Desfășurarea și construcția corpurilor

Ai ținut vreodată în mână o cutie de pantofi goală și ai desfăcut-o cu grijă, până a devenit o foaie plată de carton? Atunci ai descoperit deja, fără să știi, ceea ce vom învăța azi: desfășurarea corpurilor. În lecția aceasta vei afla cum poți desface un cub, un paralelipiped, un cilindru sau un con, ca să-l vezi întins pe masă, și apoi cum poți să-l construiești înapoi dintr-un tipar de carton. E ca o magie: o foaie plată se transformă într-un corp adevărat, pe care îl poți ține în palmă!

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă desfășurarea unui corp geometric.
• Vei ști cum arată desfășurarea cubului și a paralelipipedului dreptunghic (rețeaua plană a fețelor).
• Vei ști cum arată desfășurarea cilindrului și a conului.
• Vei ști să recunoști dacă un tipar plat se poate plia într-un anumit corp.
• Vei ști să construiești un corp pornind de la desfășurarea lui, folosind carton, lipici și aripioare de lipit.

Hai să descoperim împreună

Ce este o desfășurare?

Imaginează-ți o cutie de bomboane goală, în formă de cub. Are pereți de carton, nu? Acei pereți se numesc fețe. Dacă iei o foarfecă și tai cutia de-a lungul câtorva muchii, apoi o întinzi pe masă ca pe o batistă, obții o figură plată. Toate fețele cutiei sunt acum lângă tine, pe masă, una lângă alta.

Această figură plată, formată din toate fețele unui corp lipite pe margini, se numește desfășurarea corpului. Mai poartă și numele de rețeaua plană a fețelor sau, când e desenată pe carton ca să decupezi din ea, tipar.

Reține ideea de bază, e foarte simplă:

• Un corp geometric stă în spațiu, are volum, îl poți ține în mână (cubul, paralelipipedul, cilindrul).
• Desfășurarea lui stă plat pe hârtie, ca un desen, fără volum.

Desfășurarea este corpul „dezbrăcat" și întins, iar corpul este desfășurarea „îmbrăcată" la loc și ridicată în spațiu.

În lecțiile dinainte am învățat despre corpurile geometrice și elementele lor — fețe, muchii și vârfuri — și despre piramidă. Acum facem pasul următor: le desfacem și le construim la loc.

Desfășurarea cubului

Cubul este corpul cel mai prietenos pentru început, fiindcă toate fețele lui sunt la fel: 6 pătrate egale. Gândește-te la un zar de joc. Are 6 fețe, toate pătrate, toate de aceeași mărime.

Hai să-l desfacem cu mintea, pas cu pas:

1. Punem cubul pe masă. Fața de jos rămâne pe loc — o numim baza.
2. Cele 4 fețe din jur (pereții laterali) le lăsăm să cadă în afară, ca petalele unei flori care se deschid.
3. Fața de sus (capacul) rămâne lipită de unul dintre pereți și se așază și ea pe masă.

Ce obținem? O figură din 6 pătrate egale, aranjate ca o cruce.

Aceasta este cea mai cunoscută desfășurare a cubului, dar nu este singura! Surpriza este că un cub se poate desface în mai multe feluri diferite. Matematicienii au numărat: există 11 desfășurări diferite ale cubului. Toate au câte 6 pătrate egale, dar pătratele sunt aranjate altfel.

Cum verifici dacă o figură din 6 pătrate chiar se pliază într-un cub? Cu un truc simplu, „pe degete": alegi un pătrat care va fi baza. Apoi ridici cu mintea pătratele vecine ca pereți și verifici dacă fiecare perete are loc și dacă capacul se așază exact deasupra bazei, fără să se suprapună cu alt pătrat. Dacă două pătrate s-ar așeza în același loc, înseamnă că acea figură nu este o desfășurare bună.

Lucru important de ținut minte: o desfășurare corectă a cubului are întotdeauna exact 6 pătrate, nici mai multe, nici mai puține, și toate egale între ele.

