Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Soluția unui sistem

Imaginează-ți că intri într-un magazin de tehnologie și afli că un mouse plus o tastatură costă 150 de lei, iar o tastatură costă cu 30 de lei mai mult decât mouse-ul. Cât costă fiecare produs? Aici nu ai o singură necunoscută, ci două deodată: prețul mouse-ului și prețul tastaturii. O singură ecuație nu îți ajunge pentru a le afla pe amândouă — ai nevoie de două condiții care să fie adevărate în același timp. Exact aici intră în scenă sistemele de două ecuații liniare cu două necunoscute, una dintre cele mai utile unelte din matematica de clasa a VII-a. În această lecție vei înțelege ce este un astfel de sistem, ce înseamnă soluția unui sistem ca pereche ordonată și cum verifici corect dacă o pereche de numere chiar este soluție.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute și să scrii forma lui generală.
• Vei ști să identifici necunoscutele, coeficienții și termenii liberi dintr-un sistem.
• Vei ști să explici ce înseamnă soluția unui sistem ca pereche ordonată $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații.
• Vei ști să verifici prin înlocuire dacă o pereche de numere este soluție a unui sistem dat.
• Vei ști să reprezinți informal soluția printr-un tabel de valori și prin puncte în reperul cartezian.

Hai să descoperim împreună

1. De la o ecuație la două ecuații

Îți amintești de la lecția Ecuații: necunoscută, soluție și verificare că o ecuație precum $2x+3=11$ are o singură necunoscută, $x$, iar soluția ei este un singur număr (aici $x=4$).

Dar ce facem când într-o problemă apar două cantități necunoscute în același timp? De exemplu: „Suma a două numere este $20$, iar diferența lor este $4$." Aici avem două numere de aflat. Le notăm cu litere diferite, de obicei $x$ și $y$:

$$x+y=20\text{(suma lor)}$$ $$x-y=4\text{(diferența lor)}$$

Fiecare dintre aceste rânduri este o ecuație liniară cu două necunoscute. „Liniară" înseamnă că necunoscutele $x$ și $y$ apar doar la puterea întâi — nu avem $x^2$, nu avem $\sqrt{y}$, nu avem $x\cdot y$, ci doar $x$ și $y$ simpli, înmulțiți cel mult cu numere.

Când cerem ca ambele ecuații să fie adevărate în același timp, spunem că am format un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. Îl scriem cu o acoladă în față, care înseamnă „și", adică „amândouă simultan":

$$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ x-y=4\end{array}$$

Acolada este semnul distinctiv al unui sistem. Ea ne spune un lucru foarte important: nu căutăm numere care să verifice una sau cealaltă ecuație, ci numere care le verifică pe amândouă deodată.

2. Ce este o ecuație liniară cu două necunoscute

Înainte de sistem, să privim cu atenție o singură ecuație de tipul acesta. Forma generală a unei ecuații liniare cu două necunoscute este:

$$ax+by=c$$

unde:

• $x$ și $y$ sunt necunoscutele (numerele pe care vrem să le aflăm);
• $a$ este coeficientul lui $x$ (numărul care înmulțește $x$);
• $b$ este coeficientul lui $y$ (numărul care înmulțește $y$);
• $c$ este termenul liber (numărul singur, fără necunoscută).

De exemplu, în ecuația $3x+2y=12$ avem $a=3$, $b=2$ și $c=12$.

O astfel de ecuație are, de regulă, o infinitate de perechi de numere care o verifică. Să vedem: pentru $3x+2y=12$, dacă alegem $x=0$, obținem $2y=12$, deci $y=6$. Dacă alegem $x=2$, obținem $6+2y=12$, deci $2y=6$ și $y=3$. Dacă alegem $x=4$, obținem $12+2y=12$, deci $y=0$. Iată câteva perechi care o verifică, într-un tabel de valori:

Fiecare coloană din tabel este o pereche $(x,y)$ care face egalitatea adevărată: $(0,6)$, $(2,3)$, $(4,0)$. Sunt infinit de multe astfel de perechi. De aceea o singură ecuație nu are o soluție unică — are prea multe.

Dacă reprezinți aceste puncte în reperul cartezian (vei studia amănunțit reperul în lecția Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct), observi că ele stau toate pe o linie dreaptă. Tocmai de aici vine cuvântul „liniară".

