Care e formula sumei unei progresii aritmetice?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Suma primilor n termeni

Aduni primul termen cu ultimul, înmulțești cu numărul de termeni și împarți la doi: $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$ . Dacă ultimul termen nu este dat, îl calculezi întâi sau folosești varianta $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) \cdot n}{2}$ . Pentru $3$ , $7$ , $11$ și mai departe, cu $n = 20$ , ultimul termen este $79$ , deci suma este $\frac{82 \cdot 20}{2} = 820$ .

Se spune că micul Gauss a fost pus să adune numerele de la $1$ la $100$ și a terminat în câteva secunde. Ideea lui: scrie suma și normal, și de la coadă, apoi adună pe verticală. Fiecare pereche dă $101$ , iar perechile sunt $100$ — deci dublul sumei este $10100$ , iar suma este $5050$ .

Din același truc iese formula generală: $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$ . În cuvinte: media capetelor, înmulțită cu câți termeni sunt.

Dacă nu cunoști ultimul termen, îl calculezi întâi cu $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ sau folosești direct varianta $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) \cdot n}{2}$ .

Un exemplu complet: pentru $3, 7, 11, \dots$ primii $20$ de termeni. Întâi $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$ , apoi $S_{20} = \frac{( 3 + 79 ) \cdot 20}{2} = 82 \cdot 10 = 820$ .

Capcana numărul unu este confuzia dintre ultimul termen și câți termeni sunt. În șirul de la $3$ la $79$ cu pasul $4$ sunt $20$ de termeni, nu $79$ ; iar dacă uiți să împarți la $2$ , rezultatul iese exact dublu.

De reținut

$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$
$S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) \cdot n}{2}$
de la rangul $p$ la rangul $q$ sunt $q - p + 1$ termeni

Greșeala tipică

Numărul de termeni este confundat cu ultimul termen, așa că în locul lui $20$ intră $79$ în formulă. Numără termenii separat, cu formula termenului general, înainte de a calcula suma.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este suma primilor $10$ termeni ai progresiei aritmetice $2, 5, 8, \dots$ ?
- a) $145$
- b) $155$
- c) $165$
- d) $290$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $155$

Rația este $3$ , deci $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$ . Suma: $S_{10} = \frac{( 2 + 29 ) \cdot 10}{2} = 31 \cdot 5 = 155$ . Rezultatul $290$ apare când se uită împărțirea la $2$ .
Cât este suma $1 + 2 + 3 + \dots + 60$ ?
- a) $1770$
- b) $1800$
- c) $1830$
- d) $3660$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1830$

$S_{60} = \frac{( 1 + 60 ) \cdot 60}{2} = 61 \cdot 30 = 1830$ . Rezultatul $1770$ este suma până la $59$ , iar $3660$ este suma nedivizată la $2$ .
Într-o progresie aritmetică, $a_{1} = 4$ și $a_{12} = 48$ . Cât este suma primilor $12$ termeni?
- a) $260$
- b) $288$
- c) $312$
- d) $624$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $312$

Nu avem nevoie de rație: $S_{12} = \frac{( 4 + 48 ) \cdot 12}{2} = 52 \cdot 6 = 312$ . Din nou, $624$ este rezultatul fără împărțirea la $2$ .

Întrebări conexe

Câți termeni are șirul de la 3 la 79 cu pasul 4?

Din $79 = 3 + (n - 1) \cdot 4$ rezultă $(n - 1) \cdot 4 = 76$ , deci $n = 20$ . Numărul de termeni trebuie aflat prin calcul, nu estimat din ochi: aici sunt $19$ pași și $20$ de termeni. Abia după aceea se poate intra cu $n$ în formula sumei.

De ce suma este o expresie de gradul al doilea în rang?

Pentru că formula conține produsul dintre $n$ și o expresie de gradul întâi tot în $n$ . Desfăcând parantezele, apare un termen cu $n^{2}$ . De aceea întrebările de tipul „câți termeni dau suma…” duc la ecuații de gradul al doilea.

Cum verific dacă suma calculată are ordinul de mărime bun?

Înmulțești numărul de termeni cu valoarea de la mijlocul șirului și compari. Pentru $20$ de termeni între $3$ și $79$ , mijlocul este cam $41$ , iar $20 \cdot 41 = 820$ se potrivește. Un rezultat de două ori mai mare arată că a fost uitată împărțirea la doi.

Care este suma primilor n multipli de 3?

Șirul $3$ , $6$ , $9$ și mai departe are $a_{1} = 3$ și $a_{n} = 3 n$ , deci suma este $\frac{( 3 + 3 n ) n}{2} = \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$ . Pentru $n = 10$ ies $165$ . Se vede că rezultatul este de trei ori suma primelor $n$ numere naturale nenule.

Ce se întâmplă cu suma dacă șirul are un număr impar de termeni?

Suma devine numărul de termeni înmulțit cu valoarea din mijloc, fiindcă acel termen este chiar media capetelor. La $5$ , $8$ , $11$ , $14$ , $17$ mijlocul este $11$ , deci suma face $5 \cdot 11 = 55$ . Este o scurtătură utilă la calculul mintal.

Cum folosesc formula la o problemă cu rânduri de scaune?

Numărul de locuri de pe fiecare rând formează o progresie, iar totalul din sală este suma ei. Dacă primul rând are $18$ locuri, fiecare rând următor cu $2$ mai multe, iar rândurile sunt $15$ , ultimul are $46$ , deci în total sunt $\frac{( 18 + 46 ) \cdot 15}{2} = 480$ de locuri.

Oamenii mai întreabă și: formula sumei progresiei aritmetice · suma primilor n termeni · cât face 1 plus 2 plus până la 100 · suma unui șir aritmetic · formula lui Gauss pentru sume