Mulțimea numerelor naturale N. Notații și simboluri matematice

Ai folosit numerele naturale încă din clasa pregătitoare: ai numărat creioane, ai adunat puncte la un joc, ai citit scoruri la fotbal. În gimnaziu facem un pas important: nu doar le folosim, ci învățăm să vorbim despre ele ca matematicienii — adunate într-o „cutie" numită mulțime și scrise cu simboluri scurte și precise. În această lecție vei descoperi mulțimea numerelor naturale N, vei învăța ce înseamnă ∈, ∉ și ⊂ și vei scrie corect o mulțime între acolade. Sunt instrumente pe care le vei folosi în toate lecțiile care urmează.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști ce este o mulțime și ce este un element al unei mulțimi.
• Vei ști să recunoști mulțimea numerelor naturale N și să folosești corect notația ei.
• Vei ști să deosebești mulțimea N de mulțimea N* (numerele naturale fără zero).
• Vei ști să folosești corect simbolurile de apartenență ∈ și de neapartenență ∉.
• Vei ști să folosești simbolul de incluziune ⊂ și să scrii o mulțime prin enumerarea elementelor între acolade { }.

Hai să descoperim împreună

Ce este o mulțime?

Gândește-te la o cutie de creioane colorate. În cutie sunt mai multe obiecte adunate la un loc: un creion roșu, unul albastru, unul verde. În matematică, o astfel de „grupare" de obiecte se numește mulțime.

O mulțime este o grupare de obiecte bine determinate, numite elemente.

Cuvântul cheie aici este bine determinate. Asta înseamnă că, despre orice obiect din lume, trebuie să putem spune clar DA, este în mulțime sau NU, nu este în mulțime. Nu avem voie să răspundem „poate" sau „depinde".

Hai să vedem câteva exemple de grupări:

• Mulțimea zilelor săptămânii. Pot spune sigur: luni este în mulțime, dar „pisică" nu este. Deci e o mulțime corectă.
• Mulțimea jucătorilor titulari ai unei echipe de fotbal într-un meci. Sunt exact 11. Despre orice persoană pot spune dacă e titular sau nu. Mulțime corectă.
• Mulțimea „numerelor frumoase". Aici apare o problemă: ce înseamnă „frumos"? Pentru tine poate fi 7, pentru altcineva 100. Nu putem decide clar, deci aceasta nu este o mulțime în sens matematic.

Reține analogia: o mulțime este ca o listă de invitați la o petrecere. La ușă, paznicul trebuie să poată spune fără ezitare: „tu ești pe listă, intri" sau „tu nu ești pe listă". Dacă lista e neclară, nu e o mulțime adevărată.

Elementele unei mulțimi

Obiectele dintr-o mulțime se numesc elemente. Creionul roșu este un element al mulțimii din penar. Luni este un element al mulțimii zilelor săptămânii.

În matematică, mulțimile se notează de obicei cu litere mari: A, B, C, M, N. Elementele se scriu de obicei cu litere mici sau, când sunt numere, chiar cu numerele respective.

Cea mai simplă metodă de a descrie o mulțime este să-i enumerăm elementele, adică să le scriem pe toate, unul câte unul, despărțite prin virgulă și închise între acolade { }.

De exemplu, mulțimea primelor patru cifre pare diferite de zero o scriem așa:

$$A=\{2,4,6,8\}$$

Citim: „A este mulțimea formată din elementele 2, 4, 6 și 8".

Sunt trei reguli simple de scriere, pe care le vei folosi mereu:

1. Acoladele { } sunt obligatorii. Ele sunt „pereții cutiei". Fără ele nu avem o mulțime, ci doar niște numere aruncate pe foaie.
2. Elementele se despart prin virgulă.
3. Ordinea nu contează, iar un element nu se repetă. Mulțimea $\{2,4,6,8\}$ este aceeași cu $\{8,6,4,2\}$. Iar dacă din greșeală scrii $\{2,2,4\}$, mulțimea are de fapt doar două elemente, 2 și 4 — repetarea nu adaugă nimic nou. E ca la lista de invitați: degeaba scrii numele unui prieten de două ori, tot o singură persoană vine.

Apartenența: simbolul ∈

Acum vine partea cea mai utilă. Cum spunem, scurt și precis, că un obiect se află într-o mulțime?

Folosim simbolul ∈, care se citește „aparține" sau „este element al".

Pentru mulțimea $A=\{2,4,6,8\}$ putem scrie:

$$4\in A$$

și citim: „4 aparține mulțimii A" sau „4 este element al mulțimii A". Este adevărat, pentru că 4 chiar se află între acolade.

