Transformarea fracției ordinare în zecimală; periodicitate; fracții zecimale periodice

Ai învățat deja să transformi o fracție zecimală finită în fracție ordinară. Acum facem drumul invers și descoperim ceva fascinant: când împărțim numărătorul la numitor, uneori împărțirea se termină frumos, dar alteori cifrele de după virgulă încep să se repete la nesfârșit, ca un refren dintr-un cântec. Aceste numere se numesc fracții zecimale periodice, iar în această lecție vei învăța să le recunoști, să le scrii corect și chiar să le transformi înapoi în fracții ordinare.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi o fracție ordinară în fracție zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor.
• Vei ști să deosebești o fracție zecimală finită de una periodică.
• Vei ști ce este perioada unei fracții zecimale și cum se scrie cu paranteză.
• Vei ști să deosebești o fracție periodică simplă de una periodică mixtă.
• Vei ști să transformi o fracție zecimală periodică înapoi într-o fracție ordinară.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, linia de fracție

Îți amintești un secret important pe care l-ai întâlnit la fracții: linia de fracție este un semn de împărțire. Asta înseamnă că fracția $\frac{3}{4}$ nu este altceva decât „3 împărțit la 4". Tot ce avem de făcut ca să aflăm numărul zecimal este să efectuăm chiar această împărțire.

Așadar regula de bază este foarte simplă:

Pentru a transforma o fracție ordinară în fracție zecimală, împărțim numărătorul la numitor.

Acesta este același procedeu pe care l-ai exersat în lecția împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală. Diferența este că acum ne uităm cu atenție la ce fel de rezultat obținem.

De ce avem nevoie de acest drum, din fracție ordinară în zecimală? Pentru că în viața de zi cu zi cele două forme se întâlnesc amestecat. Pe etichetele din magazin prețurile sunt zecimale ($3,50$ lei), pe banda de atletism distanțele sunt zecimale, dar la școală problemele pornesc adesea de la fracții ordinare („a treia parte din...", „două cincimi din..."). Ca să le poți compara și calcula împreună, trebuie să le poți trece dintr-o formă în alta. Iar uneori, când faci această trecere, descoperi numere zecimale neașteptate, care nu se mai opresc — exact subiectul lecției de azi.

2. Prima poveste: împărțirea care se termină

Hai să transformăm $\frac{3}{4}$ în număr zecimal. Împărțim 3 la 4. Cum 3 este mai mic decât 4, partea întreagă este 0 și punem virgulă.

• 3 la 4 = 0, rest 3. Scriem „0," și coborâm un zero: avem 30.
• 30 : 4 = 7, pentru că $7\cdot 4=28$, rest 2. Scriem 7. Coborâm un zero: avem 20.
• 20 : 4 = 5, pentru că $5\cdot 4=20$, rest 0.

Restul a devenit 0, deci împărțirea s-a terminat. Am obținut:

$$\frac{3}{4}=0,75$$

Când împărțirea se oprește pentru că ajungem la restul 0, spunem că am obținut o fracție zecimală finită (finită = are un sfârșit, un număr fix de zecimale).

Alte exemple de fracții care dau zecimale finite:

$$\frac{1}{2}=0,5\frac{1}{4}=0,25\frac{3}{8}=0,375\frac{7}{20}=0,35$$

3. A doua poveste: împărțirea care nu se mai termină niciodată

Acum hai să încercăm $\frac{1}{3}$. Împărțim 1 la 3.

• 1 : 3 = 0, rest 1. Scriem „0," și coborâm un zero: avem 10.
• 10 : 3 = 3, pentru că $3\cdot 3=9$, rest 1. Scriem 3. Coborâm un zero: iar 10.
• 10 : 3 = 3, rest 1 din nou. Scriem 3. Coborâm un zero: iar 10.
• ... și tot așa, la nesfârșit!

Observă ce s-a întâmplat: restul 1 se repetă mereu, deci și cifra 3 de la cât se repetă mereu. Împărțirea nu se mai termină niciodată:

$$\frac{1}{3}=0,3333\dots$$

Un astfel de număr, în care de la un loc încolo o grupă de cifre se repetă la infinit, se numește fracție zecimală periodică.

