Factorul comun: scoaterea și darea în factor comun

Ai învățat deja, la înmulțirea numerelor naturale, că înmulțirea se „împrăștie" peste o sumă: aceasta este proprietatea de distributivitate. În lecția de astăzi vei descoperi un truc puternic, folosit de toți cei care calculează rapid și elegant: să citești distributivitatea invers, adică să scoți în față ceea ce se repetă. Această mișcare se numește scoaterea factorului comun și transformă calcule lungi în calcule scurte. E ca și cum ai strânge mai multe cutii identice și ai pune o singură etichetă deasupra.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști factorul comun dintr-o sumă sau dintr-o diferență de produse.
Vei ști să scoți (dai) factorul comun folosind regula a · b + a · c = a · (b + c).
Vei ști să folosești factorul comun pentru a calcula mai rapid, fără să faci înmulțiri grele.
Vei ști să verifici dacă ai scos corect factorul comun, refăcând calculul în sens invers.
Vei ști să recunoști capcanele și să nu confunzi factorul comun cu termenul comun.

Hai să descoperim împreună

1. Ne amintim ce înseamnă distributivitatea

La lecția despre înmulțire ai văzut că un număr înmulțit cu o sumă dă același rezultat ca atunci când îl înmulțești pe rând cu fiecare termen și aduni:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

De exemplu:

$7 \cdot (10 + 3) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 70 + 21 = 91.$

Aceasta se numește distributivitatea înmulțirii față de adunare. La fel funcționează și față de scădere:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c .$

Până acum mergeam de la stânga la dreapta: aveam paranteza și o „desfăceam". Astăzi vom merge invers, de la dreapta la stânga.

2. Ce este factorul comun?

Privește această sumă de produse:

$8 \cdot 5 + 8 \cdot 9.$

Ce observi? În amândouă produsele apare numărul 8. Acest 8 este înmulțit și în primul produs, și în al doilea. Spunem că 8 este factor comun.

Cuvântul factor înseamnă „număr care se înmulțește". Iar comun înseamnă „pe care îl au amândoi". Deci factorul comun este numărul care se înmulțește în fiecare termen al sumei (sau al diferenței).

Pentru că 8 apare peste tot, îl putem „scoate în față", ca pe o etichetă, și grupăm ce rămâne între paranteze:

$8 \cdot 5 + 8 \cdot 9 = 8 \cdot (5 + 9) .$

Aceasta este scoaterea factorului comun (se mai spune darea în factor comun). Citim regula generală așa:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) .$

3. De ce funcționează? O poveste cu cutii

Hai să înțelegem cu o imagine concretă, nu doar cu litere.

Imaginează-ți că ai cutii care conțin fiecare câte 8 mingi. Într-un raft ai 5 cutii, iar în alt raft ai 9 cutii. Câte mingi ai în total?

În primul raft: 8 · 5 = 40 mingi.
În al doilea raft: 8 · 9 = 72 mingi.
Total: 40 + 72 = 112 mingi.

Dar putem gândi și altfel: cutiile au toate câte 8 mingi. Câte cutii ai în total? 5 + 9 = 14 cutii. Și fiecare are 8 mingi, deci:

$8 \cdot 14 = 112 mingi.$

Același rezultat! Pentru că, fie că le numeri pe rafturi separate, fie că aduni întâi cutiile și abia apoi înmulțești cu 8, mingile sunt aceleași. Iată inima ideii:

$8 \cdot 5 + 8 \cdot 9 = 8 \cdot (5 + 9) = 8 \cdot 14 = 112.$

Observă cât de util e: în loc să faci două înmulțiri (8·5 și 8·9) și o adunare, faci o singură adunare ușoară (5+9=14) și o singură înmulțire (8·14). Mai puțină muncă, același rezultat.

4. Cum recunoaștem factorul comun — pas cu pas

Ca să dai în factor comun, urmează acești pași simpli:

Privești fiecare termen al sumei sau diferenței. Fiecare termen trebuie să fie un produs (o înmulțire).
Cauți numărul care se repetă în toate produsele. Acela este factorul comun.
Îl scoți în față și deschizi o paranteză.
În paranteză scrii ce a rămas din fiecare termen, după ce „ai luat" factorul comun, păstrând semnele dintre termeni.
Calculezi paranteza și apoi înmulțești.

