Teorema catetei în triunghiul dreptunghic

Imaginează-ți că sprijini o scară de un perete. Piciorul scării, vârful ei și locul unde peretele întâlnește podeaua formează un triunghi dreptunghic. Dacă mai desenezi și „umbra" pe care fiecare parte a scării o lasă pe podea, ai deja tot ce îți trebuie ca să descoperi o relație surprinzător de simplă: pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Aceasta este teorema catetei, una dintre cele mai folosite relații metrice din geometria clasei a VII-a. Cu ea vei putea afla o latură lipsă a unui triunghi dreptunghic doar din câteva măsurători, fără să fii nevoit să măsori totul direct.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema catetei și să o demonstrezi pornind de la asemănarea triunghiurilor.
• Vei ști să scrii corect formula $c^2=i\cdot p$ (catetă la pătrat = ipotenuză × proiecția catetei).
• Vei ști să calculezi o catetă, ipotenuza sau o proiecție atunci când cunoști celelalte mărimi.
• Vei ști să combini teorema catetei cu teorema înălțimii în probleme mai complexe.
• Vei ști să recunoști proiecția fiecărei catete pe ipotenuză și să nu o confunzi cu cealaltă.

Hai să descoperim împreună

Reperele de care avem nevoie

Pornim de la un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în vârful $A$, adică $m(\angle A)=90^{\circ }$. Laturile lui au nume speciale:

• ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $BC$ (cea mai lungă latură);
• catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept, adică $AB$ și $AC$.

Din vârful unghiului drept $A$ coborâm înălțimea pe ipotenuză. Ea cade perpendicular pe $BC$ într-un punct pe care îl notăm $D$. Segmentul $AD$ este înălțimea din $A$, iar $D$ se numește piciorul înălțimii.

Piciorul înălțimii $D$ împarte ipotenuza în două segmente:

• $BD$ — segmentul dinspre vârful $B$;
• $DC$ — segmentul dinspre vârful $C$.

Aceste două segmente nu sunt oricare: ele sunt exact proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Dacă îți amintești lecția despre proiecții ortogonale pe o dreaptă, știi că proiecția unui punct pe o dreaptă este „umbra" lui, obținută coborând perpendiculara. Proiecția unui segment este segmentul format de proiecțiile capetelor sale.

Să vedem concret. Cateta $AB$ are capetele $A$ și $B$. Proiecția lui $A$ pe dreapta $BC$ este chiar $D$ (pentru că $AD\perp BC$), iar proiecția lui $B$ este el însuși (fiindcă $B$ este deja pe dreapta $BC$). Așadar:

$$\text{proiecția catetei }AB\text{ pe ipotenuza˘ este segmentul }BD.$$

La fel, cateta $AC$ are capetele $A$ și $C$. Proiecția lui $A$ este tot $D$, iar proiecția lui $C$ este $C$. Prin urmare:

$$\text{proiecția catetei }AC\text{ pe ipotenuza˘ este segmentul }DC.$$

Reține regula de aur: fiecare catetă „se sprijină" pe segmentul de ipotenuză de lângă vârful ei. Cateta $AB$ pleacă din $B$, deci proiecția ei este $BD$ (lângă $B$). Cateta $AC$ pleacă din $C$, deci proiecția ei este $DC$ (lângă $C$). Vârful comun al catetelor este $A$, iar proiecția lui este $D$ — punctul de mijloc al poveștii, dar de obicei nu la mijlocul segmentului!

Enunțul teoremei catetei

Acum putem enunța teorema în cuvinte și în simboluri.

Teorema catetei. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

Cu notațiile din triunghiul $ABC$ (dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$, $D\in BC$), teorema se scrie sub forma a două relații, câte una pentru fiecare catetă:

$$A{B}^2=BC\cdot BD\text{și}A{C}^2=BC\cdot DC.$$

Dacă preferi o formulă „prescurtată", pe care o poți ține minte ușor, folosește literele:

$$\boxed{c^2=i\cdot p}$$

unde $c$ este cateta, $i$ este ipotenuza, iar $p$ este proiecția acelei catete pe ipotenuză. Atenție: în această formulă $c$ și $p$ trebuie să fie „de aceeași parte" — cateta și proiecția ei, nu proiecția celeilalte catete.

