Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

Ai văzut vreodată o curea de transmisie care înfășoară două roți dințate, un cablu care se sprijină pe o roată sau raza de lumină care „atinge" marginea unei sfere? În toate aceste situații apare o dreaptă care atinge un cerc într-un singur punct: o tangentă. În această lecție despre tangente dintr-un punct exterior vei descoperi de ce, dintr-un punct din afara cercului, poți trasa exact două tangente și de ce acestea au aceeași lungime. Este una dintre cele mai elegante proprietăți din geometria cercului la clasa a VII-a și, în plus, se demonstrează folosind lucruri pe care le știi deja: Teorema lui Pitagora și cazurile de congruență a triunghiurilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici tangenta la cerc și punctul de contact într-o configurație geometrică dată.
• Vei ști să folosești proprietatea fundamentală: raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact.
• Vei ști să construiești cele două tangente dintr-un punct exterior la un cerc.
• Vei ști să folosești faptul că tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente (au lungimi egale).
• Vei ști să rezolvi probleme cu tangente la cerc, aplicând triunghiul dreptunghic și Teorema lui Pitagora.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă o dreaptă tangentă la un cerc

Să pornim de la poziția unei drepte față de un cerc. Dacă avem un cerc de centru $O$ și rază $r$ și o dreaptă oarecare $d$, notăm cu $D$ distanța de la centrul $O$ la dreapta $d$ (adică lungimea perpendicularei coborâte din $O$ pe $d$). Există exact trei situații:

• Dreapta exterioară cercului: $D>r$. Dreapta nu atinge deloc cercul, nu are niciun punct comun cu el.
• Dreapta secantă: $D<r$. Dreapta „taie" cercul și are exact două puncte comune cu el (o coardă).
• Dreapta tangentă: $D=r$. Dreapta atinge cercul într-un singur punct.

Definiție. O dreaptă se numește tangentă la un cerc dacă are exact un singur punct comun cu cercul. Acel punct se numește punct de contact (sau punct de tangență).

Reține deosebirea de vocabular pe care ai întâlnit-o și în lecțiile anterioare despre coarde și arce congruente în cerc: o coardă unește două puncte de pe cerc și provine dintr-o dreaptă secantă, în timp ce o tangentă doar atinge cercul, într-un singur punct.

2. Proprietatea de aur: raza este perpendiculară pe tangentă

Aici stă cheia întregii lecții. Să ne uităm cu atenție la punctul de contact.

Teoremă (proprietatea tangentei). Dacă o dreaptă este tangentă unui cerc într-un punct $A$, atunci raza $OA$ dusă în punctul de contact este perpendiculară pe tangentă.

Cu alte cuvinte, tangenta și raza dusă la punctul de atingere formează un unghi drept, de $90^{\circ }$.

De ce este adevărat? Gândește-te așa: punctul de contact $A$ este singurul punct al tangentei care se află pe cerc. Toate celelalte puncte ale tangentei sunt în afara cercului, deci se află la o distanță de centru mai mare decât raza. Așadar, dintre toate punctele dreptei tangente, $A$ este cel mai apropiat de centrul $O$. Dar știi din lecțiile de geometrie că cel mai scurt drum de la un punct la o dreaptă este pe perpendiculară. Prin urmare, $OA$ este perpendiculara din $O$ pe tangentă, adică $OA\perp$ tangentă.

Această proprietate este motorul tuturor problemelor cu tangente. De fiecare dată când într-o figură apare o tangentă și raza dusă în punctul de contact, poți marca imediat un unghi drept și, foarte des, poți aplica Teorema lui Pitagora. O vei folosi la fiecare pas de acum înainte.

3. De ce dintr-un punct exterior pornesc exact două tangente

Să luăm un punct $P$ situat în exteriorul cercului (adică $OP>r$). Din acest punct putem duce drepte către cerc: unele îl vor tăia (secante), altele nu îl vor atinge deloc. La granița dintre aceste două comportamente se află tangentele.

Dacă rotim ușor o dreaptă care pleacă din $P$, observăm că există exact două poziții în care dreapta atinge cercul într-un singur punct. Notăm punctele de contact cu $A$ și $B$. Astfel, din orice punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente.

