Volumul cubului și al paralelipipedului

Astăzi descoperim o idee tare frumoasă din matematică: volumul. Până acum ai învățat câtă sârmă trebuie să dai în jurul unui pătrat (perimetrul) și câte pătrățele încap pe o suprafață plată (aria). Acum facem un pas mai departe, în spațiu, și aflăm cât loc ocupă un corp, adică câte cuburi mici încap înăuntrul lui. Vino cu mine, e mai simplu decât pare și o să te distrezi numărând cuburi!

Ce vei învăța

• Vei ști ce este volumul unui corp: spațiul pe care îl ocupă acel corp.
• Vei ști ce este cubul unitate (un cub cu latura de 1 cm) și de ce ne ajută.
• Vei ști să estimezi volumul cubului și al paralelipipedului numărând cuburile unitate din care sunt formate.
• Vei ști să compari volumele a două corpuri, ca să spui care ocupă mai mult loc.
• Vei ști să folosești unitatea centimetru cub (cm³) când spui rezultatul.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „cât loc ocupă"

Gândește-te la o cutie goală de pe birou. Dacă pui în ea o gumă de șters, mai rămâne loc. Dacă o umpli cu bile, ele ocupă tot spațiul dinăuntru. Volumul unui corp ne spune exact cât spațiu ocupă acel corp, cât „loc umple" el.

Volumul nu e același lucru cu lungimea și nici cu aria.

• Lungimea se măsoară pe o singură direcție, ca un fir întins. O măsurăm în centimetri (cm).
• Aria este cât loc acoperă o suprafață plată, ca o foaie de hârtie. O numărăm în pătrățele și o măsurăm în centimetri pătrați (cm²). (Ți-o amintești de la lecția Aria unei suprafețe prin numărarea pătratelor unitate.)
• Volumul este cât loc ocupă un corp în spațiu, ca o cutie plină. Îl numărăm în cubulețe și îl măsurăm în centimetri cubi (cm³).

Aria are de-a face cu suprafețe plate (doi pași: lung și lat). Volumul are de-a face cu corpuri (trei pași: lung, lat și înalt). De aceea volumul este „mai gras", are și înălțime, nu doar lungime și lățime.

Cubul unitate, prietenul nostru

Ca să numărăm ușor, avem nevoie de o unitate de măsură mică și mereu aceeași. Pentru volum, această unitate este cubul unitate: un cub mic, cu fiecare latură de 1 cm.

Volumul unui cub unitate este 1 centimetru cub, pe care îl scriem scurt 1 cm³.

Ideea cheie a lecției este simplă și frumoasă:

Ca să afli volumul unui corp, numeri din câte cuburi unitate este făcut. Câte cuburi de 1 cm³ încap în corp, atâția centimetri cubi are volumul lui.

E exact ca atunci când numărai pătrățele pentru arie, doar că acum numărăm cubulețe în spațiu. Dacă un corp e făcut din 8 cuburi unitate, volumul lui este 8 cm³. Dacă e făcut din 20 de cuburi, volumul este 20 cm³. Atât de simplu!

O poveste cu cuburi: turnul lui Matei

Matei a primit o cutie cu multe cuburi mici de lemn, fiecare cu latura de 1 cm. El a început să construiască. Întâi a pus un rând de 3 cuburi, unul lângă altul. Apoi a mai pus un rând de 3 cuburi în spate, alipit. Pe podea avea acum 2 rânduri a câte 3 cuburi, adică 6 cuburi într-un singur strat.

Matei nu s-a oprit. A mai construit încă un strat la fel, deasupra primului. Acum avea 2 straturi, fiecare cu 6 cuburi. A numărat: 6 + 6 = 12 cuburi în total.

Volumul construcției lui Matei este 12 cm³, pentru că este făcută din 12 cuburi unitate. Vezi ce ușor? Numeri cuburile și ai aflat volumul.