3. Ce este un sistem și de ce avem nevoie de două ecuații

O singură ecuație ne dă prea multă libertate: infinit de multe perechi. Ca să „prindem" o singură pereche, adăugăm a doua condiție. Cele două ecuații împreună formează sistemul, iar forma generală a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este:

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$$

Aici:

• $x$ și $y$ sunt aceleași necunoscute în ambele ecuații;
• $a$, $b$ sunt coeficienții necunoscutelor din prima ecuație, iar $c$ este termenul ei liber;
• $d$, $e$ sunt coeficienții necunoscutelor din a doua ecuație, iar $f$ este termenul ei liber.

Foarte important: același $x$ înseamnă același număr în ambele ecuații, și la fel pentru $y$. Nu avem voie să dăm lui $x$ o valoare în prima ecuație și altă valoare în a doua. Litera $x$ „reține" același număr peste tot în sistem.

Să identificăm coeficienții într-un exemplu concret:

$$\{\begin{array}{l}5x-2y=8\\ 3x+4y=10\end{array}$$

• În prima ecuație: coeficientul lui $x$ este $5$, coeficientul lui $y$ este $-2$ (atenție la semnul minus!), iar termenul liber este $8$.
• În a doua ecuație: coeficientul lui $x$ este $3$, coeficientul lui $y$ este $4$, iar termenul liber este $10$.

Observă că semnul din fața unei necunoscute face parte din coeficient. La $-2y$, coeficientul nu este $2$, ci $-2$.

4. Ce este soluția unui sistem

Aici ajungem la ideea centrală a lecției.

Definiție. Soluția unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este o pereche ordonată de numere $(x,y)$ care verifică simultan (în același timp) ambele ecuații ale sistemului.

Sunt trei cuvinte de subliniat în această definiție:

1. Pereche — soluția nu este un singur număr, ci două numere: o valoare pentru $x$ și o valoare pentru $y$.
2. Ordonată — ordinea contează. Scriem întotdeauna întâi valoarea lui $x$, apoi valoarea lui $y$: $(x,y)$. Perechea $(2,5)$ înseamnă $x=2$ și $y=5$; perechea $(5,2)$ înseamnă $x=5$ și $y=2$. Sunt perechi diferite, exact ca la coordonatele unui punct în reper.
3. Simultan / ambele — nu e de ajuns să verifice o singură ecuație. O pereche este soluție doar dacă face adevărate amândouă egalitățile.

Să revenim la primul exemplu:

$$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ x-y=4\end{array}$$

Perechea $(12,8)$ este soluție? Verificăm în fiecare ecuație, înlocuind $x=12$ și $y=8$:

• Prima ecuație: $12+8=20$. Adevărat. ✓
• A doua ecuație: $12-8=4$. Adevărat. ✓

Ambele egalități sunt adevărate, deci $(12,8)$ este soluția sistemului. Scriem $x=12$, $y=8$.

5. De ce contează „simultan": un avertisment

Să vedem de ce cuvântul „simultan" e atât de important. Luăm din nou sistemul de mai sus și testăm perechea $(20,0)$:

• Prima ecuație: $20+0=20$. Adevărat. ✓
• A doua ecuație: $20-0=20\ne 4$. Fals. ✗

Perechea $(20,0)$ verifică prima ecuație, dar nu și pe a doua. Prin urmare nu este soluție a sistemului. Nu ne interesează perechile care fac adevărată doar o parte din condiții; ne interesează doar cele care le fac adevărate pe toate.

Poți să te gândești așa: sistemul este ca o ușă cu două lacăte. Ai nevoie de o cheie care deschide ambele lacăte în același timp. O cheie care deschide doar un lacăt nu îți folosește la nimic — ușa rămâne închisă.

6. Cum verificăm o pereche pas cu pas

Verificarea unei soluții este o deprindere de bază, cerută direct de competența 2.2 din programă. Reținem o rutină în trei pași:

Pasul 1. Scrii clar perechea propusă și identifici ce este $x$ și ce este $y$. De exemplu, pentru $(3,-1)$ ai $x=3$ și $y=-1$.

Pasul 2. Înlocuiești aceste valori în prima ecuație și calculezi separat membrul stâng. Compari cu membrul drept. Dacă sunt egale, prima ecuație e verificată.