4. Perioada și scrierea cu paranteză

Cifra (sau grupul de cifre) care se repetă la nesfârșit se numește perioadă. Ca să nu scriem o mie de cifre, matematicienii au inventat un semn scurt și elegant: punem perioada o singură dată și o închidem într-o paranteză rotundă.

$$\frac{1}{3}=0,(3)$$

Citim: „zero virgulă, perioadă 3". Parantezul ne spune: „cifra dinăuntru se repetă la infinit".

Iată câteva exemple importante de reținut:

$$\frac{2}{3}=0,(6)\frac{1}{9}=0,(1)\frac{5}{11}=0,(45)\frac{1}{7}=0,(142857)$$

La $\frac{5}{11}$ se repetă grupul „45", deci perioada are două cifre. La $\frac{1}{7}$ se repetă chiar șase cifre: „142857". Oricât de lungă ar fi perioada, principiul e același.

5. De ce restul nu poate decât să se repete

Te-ai întrebat poate: de ce trebuie ca o împărțire să se termine sau să devină periodică? Nu ar putea cifrele să fie complet la întâmplare la infinit?

Gândește-te ce resturi sunt posibile când împărțim la un număr. La împărțirea cu 7, resturile pot fi doar 0, 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 — doar 7 valori posibile. Dacă restul devine vreodată 0, împărțirea se termină. Dacă nu, după cel mult 6 pași un rest trebuie neapărat să se repete (n-avem de unde lua altele noi). Iar din momentul în care un rest se repetă, toată secvența de cifre de la cât se repetă identic. Deci o fracție ordinară dă mereu fie o zecimală finită, fie una periodică — niciodată ceva haotic la infinit.

Ca o mică poveste: imaginează-ți că la fiecare pas al împărțirii pui restul într-un sertar dintr-un dulap cu doar 7 sertare (la împărțirea cu 7). Tragi pe rând câte un sertar. Cum sunt doar 7 sertare, mai devreme sau mai târziu deschizi un sertar pe care l-ai mai deschis — și din acel moment urmează exact aceeași poveste ca prima dată. Tocmai de aceea perioada lui $\frac{1}{7}$ are cel mult 6 cifre: după 6 resturi nenule, al șaptelea trebuie să repete unul dinainte. Această idee simplă — că „nu ai de unde lua resturi noi la infinit" — stă la baza întregii periodicități.

6. Cum știu dinainte dacă va fi finită sau periodică?

Există un truc rapid, util mai ales la verificare. Aducem fracția la forma ireductibilă (cea mai simplă, după simplificare) și ne uităm la numitor:

• Dacă numitorul, descompus, conține doar factori de 2 și/sau de 5, atunci zecimala este finită. (De ce? Pentru că 2 și 5 sunt „prietenii" lui 10, baza sistemului zecimal.)
• Dacă numitorul mai conține și alt factor (3, 7, 11, 13...), atunci zecimala este periodică.

Exemple:

• $\frac{7}{40}$: numitorul $40=2^3\cdot 5$ → doar 2 și 5 → finită ($0,175$).
• $\frac{5}{6}$: numitorul $6=2\cdot 3$ → apare un 3 → periodică ($0,8(3)$).
• $\frac{9}{15}$: pare să aibă un 3 și un 5, dar întâi simplificăm: $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ → doar 5 → finită ($0,6$). Vezi cât e de important să simplificăm întâi!

7. Periodic simplu și periodic mixt

Nu toate fracțiile periodice arată la fel. Le împărțim în două familii, după ce se află între virgulă și paranteză.

a) Periodic simplu — perioada începe imediat după virgulă, nu mai e nimic între virgulă și paranteză.

$$0,(3)0,(6)0,(45)2,(142857)$$

b) Periodic mixt — între virgulă și paranteză există una sau mai multe cifre care nu se repetă. Aceste cifre se numesc partea neperiodică.

$$0,1(6)0,58(3)0,0(45)$$

La $0,1(6)$, cifra 1 stă singură (nu se repetă), iar 6 este perioada. La $0,58(3)$, grupul „58" este partea neperiodică, iar 3 este perioada.

