Se știe că perechea $$(3, 7)$$ este soluția unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. Ce înseamnă exact acest lucru?

$$x=3$$ și $$y=7$$ verifică simultan ambele ecuații ale sistemului

Doar prima ecuație este adevărată pentru $$x=3$$, $$y=7$$

$$x=7$$ și $$y=3$$, iar ordinea nu contează

Sistemul are o infinitate de soluții, printre care și $$(3,7)$$

Ce este soluția unui sistem de ecuații?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Soluția unui sistem de ecuații

Este o pereche ordonată de numere care face adevărate deodată amândouă ecuațiile, nu doar pe una dintre ele. Ordinea contează, deci $(2, 5)$ nu înseamnă același lucru cu $(5, 2)$ . Ca să verifici o pereche, o încerci în fiecare dintre cele două egalități, iar o singură nepotrivire o scoate din joc. La $x + y = 20$ și $x - y = 4$ , perechea $(12, 8)$ trece amândouă probele.

Când o problemă are două necunoscute deodată (de exemplu $x$ și $y$ ), o singură ecuație nu e de ajuns — are o infinitate de perechi care o verifică. Avem nevoie de două condiții valabile simultan, adică un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, scris cu acoladă: ${a x + b y = c d x + ey = f$ .

Soluția sistemului este o pereche ordonată $(x, y)$ care face adevărate ambele ecuații în același timp, nu doar una. Ordinea contează: $(2, 5)$ nu e la fel cu $(5, 2)$ .

Exemplu: pentru ${x + y = 20 x - y = 4$ , testăm perechea $(12, 8)$ : $12 + 8 = 20$ ✓ și $12 - 8 = 4$ ✓. Ambele adevărate, deci $(12, 8)$ este soluția.

Ca să verifici o pereche, o înlocuiești pe rând în fiecare ecuație. Dacă pică la măcar una, perechea nu este soluție a sistemului.

De reținut

un sistem cere ca amândouă ecuațiile să fie adevărate deodată
soluția este o pereche ordonată $(x, y)$
verificarea se face în fiecare ecuație în parte

Greșeala tipică

Se verifică perechea într-o singură ecuație și se declară soluție. Trebuie să treacă amândouă probele, fiindcă acolada cere ca ambele condiții să fie adevărate în același timp.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre perechile de mai jos este soluția sistemului ${x + y = 13 x - y = 5$ ?
- a) $(9, 4)$
- b) $(4, 9)$
- c) $(5, 8)$
- d) $(8, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(9, 4)$

Pentru $(9, 4)$ : $9 + 4 = 13$ ✓ și $9 - 4 = 5$ ✓, ambele adevărate. Celelalte perechi pică la cel puțin o ecuație (de exemplu, la $(4, 9)$ : $4 - 9 = - 5 \neq = 5$ ).
Se știe că perechea $(3, 7)$ este soluția unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. Ce înseamnă exact acest lucru?
- a) Doar prima ecuație este adevărată pentru $x = 3$ , $y = 7$
- b) $x = 3$ și $y = 7$ verifică simultan ambele ecuații ale sistemului
- c) $x = 7$ și $y = 3$ , iar ordinea nu contează
- d) Sistemul are o infinitate de soluții, printre care și $(3, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 3$ și $y = 7$ verifică simultan ambele ecuații ale sistemului

Soluția unui sistem este o pereche ordonată care face adevărate ambele ecuații în același timp: primul număr este $x$ , al doilea este $y$ , și trebuie verificate amândouă ecuațiile, nu doar una.
Care dintre perechile de mai jos este soluția sistemului ${x + y = 17 x - y = 3$ ?
- a) $(10, 7)$
- b) $(7, 10)$
- c) $(3, 14)$
- d) $(14, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(10, 7)$

Pentru $(10, 7)$ : $10 + 7 = 17$ ✓ și $10 - 7 = 3$ ✓, ambele adevărate. Celelalte perechi verifică doar prima ecuație (suma dă $17$ ), dar pică la a doua (de exemplu, la $(7, 10)$ : $7 - 10 = - 3 \neq = 3$ ).

Întrebări conexe

De ce nu ajunge o singură ecuație cu două necunoscute?

Fiindcă o singură egalitate de acest fel e îndeplinită de nesfârșit de multe perechi. La $x + y = 10$ merg $(1, 9)$ , $(2, 8)$ , $(4, 5; 5, 5)$ și oricâte altele. A doua condiție taie din această mulțime și lasă, de obicei, o singură pereche potrivită pentru amândouă.

Ce înseamnă acolada din fața celor două ecuații?

Arată că cele două cerințe trebuie îndeplinite deodată, nu pe rând sau la alegere. Fără ea, ai avea două probleme separate. Acolada e semnul care leagă condițiile într-una singură și de aceea se pune întotdeauna când scrii un sistem.

Cum arată pe grafic un sistem cu o singură soluție?

Fiecare ecuație desenează o dreaptă, iar soluția este punctul în care se taie. Când dreptele se intersectează într-un singur loc, sistemul are exact o pereche potrivită. Paralele fără punct comun înseamnă că nu există soluție, iar suprapunerea înseamnă o infinitate.

Ce numim coeficienți și ce numim termeni liberi?

Coeficienții sunt numerele scrise în fața necunoscutelor, iar termenii liberi sunt cei fără literă, de obicei în dreapta semnului egal. La $3 x - 2 y = 7$ , coeficienții sunt $3$ și $- 2$ , iar termenul liber este $7$ . Semnul minus face parte din coeficient.

Poate un sistem să aibă soluții cu numere negative?

Poate, și adesea chiar are. Din $x + y = 2$ și $x - y = 8$ obții $x = 5$ și $y = - 3$ . Într-o problemă concretă însă, o valoare negativă la un preț sau la un număr de obiecte arată că enunțul a fost tradus greșit în ecuații.

Cum recunosc un sistem liniar de unul care nu e liniar?

Te uiți la puterile necunoscutelor: într-un sistem liniar, fiecare literă apare doar la puterea întâi și nu se înmulțește cu alta. Formele $x^{2}$ , $x y$ sau $\frac{1}{x}$ scot ecuația din această categorie. Sistemele liniare sunt singurele studiate la acest nivel.

Oamenii mai întreabă și: soluția unui sistem de ecuații · ce este un sistem de două ecuații · pereche ordonată ca soluție · cum verific o pereche într-un sistem · sisteme cu două necunoscute