Pasul 3. Înlocuiești aceleași valori în a doua ecuație și repeți calculul. Dacă și aici membrul stâng este egal cu cel drept, atunci — și numai atunci — perechea este soluție a sistemului.

Regula de aur: perechea este soluție dacă și numai dacă trece de ambii pași de verificare (Pasul 2 și Pasul 3). Dacă pică la măcar unul, nu este soluție.

Să aplicăm rutina pe sistemul:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-3y=-8\end{array}$$

Testăm perechea $(1,3)$, deci $x=1$, $y=3$:

• Prima ecuație: $2\cdot 1+3=2+3=5$. Egal cu $5$. ✓
• A doua ecuație: $1-3\cdot 3=1-9=-8$. Egal cu $-8$. ✓

Ambele sunt adevărate, deci $(1,3)$ este soluția sistemului.

Atenție la calculul cu numere negative! La $x-3y$ cu $y=3$ avem $1-3\cdot 3=1-9=-8$, nu $1-9=8$. Regulile de calcul cu numere reale, învățate în lecția Adunarea și scăderea numerelor reale, sunt esențiale aici.

7. Soluția, văzută cu tabelul de valori

Există un mod intuitiv de a înțelege de ce soluția sistemului este o singură pereche potrivită. Facem un tabel de valori pentru fiecare ecuație și căutăm perechea care apare în amândouă.

Fie sistemul:

$$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ y=2x+1\end{array}$$

Pentru prima ecuație, $x+y=7$, adică $y=7-x$:

Pentru a doua ecuație, $y=2x+1$:

Căutăm o coloană în care $y$ este același în ambele tabele, pentru același $x$. Pentru $x=2$: în primul tabel $y=5$, în al doilea tabel $y=5$. Coincid! Deci perechea $(2,5)$ verifică ambele ecuații — este soluția sistemului.

Verificăm rapid: $2+5=7$ ✓ și $5=2\cdot 2+1=5$ ✓. Perfect.

Dacă reprezinți în reper toate perechile din fiecare tabel, obții două drepte. Perechea care apare în ambele tabele corespunde punctului în care cele două drepte se intersectează. Aceasta este imaginea geometrică a soluției: intersecția celor două drepte. Reține ideea aceasta — o vei folosi mult mai târziu, iar pentru moment îți dă o poză mentală clară despre ce înseamnă „soluția unui sistem".

8. Cum aflăm efectiv soluția (o privire înainte)

Poate te întrebi: „Bine, dar cum găsesc soluția fără să încerc la nesfârșit perechi în tabel?" Există metode rapide și sigure — metoda substituției și metoda reducerii — pe care le vei studia în lecțiile următoare, Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției și Rezolvarea sistemelor prin metoda reducerii.

În lecția de astăzi ne oprim la lucrurile fundamentale: ce este un sistem, ce este soluția lui și cum verificăm o pereche dată. Aceste noțiuni sunt temelia pe care se sprijină toate metodele de rezolvare. Un elev care înțelege bine ce înseamnă soluția va înțelege apoi cu ușurință de ce funcționează metodele — și, mai ales, va ști mereu să-și verifice rezultatul la final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea coeficienților și a termenilor liberi

Fie sistemul:

$$\{\begin{array}{l}4x-7y=3\\ -2x+5y=9\end{array}$$

Identifică necunoscutele, coeficienții și termenii liberi.

Rezolvare. Necunoscutele sunt $x$ și $y$.

• Prima ecuație, $4x-7y=3$: coeficientul lui $x$ este $4$; coeficientul lui $y$ este $-7$ (cu semnul minus!); termenul liber este $3$.
• A doua ecuație, $-2x+5y=9$: coeficientul lui $x$ este $-2$; coeficientul lui $y$ este $5$; termenul liber este $9$.

Exemplul 2 — Verificarea unei perechi (soluție corectă)

Verifică dacă perechea $(2,1)$ este soluție a sistemului:

$$\{\begin{array}{l}3x+4y=10\\ 5x-2y=8\end{array}$$

Rezolvare. Avem $x=2$ și $y=1$.

• Prima ecuație: $3\cdot 2+4\cdot 1=6+4=10$. Egal cu $10$. ✓
• A doua ecuație: $5\cdot 2-2\cdot 1=10-2=8$. Egal cu $8$. ✓

Ambele egalități sunt adevărate, deci $(2,1)$ este soluția sistemului.