Desfășurarea paralelipipedului dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic este ca o cutie de pantofi, o cutie de pastă de dinți sau o cărămidă. Și el are 6 fețe, dar atenție: fețele nu mai sunt toate la fel. Sunt dreptunghiuri, iar ele vin perechi:

• 2 fețe la fel jos și sus (talpa și capacul),
• 2 fețe la fel în față și în spate,
• 2 fețe la fel în stânga și în dreapta.

Fețele opuse (care stau față în față) sunt mereu egale și identice, ca două palme una în fața celeilalte.

Dacă desfacem cutia ca pe un cub, obținem tot o figură în formă de cruce, dar din 6 dreptunghiuri, nu din pătrate. Pătratele de la cub au devenit dreptunghiuri pentru că o cutie de pantofi e mai lungă decât e înaltă.

Hai să o privim cu grijă. Când mergem cu degetul pe rândul de jos al desfășurării, dreptunghiurile se schimbă: unul lung, unul mai îngust, iarăși unul lung, iarăși unul îngust. De ce? Pentru că, atunci când dai ocol cutiei cu mâna, treci pe rând: peretele din față (lat), peretele din lateral (îngust), peretele din spate (lat ca cel din față), peretele celălalt lateral (îngust ca primul). Față și spate sunt o pereche egală; cele două laterale sunt altă pereche egală.

Reține deci diferența mare dintre cub și paralelipiped:

• Cubul se desface în 6 pătrate egale.
• Paralelipipedul dreptunghic se desface în 6 dreptunghiuri, egale două câte două.

Desfășurarea cilindrului

Acum trecem la un corp rotund. Cilindrul este ca o cutie de conserve, un suc la doză sau un sul de hârtie igienică. Are două capete rotunde și un perete neted care le unește.

Hai să-l desfacem. Mai întâi luăm cele două capace rotunde (de sus și de jos): sunt două cercuri egale. Apoi peretele din mijloc. Ce formă are el când îl întindem?

Aici e partea surprinzătoare și frumoasă. Ia o etichetă de pe o conservă sau hârtia de pe un sul și dezlipește-o cu grijă. O întinzi pe masă și... este un dreptunghi! Peretele rotund al cilindrului, când îl tai drept și-l întinzi, devine un dreptunghi neted.

Deci desfășurarea cilindrului are 3 piese:

• un dreptunghi mare la mijloc (peretele),
• două cercuri egale lipite sus și jos (capacele).

Mai e un secret minunat aici. Lungimea dreptunghiului (latura lui de jos) este exact cât marginea cercului de la capac. Adică, dacă ai înfășura dreptunghiul în jurul cercului, marginea de jos a dreptunghiului ar înconjura perfect cercul, fără să rămână loc gol și fără să se suprapună. De aceea, când rulezi eticheta la loc pe conservă, ea se potrivește fix.

Desfășurarea conului

Conul este ca o pâlnie, o cornet de înghețată sau o pălărie de petrecere ascuțită. Are o singură bază rotundă (un cerc) și un perete care urcă într-un singur vârf ascuțit.

Să-l desfacem și pe el. Mai întâi baza: un singur cerc. Apoi peretele care merge spre vârf. Ce formă are el când îl întindem?

Ia o pălărie de petrecere din carton și taie-o drept, de la margine până la vârf. Întinde-o pe masă. Nu mai e nici dreptunghi, nici triunghi, ci o bucată de cerc, ca o felie mare de pizza cu marginea de jos rotunjită. Această formă se numește sector de cerc — gândește-te la ea pur și simplu ca la o felie de plăcintă cu marginea curbată.

Deci desfășurarea conului are 2 piese:

• un cerc (baza),
• o felie de cerc / sector (peretele care urcă în vârf).

Și aici, marginea curbată a feliei se potrivește exact peste marginea cercului de la bază — de asta, când rulezi felia, vârful se ridică frumos și gura conului se așază peste cerc.

Tablou recapitulativ al desfășurărilor

Hai să strângem totul într-un tablou pe care să-l ții minte:

Cum construim un corp din desfășurarea lui

Acum mergem invers: pornim de la o foaie plată și construim corpul. Aici intervin tiparele. Un tipar este desenul desfășurării, pe care îl decupezi din carton, apoi îl pliezi și-l lipești.