Reține diferența: simplu = perioada lipită de virgulă; mixt = ceva între virgulă și perioadă.

O analogie care ajută: gândește-te la un tren. La periodic simplu, vagoanele care se repetă pleacă chiar din gară (din dreptul virgulei). La periodic mixt, întâi trece o locomotivă singură (partea neperiodică) și abia apoi încep vagoanele identice care se tot repetă (perioada). În ambele cazuri „trenul" este infinit, dar startul e diferit.

Hai să mai antrenăm ochiul cu câteva exemple. Privește fiecare număr și spune singur ce tip este, înainte de a citi răspunsul:

• $0,(8)$ → periodic simplu (perioada 8 chiar după virgulă).
• $0,3(8)$ → periodic mixt (cifra 3 e neperiodică, 8 e perioada).
• $0,(38)$ → periodic simplu (perioada are două cifre: 38).
• $0,41(6)$ → periodic mixt (partea neperiodică „41", perioada „6").
• $5,(2)$ → periodic simplu (întregul 5 nu intră în discuție; după virgulă, 2 se repetă imediat).

Observă un lucru important: partea întreagă (cifra din fața virgulei) nu schimbă tipul. Indiferent câte cifre are întregul, ne uităm doar la ce se întâmplă după virgulă ca să decidem simplu sau mixt.

8. Drumul invers: din zecimală periodică în fracție ordinară

Acum vine partea cea mai surprinzătoare: orice fracție zecimală periodică se poate scrie ca o fracție ordinară! Există două rețete, una pentru fiecare familie.

Regula pentru periodic simplu

La numărător scriem perioada. La numitor scriem atâția de 9 câte cifre are perioada.

• $0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ (perioada are 1 cifră → un 9)
• $0,(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$ (perioada are 2 cifre → doi de 9)
• $0,(7)=\frac{7}{9}$
• $0,(123)=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$ (perioada are 3 cifre → trei de 9)

Regula pentru periodic mixt

La numărător scriem (partea neperiodică urmată de perioadă) minus partea neperiodică. La numitor scriem atâția de 9 câte cifre are perioada, urmați de atâția de 0 câte cifre are partea neperiodică.

Sună complicat, dar pe un exemplu e ușor. Luăm $0,1(6)$:

• Partea neperiodică este „1", iar partea neperiodică-urmată-de-perioadă este „16".
• Numărător: $16-1=15$.
• Perioada are 1 cifră → un 9. Partea neperiodică are 1 cifră → un 0. Numitor: $90$.

$$0,1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$$

Verifică tu: $1:6=0,1666\dots =0,1(6)$. Se potrivește perfect! Asta e frumusețea matematicii — drumul dus și drumul întors te aduc mereu la același loc.

Vom exersa amândouă regulile în exemplele rezolvate.

9. Câteva fracții utile de știut pe de rost

Așa cum știi tabla înmulțirii, e bine să ai în minte câteva transformări des întâlnite. Le vei recunoaște imediat la teste și în viața de zi cu zi (rețete, bani, sport):

Privește cu atenție: toate fracțiile cu numitor $2,4,5,8$ dau zecimale finite (sunt „prietenele" lui 10), pe când cele cu numitor $3,6,9$ dau zecimale periodice. Asta confirmă încă o dată trucul de la pasul 6. Nu e nevoie să le memorezi cu forța — dacă faci des exerciții, ți se vor fixa singure în minte.

10. Cum compari un număr periodic cu unul finit

Un loc unde elevii se încurcă des este compararea: cine e mai mare, $0,3$ sau $0,(3)$? La prima vedere par „același lucru", însă nu sunt. Secretul este să desfaci paranteza scriind câteva cifre din perioadă și apoi să completezi cu zerouri numărul finit, ca să aibă tot atâtea zecimale. Așa le poți compara cifră cu cifră, exact ca la numerele naturale.

$$0,3=0,3\text{0}00\dots 0,(3)=0,3\text{3}33\dots$$

Prima zecimală e la fel (3 și 3), dar la a doua zecimală întâlnim $0$ față de $3$. Cum $0<3$, rezultă că $0,3<0,(3)$. Diferența e mică, dar reală: $0,(3)$ este puțin mai mare.

