Teorema celor trei perpendiculare

Imaginează-ți un stâlp de iluminat, perfect vertical, plantat lângă o alee dreaptă din parc. De sus, din vârful stâlpului, vrei să întinzi cel mai scurt cablu posibil până la alee. Unde îl fixezi jos? Surpriza este că nu contează cât de sus e vârful: locul cel mai apropiat de vârf, pe alee, este exact locul cel mai apropiat de baza stâlpului. Această legătură simplă între „sus" și „jos" este inima uneia dintre cele mai folosite teoreme din geometria în spațiu de clasa a VIII-a: teorema celor trei perpendiculare, pe scurt T3P. Ea apare constant la Evaluarea Națională, pentru că ne ajută să justificăm perpendicularități pe care nu le „vedem" ușor în desen și să calculăm distanțe în cub, paralelipiped și piramidă. În această lecție o enunțăm riguros, o demonstrăm pas cu pas, îi descoperim reciproca și o punem la treabă în probleme concrete.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect teorema celor trei perpendiculare și să identifici cele trei perpendiculare din figura de referință.
• Vei ști să demonstrezi teorema folosind criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan.
• Vei ști să folosești reciproca teoremei pentru a justifica perpendicularitatea proiecției.
• Vei ști să recunoști configurația T3P în cub, paralelipiped dreptunghic și piramidă.
• Vei ști să aplici teorema pentru a calcula distanțe de la un punct la o dreaptă în spațiu și lungimi de segmente.

Hai să descoperim împreună

Ce știm deja și de ce avem nevoie de o teoremă nouă

Ne bazăm pe câteva idei din lecțiile anterioare, pe care le reamintim scurt (fără să le re-predăm):

• O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan — acesta este criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan din lecția Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan.
• Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.
• Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan, iar proiecția unei drepte oblice este o dreaptă din plan — vezi lecția Proiecții pe un plan.

Iată problema care cere o teoremă nouă. Ai un plan $\alpha$, un punct $A$ situat în afara planului și o dreaptă oarecare $d$ din plan. Vrei să știi cum tragi din $A$ un segment perpendicular pe $d$. A ține un echer în aer și a „ochi" perpendicularitatea nu este o justificare matematică. Teorema celor trei perpendiculare îți dă o rețetă sigură, care se sprijină pe proiecție.

Enunțul teoremei celor trei perpendiculare

Fixăm cu grijă figura de referință. Fie planul $\alpha$ și un punct $A\notin \alpha$. Notăm cu $O$ proiecția lui $A$ pe planul $\alpha$; asta înseamnă $AO\perp \alpha$, cu $O\in \alpha$. Fie $d$ o dreaptă conținută în planul $\alpha$ și fie $B\in d$ punctul din $d$ pentru care $OB\perp d$.

Teorema celor trei perpendiculare (T3P). Dacă:

1. $AO\perp \alpha$ (dreapta $AO$ este perpendiculară pe plan),
2. $OB\perp d$, cu $d\subset \alpha$ și $B\in d$ ($OB$ este perpendiculară, în plan, pe dreapta $d$),

atunci $AB\perp d$ (oblica $AB$ este perpendiculară pe $d$).

De unde numele? Pentru că în joc sunt exact trei perpendiculare, legate una de alta ca într-un lanț:

1. $AO\perp \alpha$ — perpendiculara pe plan (o construiești prin proiecție);
2. $OB\perp d$ — perpendiculara în plan, dusă din proiecția $O$ pe dreapta $d$;
3. $AB\perp d$ — perpendiculara oblică, pe care o obții ca concluzie.

Segmentul $OB$ este chiar proiecția oblicei $AB$ pe planul $\alpha$ (fiindcă $A$ se proiectează în $O$, iar $B$ se proiectează în el însuși, $B$ fiind în plan). Așadar, teorema spune, pe scurt: dacă proiecția $OB$ a oblicei este perpendiculară pe $d$, atunci și oblica $AB$ este perpendiculară pe $d$.