Ca să poți lipi piesele, tiparul are niște aripioare mici pe unele margini — limbi de carton pe care pui lipici și le bagi sub fața vecină. Fără aripioare, fețele n-ar avea de ce să se prindă.

Pașii pentru a construi un cub din carton:

1. Desenezi desfășurarea: 6 pătrate egale, de exemplu de 5 cm fiecare, aranjate în cruce. Adaugi aripioarele de lipit.
2. Decupezi întreaga figură pe conturul de afară (inclusiv aripioarele).
3. Îndoi cu unghia sau cu rigla pe fiecare linie dintre pătrate, ca pliurile să fie drepte și curate.
4. Ridici pereții și-i aduci unul lângă altul.
5. Lipești: pui lipici pe aripioare și le ascunzi sub fețele vecine. Aștepți să se usuce.

Și gata — ai în mână un cub adevărat, construit din desfășurarea lui!

Mai poți construi corpuri și fără carton. Cu bețișoare (de exemplu scobitori sau bețe de înghețată) faci doar muchiile corpului, ca un schelet, iar la colțuri (vârfuri) le prinzi cu biluțe de plastilină. Așa vezi clar muchiile și vârfurile, dar fețele rămân goale, ca niște ferestre.

Reține: din carton obții corpul cu fețe pline (din desfășurare), iar din bețișoare și plastilină obții scheletul de muchii și vârfuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numărăm piesele unei desfășurări

Cerință: Câte pătrate are desfășurarea unui cub și de ce sunt toate la fel?

Rezolvare: Cubul are 6 fețe, iar fiecare față este un pătrat. Când îl desfacem, fiecare față devine o piesă plată. Deci desfășurarea are 6 pătrate. Sunt toate egale pentru că la cub toate fețele au exact aceeași mărime — ca cele 6 fețe ale unui zar.

Exemplul 2 — Cub sau paralelipiped?

Cerință: O desfășurare are 6 dreptunghiuri, dintre care două sunt mai lungi, două mai late și două mai mici. Ce corp se construiește din ea: un cub sau un paralelipiped dreptunghic?

Rezolvare: La cub, toate cele 6 fețe ar fi pătrate egale. Aici fețele sunt dreptunghiuri de mai multe feluri, perechi-perechi. Înseamnă că este desfășurarea unui paralelipiped dreptunghic (o cutie de tip cutie de pantofi), nu a unui cub.

Exemplul 3 — Recunoaștem corpul după desfășurare

Cerință: O desfășurare este formată dintr-un dreptunghi mare și două cercuri egale lipite sus și jos. Ce corp obținem dacă o pliem?

Rezolvare: Cele două cercuri sunt capacele de sus și de jos, iar dreptunghiul este peretele rotund întins. Când rulăm dreptunghiul și-l închidem cu cele două cercuri, obținem un cilindru (ca o cutie de conserve).

Exemplul 4 — Felia de cerc

Cerință: Maria a tăiat o pălărie de petrecere de la margine până la vârf și a întins-o pe masă. A obținut o felie de cerc. Lângă ea a pus și baza, un cerc. Ce corp avea Maria la început?

Rezolvare: Felia de cerc (sectorul) este peretele care urca în vârf, iar cercul este baza rotundă. Un corp cu o singură bază rotundă și un vârf ascuțit este conul. Deci Maria avea un con.

Exemplul 5 — Numărăm aripioarele de lipit

Cerință: Andrei desenează tiparul unui cub. Vrea să știe: are nevoie de aripioare pe care margine? Explică pe scurt.

Rezolvare: Aripioarele se pun doar pe marginile care, după pliere, vor fi lipite de o altă față. Marginile dintre două pătrate care sunt deja unite în desfășurare nu au nevoie de aripioare, pentru că acolo doar se îndoaie. Andrei pune aripioare pe marginile libere (cele care, după pliere, ajung perete lângă perete). Pentru cubul în cruce sunt necesare 7 aripioare — câte una pe fiecare margine liberă care trebuie prinsă de vecina ei. (Important e principiul: aripioară doar unde se lipește, nu unde se îndoaie.)