Reține tehnica generală: pentru a compara, scrie ambele numere cu același număr de zecimale (desfăcând perioadele și adăugând zerouri unde lipsesc), apoi compară de la stânga la dreapta. Vei folosi acest procedeu și la ordonarea numerelor din exerciții.

11. Unde întâlnești periodicitatea în viața reală

Poate te întrebi: „bine, dar la ce îmi folosește?". De fapt, fracțiile periodice apar de fiecare dată când împărțim ceva în trei, șase, șapte sau nouă părți egale — situații foarte des întâlnite:

• Împărțirea unei pizza sau a unui tort la 3 prieteni: fiecare ia $\frac{1}{3}=0,(3)$ din întreg.
• Împărțirea unei sume de bani la 3 persoane: $100$ lei împărțiți la 3 dau $33,(3)$ lei de persoană — exact de aceea, în practică, cineva primește $33$ lei și un altul $34$, fiindcă banii reali nu se pot tăia la infinit.
• Rețete de bucătărie: o treime de pahar, două treimi de cană — toate ascund zecimale periodice.

Tocmai pentru că lumea reală nu poate avea „o infinitate de zecimale", în practică rotunjim (de exemplu $0,(3)\approx 0,33$). Dar la matematică, ca să fim exacți, scriem perioada în paranteză — așa nu pierdem nimic din valoarea adevărată a numărului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — fracție care dă zecimală finită

Transformă $\frac{7}{8}$ în fracție zecimală.

Împărțim 7 la 8. Cum $7<8$, partea întreagă e 0, punem virgulă și coborâm zerouri:

• $70:8=8$ (rest 6), căci $8\cdot 8=64$.
• $60:8=7$ (rest 4), căci $7\cdot 8=56$.
• $40:8=5$ (rest 0), căci $5\cdot 8=40$.

Restul a ajuns 0, deci împărțirea s-a terminat: $$\frac{7}{8}=0,875\text{(zecimala˘ finita˘)}$$

Verificare cu trucul de la pasul 6: $8=2^3$, doar factori de 2 → corect, trebuia să iasă finită.

Exemplul 2 — fracție periodică simplă

Transformă $\frac{4}{11}$ în fracție zecimală.

Împărțim 4 la 11:

• $40:11=3$ (rest 7), căci $3\cdot 11=33$.
• $70:11=6$ (rest 4), căci $6\cdot 11=66$.
• Restul 4 este chiar restul de la început → de aici totul se repetă!

Cifrele care se repetă sunt „36", iar perioada începe imediat după virgulă: $$\frac{4}{11}=0,(36)\text{(periodic simplu)}$$

Exemplul 3 — fracție periodică mixtă

Transformă $\frac{7}{12}$ în fracție zecimală și spune ce tip este.

Împărțim 7 la 12:

• $70:12=5$ (rest 10), căci $5\cdot 12=60$.
• $100:12=8$ (rest 4), căci $8\cdot 12=96$.
• $40:12=3$ (rest 4), căci $3\cdot 12=36$.
• Restul 4 s-a repetat → cifra 3 se va repeta la infinit.

Primele cifre, 5 și 8, apar o singură dată, iar 3 se repetă: $$\frac{7}{12}=0,58(3)\text{(periodic mixt)}$$

Partea neperiodică este „58", iar perioada este „3".

Exemplul 4 — periodic simplu înapoi în ordinară

Scrie $0,(81)$ ca fracție ordinară ireductibilă.

Perioada este „81" și are 2 cifre, deci la numitor punem doi de 9: $$0,(81)=\frac{81}{99}$$

Simplificăm cu 9: $81:9=9$ și $99:9=11$, deci $$0,(81)=\frac{9}{11}$$

Verificare: $9:11=0,8181\dots =0,(81)$. Corect.