De ce este adevărată? Demonstrația prin asemănare

Teorema catetei nu este o regulă căzută din cer: o putem demonstra riguros folosind criteriile de asemănare a triunghiurilor învățate mai devreme. Hai să urmărim raționamentul pas cu pas, pentru cateta $AB$.

Ipoteză: triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{\circ }$; $AD\perp BC$, $D\in BC$. Concluzie: $A{B}^2=BC\cdot BD$.

Pasul 1 — Găsim triunghiuri asemenea. Când coborâm înălțimea $AD$, triunghiul mare $ABC$ se împarte în două triunghiuri mai mici: $ABD$ și $ACD$. Ne concentrăm pe triunghiul mic $ABD$ și pe triunghiul mare $CBA$ (l-am scris în ordinea aceasta dintr-un motiv, vei vedea imediat).

Pasul 2 — Arătăm asemănarea (criteriul UU). Comparăm triunghiul $ABD$ cu triunghiul $CBA$:

• $\angle ADB=\angle CAB=90^{\circ }$ — primul este unghi drept pentru că $AD\perp BC$, al doilea pentru că triunghiul e dreptunghic în $A$;
• $\angle ABD=\angle CBA$ — este unghiul comun din vârful $B$ (același unghi, privit în ambele triunghiuri).

Două perechi de unghiuri congruente înseamnă, după criteriul UU (unghi–unghi), că cele două triunghiuri sunt asemenea:

$$△ABD\sim △CBA.$$

Pasul 3 — Scriem rapoartele laturilor. În triunghiuri asemenea, laturile corespunzătoare sunt proporționale. Respectând ordinea vârfurilor ($A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow A$), avem:

$$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}=\frac{AD}{CA}.$$

Ne interesează primele două rapoarte:

$$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}.$$

Pasul 4 — Aplicăm proprietatea proporțiilor. Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor („înmulțim în cruce"):

$$AB\cdot BA=CB\cdot BD.$$

Dar $AB\cdot BA=A{B}^2$ (este aceeași latură), iar $CB=BC$. Obținem:

$$A{B}^2=BC\cdot BD.$$

Exact ce voiam să demonstrăm! Am arătat că pătratul catetei $AB$ este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția lui $BD$.

Pentru cealaltă catetă raționamentul este identic, doar cu vârful $C$ în locul lui $B$. Comparăm triunghiul mic $ACD$ cu triunghiul mare $BCA$: ambele au un unghi drept ($\angle ADC=\angle BAC=90^{\circ }$) și unghiul comun din $C$. Deci $△ACD\sim △BCA$, de unde $\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}$ și, înmulțind în cruce, $A{C}^2=BC\cdot CD$.

Am demonstrat astfel ambele relații ale teoremei catetei.

Cum folosim teorema: trei tipuri de calcul

Formula $c^2=i\cdot p$ leagă trei mărimi: cateta, ipotenuza și proiecția. Dacă știm două dintre ele, o putem afla pe a treia. De aici, trei situații:

1) Aflăm cateta, când cunoaștem ipotenuza și proiecția: $$c=\sqrt{i\cdot p}.$$

2) Aflăm ipotenuza, când cunoaștem cateta și proiecția ei: $$i=\frac{c^2}{p}.$$

3) Aflăm proiecția, când cunoaștem cateta și ipotenuza: $$p=\frac{c^2}{i}.$$

Toate trei se obțin din aceeași relație $c^2=i\cdot p$, izolând mărimea necunoscută. Nu trebuie să memorezi trei formule diferite — memorează una singură și rearanjeaz-o după nevoie, exact ca la ecuațiile de gradul I.