Dacă un obiect NU se află în mulțime, folosim simbolul ∉ (același simbol, tăiat cu o linie), care se citește „nu aparține":

$$5\notin A$$

și citim: „5 nu aparține mulțimii A". Într-adevăr, 5 nu apare printre elementele lui A.

Truc de memorare: simbolul ∈ seamănă cu litera E de la „Element" și cu litera grecească epsilon. Iar când e tăiat, ∉, devine „nu e element" — la fel cum o linie tăiată peste un semn de circulație înseamnă „interzis".

Atenție foarte importantă: simbolul ∈ se folosește numai între un element și o mulțime. În stânga lui stă un element, în dreapta o mulțime. Niciodată invers și niciodată între două mulțimi. Vom vedea imediat ce folosim între două mulțimi.

Mulțimea numerelor naturale N

Ai folosit până acum numere mici, pe care le puteam scrie toate. Dar gândește-te la toate numerele cu care numărăm: $0,1,2,3,4,5,\dots$ Câte sunt? Oricât de mare ar fi un număr, mereu putem adăuga încă 1 și obținem unul mai mare. Deci ele nu se termină niciodată. Spunem că sunt infinit de multe.

Toate aceste numere formează o mulțime foarte importantă, pe care matematicienii din întreaga lume o notează cu litera specială N (de la „natural"):

$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,6,\dots \}$$

Citim: „N este mulțimea numerelor naturale".

Trei lucruri esențiale despre N:

1. Începe de la 0. În matematica românească de gimnaziu, zero este număr natural. N pornește de la 0, nu de la 1.
2. Cele trei puncte „…" înseamnă „și așa mai departe". Nu putem scrie toate numerele, pentru că sunt o infinitate, așa că punem „…" ca să arătăm că lista continuă la nesfârșit, după aceeași regulă (de fiecare dată cu 1 mai mult).
3. Fiecare număr natural are un „următor". După 5 vine 6, după 999 vine 1000. Niciodată nu rămânem fără număr următor. De aceea spunem că N este infinită.

Acum putem folosi simbolurile învățate cu numere adevărate:

• $7\in \mathbb{N}$ — citim „7 aparține lui N", adică 7 este număr natural. Adevărat.
• $0\in \mathbb{N}$ — adevărat, pentru că 0 este număr natural.
• $1000000\in \mathbb{N}$ — adevărat, un milion este tot un număr natural.

Mulțimea N* (numerele naturale fără zero)

Uneori avem nevoie de numerele naturale, dar fără zero. De exemplu, când vorbim despre câte persoane sunt într-o echipă, numărul 0 nu ne ajută prea mult. Pentru aceste situații avem o mulțime aparte, notată N* (se citește „N stelat" sau „N steluță"):

$${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,4,5,6,\dots \}$$

Citim: „N stelat este mulțimea numerelor naturale nenule" (adică diferite de zero).

Singura diferență dintre N și N* este zeroul: N îl conține, N* nu. Steluța „*" este, de fapt, un mic semn care spune „scoatem zeroul afară".

Deci avem:

• $0\in \mathbb{N}$ (zero aparține lui N), dar $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ (zero nu aparține lui N*).
• $1\in \mathbb{N}$ și $1\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (unu aparține amândurora).

Memorează simplu: steluța alungă zeroul.

Incluziunea: simbolul ⊂

Am rămas dator cu o întrebare: ce simbol folosim între două mulțimi?

Privește cele două mulțimi de mai sus. N* este formată din $1,2,3,\dots$, iar N este formată din $0,1,2,3,\dots$. Observă că toate elementele lui N* se găsesc și în N. Cu alte cuvinte, N* este „cuprinsă în" N, ca o cutie mai mică așezată în interiorul unei cutii mai mari.

Pentru această situație folosim simbolul de incluziune ⊂, care se citește „este inclusă în" sau „este submulțime a":

$${\mathbb{N}}^{\ast }\subset \mathbb{N}$$

Citim: „N stelat este inclusă în N". Spunem și că N* este o submulțime a lui N.

Definiție: Spunem că mulțimea A este inclusă în mulțimea B (scriem $A\subset B$) dacă fiecare element al lui A este și element al lui B.

Iată un alt exemplu, cu mulțimi mici, ca să fie limpede. Fie:

$$A=\{2,4\}\text{și}B=\{2,4,6,8\}$$

Verificăm: este 2 în B? Da. Este 4 în B? Da. Toate elementele lui A sunt și în B, prin urmare $A\subset B$. Citim „A este inclusă în B".