Exemplul 3 — Verificarea unei perechi (nu este soluție)

Verifică dacă perechea $(4,0)$ este soluție a sistemului:

$$\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 3x-y=5\end{array}$$

Rezolvare. Avem $x=4$ și $y=0$.

• Prima ecuație: $4+2\cdot 0=4+0=4$. Egal cu $4$. ✓
• A doua ecuație: $3\cdot 4-0=12-0=12$. Dar termenul din dreapta este $5$, iar $12\ne 5$. ✗

Prima ecuație este verificată, dar a doua nu. Cum condiția „simultan" nu este îndeplinită, perechea $(4,0)$ nu este soluție a sistemului. Acesta este un exemplu clar că verificarea unei singure ecuații nu este suficientă.

Exemplul 4 — Verificare cu numere negative

Verifică dacă perechea $(-3,2)$ este soluție a sistemului:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=0\\ x-y=-5\end{array}$$

Rezolvare. Avem $x=-3$ și $y=2$. Lucrăm cu atenție la semne.

• Prima ecuație: $2\cdot (-3)+3\cdot 2=-6+6=0$. Egal cu $0$. ✓
• A doua ecuație: $(-3)-2=-5$. Egal cu $-5$. ✓

Ambele sunt adevărate, deci $(-3,2)$ este soluția sistemului. Observă cât de important a fost să respectăm regula semnelor: $2\cdot (-3)=-6$ și $-3-2=-5$.

Exemplul 5 — Găsirea soluției cu tabelul de valori

Folosind un tabel de valori, află soluția sistemului:

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-x+6\end{array}$$

Rezolvare. Facem câte un tabel pentru fiecare ecuație.

Pentru $y=x+2$:

Pentru $y=-x+6$:

Căutăm valoarea lui $x$ pentru care $y$ coincide în ambele tabele. La $x=2$: primul tabel dă $y=4$, al doilea tabel dă $y=4$. Coincid, deci soluția este $(2,4)$.

Verificare: $4=2+2=4$ ✓ și $4=-2+6=4$ ✓. Corect.

Exemplul 6 — Cât costă fiecare produs (problema din introducere)

Un mouse și o tastatură costă împreună $150$ de lei, iar tastatura costă cu $30$ de lei mai mult decât mouse-ul. Scrie sistemul care modelează situația și verifică dacă mouse-ul costă $60$ de lei, iar tastatura $90$ de lei.

Rezolvare. Notăm cu $x$ prețul mouse-ului și cu $y$ prețul tastaturii (în lei). Condițiile date se traduc în:

• „împreună $150$ de lei": $x+y=150$;
• „tastatura cu $30$ mai mult decât mouse-ul": $y=x+30$.

Sistemul este:

$$\{\begin{array}{l}x+y=150\\ y=x+30\end{array}$$

Verificăm perechea $(60,90)$, adică $x=60$, $y=90$:

• Prima ecuație: $60+90=150$. ✓
• A doua ecuație: $90=60+30=90$. ✓

Ambele sunt adevărate, deci mouse-ul costă $60$ de lei, iar tastatura $90$ de lei. Iată cum un sistem transformă o problemă de zi cu zi într-un calcul precis.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Precizează dacă ecuația $3x-5y=7$ este liniară cu două necunoscute. Identifică coeficienții lui $x$ și $y$ și termenul liber.

2. Pentru sistemul $\{\begin{array}{l}6x+y=4\\ x-8y=2\end{array}$ scrie coeficienții lui $x$ și $y$ din fiecare ecuație și termenii liberi.

3. Completează tabelul de valori pentru ecuația $x+y=9$:

4. Verifică dacă perechea $(3,2)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}$.

5. Verifică dacă perechea $(5,0)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}2x+y=10\\ x+3y=5\end{array}$.

6. Verifică dacă perechea $(1,4)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}3x+2y=11\\ 5x-y=2\end{array}$.

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Perechea $(0,0)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}4x-3y=0\\ 2x+7y=1\end{array}$."

8. Verifică dacă perechea $(-2,3)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x-y=-7\end{array}$.

9. Ordinea contează: arată prin verificare că perechea $(4,1)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+2y=6\end{array}$, dar perechea $(1,4)$ nu este.

10. Folosind câte un tabel de valori, află soluția sistemului $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+5\end{array}$.