Hai să aplicăm pe 6 · 7 + 6 · 3:

Pas 1: avem doi termeni, 6·7 și 6·3, fiecare este un produs. ✓
Pas 2: numărul care se repetă este 6. Acela e factorul comun.
Pas 3 și 4: scoatem 6 în față → 6 · (7 + 3).
Pas 5: 7 + 3 = 10, deci 6 · 10 = 60.

Verificare: 6·7 + 6·3 = 42 + 18 = 60. ✓ Același rezultat.

5. Factorul comun la diferență

Totul funcționează identic și când între termeni este semnul minus. Singura grijă: păstrezi semnul în paranteză.

$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c) .$

De exemplu:

$9 \cdot 12 - 9 \cdot 2 = 9 \cdot (12 - 2) = 9 \cdot 10 = 90.$

Verificare: 9·12 - 9·2 = 108 - 18 = 90. ✓

6. Marea utilitate: calculul rapid

Aici factorul comun devine o adevărată superputere. Privește calculul:

$23 \cdot 8 + 23 \cdot 2.$

Dacă l-ai face direct, ai avea de înmulțit 23·8 = 184 și 23·2 = 46, apoi de adunat. Muncă serioasă. Dar factorul comun este 23:

$23 \cdot 8 + 23 \cdot 2 = 23 \cdot (8 + 2) = 23 \cdot 10 = 230.$

Dintr-o dată, calculul a devenit banal, pentru că 8 + 2 = 10, iar înmulțirea cu 10 e foarte ușoară. Trucul celor care calculează rapid este să caute factorul comun atunci când în paranteză se formează un număr rotund (10, 100, 1000).

Un exemplu și mai impresionant:

$17 \cdot 99 + 17 \cdot 1 = 17 \cdot (99 + 1) = 17 \cdot 100 = 1700.$

Fără factorul comun, ar fi trebuit să calculezi 17·99 = 1683, ceea ce e mult mai greu. Cu factorul comun, totul devine 17·100.

7. Factorul comun cu mai mulți termeni

Factorul comun poate fi scos și când avem trei sau mai mulți termeni, atâta timp cât numărul se repetă în toți:

$5 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 10 = 5 \cdot (4 + 6 + 10) = 5 \cdot 20 = 100.$

Toți cei trei termeni îl conțineau pe 5, așa că l-am scos o singură dată în față, iar în paranteză am adunat tot ce a rămas.

8. Cazul special: când unul dintre termeni este chiar factorul comun „singur"

Uneori unul dintre termeni nu pare un produs, ci apare singur. De exemplu:

$13 \cdot 6 + 13.$

Aici al doilea termen este doar 13. Dar atenție: orice număr este egal cu el însuși înmulțit cu 1, deci 13 = 13 · 1. Așa că:

$13 \cdot 6 + 13 = 13 \cdot 6 + 13 \cdot 1 = 13 \cdot (6 + 1) = 13 \cdot 7 = 91.$

Ține minte acest mic secret: ce rămâne în paranteză, în locul unui termen care era „singur", este 1, nu 0. Este o greșeală foarte frecventă să pui 0 acolo — vom reveni la ea în secțiunea cu greșeli.

9. O a doua imagine: banii din portofel

Hai cu încă o analogie, pentru că ideea merită privită din mai multe unghiuri. Imaginează-ți că ai numai bancnote de 10 lei. Într-un buzunar ai 6 bancnote, iar în celălalt buzunar ai 9 bancnote. Câți lei ai?

Primul buzunar: 10 · 6 = 60 lei.
Al doilea buzunar: 10 · 9 = 90 lei.
Total: 60 + 90 = 150 lei.

Sau, mai isteț: toate bancnotele au aceeași valoare, 10 lei. Câte bancnote ai cu totul? 6 + 9 = 15. Deci 10 · 15 = 150 lei. Valoarea unei bancnote — cei 10 lei — este factorul comun pe care îl scoți în față:

$10 \cdot 6 + 10 \cdot 9 = 10 \cdot (6 + 9) = 10 \cdot 15 = 150.$

Reține tiparul: când mai multe grupuri au aceeași „mărime", numeri întâi câte grupuri sunt și abia apoi înmulțești cu mărimea lor. Mărimea grupului este factorul comun.