Acum atenție la deosebirea de aur a lecției — este și greșeala cel mai des întâlnită:

• ∈ se folosește între un element și o mulțime: $2\in B$.
• ⊂ se folosește între o mulțime și o mulțime: $\{2\}\subset B$.

Observă diferența: $2\in B$ (numărul 2 este un element al lui B), dar $\{2\}\subset B$ (mulțimea care are doar elementul 2 este inclusă în B). În primul caz, în stânga e un număr; în al doilea, în stânga e o mulțime, recunoscută după acolade.

Truc de memorare: simbolul ⊂ seamănă cu litera C și parcă „înghite" mulțimea mai mică — gura lui deschisă arată mereu spre mulțimea mai mare.

Să punem totul cap la cap

Avem acum un mic dicționar de simboluri matematice. Le vei întâlni în fiecare lecție de aici înainte, așa că merită să le știi pe de rost:

Dacă vrei să-ți reamintești de unde au pornit numerele naturale și cum le citim corect, poți reciti lecția Recapitulare: numere naturale până la 1.000.000 și ordinea operațiilor. Iar despre cum așezăm aceste numere pe o linie ordonată vei învăța în lecția Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea unei mulțimi prin enumerare

Cerință: Scrie mulțimea A a numerelor naturale mai mici decât 5.

Rezolvare: „Mai mici decât 5" înseamnă numerele naturale care vin înainte de 5. Pornim de la cel mai mic număr natural, care este 0, și mergem în sus, fără să ajungem la 5: avem 0, 1, 2, 3, 4. Le închidem între acolade și le despărțim prin virgulă:

$$A=\{0,1,2,3,4\}$$

Atenție: 5 nu intră, pentru că trebuie numere mai mici decât 5, nu și egale cu 5. Mulțimea A are 5 elemente.

Exemplul 2 — Adevărat sau fals cu ∈ și ∉

Cerință: Stabilește dacă propozițiile sunt adevărate (A) sau false (F): a) $0\in \mathbb{N}$ b) $0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ c) $15\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ d) $9\notin \mathbb{N}$

Rezolvare:

a) $0\in \mathbb{N}$ — Adevărat. Zero este număr natural, iar N începe de la 0.

b) $0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — Fals. Steluța alungă zeroul, deci 0 nu aparține lui N*. Corect ar fi $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) $15\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — Adevărat. 15 este natural și diferit de zero, deci este în N*.

d) $9\notin \mathbb{N}$ — Fals. 9 este număr natural, deci $9\in \mathbb{N}$. Propoziția cu „nu aparține" este greșită.

Exemplul 3 — Completează cu ∈ sau ∉

Cerință: Fie $M=\{1,3,5,7,9\}$. Completează cu simbolul potrivit (∈ sau ∉): a) $3\square M$ b) $4\square M$ c) $9\square M$ d) $10\square M$

Rezolvare: Privim ce numere sunt scrise efectiv în mulțimea M.

a) 3 apare în M $\Rightarrow$ $3\in M$.

b) 4 nu apare în M $\Rightarrow$ $4\notin M$.

c) 9 apare în M $\Rightarrow$ $9\in M$.

d) 10 nu apare în M $\Rightarrow$ $10\notin M$.

Regula de aur: te uiți pur și simplu dacă numărul se află sau nu între acoladele mulțimii.

Exemplul 4 — Câte elemente are mulțimea?

Cerință: Câte elemente are fiecare mulțime? a) $B=\{10,20,30,40\}$ b) $C=\{7\}$ c) $D=\{2,2,5,5,5,8\}$

Rezolvare:

a) Numărăm elementele distincte: 10, 20, 30, 40. Sunt 4 elemente.

b) C are un singur element, pe 7. 1 element. (O mulțime poate avea și un singur element.)

c) Aici e capcana: în D apar repetări. Dar într-o mulțime un element se numără o singură dată. Elementele distincte sunt 2, 5 și 8, deci D are 3 elemente. Scris corect, $D=\{2,5,8\}$.

Exemplul 5 — Incluziune între mulțimi

Cerință: Fie $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,3,4,5\}$ și $C=\{2,6\}$. Stabilește care dintre relațiile următoare sunt adevărate: a) $A\subset B$ b) $C\subset B$.

Rezolvare:

a) Verificăm dacă toate elementele lui A sunt și în B. Este 1 în B? Da. Este 2 în B? Da. Este 3 în B? Da. Toate sunt, deci $A\subset B$ este adevărată.

b) Verificăm pentru C. Este 2 în B? Da. Este 6 în B? Nu, B nu îl conține pe 6. Deoarece un element al lui C lipsește din B, C NU este inclusă în B. Scriem $C\not\subset B$.