Legătura cu teorema înălțimii

Teorema catetei are o „soră", teorema înălțimii, pe care ai întâlnit-o în lecția anterioară, teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic. Ea spune că pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor:

$$A{D}^2=BD\cdot DC.$$

Cele două teoreme se completează frumos. Uite ce se întâmplă dacă le pui una lângă alta, folosind aceleași notații:

Observă un lucru elegant: dacă aduni cele două relații ale teoremei catetei, obții $$A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot BD+BC\cdot DC=BC\cdot (BD+DC)=BC\cdot BC=B{C}^2,$$ pentru că $BD+DC=BC$. Adică $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ — ai regăsit chiar teorema lui Pitagora! Vei studia asta separat în lecția teorema lui Pitagora, dar e frumos să vezi de pe acum că teorema catetei „ascunde" în ea această relație celebră. Matematica este un întreg în care lucrurile se leagă.

Un plan de lucru pentru orice problemă

Când primești o problemă cu teorema catetei, urmează acești pași:

1. Fă un desen cu triunghiul dreptunghic și înălțimea din unghiul drept.
2. Identifică ipotenuza (latura opusă unghiului drept) și cele două proiecții de pe ea.
3. Notează ce ai și ce trebuie să afli.
4. Alege relația potrivită ($c^2=i\cdot p$ pentru cateta care te interesează).
5. Înlocuiește valorile și rezolvă, scoțând factorii de sub radical dacă e cazul.
6. Verifică rezultatul (de exemplu cu teorema lui Pitagora sau cu $BD+DC=BC$).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflăm o catetă din ipotenuză și proiecție

În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90^{\circ }$), înălțimea $AD$ împarte ipotenuza astfel încât $BC=25$ cm și $BD=9$ cm. Află lungimea catetei $AB$.

Rezolvare. Cateta $AB$ pleacă din $B$, deci proiecția ei este $BD$. Aplicăm teorema catetei: $$A{B}^2=BC\cdot BD=25\cdot 9=225.$$ De aici, $$AB=\sqrt{225}=15\text{ cm}.$$

Cateta $AB$ are lungimea de 15 cm. (Verificare rapidă: mai târziu vei vedea că $AC=20$ cm, iar $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ — se potrivește cu Pitagora.)

Exemplul 2 — Aflăm cealaltă catetă din același triunghi

În triunghiul de la Exemplul 1 ($BC=25$ cm, $BD=9$ cm), află cateta $AC$.

Rezolvare. Cateta $AC$ pleacă din $C$, deci proiecția ei este $DC$. Mai întâi aflăm $DC$, știind că cele două proiecții însumate dau ipotenuza: $$DC=BC-BD=25-9=16\text{ cm}.$$ Aplicăm acum teorema catetei pentru $AC$: $$A{C}^2=BC\cdot DC=25\cdot 16=400,$$ $$AC=\sqrt{400}=20\text{ cm}.$$

Cateta $AC$ are lungimea de 20 cm. Triunghiul are catetele 15 și 20 și ipotenuza 25 — un „văr" al celebrului triunghi 3–4–5.

Exemplul 3 — Aflăm ipotenuza

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are lungimea $AB=6$ cm, iar proiecția ei pe ipotenuză este $BD=4$ cm. Cât este ipotenuza $BC$?

Rezolvare. Din teorema catetei, $A{B}^2=BC\cdot BD$. Cunoaștem cateta și proiecția, deci izolăm ipotenuza: $$BC=\frac{A{B}^2}{BD}=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9\text{ cm}.$$

Ipotenuza are 9 cm. (Poți verifica și cealaltă catetă: $DC=9-4=5$, deci $A{C}^2=9\cdot 5=45$, $AC=3\sqrt{5}$; iar $36+45=81=9^2$. Corect.)

Exemplul 4 — Aflăm o proiecție

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este $BC=20$ cm, iar cateta $AB=10$ cm. Află proiecția $BD$ a catetei $AB$ pe ipotenuză.