Demonstrația teoremei

Aici este frumusețea lecției: demonstrația e scurtă și folosește exact criteriul dreaptă–plan. O redactăm în stil de examen, cu ipoteză și concluzie.

Ipoteză: $AO\perp \alpha$; $d\subset \alpha$; $B\in d$; $OB\perp d$. Concluzie: $AB\perp d$.

Demonstrație. Vrem să arătăm că dreapta $d$ este perpendiculară pe planul $(AOB)$; de aici va rezulta ușor ce ne trebuie.

Pasul 1. Deoarece $AO\perp \alpha$ și dreapta $d$ este conținută în $\alpha$, rezultă că $AO\perp d$. (O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din plan.)

Pasul 2. Din ipoteză, $OB\perp d$.

Pasul 3. Am obținut că $d$ este perpendiculară pe două drepte, $AO$ și $OB$. Aceste două drepte sunt concurente (se întâlnesc în punctul $O$) și amândouă sunt conținute în planul $(AOB)$. Conform criteriului de perpendicularitate dreaptă–plan, rezultă $$d\perp (AOB).$$

Pasul 4. Dreapta $AB$ este conținută în planul $(AOB)$ (căci $A$ și $B$ sunt puncte ale acestui plan). O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din plan, deci $$d\perp AB,\text{adica˘}AB\perp d.$$

Aceasta era concluzia. $■$

Observă cât de „ieftin" a fost totul: singura idee a fost să prindem $d$ perpendiculară pe două drepte concurente. Reține acest tipar, pentru că exact el se cere la examen.

Reciproca teoremei celor trei perpendiculare

De multe ori la examen ai deja perpendicularitatea oblicei și vrei să deduci ceva despre proiecție. Pentru asta folosim reciproca.

Reciproca T3P. Fie $AO\perp \alpha$ ($O\in \alpha$), $d\subset \alpha$ și $B\in d$. Dacă $AB\perp d$, atunci $OB\perp d$.

Cu alte cuvinte: dacă oblica $AB$ este perpendiculară pe $d$, atunci și proiecția ei $OB$ este perpendiculară pe $d$.

Demonstrație. Pasul 1. Deoarece $AO\perp \alpha$ și $d\subset \alpha$, avem $AO\perp d$. Pasul 2. Din ipoteză, $AB\perp d$. Pasul 3. Dreapta $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente, $AO$ și $AB$ (concurente în $A$), amândouă din planul $(AOB)$. Deci $d\perp (AOB)$. Pasul 4. Cum $OB\subset (AOB)$, rezultă $d\perp OB$, adică $OB\perp d$. $■$

Observă că demonstrația este aproape identică cu cea directă — se schimbă doar rolurile: acolo plecam de la $OB\perp d$, aici plecăm de la $AB\perp d$. Ambele forme se rezumă la o singură idee tare:

$$\boxed{OB\perp d⟺AB\perp d}(\text{caˆnd }AO\perp \alpha ,d\subset \alpha ).$$

Această echivalență este motorul multor probleme: îți permite să „muți" o perpendicularitate din plan (unde e ușor de văzut) la oblică (unde ai nevoie de ea), sau invers.

La ce ne folosește: distanța de la un punct la o dreaptă

Cea mai importantă aplicație practică. Reține din geometria plană că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă. Deci, în figura noastră, $AB\perp d$ înseamnă că $AB$ este distanța de la punctul $A$ la dreapta $d$.

Cum o calculezi cu T3P? Rețeta în trei pași:

1. Găsești proiecția $O$ a punctului $A$ pe plan (adică piciorul perpendicularei $AO$).
2. În plan, duci $OB\perp d$ și afli lungimea $OB$ (distanța de la $O$ la $d$, mai ușor de calculat, fiindcă e o problemă plană).
3. În triunghiul dreptunghic $AOB$ (dreptunghic în $O$, căci $AO\perp \alpha \Rightarrow AO\perp OB$), aplici teorema lui Pitagora: $$AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}.$$ Prin T3P, acest $AB$ este chiar perpendiculara pe $d$, deci este distanța cerută.