11. Găsește, prin încercări în tabel, soluția sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ y=2x\end{array}$.

12. Un număr $y$ este mai mare cu $4$ decât un număr $x$, iar suma lor este $16$. Scrie sistemul potrivit și verifică dacă perechea $(6,10)$ este soluția lui.

13. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă o pereche verifică prima ecuație a unui sistem, atunci ea este soluția sistemului."

14. Se dă sistemul $\{\begin{array}{l}3x+y=7\\ x-2y=-7\end{array}$. Dintre perechile $(1,4)$, $(2,1)$ și $(3,-2)$, care este soluția sistemului? Verifică fiecare.

15. Determină numărul real $m$ astfel încât perechea $(2,1)$ să fie soluție a ecuației $mx+3y=7$.

16. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât perechea $(1,2)$ să fie soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}ax+y=5\\ x+by=7\end{array}$.

17. La un meci amical, echipa a marcat în total $5$ goluri în cele două reprize. În repriza a doua a marcat cu un gol mai mult decât în prima. Notează cu $x$ golurile din prima repriză și cu $y$ pe cele din a doua, scrie sistemul și verifică dacă $(2,3)$ este soluția.

18. Provocare. Se dă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 2x+2y=20\end{array}$. Verifică dacă perechile $(4,6)$ și $(7,3)$ sunt amândouă soluții. Ce observi? Poți explica de ce se întâmplă asta?

Răspunsuri și explicații

1. Da, este liniară cu două necunoscute (ambele apar la puterea întâi). Coeficientul lui $x$ este $3$, coeficientul lui $y$ este $-5$, termenul liber este $7$.

2. Prima ecuație $6x+y=4$: coeficientul lui $x$ este $6$, al lui $y$ este $1$, termen liber $4$. A doua ecuație $x-8y=2$: coeficientul lui $x$ este $1$, al lui $y$ este $-8$, termen liber $2$.

3. Din $y=9-x$: pentru $x=0\Rightarrow y=9$; $x=2\Rightarrow y=7$; $x=5\Rightarrow y=4$; $x=9\Rightarrow y=0$.

4. $x=3$, $y=2$. Prima: $3+2=5$ ✓. A doua: $3-2=1$ ✓. Ambele adevărate, deci $(3,2)$ este soluție.

5. $x=5$, $y=0$. Prima: $2\cdot 5+0=10$ ✓. A doua: $5+3\cdot 0=5$, egal cu $5$ ✓. Ambele adevărate, deci $(5,0)$ este soluție.

6. $x=1$, $y=4$. Prima: $3\cdot 1+2\cdot 4=3+8=11$ ✓. A doua: $5\cdot 1-4=5-4=1$, dar dreapta este $2$, iar $1\ne 2$ ✗. A doua ecuație nu se verifică, deci $(1,4)$ nu este soluție.

7. Fals. $x=0$, $y=0$. Prima: $4\cdot 0-3\cdot 0=0$ ✓. A doua: $2\cdot 0+7\cdot 0=0$, dar dreapta este $1$, iar $0\ne 1$ ✗. Verifică doar prima ecuație, deci nu este soluție a sistemului.

8. $x=-2$, $y=3$. Prima: $-2+3=1$ ✓. A doua: $2\cdot (-2)-3=-4-3=-7$ ✓. Ambele adevărate, deci $(-2,3)$ este soluție.

9. Pentru $(4,1)$: prima $4-1=3$ ✓; a doua $4+2\cdot 1=4+2=6$ ✓. Deci $(4,1)$ este soluție. Pentru $(1,4)$: prima $1-4=-3\ne 3$ ✗. Cade la prima ecuație, deci $(1,4)$ nu este soluție. Concluzie: ordinea din pereche contează — $(4,1)$ și $(1,4)$ nu sunt același lucru.

10. Tabel pentru $y=x-1$: $x=0\to y=-1$; $x=1\to y=0$; $x=2\to y=1$; $x=3\to y=2$. Tabel pentru $y=-x+5$: $x=0\to y=5$; $x=1\to y=4$; $x=2\to y=3$; $x=3\to y=2$. La $x=3$, ambele dau $y=2$. Soluția este $(3,2)$. Verificare: $2=3-1$ ✓ și $2=-3+5$ ✓.

11. Din $y=2x$ și $x+y=6$ rezultă că $x+2x=6$, deci trebuie $3x=6$. Prin încercări: $x=2\to y=4$, iar $2+4=6$ ✓. Soluția este $(2,4)$.