Rezolvare. Din $A{B}^2=BC\cdot BD$ izolăm proiecția: $$BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{10^2}{20}=\frac{100}{20}=5\text{ cm}.$$

Proiecția $BD$ este de 5 cm. Observă că proiecția (5 cm) este mai mică decât cateta (10 cm) — așa și trebuie, proiecția unui segment este mereu mai scurtă decât segmentul, în afară de cazul în care segmentul e paralel cu dreapta sau chiar pe ea.

Exemplul 5 — Combinăm teorema catetei cu radicalii

Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90^{\circ }$), înălțimea $AD$ determină pe ipotenuză $BD=4$ cm și $DC=8$ cm. Află ambele catete și scrie rezultatele cu radicali în formă simplificată.

Rezolvare. Ipotenuza este suma proiecțiilor: $$BC=BD+DC=4+8=12\text{ cm}.$$ Cateta $AB$ (proiecția $BD=4$): $$A{B}^2=BC\cdot BD=12\cdot 4=48\Rightarrow AB=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\text{ cm}.$$ Cateta $AC$ (proiecția $DC=8$): $$A{C}^2=BC\cdot DC=12\cdot 8=96\Rightarrow AC=\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt{6}\text{ cm}.$$

Catetele sunt $AB=4\sqrt{3}$ cm și $AC=4\sqrt{6}$ cm. Verificare cu Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=48+96=144=12^2=B{C}^2$. Corect! (Am folosit scoaterea factorilor de sub radical.)

Exemplul 6 — Problemă combinată: catetă + înălțime

În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90^{\circ }$), se cunosc $BC=18$ cm și proiecția $BD=2$ cm. Află cateta $AB$ și înălțimea $AD$.

Rezolvare. Mai întâi cateta, cu teorema catetei: $$A{B}^2=BC\cdot BD=18\cdot 2=36\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\text{ cm}.$$ Pentru înălțime avem nevoie de a doua proiecție: $$DC=BC-BD=18-2=16\text{ cm}.$$ Aplicăm teorema înălțimii: $$A{D}^2=BD\cdot DC=2\cdot 16=32\Rightarrow AD=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\text{ cm}.$$

Cateta $AB=6$ cm, iar înălțimea $AD=4\sqrt{2}$ cm. Am folosit ambele teoreme în aceeași problemă — exact tipul de exercițiu care apare la teze și la evaluări.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă întâi un desen la fiecare problemă de geometrie. Notațiile sunt: triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, înălțimea $AD$ cu $D\in BC$, proiecția catetei $AB$ este $BD$, proiecția catetei $AC$ este $DC$.

1. Completează: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre … și … ."

2. Scrie cele două relații ale teoremei catetei pentru triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$.

3. Se dau $BC=16$ cm și $BD=4$ cm. Află cateta $AB$.

4. Folosind datele de la exercițiul 3, află $DC$ și apoi cateta $AC$.

5. O catetă are $AB=8$ cm, iar proiecția ei este $BD=4$ cm. Află ipotenuza $BC$.

6. Ipotenuza este $BC=45$ cm, iar cateta $AC=15$ cm. Află proiecția $DC$ a catetei $AC$.

7. Se dau $BC=50$ cm și $BD=32$ cm. Află ambele catete $AB$ și $AC$.

8. Adevărat sau fals (justifică): „Proiecția unei catete pe ipotenuză poate fi mai lungă decât cateta însăși."

9. Adevărat sau fals (justifică): „În relația $A{B}^2=BC\cdot BD$, mărimea $BD$ este proiecția catetei $AC$."

10. Într-un triunghi dreptunghic, $BD=3$ cm și $DC=12$ cm. Află ipotenuza, apoi ambele catete (scrie rezultatele cu radicali simplificați dacă nu sunt numere întregi).