Frumusețea metodei: transformi o problemă de spațiu, greu de „văzut", în două probleme plane simple. Vom folosi asta din plin în exemple.

Cum recunoști configurația T3P în corpuri geometrice

La examen, T3P nu apare cu litere $A$, $O$, $B$, $d$, ci ascunsă într-un cub sau într-o piramidă. Iată semnalele care îți spun „aici e T3P":

În piramida cu o muchie laterală perpendiculară pe bază. Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. Atunci $A$ este proiecția vârfului $V$ pe planul bazei. Dacă din $A$ duci $AM\perp BC$ (în planul bazei), atunci automat $VM\perp BC$ (T3P). Deci $VM$ este distanța de la $V$ la dreapta $BC$.

În piramida regulată. Fie $VABCD$ o piramidă patrulateră regulată cu centrul bazei $O$ (deci $VO\perp (ABCD)$). Dacă $M$ este mijlocul laturii $BC$, atunci $OM\perp BC$ (proprietate a pătratului: segmentul din centru la mijlocul laturii). Prin T3P rezultă $VM\perp BC$, adică $VM$ este apotema piramidei. Aceasta e configurația care apare la aproape orice problemă cu piramide regulate.

În cub și paralelipiped dreptunghic. Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Muchia $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, deci $A$ este proiecția lui $A^{\prime }$ pe planul bazei. Latura $BC$ a bazei este perpendiculară pe $AB$ (baza e pătrat), iar $AB$ este proiecția diagonalei de față $A^{\prime }B$. Prin T3P: $A^{\prime }B\perp BC$. La fel se justifică multe perpendicularități între diagonale de față și muchii, care „par" evidente, dar trebuie demonstrate.

Cheia, de fiecare dată, este să identifici cele trei elemente: perpendiculara pe plan (o muchie sau o înălțime verticală), proiecția oblicei pe plan și dreapta din plan pe care vrei perpendicularitatea. Odată ce le vezi, teorema face restul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea celor trei perpendiculare

Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. În planul bazei se duce $AM\perp BC$, $M\in BC$. Identifică cele trei perpendiculare și justifică $VM\perp BC$.

Rezolvare. Fiindcă $VA\perp (ABC)$, punctul $A$ este proiecția lui $V$ pe planul bazei. Cele trei perpendiculare sunt:

• $VA\perp (ABC)$ — perpendiculara pe plan;
• $AM\perp BC$ — perpendiculara în plan, din proiecția $A$ pe dreapta $BC$ (aici $AM$ este proiecția oblicei $VM$);
• $VM\perp BC$ — concluzia.

Aplicăm teorema celor trei perpendiculare: din $VA\perp (ABC)$ și $AM\perp BC$ (cu $BC\subset (ABC)$) rezultă $VM\perp BC$. Prin urmare, $VM$ este distanța de la vârful $V$ la dreapta $BC$.

Exemplul 2 — Perpendicularitate într-un cub

Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $5$ cm. Arată că $A^{\prime }D\perp DC$ și calculează lungimea segmentului $A^{\prime }D$.

Rezolvare. Muchia $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, deci $A$ este proiecția lui $A^{\prime }$ pe planul bazei. Proiecția segmentului $A^{\prime }D$ pe baza $(ABCD)$ este $AD$ (căci $A^{\prime }\to A$ și $D\to D$).

În pătratul $ABCD$ avem $AD\perp DC$ (laturi consecutive ale pătratului). Așadar proiecția $AD$ a oblicei $A^{\prime }D$ este perpendiculară pe $DC$. Prin teorema celor trei perpendiculare rezultă $$A^{\prime }D\perp DC.$$

Lungimea: triunghiul $AD{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$ (fiindcă $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp AD$), cu catetele $AD=5$ și $A{A}^{\prime }=5$. Deci $$A^{\prime }D=\sqrt{A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{cm}.$$

Exemplul 3 — Distanța de la un punct la o latură a bazei

Fie piramida $VABCD$ cu baza pătrat $ABCD$ de latură $8$ cm și $VA\perp (ABCD)$, $VA=6$ cm. Calculează distanța de la vârful $V$ la dreapta $BC$.