Concluzie: pentru incluziune, e de ajuns ca un singur element să lipsească pentru ca relația să fie falsă. Toate trebuie să fie prezente.

Exemplul 6 — ∈ sau ⊂?

Cerință: Fie $A=\{4,8,12\}$. Completează cu simbolul corect (∈ sau ⊂): a) $8\square A$ b) $\{4,8\}\square A$ c) $\{12\}\square A$ d) $12\square A$

Rezolvare: Cheia este să ne uităm ce stă în stânga simbolului: un număr (element) sau o mulțime (cu acolade)?

a) În stânga e numărul 8, un element, iar A e mulțime $\Rightarrow$ folosim ∈: $8\in A$ (și e adevărat, 8 este în A).

b) În stânga e $\{4,8\}$, o mulțime (are acolade) $\Rightarrow$ folosim ⊂. Verificăm: 4 și 8 sunt amândouă în A, deci $\{4,8\}\subset A$.

c) În stânga e $\{12\}$, tot o mulțime $\Rightarrow$ folosim ⊂: $\{12\}\subset A$ (12 este în A).

d) În stânga e numărul 12, element $\Rightarrow$ folosim ∈: $12\in A$.

Reține: acolade în stânga → ⊂; număr simplu în stânga → ∈.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie întâi cerința, apoi răspunsul, ca să te obișnuiești cu notația corectă.

1. Scrie folosind acolade mulțimea numerelor naturale mai mici decât 4.

2. Scrie mulțimea numerelor naturale cuprinse între 5 și 10 (inclusiv 5 și 10).

3. Completează cu ∈ sau ∉, pentru mulțimea $A=\{3,6,9,12\}$: a) $6\square A$ b) $7\square A$ c) $12\square A$ d) $1\square A$

4. Adevărat (A) sau fals (F)? a) $0\in \mathbb{N}$ b) $0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ c) $100\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ d) $8\notin \mathbb{N}$

5. Câte elemente are fiecare mulțime? a) $B=\{5,10,15,20,25\}$ b) $C=\{0\}$ c) $D=\{3,3,3,7\}$

6. Încercuiește simbolul corect dintre paranteze pentru mulțimea $M=\{2,4,6\}$: a) $4(\in /\notin )M$ b) $5(\in /\notin )M$

7. Scrie mulțimea cifrelor pare. (Aminteș­te-ți: cifrele sunt 0, 1, 2, …, 9.)

8. Completează cu ∈ sau ⊂, pentru $A=\{1,2,3,4\}$: a) $3\square A$ b) $\{1,2\}\square A$ c) $\{4\}\square A$ d) $2\square A$

9. Fie $A=\{1,2\}$, $B=\{1,2,3,4\}$, $C=\{2,3,5\}$. Adevărat sau fals? a) $A\subset B$ b) $C\subset B$ c) $A\subset C$

10. Potrivește fiecare simbol din coloana stângă cu descrierea lui din dreapta:

11. Scrie trei numere naturale care aparțin lui N* și un număr natural care aparține lui N, dar nu aparține lui N*.

12. Desenează două cercuri (o diagramă) care arată că $\{1,2\}\subset \{1,2,3,4,5\}$. Scrie elementele în interiorul cercurilor.

13. Mică problemă: Într-o clasă, mulțimea $E=\{$elevii care joacă șah$\}$ are 7 elemente, iar mulțimea $F=\{$elevii din clasă$\}$ are 28 de elemente. Toți cei care joacă șah sunt elevi ai clasei. Ce relație există între E și F: $E\subset F$ sau $F\subset E$? Justifică.

14. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt: a) Mulțimea N are un cel mai mare element. b) Mulțimea N* are un cel mai mic element.

15. Scrie mulțimea numerelor naturale $x$ care îndeplinesc condiția: $x$ este mai mic decât 7 și $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

16. Completează corect: a) Numărul $\dots$ aparține lui N, dar nu lui N*. b) Cel mai mic element al lui N* este $\dots$.

17. Problemă de raționament: Câte numere naturale sunt mai mici sau egale cu 100? (Indiciu: nu uita de 0!)

18. Provocare: Scrie toate submulțimile mulțimii $A=\{a,b\}$ care au exact un element. Câte sunt?

Răspunsuri și explicații

1. $\{0,1,2,3\}$. Numerele naturale mai mici decât 4, pornind de la 0; pe 4 nu îl includem.

2. $\{5,6,7,8,9,10\}$. „Inclusiv 5 și 10" înseamnă că ambele capete intră în mulțime.