Exemplul 5 — periodic mixt înapoi în ordinară

Scrie $0,2(3)$ ca fracție ordinară ireductibilă.

• Partea neperiodică: „2". Partea neperiodică urmată de perioadă: „23".
• Numărător: $23-2=21$.
• Perioada are 1 cifră (un 9), partea neperiodică are 1 cifră (un 0) → numitor $90$.

$$0,2(3)=\frac{23-2}{90}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$$

(am simplificat cu 3). Verificare: $7:30=0,2333\dots =0,2(3)$. Corect.

Exemplul 6 — număr cu parte întreagă

Scrie $3,(6)$ ca fracție ordinară.

Lăsăm întregul deoparte și lucrăm doar partea zecimală: $$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

Adăugăm întregul la loc: $$3,(6)=3+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$$

Verificare: $11:3=3,666\dots =3,(6)$. Corect.

Exemplul 7 — perioadă cu mai multe cifre, mixt

Scrie $0,0(45)$ ca fracție ordinară ireductibilă.

Atenție la structură: cifra 0 de după virgulă este partea neperiodică (o cifră), iar grupul „45" este perioada (două cifre).

• Numărător: (neperiodic + perioadă) − neperiodic $=045-0=45$.
• Numitor: doi de 9 (de la perioada de 2 cifre) și un 0 (de la partea neperiodică de 1 cifră) → $990$.

$$0,0(45)=\frac{045-0}{990}=\frac{45}{990}=\frac{1}{22}$$

(am simplificat cu 45). Verificare: $1:22=0,04545\dots =0,0(45)$. Corect. Acest exemplu arată de ce e important să numeri separat cifrele perioadei (dau numărul de 9) și cifrele părții neperiodice (dau numărul de 0).

Exemplul 8 — de la ordinară, recunoaște tipul fără împărțire lungă

Spune ce tip de zecimală dă $\frac{17}{18}$, fără să faci toată împărțirea.

Fracția este deja ireductibilă. Descompunem numitorul: $18=2\cdot 3^2$. Apare factorul 3, deci zecimala nu este finită — va fi periodică. Mai mult, fiindcă numitorul conține și un factor de 2 (pe lângă 3), perioada nu va începe chiar de la virgulă: zecimala va fi periodic mixtă. (Într-adevăr, $17:18=0,9(4)$.) Astfel poți anticipa rezultatul doar privind numitorul — un truc care economisește timp la teste.

Exemplul 9 — compară două numere

Care este mai mare: $\frac{2}{3}$ sau $0,66$? Justifică.

Întâi transformăm fracția în zecimală: $2:3=0,(6)=0,6666\dots$

Acum scriem ambele numere cu același număr de zecimale, completând cu zerouri unde lipsesc: $$0,(6)=0,66\text{6}\dots 0,66=0,66\text{0}$$

Primele două zecimale sunt egale ($66$ și $66$), dar la a treia zecimală avem $6$ față de $0$. Cum $6>0$, rezultă: $$\frac{2}{3}=0,(6)>0,66$$

Deci $\frac{2}{3}$ este puțin mai mare decât $0,66$ — un rezultat care surprinde pe mulți, fiindcă $0,66$ pare „aproape" $\frac{2}{3}$. De fapt, $0,66$ este doar o rotunjire, mai mică decât valoarea exactă.

Să exersăm

1. Transformă în fracție zecimală, prin împărțire: $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{9}{20}$. Spune că sunt finite.

2. Transformă în fracție zecimală: $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{9}$. Scrie rezultatele cu paranteză.

3. Completează: în fracția $0,(7)$, perioada este ____ și are ____ cifre.

4. Completează: în fracția $0,24(5)$, partea neperiodică este ____, iar perioada este ____.

5. Încercuiește fracțiile zecimale periodice: $0,25$ ; $0,(3)$ ; $1,5$ ; $0,1(6)$ ; $2,750$ ; $0,(142857)$.

6. Adevărat sau fals? a) $0,(5)$ este periodic simplu. b) $0,7(2)$ este periodic simplu. c) O fracție zecimală finită are un număr infinit de zecimale. d) Linia de fracție înseamnă împărțire.