(Pentru comparație: dintr-un punct situat pe cerc se poate duce o singură tangentă, iar dintr-un punct din interiorul cercului nu se poate duce nicio tangentă — orice dreaptă prin acel punct taie cercul în două puncte.)

Segmentele $PA$ și $PB$ — porțiunile de la punctul exterior până la punctele de contact — se numesc segmentele tangente duse din $P$. Despre ele vom demonstra acum ceva remarcabil.

4. Teorema tangentelor congruente

Teoremă. Cele două segmente tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente (au aceeași lungime).

Adică, dacă din punctul exterior $P$ ducem tangentele care ating cercul în $A$ și în $B$, atunci: $$PA=PB.$$

Demonstrație. Construim figura completă: unim $P$ cu centrul $O$ și trasăm razele $OA$ și $OB$ către punctele de contact. Ne uităm la triunghiurile $△OAP$ și $△OBP$.

Ipoteză: $PA$ și $PB$ sunt tangente la cerc, $A$ și $B$ sunt puncte de contact, $OA$ și $OB$ sunt raze.

Ce știm:

1. Unghiuri drepte. Din proprietatea tangentei, raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact. Deci $\angle OAP=90^{\circ }$ și $\angle OBP=90^{\circ }$. Amândouă triunghiurile sunt dreptunghice.

2. Catete egale (razele). $OA=OB=r$, fiindcă ambele sunt raze ale aceluiași cerc.

3. Ipotenuză comună. Segmentul $OP$ este latura comună a celor două triunghiuri, deci $OP=OP$. În fiecare triunghi dreptunghic, $OP$ este ipotenuza (latura opusă unghiului drept).

Avem, așadar, două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuza egală ($OP$ comună) și câte o catetă egală ($OA=OB$). Conform cazului de congruență ipotenuză–catetă (IC), rezultă: $$△OAP\equiv △OBP.$$

Din congruența triunghiurilor, laturile care se corespund sunt egale. În particular, laturii $PA$ din primul triunghi îi corespunde latura $PB$ din al doilea. Prin urmare: $$PA=PB.■$$

Am demonstrat exact ce doream: tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente.

Verificare prin Pitagora (o a doua cale de a te convinge). În fiecare triunghi dreptunghic putem scrie Teorema lui Pitagora cu unghiul drept în punctul de contact: $$P{A}^2=O{P}^2-O{A}^2=O{P}^2-r^2,P{B}^2=O{P}^2-O{B}^2=O{P}^2-r^2.$$

Cum partea dreaptă este aceeași în ambele relații, obținem $P{A}^2=P{B}^2$, deci $PA=PB$. Reține și formula foarte utilă în probleme: $$\boxed{PA=\sqrt{O{P}^2-r^2}}$$ Lungimea segmentului tangent se calculează din ipotenuza $OP$ și raza $r$, cu Teorema lui Pitagora.

5. Bisectoarea unghiului tangentelor trece prin centru

Din aceeași demonstrație obținem, gratuit, încă o proprietate frumoasă.

Fiindcă $△OAP\equiv △OBP$, se corespund și unghiurile din vârful $P$: $$\angle OPA=\angle OPB.$$

Dar unghiul mare $\angle APB$ (unghiul format de cele două tangente) este împărțit de segmentul $OP$ în două unghiuri egale, $\angle OPA$ și $\angle OPB$. Asta înseamnă că semidreapta $PO$ este bisectoarea unghiului $\angle APB$.

Concluzie. Dreapta care unește punctul exterior $P$ cu centrul $O$ este bisectoarea unghiului dintre cele două tangente. Altfel spus: bisectoarea unghiului tangentelor trece prin centrul cercului.

Tot din congruență rezultă și $\angle AOP=\angle BOP$, deci $OP$ este axă de simetrie a întregii figuri: dacă ai „îndoi" desenul de-a lungul dreptei $OP$, tangenta $PA$ s-ar suprapune perfect peste $PB$, iar punctul $A$ peste $B$. Această simetrie este motivul profund pentru care totul „se potrivește" în perechi.

