Fie $$AO \perp \alpha$$, cu $$d \subset \alpha$$ și $$B \in d$$ astfel încât $$OB \perp d$$. Ce poți afirma despre segmentul $$AB$$?

$$AB \perp d$$, conform teoremei celor trei perpendiculare

Nu putem afirma nimic fără date suplimentare

Fie $$AO \perp \alpha$$ (cu $$O$$ proiecția lui $$A$$ pe planul $$\alpha$$) și $$AB \perp d$$, cu $$d \subset \alpha$$, $$B \in d$$. Conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, ce poți afirma?

Nu rezultă nimic fără date suplimentare

Ce spune teorema celor trei perpendiculare?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Teorema celor trei perpendiculare

Dacă dintr-un punct cobori perpendiculara pe un plan, iar din piciorul ei duci în plan o perpendiculară pe o dreaptă de acolo, atunci și segmentul oblic care unește punctul cu dreapta este perpendicular pe ea. Scris cu litere: din $A O ⊥ α$ , $d \subset α$ și $O B ⊥ d$ rezultă $A B ⊥ d$ . Reciproca funcționează la fel, pornind de la $A B ⊥ d$ .

Ai un plan $α$ și un punct $A$ din afara lui. Cobori din $A$ perpendiculara pe plan și obții piciorul $O$ — proiecția lui $A$ . Dacă în plan mai duci $O B ⊥ d$ (către o dreaptă $d$ din $α$ ), atunci automat rezultă și $A B ⊥ d$ . Asta e toată ideea teoremei celor trei perpendiculare (T3P): perpendicularitatea din plan „urcă" la oblică. Cele trei perpendiculare sunt: $A O ⊥ α$ , $O B ⊥ d$ (în plan) și $A B ⊥ d$ (concluzia).

Există și reciproca: dacă știi deja $A B ⊥ d$ , atunci rezultă $O B ⊥ d$ — merge și invers.

Cea mai folosită aplicație: distanța de la un punct la o dreaptă în spațiu. Găsești proiecția $O$ , calculezi $O B$ (o problemă plană, simplă), apoi aplici Pitagora în triunghiul dreptunghic $A O B$ : $A B = A O^{2} + O B^{2} .$

Exemplu. Dacă $A O = 6$ cm și $O B = 8$ cm, atunci $A B = 36 + 64 = 100 = 10$ cm — aceasta e distanța de la $A$ la $d$ .

În cub sau piramidă, T3P se ascunde: muchia verticală e „ $A O$ ", proiecția unei diagonale e „ $O B$ ", iar diagonala însăși e „ $A B$ ".

De reținut

din $A O ⊥ α$ și $O B ⊥ d$ rezultă $A B ⊥ d$
reciproca: din $A B ⊥ d$ rezultă $O B ⊥ d$
distanța de la punct la dreaptă: $A B = A O^{2} + O B^{2}$

Greșeala tipică

Teorema este folosită fără a verifica întâi că proiecția este perpendiculară pe dreapta din plan, așa că oblica iese perpendiculară pe orice. Fără relația $O B ⊥ d$ , concluzia nu se poate scrie.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A O ⊥ α$ , cu $d \subset α$ și $B \in d$ astfel încât $O B ⊥ d$ . Ce poți afirma despre segmentul $A B$ ?
- a) $A B ⊥ d$ , conform teoremei celor trei perpendiculare
- b) $A B ∥ d$
- c) $A B ⊥ α$
- d) Nu putem afirma nimic fără date suplimentare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A B ⊥ d$ , conform teoremei celor trei perpendiculare

Aceasta este chiar concluzia T3P: din $A O ⊥ α$ și $O B ⊥ d$ (cu $d \subset α$ ) rezultă $A B ⊥ d$ , deoarece $d$ ajunge perpendiculară pe două drepte concurente ( $A O$ și $O B$ ) din planul $(A O B)$ .
Fie piramida $V A B C$ cu $V A ⊥ (A B C)$ . În planul bazei se duce $A N ⊥ B C$ , cu $N \in B C$ . Ce relație rezultă, prin teorema celor trei perpendiculare?
- a) $V N ⊥ B C$
- b) $V N ∥ B C$
- c) $A N ∥ B C$
- d) $V A ∥ B C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $V N ⊥ B C$