Rezolvare. Proiecția lui $V$ pe planul bazei este $A$ (căci $VA\perp (ABCD)$). Ducem, în planul bazei, perpendiculara din $A$ pe $BC$: în pătratul $ABCD$ avem $AB\perp BC$, deci piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ este chiar $B$, iar $AB=8$ cm.

Prin T3P, din $VA\perp (ABCD)$ și $AB\perp BC$ rezultă $VB\perp BC$. Deci $VB$ este distanța de la $V$ la $BC$.

Triunghiul $VAB$ este dreptunghic în $A$ ($VA\perp AB$), deci $$VB=\sqrt{V{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

Distanța de la $V$ la dreapta $BC$ este $10$ cm.

Exemplul 4 — Folosirea reciprocei T3P

Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. Se știe că $VM\perp BC$, unde $M\in BC$. Arată că $AM\perp BC$.

Rezolvare. Aici avem perpendiculara oblicei ($VM\perp BC$) și vrem perpendicularitatea proiecției ($AM$). Este exact situația reciprocei.

Proiecția lui $V$ pe planul bazei este $A$, iar proiecția segmentului $VM$ pe bază este $AM$. Aplicăm reciproca teoremei celor trei perpendiculare: din $VA\perp (ABC)$ și $VM\perp BC$ rezultă $$AM\perp BC.$$

Concluzie: dacă $VM$ este perpendiculară pe $BC$, atunci și $AM$ (proiecția ei în bază) este perpendiculară pe $BC$. Această justificare este esențială când vrei să arăți că $M$ este piciorul înălțimii din $A$ în triunghiul $ABC$.

Exemplul 5 — Piramidă regulată: apotema și înălțimea

Fie piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu baza pătrat de latură $18$ cm și apotema piramidei $VM=15$ cm ($M$ mijlocul laturii $BC$). Justifică perpendicularitățile din configurație și calculează înălțimea $VO$ a piramidei.

Rezolvare. Fie $O$ centrul bazei; într-o piramidă regulată $VO\perp (ABCD)$, deci $O$ este proiecția lui $V$. Segmentul $OM$ unește centrul pătratului cu mijlocul laturii $BC$, deci $OM\perp BC$ și $$OM=\frac{\text{latura}}{2}=\frac{18}{2}=9\text{cm}.$$

Prin teorema celor trei perpendiculare, din $VO\perp (ABCD)$ și $OM\perp BC$ rezultă $VM\perp BC$ — de aceea $VM$ se numește apotema piramidei, iar triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$.

Din teorema lui Pitagora în triunghiul $VOM$: $$VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$

Înălțimea piramidei este $VO=12$ cm.

Exemplul 6 — Problemă aplicată (item tip Evaluare Națională)

Un stâlp vertical $AO$ este fixat în punctul $O$ al unui teren orizontal $\alpha$, având înălțimea $AO=24$ m. Prin teren trece o potecă dreaptă $d$. Distanța de la baza $O$ a stâlpului la potecă este $OB=7$ m ($B\in d$, $OB\perp d$). Calculează distanța de la vârful $A$ al stâlpului la potecă și arată că segmentul $AB$ este cel mai scurt drum de la vârf la potecă.

Rezolvare. Terenul este planul $\alpha$, stâlpul $AO\perp \alpha$, iar $O$ este proiecția vârfului $A$. Deoarece $OB\perp d$ (cu $d\subset \alpha$), prin teorema celor trei perpendiculare rezultă $AB\perp d$. Cum $AB$ este perpendiculara din $A$ pe dreapta $d$, ea reprezintă distanța de la $A$ la potecă (perpendiculara este cel mai scurt segment de la un punct la o dreaptă).

Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$ ($AO\perp \alpha \Rightarrow AO\perp OB$): $$AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\text{m}.$$

Distanța de la vârful stâlpului la potecă este $25$ m.

Să exersăm

1. Completează enunțul: „Dacă $AO\perp \alpha$, $d\subset \alpha$ și $OB\perp \dots$, atunci $AB\perp \dots$." Ce nume poartă $OB$ față de segmentul $AB$?

2. Fie $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$ și $AM\perp BC$, $M\in BC$. Ce concluzie tragi despre $VM$ și $BC$? Justifică printr-o singură propoziție.

3. Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $6$ cm. Arată că $A^{\prime }B\perp BC$ și calculează lungimea lui $A^{\prime }B$.

4. Fie piramida $VABCD$ cu baza pătrat $ABCD$ de latură $12$ cm și $VA\perp (ABCD)$, $VA=5$ cm. Calculează distanța de la $V$ la dreapta $CD$.

5. În configurația din problema 4, precizează care segment reprezintă proiecția oblicei $VD$ pe planul bazei și care este lungimea acestei proiecții.

6. (Adevărat/Fals cu justificare) „Dacă $AO\perp \alpha$ și $OB$ formează un unghi de $70^{\circ }$ cu dreapta $d\subset \alpha$, atunci $AB\perp d$."

7. (Adevărat/Fals cu justificare) „Reciproca teoremei celor trei perpendiculare afirmă că, dacă oblica $AB$ este perpendiculară pe $d$, atunci și proiecția ei $OB$ este perpendiculară pe $d$."

8. Un punct $A$ se proiectează pe planul $\alpha$ în punctul $O$, cu $AO=12$ cm. O dreaptă $d\subset \alpha$ se află la distanța $OB=9$ cm de $O$ ($OB\perp d$). Calculează distanța de la $A$ la dreapta $d$.

9. Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. Se știe că $VM\perp BC$, $M\in BC$. Ce poți spune despre poziția lui $AM$ față de $BC$ și cum se numește teorema folosită?

10. Fie paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=15$ cm. Arată că $A^{\prime }B\perp BC$ și calculează distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BC$.

11. Fie piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu latura bazei $16$ cm și înălțimea $VO=6$ cm. Calculează apotema piramidei $VM$ ($M$ mijlocul laturii $BC$), justificând că $VM\perp BC$.

12. (Item tip Evaluare Națională) Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$, $VA=6$ cm, iar $ABC$ triunghi echilateral de latură $12$ cm. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$.   a) Arată că $VM\perp BC$.   b) Calculează $AM$ și $VM$.   c) Determină măsura unghiului dintre planul $(VBC)$ și planul bazei $(ABC)$.

13. (Adevărat/Fals cu justificare) „În orice piramidă $VABCD$ cu $VA\perp (ABCD)$, distanța de la $V$ la latura $BC$ este egală cu muchia $VA$."

14. Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$. Arată, folosind T3P, că $D^{\prime }A\perp AB$ și calculează $D^{\prime }A$ în funcție de $a$.

15. O antenă verticală $VO$ are înălțimea $VO=40$ m și este fixată în punctul $O$ al unei terase orizontale. Marginea dreaptă $d$ a terasei se află la $30$ m de $O$ (măsurat perpendicular). Calculează lungimea celui mai scurt cablu care leagă vârful $V$ al antenei de marginea $d$ și justifică de ce acest cablu este perpendicular pe $d$.

Răspunsuri și explicații

1. $OB\perp d$ și $AB\perp d$. Segmentul $OB$ este proiecția oblicei $AB$ pe planul $\alpha$. (Reformulează chiar enunțul teoremei.)

2. $VM\perp BC$. Justificare: din $VA\perp (ABC)$ și $AM\perp BC$, prin teorema celor trei perpendiculare rezultă $VM\perp BC$.

3. $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, deci proiecția lui $A^{\prime }B$ pe bază este $AB$; în pătratul bazei $AB\perp BC$, deci prin T3P $A^{\prime }B\perp BC$. Lungime: $A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm.