Exemplul 6 — Capcana cu 7 pătrate

Cerință: O figură are 7 pătrate egale lipite între ele. Se poate plia într-un cub? De ce?

Rezolvare: Nu. Cubul are doar 6 fețe, deci desfășurarea lui trebuie să aibă exact 6 pătrate. Dacă figura are 7 pătrate, înseamnă că un pătrat este în plus și s-ar suprapune peste altul când plisăm. Deci figura nu este o desfășurare bună de cub.

Să exersăm

1. Completează: Figura plată formată din toate fețele unui corp, lipite pe margini, se numește ___________ a corpului.

2. Câte pătrate egale are desfășurarea unui cub? Scrie numărul.

3. Adevărat sau fals? Toate cele 6 fețe ale unui paralelipiped dreptunghic sunt pătrate egale.

4. Potrivește fiecare corp cu desfășurarea lui: a) Cub b) Cilindru c) Con — 1) un dreptunghi + 2 cercuri egale — 2) o felie de cerc + 1 cerc — 3) 6 pătrate egale

5. Încercuiește corpul care are desfășurarea formată din 6 dreptunghiuri: cub / paralelipiped dreptunghic / cilindru / con.

6. Câte cercuri are desfășurarea unui cilindru? Dar a unui con?

7. Adevărat sau fals? Peretele unui cilindru, întins pe masă, are forma unui triunghi.

8. Completează: Conul are o singură bază, care este un ___________, și un perete care urcă într-un ___________ ascuțit.

9. O figură are 6 pătrate egale, dar două dintre ele s-ar așeza în același loc când o pliem. Este sau nu o desfășurare corectă de cub? Explică în două cuvinte.

10. Desenează (sau descrie) desfășurarea unui cub în formă de cruce, scriind câte pătrate folosești.

11. Mihai are o cutie de pastă de dinți. Câte fețe trebuie să deseneze pe tipar ca s-o construiască și ce formă au ele?

12. Pentru a face scheletul unui cub din scobitori și plastilină, de câte scobitori (muchii) ai nevoie? Indiciu: cubul are 12 muchii.

13. Adevărat sau fals? Aripioarele de lipit se pun pe toate marginile tiparului, fără excepție.

14. Ordonează pașii corecți pentru a construi un cub din carton (scrie literele în ordine): a) Lipesc aripioarele. b) Decupez tiparul pe contur. c) Desenez desfășurarea cu aripioare. d) Îndoi pe liniile dintre fețe.

15. Problemă scurtă: Ana desface cu mintea un cub și un paralelipiped dreptunghic. Câte fețe (piese plate) obține de la fiecare? Câte piese plate obține în total de la amândouă?

16. Problemă scurtă: Pentru un proiect, clasa construiește 5 cuburi din tipare. Fiecare cub are nevoie de 6 pătrate. Câte pătrate desenează copiii în total?

17. Adevărat sau fals? Lungimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului este exact cât marginea cercului de la capac.

18. Problemă de gândire: Dintr-o desfășurare cu 1 cerc și o felie de cerc, Radu vrea să facă un cornet de înghețată. Ce corp este de fapt cornetul și care piesă devine vârful ascuțit?

Răspunsuri și explicații

1. desfășurarea (se mai numește rețeaua plană a fețelor sau tipar).

2. 6. Cubul are 6 fețe, fiecare un pătrat, deci 6 pătrate egale.

3. Fals. La paralelipipedul dreptunghic fețele sunt dreptunghiuri, egale doar două câte două; doar cubul are toate fețele pătrate egale.

4. a–3 (cubul → 6 pătrate egale); b–1 (cilindrul → dreptunghi + 2 cercuri); c–2 (conul → felie de cerc + 1 cerc).

5. paralelipiped dreptunghic — el are 6 fețe dreptunghiulare.

