Fără să faci împărțirea, precizează ce tip de fracție zecimală obții din $$\dfrac{7}{24}$$, analizând descompunerea numitorului în factori primi.

Fracție zecimală periodică mixtă

Fracție zecimală periodică simplă

Nu se poate stabili fără a face împărțirea

Fără să faci împărțirea, precizează ce tip de fracție zecimală obții din $$\dfrac{4}{9}$$, analizând descompunerea numitorului în factori primi.

Fracție zecimală periodică simplă

Fracție zecimală periodică mixtă

Nu se poate stabili fără a face împărțirea

Cum transform o fracție ordinară în zecimală?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Fracție ordinară în zecimală periodică

Împarți numărătorul la numitor, exact ca într-o împărțire obișnuită, doar că după virgulă continui coborând zerouri. Când la un moment dat restul ajunge 0, împărțirea se oprește și rezultatul este o zecimală finită: $3 : 8 = 0, 375$ . Când restul nu se face niciodată 0, un grup de cifre începe să se repete, iar acel grup se numește perioadă și se scrie în paranteză: $1 : 3 = 0, (3)$ . Alt drum nu există.

Pentru a transforma o fracție ordinară $\frac{a}{b}$ în fracție zecimală, împărțim numărătorul la numitor. Dacă la un moment dat restul devine 0, obținem o fracție zecimală finită. Dacă restul nu devine niciodată 0, resturile posibile fiind limitate (cel mult $b - 1$ ), un rest se va repeta obligatoriu, iar cifrele corespunzătoare formează o perioadă, scrisă între paranteze: $\frac{1}{3} = 0, (3)$ .

O fracție periodică este periodică simplă dacă perioada începe imediat după virgulă ( $0, (45)$ ) și periodică mixtă dacă între virgulă și perioadă există o parte neperiodică ( $0, 58 (3)$ ).

Truc rapid: aducem fracția la forma ireductibilă și analizăm numitorul — dacă acesta conține doar factorii $2$ și/sau $5$ , zecimala e finită; dacă apare orice alt factor prim, zecimala e periodică.

Exemplu: $\frac{5}{6}$ , cu $6 = 2 \cdot 3$ , conține factorul 3, deci e periodică; efectiv $5 : 6 = 0, 8 (3)$ , periodic mixt.

De reținut

linia de fracție înseamnă împărțire
după simplificare, numitor cu factorii doar 2 și 5 dă zecimală finită
orice alt factor prim rămas în numitorul ireductibil dă zecimală periodică
în paranteză intră doar perioada, nu și partea neperiodică

Greșeala tipică

Se închide în paranteză și partea care nu se repetă, deci $0, 58 (3)$ ajunge scris $0, (583)$ . Perioada cuprinde numai cifrele care revin la nesfârșit, iar restul rămâne în afara parantezei.

Exerciții din această mini-lecție

Fără să faci împărțirea, precizează ce tip de fracție zecimală obții din $\frac{7}{24}$ , analizând descompunerea numitorului în factori primi.
- a) Fracție zecimală finită
- b) Fracție zecimală periodică simplă
- c) Fracție zecimală periodică mixtă
- d) Nu se poate stabili fără a face împărțirea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Fracție zecimală periodică mixtă

Fracția $\frac{7}{24}$ este deja ireductibilă (7 nu se simplifică cu 24). Descompunem numitorul: $24 = 2^{3} \cdot 3$ . Apare și factorul 3 (pe lângă factorii de 2), deci zecimala este periodică; iar prezența factorului 2 alături de 3 arată că perioada nu începe chiar de la virgulă, deci este periodică mixtă (verificare: $7 : 24 = 0, 291 \overline{6} = 0, 291 (6)$ ).
Fără să faci împărțirea, precizează ce tip de fracție zecimală obții din $\frac{4}{9}$ , analizând descompunerea numitorului în factori primi.
- a) Fracție zecimală finită
- b) Fracție zecimală periodică simplă
- c) Fracție zecimală periodică mixtă
- d) Nu se poate stabili fără a face împărțirea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Fracție zecimală periodică simplă

Fracția $\frac{4}{9}$ este ireductibilă (4 și 9 nu au factori comuni). Descompunem numitorul: $9 = 3^{2}$ . Nu conține deloc factorii 2 sau 5, doar factorul 3, deci zecimala este periodică, iar cum lipsesc factorii 2 și 5, perioada începe imediat după virgulă: este periodică simplă (verificare: $4 : 9 = 0, (4)$ ).
Care dintre fracțiile de mai jos (toate ireductibile) se transformă într-o fracție zecimală finită?
- a) $\frac{5}{6}$
- b) $\frac{3}{8}$
- c) $\frac{7}{12}$
- d) $\frac{2}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{3}{8}$

Descompunem fiecare numitor în factori primi. $6 = 2 \cdot 3$ — apare factorul 3, deci zecimala e periodică ( $5 : 6 = 0, 8 (3)$ ). $8 = 2^{3}$ — doar factorul 2, deci zecimala este finită ( $3 : 8 = 0, 375$ ). $12 = 2^{2} \cdot 3$ — apare 3, deci periodică ( $7 : 12 = 0, 58 (3)$ ). $15 = 3 \cdot 5$ — apare 3, deci periodică ( $2 : 15 = 0, 1 (3)$ ). Răspunsul corect este $\frac{3}{8}$ .

Întrebări conexe

De ce simplific fracția înainte de a decide tipul zecimalei?

Fiindcă numitorul de dinainte de simplificare poate ascunde factori care oricum dispar. Fracția $\frac{9}{15}$ pare periodică din cauza lui 3, dar simplificată devine $\frac{3}{5}$ , adică $0, 6$ , o zecimală finită. Decizia se ia numai pe forma ireductibilă.

Câte cifre poate avea o perioadă?

Cel mult cu una mai puțin decât numitorul, fiindcă atâtea resturi diferite pot apărea. La împărțirea cu 7 perioada are șase cifre, la împărțirea cu 3 are una singură. De îndată ce un rest se repetă, se repetă și cifrele care urmează după el.

Ce diferență e între $0, 3$ și $0, (3)$ ?

Primul număr are o singură zecimală și apoi numai zerouri, deci valorează exact trei zecimi. Al doilea are cifra 3 repetată la nesfârșit, deci este ceva mai mare, adică o treime. Paranteza schimbă complet valoarea, nu doar scrierea.

De ce resturile se repetă la o împărțire?

Pentru că la împărțirea cu un număr $b$ pot apărea doar resturile de la 0 la $b - 1$ , adică un stoc limitat. Dacă niciunul nu este 0, după cel mult $b - 1$ pași un rest revine, iar de acolo calculul reia aceleași cifre. Așa se naște perioada.

Cât este $\frac{1}{7}$ scris ca zecimală?

Este $0, (142857)$ , cu o perioadă de șase cifre. Împărțind 1 la 7 apar pe rând resturile 3, 2, 6, 4, 5, 1, iar când restul 1 revine, cifrele o iau de la capăt. Aceleași șase cifre apar, în alte ordini, și la $\frac{2}{7}$ sau $\frac{3}{7}$ .

Oamenii mai întreabă și: fracție ordinară în zecimală · cum transform o fracție în număr cu virgulă · din fracție în zecimală · fracție ordinară transformată în zecimală