6. Patrulaterul $OAPB$ și unghiurile lui

Să privim patrulaterul format de vârfurile $O$, $A$, $P$, $B$. Suma unghiurilor oricărui patrulater convex este $360^{\circ }$ (proprietate pe care ai studiat-o la patrulaterul convex). În patrulaterul $OAPB$ cunoaștem deja două unghiuri drepte: $$\angle OAP=90^{\circ },\angle OBP=90^{\circ }.$$

Prin urmare, celelalte două unghiuri se completează la $360^{\circ }$: $$\angle APB+\angle AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }.$$

Deci unghiul dintre tangente ($\angle APB$, cu vârful în punctul exterior) și unghiul la centru ($\angle AOB$, care „privește" coarda $AB$) sunt suplementare — se adună la $180^{\circ }$. Este o relație extrem de utilă: dacă știi unul dintre aceste unghiuri, îl afli imediat pe celălalt. De exemplu, dacă tangentele formează între ele un unghi de $50^{\circ }$, atunci unghiul la centru $\angle AOB=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.

7. Cum construiești tangentele dintr-un punct exterior (cu rigla și compasul)

Iată și metoda clasică de construcție a celor două tangente dintr-un punct exterior $P$, folosind proprietatea razei:

1. Trasează segmentul $OP$ (de la centru la punctul exterior).
2. Construiește mijlocul $M$ al segmentului $OP$.
3. Trasează cercul auxiliar cu centrul în $M$ și rază $MO=MP$ (adică cercul cu diametrul $OP$).
4. Acest cerc auxiliar taie cercul dat în două puncte, $A$ și $B$ — exact punctele de contact.
5. Dreptele $PA$ și $PB$ sunt cele două tangente căutate.

De ce funcționează? Punctele $A$ și $B$ se află pe cercul cu diametrul $OP$, deci unghiurile $\angle OAP$ și $\angle OBP$ sunt unghiuri înscrise care se sprijină pe diametru. Din lecția despre unghiul înscris în cerc știi că un unghi înscris care se sprijină pe diametru este drept, adică are $90^{\circ }$. Așadar $OA\perp PA$ și $OB\perp PB$, ceea ce înseamnă exact că $PA$ și $PB$ sunt tangente în $A$ și $B$. Frumos, nu-i așa? Toate proprietățile cercului lucrează împreună.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul lungimii tangentei

Dintr-un punct $P$ situat la distanța $OP=13$ cm de centrul unui cerc de rază $r=5$ cm ducem o tangentă care atinge cercul în punctul $A$. Cât este lungimea segmentului tangent $PA$?

Rezolvare. Raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact, deci $△OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$. Aplicăm Teorema lui Pitagora: $$P{A}^2=O{P}^2-O{A}^2=13^2-5^2=169-25=144.$$ $$PA=\sqrt{144}=12\text{ cm}.$$

Răspuns: $PA=12$ cm.

Exemplul 2 — Cele două tangente sunt egale

Dintr-un punct exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc. Se știe că $PA=3x+4$ (cm) și $PB=5x-6$ (cm). Află valoarea lui $x$ și lungimea comună a tangentelor.

Rezolvare. Tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente, deci $PA=PB$: $$3x+4=5x-6.$$ Trecem termenii cu $x$ într-o parte și numerele în cealaltă: $$4+6=5x-3x\Rightarrow 10=2x\Rightarrow x=5.$$ Înlocuim: $PA=3\cdot 5+4=19$ cm; verificăm cu $PB=5\cdot 5-6=19$ cm. Se potrivește.

Răspuns: $x=5$ și $PA=PB=19$ cm.

Exemplul 3 — Unghiul dintre tangente și unghiul la centru

Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$, iar unghiul dintre ele este $\angle APB=64^{\circ }$. Calculează măsura unghiului la centru $\angle AOB$ și măsura unghiului $\angle OPA$.

Rezolvare. În patrulaterul $OAPB$, unghiurile $\angle OAP$ și $\angle OBP$ sunt drepte. Deci: $$\angle APB+\angle AOB=180^{\circ }\Rightarrow \angle AOB=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }.$$ Cum $PO$ este bisectoarea unghiului $\angle APB$, avem: $$\angle OPA=\frac{\angle APB}{2}=\frac{64^{\circ }}{2}=32^{\circ }.$$

Răspuns: $\angle AOB=116^{\circ }$ și $\angle OPA=32^{\circ }$.