7. Potrivește fiecare fracție ordinară cu zecimala ei: A) $\frac{1}{3}$ B) $\frac{2}{9}$ C) $\frac{1}{11}$ — cu — I) $0,(09)$ II) $0,(3)$ III) $0,(2)$.

8. Fără să faci împărțirea, spune doar dacă zecimala este finită sau periodică (folosește trucul cu numitorul): $\frac{3}{16}$ ; $\frac{7}{15}$ ; $\frac{11}{25}$ ; $\frac{4}{21}$.

9. Transformă în fracție zecimală și precizează tipul (finită / periodic simplu / periodic mixt): $\frac{2}{3}$ ; $\frac{5}{6}$ ; $\frac{7}{25}$.

10. Scrie ca fracție ordinară ireductibilă (periodic simplu): $0,(4)$ ; $0,(18)$ ; $0,(27)$.

11. Scrie ca fracție ordinară ireductibilă (periodic mixt): $0,1(3)$ ; $0,0(6)$ ; $0,58(3)$.

12. Transformă în fracție ordinară numerele cu parte întreagă: $2,(3)$ ; $1,(09)$.

13. Încercuiește perioada care este scrisă corect pentru $\frac{1}{3}=0,333\dots$ : $0,3$ ; $0,(3)$ ; $0,3(0)$ ; $(0,3)$.

14. Ordonează crescător numerele: $0,(3)$ ; $0,3$ ; $0,35$. (Indiciu: $0,(3)=0,333\dots$)

15. Problemă: Trei prieteni împart în mod egal un tort în 3 părți. Ce parte din tort, scrisă ca fracție zecimală, primește fiecare? Cum scrii rezultatul corect cu paranteză?

16. Problemă: O bară de ciocolată cântărește $1$ kg și este împărțită egal la 6 copii. Cât cântărește, în kilograme, porția fiecăruia? Scrie ca fracție zecimală periodică.

17. Calculează $0,(6)+\frac{1}{3}$, transformând întâi $0,(6)$ în fracție ordinară. (Indiciu: vezi lecția despre adunarea fracțiilor.)

18. Provocare: Arată că $0,(9)=1$, folosind regula pentru periodic simplu.

19. Scrie ca fracție ordinară ireductibilă: $0,0(45)$ și $0,1(2)$.

20. Problemă: Într-o competiție de alergare, un sportiv aleargă $\frac{2}{9}$ dintr-un tur de pistă în fiecare minut. Scrie ca fracție zecimală partea de tur parcursă într-un minut. Ce tip de zecimală ai obținut?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{4}=0,25$ ; $\frac{3}{5}=0,6$ ; $\frac{9}{20}=0,45$. Toate finite (numitorii au doar factori 2 și 5).

2. $\frac{1}{6}=0,1(6)$ (periodic mixt) ; $\frac{5}{9}=0,(5)$ (periodic simplu). La $1:6$ restul devine repetabil după prima zecimală; la $5:9$ restul 5 se repetă imediat.

3. Perioada este 7 și are 1 cifră.

4. Partea neperiodică este 24, iar perioada este 5.

5. Periodice: $0,(3)$ ; $0,1(6)$ ; $0,(142857)$. Celelalte ($0,25$, $1,5$, $2,750$) sunt finite.

6. a) Adevărat (perioada e lipită de virgulă). b) Fals — e periodic mixt (cifra 7 stă între virgulă și perioadă). c) Fals — finită înseamnă un număr fix, nu infinit, de zecimale. d) Adevărat.

7. A–II ($\frac{1}{3}=0,(3)$) ; B–III ($\frac{2}{9}=0,(2)$) ; C–I ($\frac{1}{11}=0,(09)$).

8. $\frac{3}{16}$: $16=2^4$ → finită. $\frac{7}{15}$: $15=3\cdot 5$, apare 3 → periodică. $\frac{11}{25}$: $25=5^2$ → finită. $\frac{4}{21}$: $21=3\cdot 7$ → periodică.

