Rezolvați în $$\mathbb{R}$$ inecuația $$x^2+4x+8>0$$.

$$(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$$

Cum rezolv grafic o inecuație de gradul doi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Inecuații de gradul doi rezolvate grafic

Aduci totul într-un singur membru, afli rădăcinile și desenezi parabola. Soluția este proiecția pe axa orizontală a bucății aflate deasupra axei, când ceri valori pozitive, sau a bucății de sub axă, când ceri valori negative. La inegalitate strictă capetele se exclud, iar la una nestrictă se includ. Din $x^{2} - x - 12 \leq 0$ rezultă intervalul $[- 3, 4]$ .

O inecuație de gradul al doilea se aduce la forma $a x^{2} + b x + c ≷ 0$ (cu $a \neq = 0$ ), iar a o rezolva înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor $S$ . Soluția se citește ca proiecție pe axa $O x$ a porțiunii de parabolă aflate deasupra axei (pentru $> 0$ ) sau sub axă (pentru $< 0$ ) — exact regula semnului din lecția anterioară. Cu $Δ > 0$ și rădăcinile $x_{1} < x_{2}$ : pentru $a > 0$ , $f (x) > 0$ dă $(- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ , iar $f (x) < 0$ dă $(x_{1}, x_{2})$ ; pentru $a < 0$ situația se inversează. **Capetele**: inegalitate **strictă** ( $>$ , $<$ ) exclude rădăcinile (paranteze rotunde); inegalitate nestrictă ( $\geq$ , $\leq$ ) le include (paranteze drepte); $\pm \infty$ se scrie mereu cu paranteză rotundă. În cazurile speciale, $Δ = 0$ poate da $R$ , $R ∖ {x_{0}}$ , ${x_{0}}$ sau $\emptyset$ , iar $Δ < 0$ dă $R$ sau $\emptyset$ , după cum semnul cerut coincide sau nu cu semnul lui $a$ . Pe un interval $D$ dat, rezolvi întâi pe $R$ , apoi intersectezi cu $D$ . Un sistem de inecuații cere intersecția mulțimilor de soluții ale fiecăreia. La înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.

De reținut

se aduce totul într-un membru și se studiază semnul
inegalitate strictă: paranteze rotunde; nestrictă: paranteze drepte
la infinit, paranteză rotundă întotdeauna
pe un interval dat, intersectezi cu el soluția de pe $R$

Greșeala tipică

Se împarte inecuația cu un număr negativ fără a întoarce sensul inegalității, iar soluția iese exact pe dos; ori de câte ori înmulțești sau împarți cu un număr negativ, semnul se schimbă.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $R$ inecuația $x^{2} - x - 12 \leq 0$ .
- a) $[- 3, 4]$
- b) $(- 3, 4)$
- c) $(- \infty, - 3] \cup [4, \infty)$
- d) $[- 3, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 3, 4]$

$Δ = 1 + 48 = 49$ , iar rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 7}{2}$ , adică $- 3$ și $4$ . Cum $a = 1 > 0$ , expresia e negativă între rădăcini, iar inegalitatea nestrictă $\leq$ include capetele. Deci $S = [- 3, 4]$ . Control: $x = 0$ dă $- 12 \leq 0$ ✓; $x = - 3$ dă $9 + 3 - 12 = 0 \leq 0$ ✓ (capăt inclus).
Rezolvați în $R$ inecuația $- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$ .
- a) $[- 2, 4]$
- b) $(- 2, 4)$
- c) $(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)$
- d) $[2, 4]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 2, 4]$

Împărțim la $- 1$ și întoarcem sensul: $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ . $Δ = 4 + 32 = 36$ , rădăcinile $\frac{2 \pm 6}{2}$ , adică $- 2$ și $4$ ; coeficientul dominant (după împărțire) e pozitiv, deci soluția e intervalul închis dintre rădăcini: $S = [- 2, 4]$ . Control pe forma inițială: la $x = 0$ : $8 \geq 0$ ✓ ( $0$ e între rădăcini); la $x = - 2$ : $- 4 - 4 + 8 = 0 \geq 0$ ✓ (capăt inclus); la $x = 5$ : $- 25 + 10 + 8 = - 7 < 0$ , deci $5 \in / S$ ✓.
Rezolvați în $R$ inecuația $x^{2} + 4 x + 8 > 0$ .
- a) $R$
- b) $\emptyset$
- c) $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$
- d) $(- 4, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R$

$Δ = 16 - 32 = - 16 < 0$ și $a = 1 > 0$ , deci expresia păstrează semnul lui $a$ pe tot $R$ : este strict pozitivă peste tot. Deci $S = R$ . Confirmare prin forma canonică: $x^{2} + 4 x + 8 = (x + 2)^{2} + 4 \geq 4 > 0$ pentru orice $x$ .

Întrebări conexe

Cum scriu soluția unei inecuații ca reuniune de intervale?

Când zonele bune sunt despărțite de rădăcini, le legi cu semnul de reuniune. De exemplu, pentru valori pozitive în afara rădăcinilor $2$ și $3$ scrii $(- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ . La infinit se pune mereu paranteză rotundă, iar la rădăcini paranteza depinde de tipul inegalității.

Ce soluție are inecuația x la pătrat minus 9 mai mic decât zero?

Rădăcinile sunt $- 3$ și $3$ , iar coeficientul dominant este pozitiv, deci valorile negative se află între ele. Soluția este intervalul deschis $(- 3, 3)$ . Cu alte cuvinte, pătratul rămâne sub $9$ exact pentru numerele aflate la distanță mai mică decât trei față de origine.

Cum rezolv o inecuație de gradul doi scrisă cu paranteze?

Nu desfaci parantezele: din forma factorizată citești direct rădăcinile. Apoi faci tabelul de semn cu ele și alegi zonele cerute. Pentru $(x - 1) (x + 4) > 0$ rădăcinile sunt $1$ și $- 4$ , iar soluția este reuniunea intervalelor din afara lor.

Cum arăt că o inecuație de gradul doi este adevărată pentru orice x?

Ceri ca semnul funcției să fie mereu cel din inegalitate. Pentru valori strict pozitive peste tot ai nevoie de coeficient dominant pozitiv și discriminant negativ, deodată. La $x^{2} + 4 x + 8$ discriminantul este $- 16$ , deci expresia rămâne pozitivă pentru orice număr.

Cum apar inecuațiile de gradul al doilea la Bacalaureat?

Apar la condiții de existență, la domenii de definiție cu radical și la discuții după un parametru. Cerința sună adesea ca determinarea valorilor pentru care o expresie păstrează un semn. Rezolvarea rămâne aceeași: discriminant, rădăcini, tabel de semn, apoi scrierea corectă a intervalelor.

Oamenii mai întreabă și: inecuații de gradul 2 · cum rezolv o inecuație cu x la pătrat · soluția unei inecuații de gradul doi · inecuație pătratică rezolvată