Exemplul 4 — Aflarea razei din tangentă și distanță

O tangentă dusă dintr-un punct exterior $P$ atinge cercul în $A$ și are lungimea $PA=24$ cm. Distanța de la $P$ la centrul cercului este $OP=25$ cm. Cât este raza cercului?

Rezolvare. Triunghiul $△OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$. Din Teorema lui Pitagora: $$O{A}^2=O{P}^2-P{A}^2=25^2-24^2=625-576=49.$$ $$OA=\sqrt{49}=7\text{ cm}.$$ Cum $OA$ este rază, obținem $r=7$ cm.

Răspuns: raza cercului este $r=7$ cm.

Exemplul 5 — Perimetrul triunghiului $APB$

Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc de centru $O$, cu $OP=10$ cm și raza $r=6$ cm. Calculează lungimea unei tangente și, folosind că triunghiul $△APB$ este isoscel, arată cum se leagă între ele laturile lui.

Rezolvare. Mai întâi lungimea tangentei, din $△OAP$ dreptunghic în $A$: $$PA=\sqrt{O{P}^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$ Fiindcă $PA=PB$, tangentele sunt egale: $PA=PB=8$ cm. Prin urmare triunghiul $△APB$ este isoscel, cu laturile $PA$ și $PB$ egale ca „picioare". Baza lui este coarda $AB$, iar $PO$ (bisectoarea din vârful $P$) este în același timp și mediană, și înălțime a acestui triunghi isoscel — cade perpendicular pe mijlocul lui $AB$.

Răspuns: $PA=PB=8$ cm; $△APB$ este isoscel cu $PA=PB$, iar $PO$ este axa lui de simetrie.

Exemplul 6 — Un triunghi cu cercul înscris (tangente egale)

Un triunghi $ABC$ are un cerc înscris (un cerc tangent la toate cele trei laturi). Cercul atinge latura $BC$ în punctul $X$, latura $CA$ în punctul $Y$ și latura $AB$ în punctul $Z$. Se știe că $AZ=4$ cm, $BX=6$ cm și $CY=5$ cm. Calculează perimetrul triunghiului $ABC$.

Rezolvare. Din fiecare vârf pornesc două tangente la cercul înscris, iar acestea sunt congruente:

• Din $A$: tangentele sunt $AZ$ și $AY$, deci $AY=AZ=4$ cm.
• Din $B$: tangentele sunt $BZ$ și $BX$, deci $BZ=BX=6$ cm.
• Din $C$: tangentele sunt $CX$ și $CY$, deci $CX=CY=5$ cm.

Acum compunem laturile: $$AB=AZ+BZ=4+6=10\text{ cm},$$ $$BC=BX+CX=6+5=11\text{ cm},$$ $$CA=CY+AY=5+4=9\text{ cm}.$$ Perimetrul: $$P_{ABC}=AB+BC+CA=10+11+9=30\text{ cm}.$$

Răspuns: perimetrul triunghiului este $30$ cm. Acest exemplu îți arată cât de puternică este proprietatea tangentelor egale: dintr-o mână de segmente, reconstruim tot triunghiul.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură acolo unde este cazul. Răspunsurile complete sunt la secțiunea următoare.

1. Completează: o dreaptă este tangentă unui cerc dacă are exact ______ punct(e) comun(e) cu cercul.

2. Adevărat sau fals (motivează): „Raza dusă în punctul de contact al unei tangente formează cu tangenta un unghi de $90^{\circ }$."

3. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce exact ______ tangente. Câte tangente se pot duce dintr-un punct situat pe cerc? Dar din interiorul cercului?

4. Dintr-un punct $P$ cu $OP=10$ cm ducem o tangentă la un cerc de rază $r=6$ cm, cu punctul de contact $A$. Calculează $PA$.

5. O tangentă dusă din $P$ are lungimea $PA=8$ cm, iar $OP=17$ cm. Cât este raza cercului?

6. Dintr-un punct exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$. Dacă $PA=2y+3$ și $PB=5y-9$ (cm), află $y$ și lungimea comună a tangentelor.

7. Unghiul dintre cele două tangente duse din $P$ este $\angle APB=70^{\circ }$. Cât este unghiul la centru $\angle AOB$?

8. În aceeași configurație de la exercițiul 7, cât este unghiul $\angle OPB$ (jumătatea unghiului tangentelor)?