Cum numărăm fără să ne încurcăm: pe straturi

Când corpul are multe cuburi, e greu să le numărăm unul câte unul, mai ales pe cele ascunse în interior. De aceea folosim un truc isteț: numărăm pe straturi.

Pas cu pas:

1. Numără câte cuburi sunt într-un singur strat de jos. Privești stratul de jos ca pe un dreptunghi: ai atâtea cuburi pe lung, atâtea pe lat. Le numeri sau le aduni.
2. Numără câte straturi la fel sunt așezate unul peste altul (adică înălțimea, câte cuburi are corpul în sus).
3. Aduni stratul de atâtea ori câte straturi sunt (sau, mai rapid, înmulțești numărul de cuburi dintr-un strat cu numărul de straturi).

La construcția lui Matei: un strat avea 6 cuburi și erau 2 straturi. Deci 6 × 2 = 12 cuburi, adică 12 cm³. Același rezultat ca la numărat, dar mult mai rapid.

Volumul paralelipipedului

Un paralelipiped dreptunghic (cutia, ca o cărămidă sau o cutie de pantofi) are trei dimensiuni: lungimea, lățimea și înălțimea. Când e construit din cuburi unitate:

• pe lungime intră un anumit număr de cuburi;
• pe lățime intră un anumit număr de cuburi;
• în înălțime se așază un anumit număr de straturi.

Stratul de jos are: (cuburi pe lungime) × (cuburi pe lățime) cuburi. Apoi avem atâtea straturi câtă înălțime are corpul.

De exemplu, o cutie are 4 cuburi pe lungime, 3 cuburi pe lățime și 2 straturi în înălțime.

• Un strat: 4 × 3 = 12 cuburi.
• Straturi: 2.
• Volumul: 12 × 2 = 24 de cuburi, adică 24 cm³.

Poți verifica și prin adunare: 12 + 12 = 24. La fel.

Volumul cubului

Cubul este un paralelipiped special: are toate muchiile egale, deci tot atâtea cuburi pe lungime, pe lățime și în înălțime.

Dacă un cub mare are 3 cuburi pe fiecare muchie, atunci:

• Un strat de jos: 3 × 3 = 9 cuburi.
• Straturi: 3.
• Volumul: 9 × 3 = 27 de cuburi, adică 27 cm³.

Vezi cât e de frumos la cub: numărul de cuburi pe muchie se înmulțește de trei ori cu el însuși. La 2 cuburi pe muchie: 2 × 2 × 2 = 8 cm³. La 4 cuburi pe muchie: 4 × 4 × 4 = 64 cm³. Doar numărând cuburi!

Compararea volumelor

Uneori vrem să știm care corp ocupă mai mult loc. Foarte simplu: numărăm cuburile fiecăruia și comparăm numerele, exact ca atunci când compari două numere obișnuite.

• Corpul cu mai multe cuburi are volumul mai mare.
• Corpul cu mai puține cuburi are volumul mai mic.
• Dacă au același număr de cuburi, au volume egale, chiar dacă au forme diferite!

Acesta e un lucru surprinzător și important: două corpuri pot arăta complet diferit (unul înalt, altul lat) și totuși să aibă același volum, dacă sunt făcute din același număr de cuburi. Forma e altfel, locul ocupat e la fel.

Pentru a compara, folosim semnele învățate: „>" (mai mare), „<" (mai mic) și „=" (egal). Dacă un corp are 18 cm³ și altul 15 cm³, scriem 18 cm³ > 15 cm³.

De ce numărăm doar cuburi de aceeași mărime

Ca să comparăm corect, toate cuburile trebuie să fie la fel de mari — cubul unitate de 1 cm. Dacă unul folosește cuburi mari și altul cuburi mici, numerele nu mai sunt cinstite, ca și cum ai măsura unul în pași de uriaș și altul în pași de pitic. De aceea folosim mereu aceeași unitate: cubul de 1 cm³.