11. Cateta $AB=12$ cm și ipotenuza $BC=24$ cm. Află proiecția $BD$, apoi $DC$ și cateta $AC$.

12. Se dau $BC=20$ cm și $BD=5$ cm. Află cateta $AB$ și înălțimea $AD$ (folosește și teorema înălțimii).

13. O catetă are lungimea $10$ cm, iar proiecția ei pe ipotenuză are $5$ cm. Fără să calculezi cealaltă catetă, arată că ipotenuza este $20$ cm.

14. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BD=9$ cm și $DC=16$ cm. Verifică prin calcul că $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (adică se respectă teorema lui Pitagora).

15. Problemă aplicată. Un panou publicitar are forma unui triunghi dreptunghic. Ipotenuza sprijinită pe sol măsoară $10$ m, iar „umbra" (proiecția) uneia dintre marginile oblice pe sol este de $3,6$ m. Ce lungime are acea margine oblică (cateta)?

16. Provocare. Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este de două ori mai lungă decât cealaltă, iar ipotenuza are $BC=20$ cm. Știind că proiecția catetei mai scurte este $BD=4$ cm, verifică prin teorema catetei că cateta mai scurtă este $AB=4\sqrt{5}$ cm și află apoi cateta mai lungă.

Răspunsuri și explicații

1. „… produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză." Formula: $c^2=i\cdot p$.

2. $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot DC$.

3. $A{B}^2=BC\cdot BD=16\cdot 4=64$, deci $AB=\sqrt{64}=8$ cm.

4. $DC=BC-BD=16-4=12$ cm. $A{C}^2=BC\cdot DC=16\cdot 12=192$, deci $AC=\sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}$ cm.

5. $BC=\frac{A{B}^2}{BD}=\frac{8^2}{4}=\frac{64}{4}=16$ cm.

6. $DC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{15^2}{45}=\frac{225}{45}=5$ cm.

7. $A{B}^2=BC\cdot BD=50\cdot 32=1600\Rightarrow AB=\sqrt{1600}=40$ cm. $DC=50-32=18$; $A{C}^2=50\cdot 18=900\Rightarrow AC=\sqrt{900}=30$ cm. (Verificare: $40^2+30^2=1600+900=2500=50^2$. ✔)

8. Fals. Proiecția unui segment pe o dreaptă este întotdeauna cel mult egală cu segmentul (mai scurtă, când segmentul este oblic față de dreaptă). Cateta este oblică față de ipotenuză, deci proiecția ei este strict mai scurtă decât cateta.

9. Fals. $BD$ este proiecția catetei $AB$ (cea care pleacă din $B$), nu a lui $AC$. Proiecția lui $AC$ este $DC$. De aceea relația corectă pentru $AB$ folosește $BD$, iar cea pentru $AC$ folosește $DC$.

10. $BC=BD+DC=3+12=15$ cm. $A{B}^2=15\cdot 3=45\Rightarrow AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm. $A{C}^2=15\cdot 12=180\Rightarrow AC=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$ cm. (Verificare: $45+180=225=15^2$. ✔)

11. $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{12^2}{24}=\frac{144}{24}=6$ cm. $DC=24-6=18$ cm. $A{C}^2=24\cdot 18=432\Rightarrow AC=\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}=12\sqrt{3}$ cm.

12. $A{B}^2=20\cdot 5=100\Rightarrow AB=10$ cm. $DC=20-5=15$; $A{D}^2=BD\cdot DC=5\cdot 15=75\Rightarrow AD=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$ cm.

13. Din $c^2=i\cdot p$ avem $i=\frac{c^2}{p}=\frac{10^2}{5}=\frac{100}{5}=20$ cm. Deci ipotenuza este 20 cm, fără să fi calculat cealaltă catetă.

14. $BC=9+16=25$. $A{B}^2=25\cdot 9=225$; $A{C}^2=25\cdot 16=400$. Suma: $A{B}^2+A{C}^2=225+400=625=25^2=B{C}^2$. ✔ Relația lui Pitagora este respectată (catetele sunt $15$ și $20$, ipotenuza $25$).