6. Cilindrul are 2 cercuri (cele două capace), conul are 1 cerc (o singură bază).

7. Fals. Peretele cilindrului, întins, are forma unui dreptunghi (ca eticheta de pe o conservă).

8. Conul are o bază care este un cerc și un perete care urcă într-un vârf ascuțit.

9. Nu este corectă. Dacă două pătrate s-ar așeza în același loc, ele se suprapun și corpul nu se închide bine; o desfășurare bună acoperă fiecare loc o singură dată.

10. Desfășurarea în cruce folosește 6 pătrate: un rând de 4 pătrate, plus 1 pătrat deasupra și 1 dedesubtul celui de-al doilea pătrat din rând.

11. Cutia de pastă de dinți este un paralelipiped dreptunghic, deci Mihai desenează 6 fețe, toate dreptunghiuri (egale două câte două).

12. 12 scobitori, fiindcă cubul are 12 muchii, iar fiecare muchie devine o scobitoare. (La colțuri pui 8 biluțe de plastilină, câte una pentru fiecare vârf.)

13. Fals. Aripioarele se pun doar pe marginile care vor fi lipite de o altă față, nu pe cele unde fețele doar se îndoaie (sunt deja unite).

14. Ordinea corectă: c, b, d, a (desenez → decupez → îndoi → lipesc).

15. De la cub obține 6 fețe, de la paralelipiped tot 6 fețe. În total: 6 + 6 = 12 piese plate.

16. 5 cuburi × 6 pătrate = 30 de pătrate.

17. Adevărat. Marginea de jos a dreptunghiului înconjoară exact cercul de la capac, de aceea eticheta se potrivește perfect.

18. Cornetul este un con. Felia de cerc (sectorul) devine peretele care, rulat, urcă în vârful ascuțit; cercul ar fi gura de sus a cornetului.

De reținut

• Desfășurarea unui corp este figura plată cu toate fețele lui, lipite pe margini; se mai numește rețeaua plană a fețelor sau tipar.
• Cubul se desface în 6 pătrate egale; paralelipipedul dreptunghic în 6 dreptunghiuri (egale două câte două).
• Cilindrul se desface într-un dreptunghi + 2 cercuri egale; conul într-o felie de cerc + 1 cerc.
• Construim un corp pliind tiparul pe linii și lipindu-l de aripioare; din bețișoare și plastilină facem doar scheletul de muchii și vârfuri.
• Un cub se poate desface în 11 feluri diferite, dar mereu cu exact 6 pătrate.

Greșeli frecvente

• „Cubul și paralelipipedul au aceeași desfășurare." Nu. Ambele au 6 fețe, dar cubul are 6 pătrate egale, iar paralelipipedul 6 dreptunghiuri. Verifică forma fețelor, nu doar numărul lor.
• „Peretele cilindrului întins este un cerc." Nu. Cele două cercuri sunt capacele; peretele întins este un dreptunghi. Gândește-te la eticheta dezlipită de pe o conservă.
• „Orice figură cu 6 pătrate face un cub." Nu întotdeauna. Pătratele trebuie să fie egale ȘI aranjate astfel încât, la pliere, să nu se suprapună două fețe. Verifică „pe degete" înainte să decupezi.
• „Pun aripioare peste tot." Nu. Aripioara se pune doar acolo unde două fețe se lipesc. Pe marginile unde fețele doar se îndoaie nu pui aripioare, altfel se încurcă lipirea.

Joc acasă

1. Detectivul de cutii. Adună din casă o cutie de chibrituri, o cutie de conserve goală (cu grijă la margini, cu un adult), un cornet de înghețată și un zar. Pentru fiecare, spune ce corp este și desenează pe o foaie cum ar arăta desfășurarea lui. Apoi, unde poți, desfă cu adevărat cutia/eticheta și compară cu desenul tău.

2. Atelierul de tipare. Pe un carton, desenează desfășurarea unui cub: 6 pătrate egale de câte 5 cm, în formă de cruce, cu aripioare mici pe marginile libere. Decupează, îndoaie pe linii cu rigla, lipește aripioarele și obține un cub adevărat. Provocare: scrie pe fețe punctele de la 1 la 6 și ai un zar făcut de tine!