Atenție la cuburile ascunse

Când privești un corp construit din cuburi, unele cubulețe stau în spate sau la mijloc și nu se văd, dar ele există și se numără! De aceea numărarea pe straturi e atât de bună: ea ține cont și de cuburile ascunse, pentru că tu calculezi câte are fiecare strat plin, nu doar cele pe care le vezi în față.

Volumul în viața de zi cu zi

Volumul nu trăiește doar în caiet. Îl întâlnești peste tot în jurul tău, chiar dacă nu îi spui mereu pe nume:

• Când torni apă într-un pahar, apa ocupă un anumit volum în pahar.
• Când îți faci ghiozdanul, cărțile și penarul ocupă volum, de aceea uneori „nu mai încape" nimic.
• Camera ta are un volum de aer: e plină de aer pe care nu îl vezi, dar care ocupă tot spațiul dintre pereți, podea și tavan.
• O cutie de lapte, o cărămidă, un cub de zahăr, o cutie de creioane — toate au volum, adică ocupă loc.

În clasele mai mari vei învăța și unități mai mari pentru volum, ca litrul, și vei calcula volumul cu o formulă scrisă. Astăzi punem temelia cea bună: înțelegi ce este volumul și îl afli numărând cuburi. Restul se va clădi ușor peste această idee.

Estimarea: ghicim înainte să numărăm

Un matematician bun mai întâi estimează (ghicește cu cap), apoi verifică. Când vezi un corp din cuburi, încearcă mai întâi să spui din ochi: „Cred că are cam atâtea cuburi." Apoi numeri pe straturi și vezi cât de aproape ai fost. Cu cât exersezi mai mult, cu atât estimările tale devin mai bune. Estimarea te ajută și să prinzi greșelile: dacă ai ghicit „cam 20" și îți iese la calcul 200, știi că ai greșit pe undeva.

Reține pe scurt drumul nostru: volum = câte cuburi unitate încap în corp → le numărăm pe straturi → spunem rezultatul în cm³. Gata, ești pregătit pentru exemple!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un strat simplu

Avem un singur strat de cuburi: 5 pe lungime și 2 pe lățime. Care este volumul?

Rezolvare. Corpul are un singur strat, deci numărăm cuburile din acel strat. Pe lung sunt 5, pe lat sunt 2. Un strat: 5 × 2 = 10 cuburi. Fiind un singur strat, volumul este chiar 10 cuburi.

Răspuns: volumul este 10 cm³.

Exemplul 2 — Construcția cu mai multe straturi

O cutie e construită din cuburi unitate: 3 cuburi pe lungime, 3 pe lățime și 3 straturi în înălțime. Află volumul.

Rezolvare. Mai întâi stratul de jos: 3 × 3 = 9 cuburi. Apoi avem 3 straturi la fel, unul peste altul. Adunăm: 9 + 9 + 9 = 27. Sau, mai rapid, înmulțim: 9 × 3 = 27.

Răspuns: volumul cubului este 27 cm³.

Exemplul 3 — Paralelipipedul lui Ana

Ana a făcut o cutie din cuburi de 1 cm: 6 cuburi pe lungime, 2 pe lățime și 2 straturi în înălțime. Câți centimetri cubi are?

Rezolvare. Stratul de jos: 6 × 2 = 12 cuburi. Straturi în înălțime: 2. Volumul: 12 × 2 = 24. Verificăm prin adunare: 12 + 12 = 24. La fel.

Răspuns: volumul este 24 cm³.

Exemplul 4 — Comparăm două corpuri

Corpul A are 4 cuburi pe lungime, 2 pe lățime și 2 straturi. Corpul B are 3 cuburi pe lungime, 3 pe lățime și 2 straturi. Care corp ocupă mai mult loc?

Rezolvare.

• Corpul A: un strat 4 × 2 = 8 cuburi; 2 straturi → 8 × 2 = 16 cm³.
• Corpul B: un strat 3 × 3 = 9 cuburi; 2 straturi → 9 × 2 = 18 cm³.

Comparăm numerele: 18 > 16.

Răspuns: corpul B ocupă mai mult loc, pentru că are 18 cm³, iar A are 16 cm³. Scriem: 18 cm³ > 16 cm³.