9. $\frac{2}{3}=0,(6)$ → periodic simplu ; $\frac{5}{6}=0,8(3)$ → periodic mixt ; $\frac{7}{25}=0,28$ → finită.

10. $0,(4)=\frac{4}{9}$ ; $0,(18)=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$ ; $0,(27)=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.

11. $0,1(3)=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$ ; $0,0(6)=\frac{06-0}{90}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$ ; $0,58(3)=\frac{583-58}{900}=\frac{525}{900}=\frac{7}{12}$.

12. $2,(3)=2+\frac{3}{9}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ ; $1,(09)=1+\frac{09}{99}=1+\frac{1}{11}=\frac{12}{11}$.

13. Corect este $0,(3)$. (Doar perioada se pune în paranteză; $0,3(0)$ ar însemna zerouri la infinit, adică tot $0,3$, dar nu e scrierea cerută.)

14. $0,3<0,(3)<0,35$, pentru că $0,3=0,300\dots$, $0,(3)=0,333\dots$, iar $0,35=0,350$.

15. Fiecare primește $\frac{1}{3}$ din tort, adică $1:3=0,(3)$. Scriem corect $0,(3)$.

16. Porția este $\frac{1}{6}$ kg $=1:6=0,1(6)$ kg.

17. $0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, deci $0,(6)+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$.

18. $0,(9)=\frac{9}{9}=1$. Surprinzător, dar adevărat: $0,999\dots$ este chiar egal cu 1!

19. $0,0(45)=\frac{045-0}{990}=\frac{45}{990}=\frac{1}{22}$ ; $0,1(2)=\frac{12-1}{90}=\frac{11}{90}$ (deja ireductibilă).

20. $\frac{2}{9}=2:9=0,(2)$ — o fracție zecimală periodic simplă.

De reținut

• Linia de fracție = împărțire: transformi $\frac{a}{b}$ în zecimală împărțind numărătorul $a$ la numitorul $b$.
• Rezultatul este fie o zecimală finită (împărțirea se oprește, rest 0), fie o zecimală periodică (un grup de cifre, numit perioadă, se repetă la infinit). Se scrie scurt cu paranteză: $0,(3)$.
• Periodic simplu = perioada începe imediat după virgulă; periodic mixt = există o parte neperiodică între virgulă și perioadă.
• Periodic simplu → ordinară: perioada / atâția de 9 câte cifre are perioada.
• Periodic mixt → ordinară: (neperiodic+perioadă − neperiodic) / atâția de 9 câte are perioada, urmați de atâția de 0 câte are partea neperiodică.

Greșeli frecvente

• Pui toate zecimalele în paranteză. Greșit: $0,(58)$ pentru $0,58(3)$. În paranteză intră doar perioada (partea care chiar se repetă), nu și partea neperiodică.
• Uiți să simplifici înainte de a decide tipul. $\frac{9}{15}$ pare periodică din cauza lui 3, dar după simplificare devine $\frac{3}{5}=0,6$, finită. Adu mereu fracția la forma ireductibilă întâi.
• Confunzi numărul de 9 cu numărul de 0 la periodicul mixt. Numărul de 9 vine de la perioadă, numărul de 0 vine de la partea neperiodică. La $0,2(3)$: o cifră perioadă → un 9, o cifră neperiodică → un 0, deci numitor 90.
• Crezi că $0,3$ și $0,(3)$ sunt egale. Nu! $0,3=0,300\dots$ este finit, iar $0,(3)=0,333\dots$ e mai mare. Verifică mereu pe axă sau prin completare cu zerouri.

Joc acasă

1. Calculatorul care „descoperă" perioada. Ia un calculator (de pe telefon). Împarte 1 la 7, apoi 2 la 7, apoi 3 la 7, până la 6 la 7. Notează cifrele de după virgulă. Vei descoperi că apar mereu aceleași șase cifre (1, 4, 2, 8, 5, 7), dar pornind din alt loc — ca un carusel! Discută în familie de ce se întâmplă asta.