12. Notăm $x$ și $y$. Condiții: $y=x+4$ și $x+y=16$. Sistemul: $\{\begin{array}{l}x+y=16\\ y=x+4\end{array}$. Verificăm $(6,10)$: $6+10=16$ ✓ și $10=6+4=10$ ✓. Deci $(6,10)$ este soluția.

13. Fals. O pereche este soluție doar dacă verifică ambele ecuații simultan. Verificarea doar a primei ecuații nu garantează nimic despre a doua (vezi exercițiul 7, unde $(0,0)$ verifică prima, dar nu a doua).

14. Prima ecuație $3x+y=7$; a doua $x-2y=-7$.

• $(1,4)$: $3\cdot 1+4=7$ ✓; $1-2\cdot 4=1-8=-7$ ✓. Este soluție.
• $(2,1)$: $3\cdot 2+1=7$ ✓; $2-2\cdot 1=0\ne -7$ ✗. Nu este.
• $(3,-2)$: $3\cdot 3+(-2)=9-2=7$ ✓; $3-2\cdot (-2)=3+4=7\ne -7$ ✗. Nu este. Soluția sistemului este $(1,4)$.

15. Înlocuim $x=2$, $y=1$ în $mx+3y=7$: $m\cdot 2+3\cdot 1=7$, deci $2m+3=7$, de unde $2m=4$ și $m=2$.

16. Înlocuim $x=1$, $y=2$. Prima ecuație: $a\cdot 1+2=5\Rightarrow a=3$. A doua ecuație: $1+b\cdot 2=7\Rightarrow 2b=6\Rightarrow b=3$. Deci $a=3$ și $b=3$.

17. Sistemul: $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ y=x+1\end{array}$. Verificăm $(2,3)$: $2+3=5$ ✓ și $3=2+1=3$ ✓. Deci $(2,3)$ este soluția: $2$ goluri în prima repriză și $3$ în a doua.

18. $(4,6)$: $4+6=10$ ✓ și $2\cdot 4+2\cdot 6=8+12=20$ ✓. Este soluție. $(7,3)$: $7+3=10$ ✓ și $2\cdot 7+2\cdot 3=14+6=20$ ✓. Este și ea soluție. Observație: ambele perechi sunt soluții! Motivul este că a doua ecuație, $2x+2y=20$, se obține înmulțind prima ecuație cu $2$ — cele două ecuații spun exact același lucru. De aceea sistemul are o infinitate de soluții (orice pereche cu $x+y=10$). Este un caz special pe care îl vei studia amănunțit în lecția Compararea metodelor. Sisteme cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții.

De reținut

• Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma generală $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$, unde $x$, $y$ sunt necunoscutele, $a,b,d,e$ sunt coeficienții, iar $c,f$ sunt termenii liberi. Acolada înseamnă „ambele ecuații în același timp".
• Soluția unui sistem este o pereche ordonată $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Ordinea contează: întâi $x$, apoi $y$.
• Verifici o pereche înlocuind valorile în fiecare ecuație și calculând separat. Perechea este soluție dacă și numai dacă trece de ambele verificări.
• Geometric, fiecare ecuație corespunde unei drepte, iar soluția sistemului este punctul de intersecție al celor două drepte.
• Semnul din fața unei necunoscute face parte din coeficient: în $-7y$, coeficientul este $-7$, nu $7$.

Greșeli frecvente

• Verifici doar o ecuație. Mulți elevi înlocuiesc perechea în prima ecuație, văd că iese și declară „e soluție". Greșit! O pereche este soluție doar dacă verifică amândouă ecuațiile. Verifică mereu și a doua.
• Confunzi ordinea din pereche. Perechea $(3,5)$ înseamnă $x=3$, $y=5$, nu invers. Dacă înlocuiești $x$ cu $5$ și $y$ cu $3$, obții un rezultat greșit. Fii atent care număr este $x$ și care este $y$.
• Uiți semnul coeficientului. La $5x-2y=8$, coeficientul lui $y$ este $-2$. Când verifici cu $y=3$, calculezi $-2\cdot 3=-6$, nu $+6$. Greșelile de semn strică toată verificarea.
• Crezi că o singură ecuație are soluție unică. O ecuație liniară cu două necunoscute are, de regulă, o infinitate de perechi-soluție. Abia a doua ecuație (a doua condiție) restrânge alegerea la o singură pereche potrivită.