Exemplul 5 — Câte cuburi mai trebuie

Vlad vrea să umple o cutie care încape exact 30 de cuburi unitate. El a pus deja 4 cuburi pe lungime și 3 pe lățime într-un singur strat și a făcut 2 straturi. Câte cuburi îi mai trebuie ca să umple cutia până la 30?

Rezolvare. Ce a pus deja: un strat 4 × 3 = 12 cuburi; 2 straturi → 12 × 2 = 24 de cuburi. Cutia încape 30. Diferența: 30 − 24 = 6.

Răspuns: îi mai trebuie 6 cuburi, adică încă 6 cm³.

Exemplul 6 — Aceeași formă, alt volum

Un cub mic are 2 cuburi pe muchie. Un cub mare are 4 cuburi pe muchie. De câte ori este volumul cubului mare mai mare decât al celui mic? (Mică provocare.)

Rezolvare.

• Cubul mic: 2 × 2 × 2 = 8 cm³.
• Cubul mare: 4 × 4 × 4 = 64 cm³.
• Comparăm: 64 : 8 = 8.

Răspuns: cubul mare are volumul de 8 ori mai mare (64 cm³ față de 8 cm³). Deși muchia s-a dublat, volumul a crescut mult mai mult — un lucru tare interesant despre corpuri!

Exemplul 7 — Numărăm cu cuburi ascunse

Un cub este construit din cubulețe, cu 3 cuburi pe fiecare muchie. Un copil spune: „Văd 9 cuburi pe față, deci volumul e 9 cm³." Are dreptate?

Rezolvare. Nu, copilul a numărat doar o singură față. Corpul are 3 straturi, fiecare cu 3 × 3 = 9 cuburi. Volumul: 9 × 3 = 27 cm³. Cele 9 cuburi văzute pe față sunt doar primul strat; mai sunt încă două straturi în spate, cu tot cu cuburile ascunse din mijloc.

Răspuns: volumul corect este 27 cm³, nu 9 cm³. Atenție mereu la cuburile ascunse!

Exemplul 8 — Două straturi diferite (gândim atent)

Un corp este făcut din cuburi unitate. Stratul de jos are 4 × 2 = 8 cuburi. Câte cuburi are corpul dacă are 4 straturi la fel?

Rezolvare. Un strat: 8 cuburi. Straturi: 4. Adunăm: 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Sau înmulțim: 8 × 4 = 32.

Răspuns: volumul este 32 cm³.

Să exersăm

1. Completează: unitatea de măsură pentru volum, folosită în această lecție, este cubul cu latura de ____ cm, iar volumul lui este 1 cm____.

2. Un corp este format din 9 cuburi unitate. Care este volumul lui? ____ cm³.

3. Un singur strat are 4 cuburi pe lungime și 3 pe lățime. Câte cuburi are stratul? ____ cuburi.

4. Adevărat sau fals? Volumul se măsoară în centimetri pătrați (cm²).

5. O cutie are 5 cuburi pe lungime, 2 pe lățime și 2 straturi în înălțime. Calculează volumul.

6. Un cub mare are 2 cuburi pe fiecare muchie. Câte cuburi unitate are în total? Care este volumul?

7. Încercuiește corpul cu volumul mai mare:

• Corpul P: 16 cm³
• Corpul R: 21 cm³

8. Completează cu „>", „<" sau „=": un corp de 30 cm³ ____ un corp de 30 cm³.

9. Un paralelipiped are stratul de jos de 6 cuburi și 3 straturi în înălțime. Care este volumul?

10. Două corpuri sunt făcute fiecare din 14 cuburi unitate, dar au forme diferite. Care are volumul mai mare?

11. Desenează (sau imaginează) un strat de 3 cuburi pe lungime și 2 pe lățime, apoi spune câte cuburi îi trebuie pentru 4 astfel de straturi.