15. Marginea oblică este o catetă. Cu $i=10$ m și $p=3,6$ m: $c^2=i\cdot p=10\cdot 3,6=36$, deci $c=\sqrt{36}=6$ m. Marginea oblică are 6 m.

16. Cateta mai scurtă $AB$: $A{B}^2=BC\cdot BD=20\cdot 4=80\Rightarrow AB=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$ cm. ✔ Cateta mai lungă $AC$: proiecția ei este $DC=20-4=16$, deci $A{C}^2=20\cdot 16=320\Rightarrow AC=\sqrt{320}=\sqrt{64\cdot 5}=8\sqrt{5}$ cm. Într-adevăr $AC=2\cdot AB$, pentru că $8\sqrt{5}=2\cdot 4\sqrt{5}$, cum cerea problema. (Verificare: $80+320=400=20^2$. ✔)

De reținut

• Teorema catetei: într-un triunghi dreptunghic, $c^2=i\cdot p$ — pătratul catetei = ipotenuza × proiecția acelei catete pe ipotenuză.
• Cu notațiile din $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$: $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot DC.$
• Proiecția fiecărei catete este segmentul de ipotenuză de lângă vârful ei: $BD$ pentru $AB$, $DC$ pentru $AC$; iar $BD+DC=BC$.
• Din aceeași formulă afli cateta ($c=\sqrt{i\cdot p}$), ipotenuza ($i=\frac{c^2}{p}$) sau proiecția ($p=\frac{c^2}{i}$).
• Adunând cele două relații se obține teorema lui Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$; iar alături lucrează teorema înălțimii $A{D}^2=BD\cdot DC$.

Greșeli frecvente

• Confundarea proiecțiilor. Mulți elevi scriu $A{B}^2=BC\cdot DC$ în loc de $A{B}^2=BC\cdot BD$. Ține minte regula: cateta din $B$ merge cu proiecția $BD$ (litera $B$ apare în ambele). Cateta din $C$ merge cu proiecția $DC$.
• Uitarea ipotenuzei în produs. Formula este $c^2=i\cdot p$, deci cateta la pătrat se împarte la ipotenuză ca să afli proiecția, nu invers. Nu scrie $c^2=p\cdot p$ sau $c^2=i^2$.
• Amestecarea cu teorema înălțimii. Teorema înălțimii are la pătrat înălțimea și înmulțește cele două proiecții între ele ($A{D}^2=BD\cdot DC$). Teorema catetei are la pătrat o catetă și înmulțește ipotenuza cu o singură proiecție. Nu le suprapune.
• Aplicarea într-un triunghi care nu e dreptunghic sau fără înălțimea din unghiul drept. Relația este valabilă doar în triunghi dreptunghic și doar pentru înălțimea coborâtă din vârful unghiului drept pe ipotenuză. Într-un triunghi oarecare nu funcționează.

Aplică acasă

• Măsoară o scară reală. Sprijină o scară (sau o riglă lungă) de perete. Măsoară pe podea distanța de la perete până la piciorul scării — aceasta este o proiecție. Măsoară și înălțimea la care scara atinge peretele. Verifică relația cu teorema lui Pitagora, apoi calculează proiecțiile cu teorema catetei și compară-le cu ce ai putea măsura direct.
• Colțul unei camere. Alege un colț de masă sau de cameră unde se întâlnesc două muchii perpendiculare. Trasează o „ipotenuză" între două puncte și, cu ajutorul unei sfori și al unei rigle, identifică piciorul înălțimii și cele două proiecții. Fă un desen la scară pe caiet și calculează una dintre catete folosind $c^2=i\cdot p$.
• Inventează o problemă. Alege tu o ipotenuză și o proiecție (de exemplu $i=30$ cm, $p=6$ cm), calculează cateta și apoi cere unui coleg sau părinte să refacă drumul invers: din catetă și ipotenuză să afle proiecția. Verificați împreună.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la asemănarea triunghiurilor la relațiile metrice în triunghiul dreptunghic. Cel mai important lucru de verificat este ca elevul să identifice corect proiecția fiecărei catete — aici apar cele mai multe greșeli. Cereți-i să deseneze triunghiul, să coloreze cele două segmente $BD$ și $DC$ și să spună cu voce tare „cateta $AB$ merge cu $BD$, cateta $AC$ merge cu $DC$".