10. Un mic tabel care te ajută să decizi

Înainte de a scrie soluția, întreabă-te două lucruri. Tabelul de mai jos te ghidează:

Întrebare	Dacă răspunsul e DA	Dacă răspunsul e NU
Toți termenii conțin același număr înmulțit?	Scoate-l ca factor comun	Nu poți da în factor comun
În paranteză iese un număr rotund (10, 100…)?	Calculul va fi foarte rapid	Calculezi normal, dar tot ajută

Acest reflex — „caut numărul care se repetă" — este exact ce deosebește un elev care calculează ostenitor de unul care calculează elegant.

11. Cum verifici că ai scos corect factorul comun

Există o metodă infailibilă de verificare: desfaci la loc paranteza (faci distributivitatea în sens normal). Dacă obții expresia de la care ai plecat, ai lucrat corect.

De pildă, ai scris 7 · (4 + 5). Desfaci: 7·4 + 7·5. Dacă asta era exact suma inițială, totul e în regulă. Practic, scoaterea factorului comun și desfacerea parantezei sunt operații inverse, ca strânsul și desfacerea unei umbrele.

12. Antrenează-ți „ochiul de detectiv"

Calculatorii rapizi nu scot factorul comun la întâmplare: ei caută anume momentul în care merită. Iată reflexul lor, pas cu pas, când dau peste o sumă de produse:

Se uită dacă un număr se repetă. Dacă da, e candidat de factor comun.
Se uită ce rămâne în paranteză. Dacă numerele rămase se adună într-un număr rotund (10, 100, 1000), au dat lovitura — calculul devine instant.

De exemplu, în 42 · 6 + 42 · 4, ochiul de detectiv vede imediat două lucruri: se repetă 42, iar 6 + 4 = 10. Concluzia vine fără calcule grele:

$42 \cdot 6 + 42 \cdot 4 = 42 \cdot (6 + 4) = 42 \cdot 10 = 420.$

Uneori numerele care se adună frumos nu stau lipite. Privește 8 · 37 + 8 · 63. Aici 37 + 63 = 100, chiar dacă la prima vedere par numere „incomode":

$8 \cdot 37 + 8 \cdot 63 = 8 \cdot (37 + 63) = 8 \cdot 100 = 800.$

Reține: înainte să te apuci de înmulțiri lungi, aruncă o privire. De multe ori, o sumă care pare grea ascunde un factor comun și un număr rotund care o fac, de fapt, foarte ușoară.

13. Aceeași idee, alt veșmânt: perimetrul

Factorul comun apare și acolo unde nu te aștepți. Gândește-te la un dreptunghi cu lungimea de 12 cm și lățimea de 8 cm. Perimetrul (suma tuturor laturilor) se poate scrie ca 12 + 8 + 12 + 8, dar și ca 2 · 12 + 2 · 8, pentru că fiecare dimensiune apare de două ori. Factorul comun este 2:

$2 \cdot 12 + 2 \cdot 8 = 2 \cdot (12 + 8) = 2 \cdot 20 = 40 cm.$

Iată de unde vine formula perimetrului dreptunghiului, P = 2 · (L + l): este chiar o scoatere de factor comun! Vei reîntâlni această idee când vei studia formulele de geometrie, așa că merită să o recunoști de pe acum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoaștem și scoatem factorul comun

Calculează folosind factorul comun: 12 · 7 + 12 · 3.

Rezolvare. Caut numărul care se repetă în ambii termeni: este 12. Îl scot în față:

$12 \cdot 7 + 12 \cdot 3 = 12 \cdot (7 + 3) = 12 \cdot 10 = 120.$

Verificare: 12·7 + 12·3 = 84 + 36 = 120. ✓

Observă cât de comod a fost: în paranteză s-a format 10, un număr rotund.

Exemplul 2 — factor comun la o diferență

Calculează: 25 · 14 - 25 · 4.