4. Proiecția lui $V$ este $A$. În pătrat, $AD\perp DC$, deci piciorul perpendicularei din $A$ pe $CD$ este $D$, cu $AD=12$. Prin T3P, $VD\perp CD$, deci distanța cerută este $VD=\sqrt{V{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.

5. Proiecția oblicei $VD$ pe planul bazei este segmentul $AD$ (căci $V\to A$ și $D\to D$), cu lungimea $AD=12$ cm (latura pătratului).

6. Fals. Teorema cere ca proiecția $OB$ să fie perpendiculară ($90^{\circ }$) pe $d$. Dacă unghiul dintre $OB$ și $d$ este $70^{\circ }$, condiția nu este îndeplinită, iar $AB$ nu este, în general, perpendiculară pe $d$.

7. Adevărat. Exact acesta este enunțul reciprocei: dacă $AO\perp \alpha$ și $AB\perp d$, atunci proiecția $OB$ verifică $OB\perp d$.

8. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$ ($AO\perp \alpha \Rightarrow AO\perp OB$); prin T3P, $AB\perp d$, deci $AB$ este distanța cerută: $AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.

9. $AM\perp BC$. Se folosește reciproca teoremei celor trei perpendiculare (proiecția $AM$ a oblicei $VM$ este perpendiculară pe $BC$).

10. $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, deci proiecția lui $A^{\prime }B$ este $AB$; în dreptunghiul bazei $AB\perp BC$, deci prin T3P $A^{\prime }B\perp BC$, iar $A^{\prime }B$ este distanța de la $A^{\prime }$ la $BC$. Calcul: $A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.

11. $OM$ unește centrul pătratului cu mijlocul laturii $BC$, deci $OM\perp BC$ și $OM=16/2=8$ cm. Prin T3P ($VO\perp$ bază, $OM\perp BC$) rezultă $VM\perp BC$. În triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.

12. a) Proiecția lui $V$ este $A$; în triunghiul echilateral, mediana $AM$ este și înălțime, deci $AM\perp BC$. Prin T3P rezultă $VM\perp BC$. b) $AM$ este înălțimea triunghiului echilateral de latură $12$: $AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm. Apoi, în triunghiul $VAM$ dreptunghic în $A$: $VM=\sqrt{V{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$ cm. c) Muchia comună a planelor $(VBC)$ și $(ABC)$ este $BC$. Cum $VM\perp BC$ și $AM\perp BC$, unghiul diedru are ca măsură unghiul $\angle VMA$. În triunghiul $VAM$ dreptunghic în $A$: $\mathrm{tg}(\angle VMA)=\frac{VA}{AM}=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $\angle VMA=30^{\circ }$. Unghiul dintre planul $(VBC)$ și baza $(ABC)$ este de $30^{\circ }$.

13. Fals. Distanța de la $V$ la $BC$ este $VB=\sqrt{V{A}^2+A{B}^2}$ (când $AB\perp BC$), care este strict mai mare decât $VA$, deoarece $AB>0$. Muchia $VA$ este distanța de la $V$ la punctul $A$, nu la dreapta $BC$, deci afirmația nu poate fi adevărată.

14. $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$; proiecția oblicei $D^{\prime }A$ pe bază — atenție, $D^{\prime }\to D$ și $A\to A$, deci proiecția este $DA$. În pătrat, $DA\perp AB$ (laturi consecutive), deci prin T3P $D^{\prime }A\perp AB$. Lungime: $D^{\prime }A=\sqrt{D{A}^2+D{D}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

15. Antena $VO\perp$ terasă, $O$ = proiecția lui $V$. Cum $d$ este la $30$ m de $O$ măsurat perpendicular, avem $OB\perp d$ cu $OB=30$. Prin T3P, $VB\perp d$, deci $VB$ este cel mai scurt segment (perpendiculara) de la $V$ la $d$. Lungime: $VB=\sqrt{V{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ m.