Aplică acasă

• Bonul de cumpărături. Data viitoare când mergi la magazin cu un părinte, alege două produse (de exemplu un suc și o pâine). Notează prețul total și diferența dintre cele două prețuri, apoi scrie acasă sistemul de două ecuații corespunzător și verifică, prin înlocuire, dacă prețurile de pe bon sunt soluția lui.
• Jocul „ghicește perechea". Cere unui coleg sau părinte să se gândească la două numere și să-ți spună doar suma și diferența lor. Scrie sistemul, apoi propune o pereche și verifică dacă e soluția. Repetați rolurile — cine verifică mai rapid și corect câștigă.
• Scorul pe reprize. Alege un meci de fotbal sau baschet la care ai fost sau pe care l-ai văzut. Notează scorul total și diferența dintre cele două reprize/sferturi, scrie sistemul și verifică prin înlocuire scorul real. Vei vedea cum matematica descrie exact realitatea.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul face un salt important: trece de la o singură necunoscută la două deodată. Cel mai bun sprijin este să insistați pe înțelegerea noțiunii de soluție, nu pe rezolvarea rapidă (metodele de rezolvare vin în lecțiile următoare).

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce înseamnă că o pereche $(x,y)$ este soluția unui sistem?" (Răspuns așteptat: verifică ambele ecuații în același timp.)
• „De ce nu e de ajuns să verificăm o singură ecuație?"
• „Ce este $x$ și ce este $y$ în perechea $(4,7)$?" (Verifică dacă respectă ordinea.)
• „Ce reprezintă geometric soluția unui sistem?" (Punctul de intersecție al celor două drepte.)

Veți vedea că elevul a înțeles atunci când, primind o pereche și un sistem, verifică spontan amândouă ecuațiile, calculează corect cu numere negative și trage concluzia corectă („este / nu este soluție"). Dacă verifică doar o ecuație sau confundă ordinea din pereche, reluați împreună rutina în trei pași din secțiunea „Cum verificăm o pereche pas cu pas".

Întrebări frecvente

Ce este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute? Este o pereche de ecuații liniare, scrise cu o acoladă, în care apar aceleași două necunoscute $x$ și $y$, iar cerința este ca ambele ecuații să fie adevărate în același timp. Forma generală este $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$.

Ce este soluția unui sistem la clasa a 7-a? Soluția unui sistem este o pereche ordonată de numere $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Nu este un singur număr, ci două valori care merg împreună: una pentru $x$ și una pentru $y$.

Cum verific dacă o pereche este soluția unui sistem? Înlocuiești valorile lui $x$ și $y$ în fiecare ecuație și calculezi. Dacă ambele egalități ies adevărate, perechea este soluție; dacă măcar una nu iese, perechea nu este soluție.

De ce contează ordinea în perechea $(x,y)$? Pentru că primul număr este mereu valoarea lui $x$, iar al doilea este valoarea lui $y$. Perechea $(2,5)$ înseamnă $x=2$, $y=5$, în timp ce $(5,2)$ înseamnă $x=5$, $y=2$ — sunt lucruri diferite, exact ca la coordonatele unui punct în reper.

Poate un sistem să nu aibă soluție sau să aibă mai multe? Da. Cele mai multe sisteme au o singură soluție, dar unele nu au niciuna (ecuațiile se contrazic), iar altele au o infinitate (ecuațiile spun același lucru). Aceste cazuri se studiază în lecția despre tipurile de soluții ale unui sistem.

Care este diferența dintre o ecuație cu două necunoscute și un sistem? O singură ecuație liniară cu două necunoscute are, de obicei, o infinitate de perechi-soluție. Un sistem adaugă o a doua condiție care, de regulă, restrânge totul la o singură pereche potrivită.

Ce înseamnă geometric soluția unui sistem? Fiecare ecuație a sistemului corespunde unei drepte în reperul cartezian. Soluția sistemului este punctul în care cele două drepte se intersectează, adică perechea de coordonate comună ambelor drepte.

Cum aflu soluția fără să încerc perechi la nesfârșit? Există metode sigure: metoda substituției și metoda reducerii, pe care le vei învăța în lecțiile următoare. În lecția de față ai învățat ce este soluția și cum să o verifici — baza pe care se sprijină aceste metode.