Câte tangente duc la un cerc dintr-un punct?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Tangente dintr-un punct exterior

Dintr-un punct din afara cercului pornesc exact două, iar segmentele până la punctele de atingere au aceeași lungime. Raza dusă în punctul de contact cade perpendicular pe tangentă, așa că apare un triunghi dreptunghic și poți folosi Pitagora: $P A = O P^{2} - r^{2}$ . Pentru $O P = 13$ cm și $r = 5$ cm iese $12$ cm. Dintr-un punct de pe cerc pleacă una singură.

O tangentă la un cerc atinge cercul într-un singur punct, numit punct de contact. Cheia lecției: raza dusă în punctul de contact este perpendiculară pe tangentă, deci apare mereu un unghi de $9 0^{\circ}$ și un triunghi dreptunghic.

Dintr-un punct exterior $P$ pornesc exact două tangente, $P A$ și $P B$ , iar acestea sunt congruente: $P A = P B$ . Motivul: triunghiurile $△ O A P$ și $△ O B P$ sunt congruente (ipotenuză $O P$ comună, catete $O A = O B = r$ ).

Din Pitagora obții formula utilă: $P A = O P^{2} - r^{2} .$

Exemplu. Dacă $O P = 13$ cm și $r = 5$ cm, atunci $P A = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ cm.

În plus, dreapta $O P$ este bisectoarea unghiului dintre tangente, iar unghiul tangentelor și unghiul la centru sunt suplementare: $∠ A P B + ∠ A O B = 18 0^{\circ}$ .

De reținut

în punctul de atingere, raza și tangenta fac unghi drept
$P A = P B = O P^{2} - r^{2}$
$O P$ este bisectoarea unghiului dintre cele două tangente

Greșeala tipică

Se scad razele în loc de pătratele lor, deci lungimea tangentei iese greșită. Formula cere pătratul distanței minus pătratul razei, apoi radicalul.

Exerciții din această mini-lecție

Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $P A = 4 x + 2$ (cm) și $P B = 6 x - 8$ (cm) la un cerc. Cât este $x$ ?
- a) $x = 3$
- b) $x = 4$
- c) $x = 5$
- d) $x = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = 5$

Tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente: $4 x + 2 = 6 x - 8 \Rightarrow 10 = 2 x \Rightarrow x = 5$ (verificare: $P A = 22$ , $P B = 22$ ).
Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ , iar unghiul dintre ele este $∠ A P B = 8 0^{\circ}$ . Cât este unghiul la centru $∠ A O B$ ?
- a) $9 0^{\circ}$
- b) $10 0^{\circ}$
- c) $11 0^{\circ}$
- d) $26 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10 0^{\circ}$

În patrulaterul $O A P B$ unghiurile din $A$ și $B$ sunt drepte, deci $∠ A P B + ∠ A O B = 18 0^{\circ}$ . Rezultă $∠ A O B = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ .
Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $P A = 3 x - 2$ (cm) și $P B = x + 16$ (cm) la un cerc. Cât este $x$ ?
- a) $x = 4$
- b) $x = 9$
- c) $x = 19$
- d) $x = 29$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 9$

Tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente: $3 x - 2 = x + 16 \Rightarrow 2 x = 18 \Rightarrow x = 9$ (verificare: $P A = 25$ , $P B = 25$ ).

Întrebări conexe

Ce unghi fac cele două tangente între ele?

Unghiul dintre ele și unghiul la centru care privește punctele de atingere se completează până la $18 0^{\circ}$ . Dacă unghiul la centru are $11 0^{\circ}$ , cel dintre tangente are $7 0^{\circ}$ . Motivul e că patrulaterul format are două unghiuri drepte, iar suma tuturor patru rămâne $36 0^{\circ}$ .

Cum aflu distanța de la punct la centrul cercului?

O afli tot din Pitagora, dar în celălalt sens: aduni pătratul razei cu pătratul tangentei și extragi radicalul. Pentru $r = 8$ cm și o tangentă de $15$ cm obții $64 + 225 = 17$ cm. Distanța iese mereu mai mare decât raza, altfel punctul nu ar fi în afară.

Ce se întâmplă dacă punctul se află chiar pe cerc?

Rămâne o singură tangentă, chiar cea perpendiculară pe rază în acel loc. Lungimea segmentului de tangentă devine zero, fiindcă punctul coincide cu cel de contact. Iar dacă punctul stă înăuntru, nu se mai poate duce nicio tangentă, oricât ai încerca.

Cum construiesc tangentele cu rigla și compasul?

Unești punctul cu centrul și afli mijlocul acestui segment. Din mijloc trasezi un cerc care trece prin amândouă capetele; el taie cercul dat în două puncte. Unind punctul de plecare cu ele, obții tangentele, fiindcă unghiul înscris pe diametru este drept.

Ce arie are patrulaterul format de raze și tangente?

Este format din două triunghiuri dreptunghice congruente, deci aria lui iese dublul unuia singur. Cu raza $5$ cm și tangenta $12$ cm, fiecare triunghi are $30$ cm², deci patrulaterul are $60$ cm². Formula scurtă este raza înmulțită cu lungimea tangentei.

Unde apare configurația asta la cercul înscris în triunghi?

Fiecare vârf al triunghiului este un punct exterior pentru cercul înscris, deci de la el pleacă două tangente egale spre laturile vecine. Din aceste egalități ies formulele care leagă laturile de segmentele determinate pe ele, folosite în probleme mai grele.

Oamenii mai întreabă și: tangente dintr-un punct exterior · câte tangente se pot duce la un cerc · lungimea tangentei la cerc · raza perpendiculară pe tangentă · tangente congruente la cerc