Rezolvare. Factorul comun este 25. Îl scot, păstrând semnul minus în paranteză:

$25 \cdot 14 - 25 \cdot 4 = 25 \cdot (14 - 4) = 25 \cdot 10 = 250.$

Verificare: 25·14 - 25·4 = 350 - 100 = 250. ✓

Exemplul 3 — calcul rapid spre un număr rotund

Calculează inteligent: 48 · 97 + 48 · 3.

Rezolvare. Dacă aș calcula direct, 48·97 ar fi greu. Dar observ factorul comun 48 și că 97 + 3 = 100:

$48 \cdot 97 + 48 \cdot 3 = 48 \cdot (97 + 3) = 48 \cdot 100 = 4800.$

Am evitat complet înmulțirea grea. Acesta este exact felul în care factorul comun face calculul rapid.

Exemplul 4 — un termen apare „singur"

Calculează: 36 · 9 + 36.

Rezolvare. Al doilea termen este 36, adică 36 · 1. Factorul comun este 36:

$36 \cdot 9 + 36 = 36 \cdot 9 + 36 \cdot 1 = 36 \cdot (9 + 1) = 36 \cdot 10 = 360.$

Verificare: 36·9 + 36 = 324 + 36 = 360. ✓ Atenție: în paranteză a rămas 1, nu 0!

Exemplul 5 — trei termeni cu același factor comun

Calculează: 15 · 8 + 15 · 11 - 15 · 9.

Rezolvare. Toți trei termenii îl conțin pe 15. Îl scot o singură dată, păstrând semnele din interior:

$15 \cdot 8 + 15 \cdot 11 - 15 \cdot 9 = 15 \cdot (8 + 11 - 9) = 15 \cdot 10 = 150.$

Verificare: 120 + 165 - 135 = 150. ✓

Exemplul 6 — micuță problemă practică

O librărie vinde caiete a câte 4 lei bucata. Luni a vândut 28 de caiete, marți 22 de caiete, iar miercuri 50 de caiete. Cât a încasat în total din caiete?

Rezolvare. Banii din fiecare zi: 4·28 + 4·22 + 4·50. Factorul comun este prețul, 4:

$4 \cdot 28 + 4 \cdot 22 + 4 \cdot 50 = 4 \cdot (28 + 22 + 50) = 4 \cdot 100 = 400 lei.$

Așadar librăria a încasat 400 de lei. Observă cum problema reală ascundea, de fapt, o scoatere de factor comun: prețul, care era același în fiecare zi.

Exemplul 7 — numere care par incomode, dar se adună rotund

Calculează inteligent: 7 · 86 + 7 · 14.

Rezolvare. La prima vedere, 7·86 și 7·14 par calcule serioase. Dar ochiul de detectiv observă factorul comun 7 și, mai ales, că 86 + 14 = 100:

$7 \cdot 86 + 7 \cdot 14 = 7 \cdot (86 + 14) = 7 \cdot 100 = 700.$

Nu a fost nevoie de nicio înmulțire grea. Aceasta e puterea reflexului: caută întâi dacă numerele rămase se adună într-un număr rotund.

Exemplul 8 — factorul comun stă pe locul al doilea

Calculează: 18 · 6 + 12 · 6.

Rezolvare. De data aceasta numărul care se repetă, 6, apare în fiecare produs pe locul al doilea. Nu contează: înmulțirea este comutativă, așa că îl scoatem la fel:

$18 \cdot 6 + 12 \cdot 6 = 6 \cdot (18 + 12) = 6 \cdot 30 = 180.$

Verificare: 18·6 + 12·6 = 108 + 72 = 180. ✓ Caută numărul care se repetă oriunde, nu doar la început.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde se cere, scoate întâi factorul comun și abia apoi calculează.

1. Încercuiește factorul comun din expresia: 6 · 11 + 6 · 4.