12. Mică problemă. Maria construiește un cub cu 3 cuburi pe muchie. Câte cuburi unitate folosește în total?

13. O cutie încape 40 de cuburi unitate. Andrei a pus deja 25 de cuburi. Câte cuburi mai încap? Câți cm³ reprezintă?

14. Ordonează crescător (de la cel mai mic la cel mai mare) volumele: 18 cm³, 9 cm³, 27 cm³, 12 cm³.

15. Adevărat sau fals? Două corpuri cu forme diferite pot avea același volum.

16. Potrivește fiecare corp cu volumul lui:

• a) cub cu 2 cuburi pe muchie
• b) paralelipiped 4 × 3 × 1 (un singur strat)
• c) cub cu 3 cuburi pe muchie

Volume: 8 cm³, 12 cm³, 27 cm³.

17. Problemă în doi pași. O cutie are 4 cuburi pe lungime, 3 pe lățime și 3 straturi. O altă cutie are 5 cuburi pe lungime, 2 pe lățime și 3 straturi. Care cutie are volumul mai mare și cu cât?

18. Provocare. Un cub are 10 cuburi pe fiecare muchie. Câte cuburi unitate are în total? (Indiciu: un strat are 10 × 10 cuburi, iar straturi sunt 10.)

19. Completează tabelul (scrie volumul fiecărui corp):

• a) cub cu 1 cub pe muchie → ____ cm³
• b) cub cu 2 cuburi pe muchie → ____ cm³
• c) paralelipiped 5 × 2 × 1 → ____ cm³

20. Adevărat sau fals? Dacă un corp are 7 cuburi, iar altul are 7 cuburi dar e mai înalt, primul ocupă mai puțin loc.

21. Mică problemă. Bunica umple o cutie cu cuburi de zahăr. Pune un strat de 4 × 4 cuburi și apoi încă 2 straturi la fel (3 straturi în total). Câte cuburi de zahăr a folosit?

Răspunsuri și explicații

1. Latura de 1 cm; volumul de 1 cm³. Cubul unitate are muchia de 1 cm și volumul de 1 cm³.

2. 9 cm³. Volumul este numărul de cuburi unitate: 9 cuburi → 9 cm³.

3. 12 cuburi. Un strat: 4 × 3 = 12.

4. Fals. Volumul se măsoară în centimetri cubi (cm³). Centimetrii pătrați (cm²) sunt pentru arie.

5. 20 cm³. Stratul de jos: 5 × 2 = 10 cuburi. Straturi: 2. Volumul: 10 × 2 = 20.

6. 8 cuburi, volumul 8 cm³. Un strat: 2 × 2 = 4; straturi: 2; total 4 × 2 = 8.

7. Corpul R (21 cm³). 21 > 16, deci R are volumul mai mare.

8. „=". Cele două corpuri au același volum: 30 cm³ = 30 cm³.

9. 18 cm³. Strat: 6 cuburi; straturi: 3; volumul: 6 × 3 = 18.

10. Au volume egale. Amândouă sunt făcute din 14 cuburi, deci 14 cm³ = 14 cm³, indiferent de formă.

11. 24 de cuburi. Un strat: 3 × 2 = 6 cuburi; pentru 4 straturi: 6 × 4 = 24.

12. 27 de cuburi. Strat: 3 × 3 = 9; straturi: 3; total 9 × 3 = 27.

13. Mai încap 15 cuburi, adică 15 cm³. 40 − 25 = 15.

14. 9, 12, 18, 27 (cm³). Le-am așezat de la cel mai mic număr la cel mai mare.

15. Adevărat. Dacă au același număr de cuburi unitate, au același volum, chiar cu forme diferite.

16. a) cubul cu 2 pe muchie → 8 cm³ (2 × 2 × 2); b) paralelipipedul 4 × 3 × 1 → 12 cm³ (un singur strat de 12); c) cubul cu 3 pe muchie → 27 cm³ (3 × 3 × 3).