3. Scheletul din scobitori. Cu 12 scobitori (muchiile) și 8 biluțe de plastilină (vârfurile), construiește scheletul unui cub. Numără în timp ce lucrezi: câte muchii ai pus, câte vârfuri ai folosit. Apoi încearcă să faci scheletul unei piramide cu baza pătrată — câte bețișoare îți trebuie de data asta?

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă figura plană de corpul din spațiu, o trecere care îi ajută enorm pe copii să-și formeze vederea spațială. Cel mai bun mod de a o preda este practic: dați copilului o cutie reală și o foarfecă (sub supraveghere) și lăsați-l să o desfacă singur. Descoperirea „din cutie iese o foaie plată" rămâne mult mai bine întipărită decât orice desen.

Întrebări utile de pus copilului:

• „Câte fețe are corpul acesta? Ce formă au?"
• „Dacă l-am desface, câte piese plate am obține și ce formă ar avea fiecare?"
• „Această foaie plată se poate plia într-un cub? De unde știi?"
• „Unde trebuie să punem aripioarele ca să-l putem lipi?"

Pentru a verifica înțelegerea, cereți copilului să prezică înainte de a desface: să spună ce piese se vor obține, apoi să verifice tăind cu adevărat. Apoi inversați: dați-i un tipar și rugați-l să ghicească ce corp va ieși înainte să-l plieze. Dacă greșește forma fețelor (confundă pătrat cu dreptunghi), reluați comparația cub–cutie de pantofi. Legați lecția de cea despre corpurile geometrice și elementele lor și pregătiți terenul pentru volumul cubului și al paralelipipedului, unde corpul construit va fi „umplut" cu cubulețe.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă desfășurarea unui corp la clasa a 4-a? Este figura plată pe care o obții dacă desfaci un corp și-i întinzi toate fețele pe masă, lipite pe margini. Se mai numește rețeaua plană a fețelor sau tipar. Din ea poți construi la loc corpul, prin pliere și lipire.

Cum arată desfășurarea cubului? Este formată din 6 pătrate egale. Cea mai cunoscută formă este o cruce: un rând de 4 pătrate, plus unul deasupra și unul dedesubt. Există în total 11 desfășurări diferite ale cubului, toate cu câte 6 pătrate egale.

Care e diferența dintre desfășurarea cubului și a paralelipipedului? Cubul se desface în 6 pătrate egale, fiindcă toate fețele lui sunt la fel. Paralelipipedul dreptunghic (o cutie de tip cutie de pantofi) se desface în 6 dreptunghiuri, egale doar două câte două.

Ce formă are peretele cilindrului când îl întindem? Un dreptunghi. Dacă dezlipești eticheta de pe o cutie de conserve și o întinzi, vezi că este un dreptunghi. Desfășurarea completă a cilindrului are un dreptunghi (peretele) plus două cercuri egale (capacele).

Cum este desfășurarea conului? Are două piese: o felie de cerc (un sector, ca o felie de pizza cu marginea rotunjită), care este peretele ce urcă în vârf, și un cerc, care este baza. Când rulezi felia, vârful se ridică și se formează conul.

Cum construiesc un corp dintr-un tipar de carton? Desenezi desfășurarea cu aripioare de lipit, decupezi pe contur, îndoi pe liniile dintre fețe, ridici pereții și lipești aripioarele sub fețele vecine. După ce se usucă lipiciul, ai corpul gata.

De ce sunt necesare aripioarele la tipar? Aripioarele sunt limbi mici de carton pe care pui lipici și le ascunzi sub fața vecină, ca fețele să se prindă între ele. Le pui doar pe marginile care se lipesc, nu pe cele unde fețele doar se îndoaie.

Pot construi un corp și fără carton? Da. Cu bețișoare (scobitori sau bețe de înghețată) faci muchiile, iar la colțuri le prinzi cu biluțe de plastilină pentru vârfuri. Așa obții scheletul corpului, cu fețele goale, ca niște ferestre.