2. Completează: 9 · 7 + 9 · 3 = 9 · (… + …) = 9 · … = …

3. Calculează scoțând factorul comun: 8 · 12 + 8 · 8.

4. Calculează scoțând factorul comun: 15 · 20 - 15 · 6.

5. Adevărat sau fals? 7 · 5 + 7 · 2 = 7 · (5 + 2). Justifică.

6. Calculează inteligent: 34 · 96 + 34 · 4.

7. Calculează: 50 · 18 - 50 · 8.

8. Completează termenul care lipsește: 12 · 5 + 12 · … = 12 · (5 + 9).

9. Scoate factorul comun și calculează: 23 · 6 + 23.

10. Calculează cu trei termeni: 5 · 13 + 5 · 27 - 5 · 10.

11. Potrivește fiecare expresie din stânga cu forma ei cu factor comun din dreapta:

a) 4·9 + 4·1
b) 4·9 - 4·1
c) 9·4 + 9·6

Variante: I) 9·(4+6); II) 4·(9+1); III) 4·(9-1).

12. Adevărat sau fals? 10 · 8 + 5 · 8 = 8 · (10 + 5). Explică unde se află factorul comun.

13. Calculează cel mai rapid: 17 · 49 + 17 · 51.

14. Scrie 45 + 45 · 9 sub formă cu factor comun și calculează.

15. O problemă: la un campionat, fiecare echipă primește 3 puncte pentru fiecare meci câștigat. Echipa A a câștigat 7 meciuri în tur și 5 meciuri în retur. Câte puncte a strâns echipa A din meciurile câștigate? (Folosește factorul comun.)

16. Provocare: calculează 99 · 7 + 99 · 2 + 99 · 1 folosind factorul comun.

17. Completează factorul comun care lipsește: … · 6 + … · 4 = 8 · (6 + 4).

18. Provocare finală: arată că 26 · 25 - 26 · 15 este egal cu 260, scoțând factorul comun.

19. Calculează inteligent (numere care se adună rotund): 6 · 73 + 6 · 27.

20. Factorul comun stă pe locul al doilea. Calculează: 9 · 4 + 11 · 4.

21. Adevărat sau fals? Din 7 · 5 + 4 · 3 se poate scoate un factor comun. Justifică.

22. Problemă: un dreptunghi are lungimea de 15 cm și lățimea de 5 cm. Scrie perimetrul sub forma 2 · 15 + 2 · 5, apoi scoate factorul comun și calculează.

Răspunsuri și explicații

1. Factorul comun este 6 (apare în ambii termeni). Forma: 6·(11+4).

2. 9 · (7 + 3) = 9 · 10 = 90. Factorul comun 9, în paranteză 7+3=10.

3. 8·12 + 8·8 = 8·(12+8) = 8·20 = 160. Verificare: 96+64=160. ✓

4. 15·20 - 15·6 = 15·(20-6) = 15·14 = 210. Verificare: 300-90=210. ✓

5. Adevărat. Este chiar distributivitatea citită invers: factorul comun 7 se scoate, iar în paranteză rămân 5 și 2. Desfăcând 7·(5+2) obținem din nou 7·5+7·2.

6. Factor comun 34, iar 96+4=100: 34·(96+4) = 34·100 = 3400.

7. 50·(18-8) = 50·10 = 500. Verificare: 900-400=500. ✓

8. Termenul lipsă este 9, pentru că în paranteză avem 5+9. Deci 12·5 + 12·9.

9. 23·6 + 23 = 23·6 + 23·1 = 23·(6+1) = 23·7 = 161. (Atenție, al doilea termen e 23·1.) Verificare: 138+23=161. ✓

10. 5·(13+27-10) = 5·30 = 150. Verificare: 65+135-50=150. ✓

11. a) → II 4·(9+1); b) → III 4·(9-1); c) → I 9·(4+6).

12. Adevărat. Factorul comun este 8, doar că el apare pe locul al doilea în fiecare produs (10·8 și 5·8), nu pe primul. Pentru că înmulțirea este comutativă (10·8 = 8·10 și 5·8 = 8·5), îl putem scoate la fel de bine în față: 10·8 + 5·8 = 8·(10+5) = 8·15 = 120. Verificare: 80 + 40 = 120. ✓ (Capcana cerinței: factorul comun nu trebuie neapărat să fie primul număr scris în produs.)

13. Factor comun 17, iar 49+51=100: 17·(49+51) = 17·100 = 1700.

14. 45 + 45·9 = 45·1 + 45·9 = 45·(1+9) = 45·10 = 450. Verificare: 45+405=450. ✓

15. 3·7 + 3·5 = 3·(7+5) = 3·12 = 36 puncte. Echipa A a strâns 36 de puncte.