Întrebări bune de verificare:

• „Care este proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză și de ce?" (Răspuns: $BD$, pentru că $A$ se proiectează în $D$, iar $B$ în el însuși.)
• „Scrie formula teoremei catetei și explică fiecare literă." (Ar trebui să spună natural: cateta la pătrat = ipotenuza ori proiecția ei.)
• „Cum ai afla ipotenuza dacă știi o catetă și proiecția ei?" (Rearanjează formula: $i=c^2/p$.)

Semne că a înțeles: rezolvă corect probleme în care se schimbă necunoscuta (uneori cateta, alteori ipotenuza, alteori proiecția), își verifică rezultatul cu Pitagora și nu confundă teorema catetei cu teorema înălțimii. Dacă se blochează, reveniți împreună la demonstrația prin asemănare — înțelegerea „de unde vine" formula elimină memorarea mecanică și greșelile.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema catetei la clasa a 7-a? Teorema catetei spune că, într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză. Pe scurt: $c^2=i\cdot p$.

Care este formula teoremei catetei? Formula este $c^2=i\cdot p$, unde $c$ este cateta, $i$ este ipotenuza, iar $p$ este proiecția catetei pe ipotenuză. Cu notațiile obișnuite din triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$: $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot DC$.

Cum se demonstrează teorema catetei? Se coboară înălțimea din vârful unghiului drept și se observă că triunghiul mic format ($ABD$) este asemenea cu triunghiul mare ($CBA$), după criteriul unghi–unghi. Din proporția laturilor corespunzătoare, $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$, se obține prin înmulțire în cruce $A{B}^2=BC\cdot BD$.

Ce este proiecția unei catete pe ipotenuză? Este „umbra" catetei pe ipotenuză, adică segmentul cuprins între piciorul înălțimii și vârful de care se sprijină cateta. Pentru cateta $AB$ (din vârful $B$) proiecția este $BD$, iar pentru cateta $AC$ (din vârful $C$) proiecția este $DC$. Cele două proiecții însumate dau ipotenuza: $BD+DC=BC$.

Care este diferența dintre teorema catetei și teorema înălțimii? Teorema catetei leagă o catetă de ipotenuză și de proiecția acelei catete ($c^2=i\cdot p$). Teorema înălțimii leagă înălțimea din unghiul drept de cele două proiecții ale catetelor ($h^2=p_1\cdot p_2$, adică $A{D}^2=BD\cdot DC$). Prima are la pătrat o catetă, a doua înălțimea.

Când pot folosi teorema catetei? Doar în triunghiuri dreptunghice și doar când ai (sau poți afla) înălțimea coborâtă din vârful unghiului drept pe ipotenuză. Ai nevoie să cunoști două dintre cele trei mărimi — catetă, ipotenuză, proiecție — ca să o afli pe a treia.

Cum aflu ipotenuza cu teorema catetei? Dacă știi o catetă $c$ și proiecția ei $p$, rearanjezi formula: $i=\frac{c^2}{p}$. De exemplu, dacă $c=6$ și $p=4$, atunci $i=\frac{36}{4}=9$.

Teorema catetei are legătură cu teorema lui Pitagora? Da, foarte strânsă. Dacă aduni cele două relații ale teoremei catetei, $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot DC$, și folosești că $BD+DC=BC$, obții exact $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$, adică teorema lui Pitagora. Teorema catetei „conține" astfel relația lui Pitagora.