$A$ este proiecția lui $V$ pe planul bazei (căci $V A ⊥ (A B C)$ ). Din $V A ⊥ (A B C)$ și $A N ⊥ B C$ (cu $B C \subset (A B C)$ ), prin T3P rezultă $V N ⊥ B C$ , deci $V N$ este distanța de la $V$ la dreapta $B C$ . Celelalte variante sunt false: $A N ⊥ B C$ (dat), deci $A N$ nu poate fi paralelă cu $B C$ ; $V A ⊥ (A B C)$ implică deja $V A ⊥ B C$ , deci $V A$ nu poate fi paralelă cu $B C$ ; iar $V N$ este chiar perpendiculară pe $B C$ , nu paralelă.
Fie $A O ⊥ α$ (cu $O$ proiecția lui $A$ pe planul $α$ ) și $A B ⊥ d$ , cu $d \subset α$ , $B \in d$ . Conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, ce poți afirma?
- a) $O B ⊥ d$
- b) $O B ∥ d$
- c) $A B ⊥ α$
- d) Nu rezultă nimic fără date suplimentare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $O B ⊥ d$

Reciproca T3P spune că, dacă știi deja $A O ⊥ α$ și $A B ⊥ d$ (concluzia), atunci rezultă $O B ⊥ d$ (relația din plan) — implicația merge și invers față de teorema directă.

Întrebări conexe

Ce este proiecția unei oblice pe un plan?

Este segmentul care unește proiecțiile capetelor ei. Dacă oblica este $A B$ , cu $B$ în plan și $O$ proiecția lui $A$ , atunci proiecția oblicei este $O B$ . Ea se vede ca umbra segmentului atunci când lumina cade perpendicular pe plan.

Cum aflu distanța de la vârful piramidei la o latură a bazei?

Cobori din vârf perpendiculara pe planul bazei și marchezi piciorul ei. Din acel picior duci perpendiculara pe latura care te interesează; unind vârful cu capătul obținut, ai chiar distanța cerută. Lungimea se calculează cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format.

Cât e distanța de la punct la dreaptă dacă AO are 5 cm și OB are 12 cm?

Distanța este $13 cm$ . Teorema arată că oblica $A B$ este perpendiculară pe dreaptă, deci ea măsoară distanța. Triunghiul $A O B$ fiind dreptunghic în $O$ , se aplică Pitagora: $A B = 25 + 144 = 169 = 13$ . Tripletul $5$ , $12$ , $13$ este unul dintre numerele pitagorice cunoscute.

Se poate folosi teorema dacă muchia nu e perpendiculară pe bază?

Nu direct. Teorema pornește obligatoriu de la o perpendiculară pe plan; într-o piramidă oarecare muchia laterală este doar oblică. În acest caz cauți mai întâi înălțimea corpului, adică segmentul care chiar cade perpendicular pe bază, și lucrezi cu piciorul ei.

De ce triunghiul format de cele trei puncte este dreptunghic?

Pentru că prima perpendiculară este dusă pe tot planul, deci face unghi drept cu orice dreaptă din el, inclusiv cu proiecția. Unghiul din piciorul perpendicularei are astfel $9 0^{\circ}$ , iar în triunghiul obținut se poate aplica direct teorema lui Pitagora.

Ce se întâmplă dacă piciorul perpendicularei cade chiar pe dreaptă?

Atunci proiecția se reduce la un punct și configurația se strânge: nu mai există segmentul din plan cu care se lucrează. Distanța de la punct la dreaptă devine chiar lungimea perpendicularei pe plan, fiindcă punctul se află exact deasupra dreptei.

Oamenii mai întreabă și: teorema celor trei perpendiculare · t3p în geometria în spațiu · cum se aplică teorema celor trei perpendiculare · reciproca teoremei celor trei perpendiculare · care sunt cele trei perpendiculare