Când cunoști perimetrul și aria unui dreptunghi, obții suma și produsul laturilor. Pentru perimetru $26$ și arie $40$ iei suma $13$ și produsul $40$ , deci laturile sunt rădăcinile lui $z^{2} - 13 z + 40 = 0$ , adică $8$ și $5$ .

Ce fac dacă după substituție ajung la o ecuație bipătratică?

Notezi pătratul necunoscutei cu o literă nouă, cerând ca aceasta să fie nenegativă. Rezolvi ecuația de gradul al doilea obținută, păstrezi doar valorile permise și apoi revii, extrăgând radicalul. Fiecare valoare pozitivă dă două rezultate opuse.

Oamenii mai întreabă și: sisteme de ecuații de gradul 2 · sistem simetric și sistem omogen · cum rezolv un sistem cu x la pătrat · sistem cu o ecuație pătratică