De reținut

• Teorema celor trei perpendiculare (T3P): dacă $AO\perp \alpha$, $d\subset \alpha$ și $OB\perp d$ (cu $B\in d$), atunci $AB\perp d$. Cele trei perpendiculare sunt: pe plan ($AO$), în plan pe dreaptă ($OB$), oblica pe dreaptă ($AB$).
• Reciproca T3P: dacă $AO\perp \alpha$ și $AB\perp d$, atunci $OB\perp d$. Pe scurt: $OB\perp d⟺AB\perp d$.
• $OB$ este proiecția oblicei $AB$ pe plan. Perpendicularitatea proiecției și cea a oblicei „merg împreună".
• Distanța de la un punct la o dreaptă în spațiu: găsești proiecția $O$, duci $OB\perp d$ în plan, apoi $AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}$ este distanța.
• În corpuri: caută perpendiculara pe plan (muchie sau înălțime verticală), proiecția oblicei și dreapta din plan — atunci configurația T3P e la vedere.

Greșeli frecvente

• Uiți condiția $OB\perp d$. Teorema NU spune că orice oblică e perpendiculară pe $d$; funcționează doar dacă proiecția $OB$ este perpendiculară pe $d$. Fără această perpendicularitate în plan, concluzia nu ține.
• Confuzi proiecția. Proiecția oblicei $AB$ este $OB$, unde $O$ este proiecția lui $A$. Elevii încurcă des punctul care se proiectează (se proiectează $A$, nu $B$ — $B$ e deja în plan). Desenează întâi perpendiculara pe plan și marchează $O$.
• Aplici teorema fără să verifici că $AO\perp \alpha$. Într-o piramidă oarecare, muchia laterală nu e neapărat perpendiculară pe bază. Folosește T3P doar când perpendicularitatea pe plan este dată sau demonstrată (muchie perpendiculară, înălțime la piramidă regulată etc.).
• Confuzi teorema cu reciproca ei. Directa pornește de la $OB\perp d$ și dă $AB\perp d$; reciproca pornește de la $AB\perp d$ și dă $OB\perp d$. Uită-te ce ai în ipoteză (perpendiculara oblicei sau a proiecției) și alege forma potrivită.

Aplică acasă

• Stâlpul din curte. Alege un obiect vertical din curte sau din casă (un stâlp, piciorul mesei, un dulap lipit de perete) și o linie dreaptă pe podea (rostul dintre gresii, marginea unui covor). Măsoară înălțimea obiectului și distanța de la baza lui până la linie (perpendicular). Calculează, cu $AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}$, distanța de la vârf la linie și verifică apoi cu o sfoară întinsă cât de aproape ai nimerit.
• Cutia de carton. Ia o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic. Alege o diagonală a unei fețe și o muchie a bazei perpendiculară pe proiecția ei. Măsoară muchiile și calculează, cu T3P, distanța de la un colț de sus la o muchie de jos. Compară rezultatul cu măsurarea directă cu rigla.
• Detectiv de perpendicularități. Desenează un cub și scrie cinci perechi de segmente (diagonală de față – muchie a bazei) care sunt perpendiculare din cauza T3P. Pentru fiecare, notează care este perpendiculara pe plan, care este proiecția și care este dreapta din plan.

Pentru părinți și profesori

Teorema celor trei perpendiculare este, alături de calculul distanțelor, cel mai „rentabil" instrument din geometria în spațiu de clasa a VIII-a: apare an de an la Evaluarea Națională, de obicei în subiectul III, la piramide, cuburi și paralelipipede, unde se cere justificarea unei perpendicularități sau calculul unei distanțe / al unui unghi diedru.

