Ce spune teorema catetei?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Teorema catetei: $c^{2} = i \cdot p$

Că pătratul unei catete este cât produsul dintre ipotenuză și umbra acelei catete pe ipotenuză, adică $c^{2} = i \cdot p$ . Umbra se obține coborând înălțimea din unghiul drept, iar fiecare catetă merge cu bucata de lângă vârful ei. La $B C = 25$ cm și $B D = 9$ cm rezultă $A B^{2} = 225$ , deci $A B = 15$ cm. Din aceeași relație afli și ipotenuza sau proiecția.

Într-un triunghi dreptunghic $A B C$ (dreptunghic în $A$ ), din vârful $A$ coborâm înălțimea $A D$ pe ipotenuză, cu $D \in B C$ . Punctul $D$ împarte ipotenuza în două „umbre" — proiecțiile catetelor: $B D$ pentru cateta $A B$ , $D C$ pentru cateta $A C$ . Teorema catetei spune că pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză:

$A B^{2} = B C \cdot B D, A C^{2} = B C \cdot D C,$

sau, prescurtat, $c^{2} = i \cdot p$ . Regula de aur: fiecare catetă „merge" cu proiecția de lângă vârful ei ( $A B$ cu $B D$ , $A C$ cu $D C$ ). Exemplu: dacă $B C = 25$ cm și $B D = 9$ cm, atunci $A B^{2} = 25 \cdot 9 = 225$ , deci $A B = 15$ cm. Din aceeași formulă poți afla și ipotenuza ( $i = c^{2} / p$ ) sau proiecția ( $p = c^{2} / i$ ).

De reținut

$A B^{2} = B C \cdot B D$ și $A C^{2} = B C \cdot D C$
pe scurt: $c^{2} = i \cdot p$
$B D + D C = B C$

Greșeala tipică

Se înmulțește cateta cu proiecția, în loc să se ridice cateta la pătrat. Formula cere pătratul catetei egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția ei.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu înălțimea $A D$ , $D \in B C$ , se dau $B C = 20$ cm și $B D = 5$ cm. Cât este cateta $A B$ ?
- a) $A B = 10$ cm
- b) $A B = 8$ cm
- c) $A B = 12$ cm
- d) $A B = 15$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A B = 10$ cm

Aplicăm teorema catetei: $A B^{2} = B C \cdot B D = 20 \cdot 5 = 100$ , deci $A B = 100 = 10$ cm.
În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu înălțimea $A D$ ( $D \in B C$ ), proiecția catetei $A C$ pe ipotenuză este segmentul:
- a) $B D$
- b) $D C$
- c) $A D$
- d) $B C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $D C$

Cateta $A C$ pleacă din vârful $C$ , deci proiecția ei pe ipotenuză este segmentul de lângă $C$ , adică $D C$ . Proiecția catetei $A B$ ar fi $B D$ , iar $B C$ este ipotenuza întreagă, nu o proiecție.
În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu înălțimea $A D$ , $D \in B C$ , se dau $B C = 25$ cm și $B D = 16$ cm. Cât este cateta $A B$ ?
- a) $A B = 20$ cm
- b) $A B = 10$ cm
- c) $A B = 30$ cm
- d) $A B = 9$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A B = 20$ cm

Aplicăm teorema catetei: $A B^{2} = B C \cdot B D = 25 \cdot 16 = 400$ , deci $A B = 400 = 20$ cm. Varianta b) este jumătatea răspunsului, c) ar fi mai mare decât ipotenuza (imposibil pentru o catetă), iar d) este diferența $25 - 16 = 9$ .

Întrebări conexe

Cum aflu proiecția unei catete pe ipotenuză?

Ridici cateta la pătrat și împarți la ipotenuză. Pentru o catetă de $12$ cm și o ipotenuză de $20$ cm obții $\frac{144}{20} = 7, 2$ cm. Cealaltă proiecție iese prin scădere din ipotenuză, adică $12, 8$ cm în acest caz.

Cum folosesc cele două teoreme ale catetei împreună?

Scrii amândouă relațiile și le aduni, obținând $A B^{2} + A C^{2} = B C (B D + D C)$ . Cum suma proiecțiilor este chiar ipotenuza, partea dreaptă devine $B C^{2}$ . Așa se demonstrează teorema lui Pitagora pornind de la teorema catetei, într-un singur rând de calcul.

Ce se întâmplă dacă folosesc proiecția greșită?

Îți iese o catetă cu totul greșită, de obicei mai mare decât ipotenuza. Fiecare catetă se potrivește cu bucata de ipotenuză care pornește din același vârf: $A B$ cu $B D$ , $A C$ cu $D C$ . Un desen cu literele scrise corect te ferește de această încurcătură.

Cât este cateta dintr-o ipotenuză de 20 și o proiecție de 4?

Înmulțești cele două numere și extragi radicalul: $20 \cdot 4 = 80$ , deci cateta este $80 = 45$ cm, cam $8, 9$ cm. Cealaltă proiecție are $16$ cm, iar cealaltă catetă $320 = 85$ cm. Amândouă ies mai mici decât ipotenuza, cum era de așteptat.

De ce proiecțiile se adună și dau ipotenuza?

Fiindcă piciorul înălțimii cade între capetele ipotenuzei și o taie în două bucăți alipite. Puse cap la cap, ele refac exact latura întreagă. Egalitatea aceasta se folosește des, ca să afli o proiecție când o cunoști pe cealaltă și pe ipotenuză.

Cum verific dacă am aplicat corect teorema catetei?

Pui rezultatele în teorema lui Pitagora și vezi dacă se închide. Cu $B D = 9$ , $D C = 16$ și ipotenuza $25$ , catetele ies $15$ și $20$ , iar $225 + 400 = 625$ . Verifici și că fiecare catetă a ieșit mai scurtă decât ipotenuza.

Oamenii mai întreabă și: teorema catetei · proiecția catetei pe ipotenuză · formula teoremei catetei · teorema catetei exemplu · cum aflu o catetă din proiecție