17. Prima cutie are volumul mai mare, cu 6 cm³. Prima: strat 4 × 3 = 12; straturi 3; volum 12 × 3 = 36 cm³. A doua: strat 5 × 2 = 10; straturi 3; volum 10 × 3 = 30 cm³. Diferența: 36 − 30 = 6.

18. 1000 de cuburi. Un strat: 10 × 10 = 100 cuburi; straturi: 10; total 100 × 10 = 1000. Volumul este 1000 cm³.

19. a) 1 cm³ (1 × 1 × 1); b) 8 cm³ (2 × 2 × 2); c) 10 cm³ (un singur strat de 5 × 2 = 10).

20. Fals. Amândouă au 7 cuburi, deci 7 cm³ = 7 cm³. Ocupă același loc, indiferent că unul e mai înalt.

21. 48 de cuburi de zahăr. Un strat: 4 × 4 = 16; straturi: 3; volumul: 16 × 3 = 48 cm³.

De reținut

• Volumul este spațiul ocupat de un corp, adică „cât loc umple" el.
• Îl măsurăm cu cubul unitate, un cub cu latura de 1 cm și volumul de 1 cm³.
• Volumul = numărul de cuburi unitate din care e făcut corpul; rezultatul se scrie în cm³.
• Numărăm ușor pe straturi: cuburile dintr-un strat înmulțite cu numărul de straturi.
• Corpul cu mai multe cuburi are volum mai mare; corpuri diferite ca formă pot avea același volum dacă au tot atâtea cuburi.

Greșeli frecvente

• Confunzi volumul cu aria. Aria numără pătrate plate (cm²); volumul numără cuburi în spațiu (cm³). Întreabă-te: „acopăr o foaie sau umplu o cutie?" Cutia înseamnă volum.
• Uiți cuburile ascunse. Cubulețele din spate sau din mijloc se numără și ele! Tocmai de aceea numărăm pe straturi pline, nu doar cele pe care le vezi.
• Numeri o singură față a corpului. Câte cuburi vezi pe o față NU este volumul. Volumul cere toate cuburile din interior, pe toate straturile.
• Folosești unitatea greșită la rezultat. Răspunsul la volum se scrie în cm³, nu în cm sau cm². Scrie mereu „cm³" la final.

Joc acasă

1. Cutia cu zaruri. Ia o cutie mică (de exemplu o cutie de chibrituri sau de la un cadou) și niște zaruri sau cubulețe de joc, toate la fel de mari. Umple cutia cu un strat de cuburi, numără câte intră, apoi vezi câte straturi încap. Înmulțește și ai aflat câte cuburi încap în cutie. Acela e volumul ei, măsurat în „cuburi".

2. Turnuri egale. Construiește două forme diferite din exact 12 cuburi: una înaltă și subțire, alta lată și joasă. Întreabă pe cineva din familie care crede că are volumul mai mare. Surpriza: au volum egal, 12 cuburi fiecare! Așa înțelegi că forma poate fi diferită, dar volumul la fel.

3. Provocarea cubului. Construiește un cub cu 2 cuburi pe muchie (8 cuburi), apoi încearcă unul cu 3 cuburi pe muchie (27 de cuburi). Numără înainte să construiești, apoi verifică. Câte cuburi în plus ți-au trebuit pentru cubul mai mare?

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce noțiunea de volum la nivel intuitiv, prin numărarea cuburilor unitate, fără formule memorate mecanic. Scopul nu este ca elevul să rețină „volum = lungime × lățime × înălțime" ca pe o regulă goală, ci să înțeleagă că volumul reprezintă spațiul ocupat și că îl putem afla numărând cubulețe de 1 cm³.

Cum sprijiniți copilul:

• Lucrați cu obiecte reale. Cuburile de joc, zarurile sau cuburile de zahăr fac noțiunea palpabilă. Lăsați copilul să construiască și să numere efectiv.
• Insistați pe straturi. Întrebați: „Câte cuburi sunt într-un strat? Câte straturi sunt?" Acest mers pregătește în mod natural înmulțirea celor trei dimensiuni, fără să o impuneți prematur.
• Atrageți atenția asupra cuburilor ascunse. Mulți copii numără doar fețele văzute. Demontați și remontați o construcție ca să vadă interiorul.
• Comparați volume. Două forme diferite din același număr de cuburi sunt o experiență „aha" puternică; întăriți ideea că volumul depinde de numărul de cuburi, nu de aspect.