9. Adevărat sau fals (motivează): „Dreapta care unește punctul exterior $P$ cu centrul $O$ este bisectoarea unghiului format de cele două tangente."

10. Dintr-un punct $P$ ducem tangenta $PA$ la un cerc. Se dau $r=9$ cm și $PA=12$ cm. Calculează distanța $OP$.

11. Unghiul la centru determinat de punctele de contact este $\angle AOB=108^{\circ }$. Cât este unghiul dintre tangentele duse din punctul exterior $P$?

12. Un cerc înscris într-un triunghi $ABC$ atinge laturile în $X$ (pe $BC$), $Y$ (pe $CA$), $Z$ (pe $AB$). Dacă $AZ=3$ cm, $BX=7$ cm și $CY=4$ cm, calculează perimetrul triunghiului.

13. Din $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc cu $r=8$ cm. Dacă $OP=17$ cm, calculează lungimea fiecărei tangente și perimetrul patrulaterului $OAPB$.

14. Explică în două-trei propoziții de ce triunghiul $△APB$ (format de punctul exterior și cele două puncte de contact) este întotdeauna isoscel.

15. Dintr-un punct $P$ se duc două tangente la un cerc, iar unghiul dintre ele este de $60^{\circ }$. Se dă $OP=12$ cm. Arată că raza cercului este $r=6$ cm. (Indicație: în $△OAP$, unghiul $\angle OPA=30^{\circ }$; folosește că într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.)

16. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă distanța de la centrul unui cerc la o dreaptă este egală cu raza, atunci dreapta este tangentă cercului."

17. Două cercuri concentrice au centrul comun $O$ și razele $r=6$ cm (cercul mic) și $R=10$ cm (cercul mare). O coardă a cercului mare este tangentă la cercul mic în punctul $T$. Calculează lungimea acestei coarde. (Indicație: $OT\perp$ coardă, iar $OT$ cade la mijlocul coardei.)

18. Problemă de sinteză. Dintr-un punct exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc de rază $r=15$ cm. Se știe că $PA=20$ cm. a) Calculează $OP$. b) Calculează măsura unghiului $\angle AOB$, știind că $\angle APB=74^{\circ }$. c) Precizează ce fel de patrulater este $OAPB$ și cât este suma unghiurilor lui.

Răspunsuri și explicații

1. Un singur punct. Acesta este chiar definiția tangentei; punctul comun se numește punct de contact.

2. Adevărat. Este proprietatea fundamentală a tangentei: raza dusă în punctul de contact este perpendiculară pe tangentă, deci unghiul dintre ele este de $90^{\circ }$.

3. Din punct exterior: două tangente. De pe cerc: o singură tangentă. Din interior: nicio tangentă (orice dreaptă prin punct taie cercul în două puncte).

4. $△OAP$ dreptunghic în $A$: $PA=\sqrt{O{P}^2-r^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm.

5. $r=OA=\sqrt{O{P}^2-P{A}^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm.

6. Tangente egale: $2y+3=5y-9\Rightarrow 12=3y\Rightarrow y=4$. Lungimea: $PA=2\cdot 4+3=11$ cm (verificare: $PB=5\cdot 4-9=11$ cm).

7. $\angle AOB=180^{\circ }-\angle APB=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$ (unghiuri suplementare în patrulaterul $OAPB$).

8. $PO$ este bisectoarea unghiului $\angle APB$, deci $\angle OPB=\frac{70^{\circ }}{2}=35^{\circ }$.

9. Adevărat. Din congruența $△OAP\equiv △OBP$ rezultă $\angle OPA=\angle OPB$, deci $PO$ împarte unghiul $\angle APB$ în două unghiuri egale — adică este bisectoarea lui și trece prin centru.

10. $OP=\sqrt{r^2+P{A}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

11. $\angle APB=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$.

12. Tangente egale din fiecare vârf: $AY=AZ=3$, $BZ=BX=7$, $CX=CY=4$. Atunci $AB=3+7=10$, $BC=7+4=11$, $CA=4+3=7$. Perimetrul $=10+11+7=28$ cm.

13. $PA=PB=\sqrt{O{P}^2-r^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm. Patrulaterul $OAPB$ are laturile $OA=OB=8$ cm (raze) și $PA=PB=15$ cm, deci perimetrul $=8+8+15+15=46$ cm.