16. 99·(7+2+1) = 99·10 = 990.

17. Factorul comun lipsă este 8: 8·6 + 8·4 = 8·(6+4).

18. 26·25 - 26·15 = 26·(25-15) = 26·10 = 260. Exact ce trebuia arătat. ✓

19. Factor comun 6, iar 73+27=100: 6·(73+27) = 6·100 = 600. Verificare: 438+162=600. ✓

20. Factorul comun este 4 (pe locul al doilea în ambele produse): 9·4 + 11·4 = 4·(9+11) = 4·20 = 80. Verificare: 36+44=80. ✓

21. Fals. În 7·5 + 4·3 niciun număr nu se repetă în ambii termeni (primul are 7 și 5, al doilea are 4 și 3). Nu există factor comun, deci nu se poate scoate nimic. Calculezi normal: 35 + 12 = 47.

22. 2·15 + 2·5 = 2·(15+5) = 2·20 = 40 cm. Perimetrul dreptunghiului este 40 cm. Aceasta este chiar formula P = 2·(L + l), obținută prin scoaterea factorului comun 2.

De reținut

Distributivitatea inversă este regula de bază: a · b + a · c = a · (b + c) (și la fel cu minus).
Factorul comun este numărul care se înmulțește în fiecare termen al sumei sau diferenței; el se scoate în față, o singură dată.
În paranteză rămâne ce a mai rămas din fiecare termen, cu semnele păstrate.
Dacă un termen apare „singur", în paranteză el lasă 1, pentru că orice număr este egal cu el înmulțit cu 1.
Factorul comun e cel mai util când în paranteză se formează un număr rotund (10, 100, 1000) — atunci calculul devine fulgerător de rapid.

Greșeli frecvente

Pui 0 în loc de 1 când termenul e singur. La 13·6 + 13, mulți scriu greșit 13·(6+0). Corect este 13·(6+1), pentru că 13 = 13·1. Verifică mereu desfăcând paranteza.
Uiți să păstrezi semnul minus. La o diferență, a·b - a·c, semnul din paranteză rămâne minus: a·(b - c). Nu îl transforma în plus.
Crezi că factorul comun e mereu primul număr din produs. La 10·8 + 5·8, factorul comun este 8, deși stă pe locul al doilea. Caută numărul care se repetă, oriunde ar fi în produs.
Scoți un număr care nu apare în toți termenii. Factorul comun trebuie să fie prezent în fiecare termen. La 6·5 + 4·5 + 7·3, nu poți scoate 5, pentru că al treilea termen (7·3) nu îl conține.

Joc acasă

1) Cutiile cu monede. Ia două grămezi de monede identice (de exemplu, monede de 1 leu). În prima grămadă pune 6 monede, în a doua pune 4 monede. Calculează valoarea totală în două feluri: întâi 1·6 + 1·4, apoi 1·(6+4). Schimbă valoarea monedei (folosește monede de 5 lei „imaginare", deci înmulțește cu 5) și repetă. Vei vedea că factorul comun (valoarea unei monede) iese mereu în față.

2) Rafturile cu cărți. Numără câte cărți încap pe un raft din casă — să zicem 7. Apoi imaginează-ți 3 rafturi pline și 2 rafturi pline. Scrie 7·3 + 7·2 și transformă în 7·(3+2) = 7·5 = 35. Compară cu numărarea directă. Provoacă un părinte: cine află mai repede totalul, cel care înmulțește de două ori sau cel care folosește factorul comun?

3) Cursa de calcul rapid. Scrie pe o foaie 5 expresii de tipul număr · 98 + număr · 2 (alege tu numerele). Pune un cronometru. Rezolvă-le folosind factorul comun (paranteza dă mereu 100) și vezi în cât timp termini. Apoi roagă pe cineva să le facă fără factor comun și comparați timpii.