2. Cursa resturilor. Alege un numitor, de exemplu 11. Fă împărțirea $5:11$ cu creionul pe hârtie și notează la fiecare pas restul. Oprește-te în momentul în care un rest se repetă și încercuiește-l. Numără câți pași au trecut: atâtea cifre are perioada. Repetă cu alt numitor (de exemplu 9 sau 6) și compară.

3. Loto de fracții. Scrie pe 6 bilețele câte o fracție zecimală periodică ($0,(3)$, $0,(6)$, $0,1(6)$, $0,(45)$, $0,2(3)$, $0,(81)$) și pe alte 6 bilețele fracțiile ordinare corespunzătoare. Amestecă-le și joacă „memory": întorci câte două și formezi perechi corecte. Cine adună mai multe perechi câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care copilul le are deja: împărțirea în scris și fracțiile ordinare. Cheia înțelegerii este momentul „aha": linia de fracție este pur și simplu un semn de împărțire. Începeți cu un exemplu finit (de pildă $\frac{3}{4}=0,75$) și apoi cu unul periodic ($\frac{1}{3}$), lăsându-l pe copil să observe singur că restul se repetă — nu îi dați voi concluzia.

Întrebări utile de pus:

• „De ce crezi că împărțirea asta nu se mai termină?" (Răspuns țintă: restul se tot repetă.)
• „Câte resturi diferite poți avea când împarți la 7?" (Maxim 7 — de aici inevitabilitatea periodicității.)
• „Unde e perioada și unde e partea neperiodică în $0,58(3)$?"

Cum verificați că a înțeles: cereți-i să transforme o fracție în zecimală și să facă drumul invers pentru a verifica că ajunge la același rezultat. Această buclă „dus-întors" e cel mai bun test de stăpânire a temei. Dacă greșește semnul cu paranteză, atrageți atenția că doar perioada intră în paranteză. Pentru consolidare, legați tema de transformarea fracției zecimale finite în fracție ordinară, deja parcursă.

Întrebări frecvente

Cum transform o fracție ordinară în număr zecimal? Împarți numărătorul la numitor, exact ca o împărțire în scris obișnuită: cobori zerouri după virgulă. Dacă ajungi la restul 0, ai o zecimală finită; dacă un rest se repetă, ai o zecimală periodică.

Ce este o fracție zecimală periodică? Este un număr zecimal în care, de la un loc încolo, o cifră sau un grup de cifre se repetă la nesfârșit, de exemplu $0,333\dots =0,(3)$. Grupul care se repetă se numește perioadă și se scrie o singură dată, în paranteză.

Care e diferența dintre periodic simplu și periodic mixt? La periodic simplu perioada începe imediat după virgulă ($0,(45)$). La periodic mixt există între virgulă și perioadă una sau mai multe cifre care nu se repetă, numite parte neperiodică ($0,58(3)$, unde „58" e neperiodic).

Cum scriu corect perioada unei fracții zecimale? Pui în paranteză rotundă doar cifrele care se repetă, o singură dată: $0,166\dots$ se scrie $0,1(6)$, nu $0,(16)$. Tot ce e în afara parantezei (inclusiv partea întreagă) nu se repetă.

Cum transform o fracție zecimală periodică simplă în fracție ordinară? La numărător scrii perioada, iar la numitor pui atâția de 9 câte cifre are perioada. De exemplu $0,(7)=\frac{7}{9}$, iar $0,(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$. La final, simplifici fracția.

Cum transform o fracție periodică mixtă în fracție ordinară? La numărător scrii numărul format din partea neperiodică și perioadă, din care scazi partea neperiodică. La numitor pui atâția de 9 câte cifre are perioada, urmați de atâția de 0 câte are partea neperiodică. Exemplu: $0,1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$.

De unde știu dacă o fracție va da zecimală finită sau periodică? Adu fracția la forma ireductibilă și uită-te la numitor: dacă are doar factori de 2 și de 5, zecimala e finită; dacă apare orice alt factor (3, 7, 11...), zecimala e periodică.

Este adevărat că $0,(9)=1$? Da. Conform regulii pentru periodic simplu, $0,(9)=\frac{9}{9}=1$. Deși pare ciudat, $0,999\dots$ este exact egal cu 1, nu doar foarte aproape.