Cum verificați dacă elevul a înțeles, dincolo de a memora enunțul:

• Cereți-i să numească pe desen cele trei perpendiculare într-o piramidă $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. Dacă poate arăta cu degetul care e perpendiculara pe plan, care e proiecția și care e oblica, a înțeles configurația.
• Puneți întrebarea „de control": De ce nu putem spune direct că $VM\perp BC$, fără teoremă? Răspunsul corect arată că elevul înțelege că perpendicularitatea în spațiu trebuie demonstrată, nu „văzută".
• Verificați dacă distinge directa de reciprocă: dați-i o problemă în care se cunoaște $VM\perp BC$ și se cere $AM\perp BC$ — dacă recunoaște că aici e reciproca, stăpânește lecția.
• La calcule, urmăriți dacă folosește corect triunghiul dreptunghic $AOB$ și teorema lui Pitagora; multe greșeli de examen vin din confundarea catetelor cu ipotenuza.

Un sprijin foarte eficient este redactarea „ca la examen": ipoteză, teoremă invocată pe nume, concluzie. Baremele acordă punctaj pentru justificarea perpendicularității (menționarea explicită a T3P), nu doar pentru rezultatul numeric.

Întrebări frecvente

Ce spune, pe scurt, teorema celor trei perpendiculare? Spune că, dacă dintr-un punct $A$ dinafara unui plan cobori perpendiculara $AO$ pe plan, iar din piciorul $O$ duci perpendiculara $OB$ pe o dreaptă $d$ din plan, atunci și oblica $AB$ este perpendiculară pe $d$. Adică perpendicularitatea „se transmite" de la proiecția $OB$ la oblica $AB$.

De ce se numește „a celor trei perpendiculare"? Pentru că în figură apar trei perpendiculare înlănțuite: $AO$ perpendiculară pe plan, $OB$ perpendiculară pe dreapta $d$ în plan și $AB$ perpendiculară pe $d$ (concluzia). Numele numără chiar aceste trei relații de perpendicularitate.

Cum demonstrez teorema celor trei perpendiculare la clasa a 8-a? Arăți întâi că $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente din planul $(AOB)$: pe $AO$ (fiindcă $AO\perp$ plan, deci $AO\perp d$) și pe $OB$ (din ipoteză). Rezultă $d\perp (AOB)$, iar cum $AB$ e în acest plan, obții $d\perp AB$. Este exact criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan.

Care este diferența dintre teoremă și reciproca ei? Teorema directă pornește de la perpendicularitatea proiecției ($OB\perp d$) și dă perpendicularitatea oblicei ($AB\perp d$). Reciproca face invers: pornește de la $AB\perp d$ și obține $OB\perp d$. Folosești directa când cunoști perpendiculara din plan și reciproca când cunoști perpendiculara oblicei.

La ce mă ajută T3P în probleme? Mai ales la calculul distanței de la un punct la o dreaptă în spațiu și la determinarea unghiului diedru. Îți garantează că un anumit segment este perpendicular (deci este chiar distanța sau apotema), pe care apoi îl calculezi cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $AOB$.

Cum recunosc configurația T3P într-un cub sau într-o piramidă? Caută o perpendiculară pe plan (o muchie verticală ca $A{A}^{\prime }$ sau înălțimea unei piramide regulate $VO$), apoi proiecția unei diagonale sau muchii oblice pe planul bazei, și o dreaptă din bază perpendiculară pe acea proiecție. Dacă găsești aceste trei elemente, teorema se aplică imediat.

Trebuie ca $OB$ să fie neapărat perpendiculară pe $d$? Da, este condiția esențială. Dacă $OB$ face un unghi diferit de $90^{\circ }$ cu $d$, teorema nu se aplică și oblica $AB$ nu va fi, în general, perpendiculară pe $d$. Fără perpendicularitatea proiecției nu ai nicio concluzie.

Unde apare teorema celor trei perpendiculare la Evaluarea Națională? Apare frecvent în problemele de geometrie în spațiu din subiectul III (piramide, cuburi, paralelipipede), unde ți se cere să justifici o perpendicularitate sau să calculezi o distanță ori un unghi diedru. Redactarea corectă, cu menționarea explicită a teoremei, aduce puncte la barem. Pentru continuare, vezi lecția Distanțe în spațiu. Înălțimi în corpuri.