4) Vânătoarea de „o sută". Caută prin casă perechi de numere care se adună la 100: paginile unei cărți (37 și 63), prețuri, vârste, orice. De fiecare dată când găsești o pereche, inventează o expresie cu un factor comun la alegere — de exemplu 4 · 37 + 4 · 63 — și calculează folosind trucul: scoți 4 în față, aduni la 100, înmulțești. Ține un mic „carnet de capturi": cine adună cele mai multe perechi într-o săptămână câștigă. Jocul antrenează exact reflexul detectivului din lecție: să vezi numărul rotund ascuns.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă o regulă deja cunoscută — distributivitatea — de o aplicație nouă și foarte practică: citirea ei „de la dreapta la stânga". Scopul nu este memorarea unei formule, ci înțelegerea că scoaterea factorului comun și desfacerea parantezei sunt operații inverse.

Cum sprijiniți elevul:

Începeți de la sensul concret (cutiile cu mingi, rafturile cu cărți). Întrebați: „Câte grupuri identice avem? Ce au toate în comun?" Răspunsul la a doua întrebare este factorul comun.
Cereți verificarea prin desfacerea parantezei. După fiecare exercițiu, întrebați: „Dacă desfacem paranteza, obținem ce aveam la început?" Aceasta consolidează ideea de operație inversă și prinde greșelile de semn.
Insistați pe cazul „termenului singur" (a·b + a). Întrebați: „Câte ori apare a în al doilea termen?" Răspuns: o dată, deci rămâne 1. Este eroarea cea mai des întâlnită.
Evidențiați avantajul de viteză. Puneți elevul să calculeze 47·99 + 47·1 întâi direct, apoi cu factor comun. Diferența de efort îl va convinge că merită să caute factorul comun.

Cum verificați înțelegerea: dați o expresie unde nu există factor comun (de exemplu 6·5 + 4·3) și întrebați dacă se poate scoate ceva. Un elev care a înțeles va spune „nu, pentru că niciun număr nu se repetă în ambii termeni". Aceasta arată că nu aplică mecanic regula.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să scoți factorul comun la clasa a 5-a? Înseamnă să identifici numărul care se înmulțește în fiecare termen al unei sume sau diferențe și să-l „scoți în față", grupând restul în paranteză: a·b + a·c = a·(b+c). Este distributivitatea citită în sens invers și folosește la calculul rapid.

Care e diferența dintre factorul comun și termenul comun? Factorul comun este un număr care se înmulțește în fiecare produs (apare într-o înmulțire). Termenul comun ar fi un număr care se adună identic — dar la această lecție lucrăm doar cu factori, adică numere implicate în înmulțiri. Cuvântul „factor" înseamnă chiar „număr care se înmulțește".

Ce rămâne în paranteză când unul dintre termeni apare singur? Rămâne 1, nu 0. De exemplu, 8·5 + 8 = 8·5 + 8·1 = 8·(5+1) = 8·6 = 48, pentru că orice număr este egal cu el însuși înmulțit cu 1.

Cum mă ajută factorul comun la calculul rapid? Te ajută când, după ce scoți factorul comun, în paranteză se formează un număr rotund (10, 100, 1000). Atunci înmulțirea devine foarte ușoară. De exemplu, 36·98 + 36·2 = 36·100 = 3600, fără să calculezi 36·98.

Pot scoate factorul comun dacă numerele nu se repetă în toți termenii? Nu. Factorul comun trebuie să fie prezent în fiecare termen. Dacă măcar un termen nu îl conține, nu îl poți scoate pe acel număr. De exemplu, din 5·3 + 5·4 + 2·7 nu poți scoate 5, fiindcă ultimul termen nu îl are.

Scoaterea factorului comun funcționează și la scădere? Da, exact la fel: a·b - a·c = a·(b-c). Singura grijă este să păstrezi semnul minus în paranteză. De exemplu, 20·15 - 20·5 = 20·(15-5) = 20·10 = 200.

Cum verific că am scos corect factorul comun? Desfaci paranteza la loc (faci distributivitatea normală) și vezi dacă obții expresia de la care ai plecat. Dacă da, ai lucrat corect, pentru că cele două operații sunt inverse una alteia.

Factorul comun trebuie să fie primul număr din fiecare produs? Nu. Poate sta oriunde în produs, fiindcă înmulțirea este comutativă. La 10·8 + 5·8, factorul comun este 8, deși apare pe locul al doilea: 10·8 + 5·8 = 8·(10+5) = 8·15 = 120.