Întrebări utile de pus: „Ce înseamnă volumul cu cuvintele tale?", „Cum afli câte cuburi încap fără să le numeri pe toate unul câte unul?", „Care corp ocupă mai mult loc și de unde știi?". Verificați înțelegerea cerându-i să estimeze înainte de a calcula și apoi să verifice prin numărare. Legați lecția de Aria unei suprafețe prin numărarea pătratelor unitate (pătrate plate vs. cuburi în spațiu) și de Corpurile geometrice și elementele lor.

Întrebări frecvente

Ce este volumul, pe înțelesul unui copil de clasa a IV-a? Volumul este cât loc ocupă un corp în spațiu, adică „cât de plin" este el. Îl aflăm numărând din câte cuburi mici, de 1 cm fiecare, este făcut corpul.

Cum se calculează volumul prin numărarea cuburilor la clasa a IV-a? Numeri câte cuburi unitate sunt într-un strat (cuburi pe lungime ori cuburi pe lățime), apoi câte straturi sunt în înălțime, și înmulțești cele două. Rezultatul, în centimetri cubi, este volumul.

Care este unitatea de măsură pentru volum? La acest nivel folosim centimetrul cub, scris cm³. Este volumul unui cub cu latura de 1 cm, adică al cubului unitate.

Care este diferența dintre arie și volum? Aria măsoară cât loc acoperă o suprafață plată și se numără în pătrate (cm²). Volumul măsoară cât loc ocupă un corp în spațiu și se numără în cuburi (cm³). Aria are doi pași (lung și lat), volumul are trei (lung, lat și înalt).

Cum compari volumele a două corpuri? Numeri cuburile unitate ale fiecărui corp și compari numerele. Corpul cu mai multe cuburi are volumul mai mare; dacă au același număr de cuburi, au volume egale, chiar dacă au forme diferite.

Pot două corpuri cu forme diferite să aibă același volum? Da. Dacă sunt construite din același număr de cuburi unitate, ocupă același spațiu, deci au volum egal, indiferent că unul este înalt și subțire, iar altul lat și jos.

De ce trebuie să număr și cuburile pe care nu le văd? Pentru că ele există în interiorul corpului și ocupă loc. Volumul cere toate cuburile, inclusiv cele ascunse în spate sau la mijloc. De aceea numărăm pe straturi pline, nu doar fețele vizibile.

Cum aflu volumul unui cub repede? La un cub, numărul de cuburi este același pe lungime, pe lățime și în înălțime. Înmulțești numărul de cuburi de pe o muchie cu el însuși de trei ori. De exemplu, 3 × 3 × 3 = 27 cm³.

Ce este cubul unitate și de ce îl folosim? Cubul unitate este un cub mic cu latura de 1 cm și volumul de 1 cm³. Îl folosim ca „etalon" mereu la fel: numărând câte astfel de cuburi încap într-un corp, aflăm cinstit volumul acelui corp și putem compara corect două corpuri.

De ce volumul cubului crește atât de mult când mărim muchia? Pentru că volumul ține cont de trei direcții deodată — lungime, lățime și înălțime. Când dublezi muchia, fiecare dintre cele trei direcții se dublează, iar 2 × 2 × 2 înseamnă de 8 ori mai multe cuburi, nu doar de 2 ori.

La ce mă ajută numărarea cuburilor mai târziu? Este temelia pentru formula volumului (lungime × lățime × înălțime) și pentru unitățile mai mari, ca litrul. Dacă acum înțelegi că volumul înseamnă „câte cuburi încap", formulele de mai târziu vor avea sens, nu vor fi reguli pe de rost.