14. Deoarece $PA$ și $PB$ sunt tangente dintr-un punct exterior, ele sunt congruente: $PA=PB$. Un triunghi cu două laturi egale este isoscel; deci $△APB$ are $PA=PB$ și este isoscel, cu baza $AB$.

15. În $△OAP$ dreptunghic în $A$, avem $\angle OPA=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$. Cateta $OA$ este opusă unghiului de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuza $OP$: $OA=\frac{OP}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm. Cum $OA=r$, rezultă $r=6$ cm. (Verificare Pitagora: $PA=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm, valoare pozitivă corectă.)

16. Adevărat. Dacă distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza ($D=r$), dreapta are un singur punct comun cu cercul — piciorul perpendicularei — deci este tangentă. Este chiar criteriul de tangență.

17. $OT=6$ cm este perpendiculara din $O$ pe coardă și cade la mijlocul ei (proprietatea din lecția diametrul perpendicular pe o coardă). În triunghiul dreptunghic format cu jumătate de coardă: jumătatea coardei $=\sqrt{R^2-O{T}^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm. Coarda întreagă $=2\cdot 8=16$ cm.

18. a) $OP=\sqrt{r^2+P{A}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ cm. b) $\angle AOB=180^{\circ }-\angle APB=180^{\circ }-74^{\circ }=106^{\circ }$. c) $OAPB$ este un patrulater convex cu două unghiuri drepte (în $A$ și $B$); suma unghiurilor lui este $360^{\circ }$.

De reținut

• Tangenta la un cerc are exact un singur punct comun cu cercul, numit punct de contact.
• Raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact: $OA\perp$ tangentă. De aici se naște mereu un triunghi dreptunghic și se aplică Teorema lui Pitagora: $PA=\sqrt{O{P}^2-r^2}$.
• Dintr-un punct exterior se pot duce exact două tangente, iar acestea sunt congruente: $PA=PB$.
• Dreapta $OP$ (de la punct la centru) este bisectoarea unghiului dintre tangente și axă de simetrie a figurii.
• În patrulaterul $OAPB$, unghiul dintre tangente și unghiul la centru sunt suplementare: $\angle APB+\angle AOB=180^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Confuzia unghiului drept. Perpendicularitatea este între rază și tangentă, în punctul de contact — nu între tangentă și diametru oarecare, nici între cele două tangente. Marchează $90^{\circ }$ exact în $A$ și în $B$.
• Punerea greșită a ipotenuzei în Pitagora. În $△OAP$, unghiul drept este în $A$, deci ipotenuza este $OP$ (nu tangenta $PA$). Formula corectă este $P{A}^2=O{P}^2-r^2$, nu invers. Verifică mereu: ipotenuza e cea mai lungă latură și e opusă unghiului drept.
• Uitarea că tangentele sunt egale. Când vezi două tangente din același punct, scrie imediat $PA=PB$. Mulți elevi caută calcule complicate, deși egalitatea rezolvă problema într-un rând.
• Amestecarea unghiurilor. Unghiul dintre tangente ($\angle APB$) și unghiul la centru ($\angle AOB$) sunt suplementare, nu egale. Nu le confunda; relația lor este $\angle APB+\angle AOB=180^{\circ }$.

Aplică acasă

• Cablul de pe roată. Ia o monedă mare sau un capac rotund și un creion drept. Așază creionul astfel încât să atingă marginea capacului într-un singur punct. Trasează pe hârtie cercul și dreapta, apoi marchează centrul și raza către punctul de contact. Verifică cu un colțar (echer) că unghiul dintre rază și tangentă este de $90^{\circ }$.
• Cele două tangente egale. Desenează un cerc, alege un punct $P$ în afara lui și, cu rigla, trasează cele două drepte care par să atingă cercul câte o dată. Măsoară cu rigla segmentele de la $P$ până la punctele de contact. Ar trebui să obții aproape aceeași lungime — este proprietatea tangentelor congruente, pe care ai demonstrat-o azi.
• Mini-proiect: cercul înscris. Desenează un triunghi oarecare și, prin încercări, un cerc care atinge toate cele trei laturi. Notează punctele de contact și măsoară tangentele din fiecare vârf. Verifică faptul că cele două tangente din același vârf au aceeași lungime, apoi recompune laturile triunghiului din aceste bucăți, ca în Exemplul 6.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează legătura dintre proprietățile cercului și triunghiul dreptunghic, aducând împreună Teorema lui Pitagora, cazurile de congruență și simetria. Cel mai important reflex de format la elev este acesta: unde apare o tangentă, apare imediat un unghi drept între rază și tangentă. Dacă elevul desenează corect acest unghi drept, jumătate din problemă este deja rezolvată.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Câte tangente poți duce dintr-un punct din afara cercului? Dar de pe cerc?"
• „De ce este raza perpendiculară pe tangentă?" (răspuns așteptat: punctul de contact este cel mai apropiat de centru, iar cel mai scurt drum la o dreaptă este perpendiculara).
• „De ce sunt cele două tangente egale?" (răspuns: triunghiurile $OAP$ și $OBP$ sunt congruente — ipotenuză $OP$ comună, catete-raze egale).
• „Ce legătură are dreapta $OP$ cu unghiul tangentelor?" (bisectoarea lui).

Semnul clar că a înțeles: rezolvă un exercițiu nou de tipul „calculează $PA$ când se dau $OP$ și $r$" fără să confunde ipotenuza și fără să uite să pună unghiul drept în punctul de contact. Încurajați redactarea cu ipoteză, concluzie și justificarea fiecărui pas — este exact stilul cerut la clasa a VII-a.

Întrebări frecvente

Ce este o tangentă la cerc la clasa a 7-a? O tangentă la cerc este o dreaptă care atinge cercul într-un singur punct, numit punct de contact. Se deosebește de o secantă (care taie cercul în două puncte) și de o dreaptă exterioară (care nu îl atinge deloc). Criteriul este: distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza.

Câte tangente se pot duce dintr-un punct exterior la un cerc? Din orice punct situat în afara cercului se pot duce exact două tangente. Dacă punctul este pe cerc, se poate duce o singură tangentă, iar dintr-un punct din interiorul cercului nu se poate duce nicio tangentă.

De ce este raza perpendiculară pe tangentă? Pentru că punctul de contact este cel mai apropiat punct al tangentei de centrul cercului (toate celelalte puncte ale tangentei sunt în exterior, deci mai departe). Cel mai scurt drum de la un punct la o dreaptă este pe perpendiculară, așa că raza dusă în punctul de contact este perpendiculară pe tangentă și formează un unghi de $90^{\circ }$.

De ce sunt tangentele dintr-un punct exterior congruente? Pentru că triunghiurile formate de centru, punct exterior și punctele de contact sunt congruente. Ele au ipotenuza comună (segmentul de la punct la centru) și catete egale (razele), deci sunt congruente conform cazului ipotenuză–catetă. De aici rezultă că segmentele tangente $PA$ și $PB$ sunt egale.

Cum calculez lungimea unei tangente duse dintr-un punct exterior? Folosești Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de rază, tangentă și segmentul de la punct la centru. Formula este $PA=\sqrt{O{P}^2-r^2}$, unde $OP$ este distanța de la punct la centru, iar $r$ este raza. Unghiul drept se află întotdeauna în punctul de contact.

Ce înseamnă că bisectoarea unghiului tangentelor trece prin centru? Înseamnă că dreapta care unește punctul exterior $P$ cu centrul $O$ împarte unghiul dintre cele două tangente în două unghiuri egale. Această dreaptă este și axa de simetrie a figurii formate din cele două tangente, punctele de contact și cerc.

Ce relație există între unghiul tangentelor și unghiul la centru? Ele sunt suplementare, adică se adună la $180^{\circ }$: $\angle APB+\angle AOB=180^{\circ }$. Relația vine din faptul că patrulaterul format de centru, punct exterior și cele două puncte de contact are două unghiuri drepte, iar suma tuturor unghiurilor unui patrulater este $360^{\circ }$.

Ce legătură are lecția aceasta cu cercul înscris într-un triunghi? Cercul înscris este tangent la toate cele trei laturi, deci din fiecare vârf pornesc două tangente egale la el. Folosind proprietatea tangentelor congruente, poți calcula laturile și perimetrul triunghiului cunoscând doar câteva segmente-tangente, așa cum ai văzut în Exemplul 6.