3. a) $6\in A$ (este în mulțime); b) $7\notin A$ (nu apare); c) $12\in A$; d) $1\notin A$.

4. a) A — 0 este natural; b) F — 0 nu este în N* (steluța alungă zeroul); c) A — 100 e natural și nenul; d) F — 8 este natural, deci $8\in \mathbb{N}$, iar propoziția cu „nu aparține" este greșită.

5. a) 5 elemente (5, 10, 15, 20, 25); b) 1 element (mulțimea conține pe 0, dar are un singur element); c) 2 elemente — elementele distincte sunt 3 și 7, repetările nu se numără.

6. a) $4\in M$; b) $5\notin M$.

7. $\{0,2,4,6,8\}$. Cifrele pare sunt cele care se împart exact la 2; printre cifrele 0–9 acestea sunt 0, 2, 4, 6, 8.

8. a) $3\in A$ (în stânga e un număr → ∈); b) $\{1,2\}\subset A$ (în stânga e o mulțime → ⊂, iar 1 și 2 sunt în A); c) $\{4\}\subset A$ (mulțime → ⊂); d) $2\in A$ (număr → ∈).

9. a) A — 1 și 2 sunt în B; b) F — 5 nu este în B, deci $C\not\subset B$; c) F — 1 nu este în C, deci A nu este inclusă în C.

10. a — II (∈ înseamnă „aparține"); b — III (⊂ înseamnă „este inclusă în"); c — I (N* este mulțimea numerelor naturale fără zero).

11. Exemple corecte: numere din N* — de pildă 1, 5, 20 (orice trei numere naturale nenule). Numărul care este în N, dar nu în N*, este doar 0, pentru că singura diferență dintre cele două mulțimi este zeroul.

12. Diagrama trebuie să arate un cerc mic cu elementele 1 și 2, desenat în interiorul unui cerc mare care conține 1, 2, 3, 4, 5. Cercul mic complet înăuntru = incluziune. (Verificare: toate elementele mulțimii mici se află și în cea mare.)

model de răspuns — cerc mare etichetat {1,2,3,4,5} cu numerele 3, 4, 5 în zona exterioară, și un cerc mic etichetat {1,2} în interior, cu numerele 1 și 2

13. $E\subset F$. Toți elevii care joacă șah fac parte din clasă, deci fiecare element al lui E este și element al lui F. Prin urmare E este inclusă în F (mulțimea mică în mulțimea mare). Faptul că E are 7 elemente și F are 28 ne confirmă că E e cea „mică".

14. a) F — N nu are un cel mai mare element: oricât de mare ar fi un număr, mereu există unul mai mare (cu 1 mai mult). De aceea N este infinită. b) A — N* are un cel mai mic element, și anume 1.

15. $\{1,2,3,4,5,6\}$. Numerele sunt naturale, mai mici decât 7 și nenule (din N*), deci pornim de la 1, nu de la 0, și nu îl includem pe 7.

16. a) Numărul 0 aparține lui N, dar nu lui N*. b) Cel mai mic element al lui N* este 1.

17. 101 numere. Numerele naturale mai mici sau egale cu 100 sunt 0, 1, 2, …, 100. Dacă uităm de 0, am număra 100; dar incluzând și 0, sunt 101. (De la 0 la 100 sunt 101 numere.)

18. Submulțimile cu exact un element sunt $\{a\}$ și $\{b\}$, deci 2 submulțimi. Fiecare ia câte un singur element din A.

De reținut

• O mulțime este o grupare de obiecte bine determinate, numite elemente; o scriem prin enumerare, între acolade { }, cu elementele despărțite prin virgulă, fără repetări.
• N = {0, 1, 2, 3, …} este mulțimea numerelor naturale și începe de la 0; N* = {1, 2, 3, …} este la fel, dar fără zero (steluța alungă zeroul).
• ∈ („aparține") și ∉ („nu aparține") se folosesc între un element și o mulțime: $5\in \mathbb{N}$, $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• ⊂ („este inclusă în") se folosește între două mulțimi: ${\mathbb{N}}^{\ast }\subset \mathbb{N}$. A este inclusă în B dacă toate elementele lui A sunt și în B.
• N este infinită: nu are un cel mai mare element, dar N* are un cel mai mic element, pe 1.

Greșeli frecvente

• Confuzia ∈ cu ⊂. Mulți elevi scriu $\{2\}\in A$ sau $2\subset A$. Greșit! Verifică ce stă în stânga simbolului: dacă e un număr simplu, folosești ∈; dacă e o mulțime (recunoscută după acolade), folosești ⊂.
• Uitarea zeroului din N. Unii cred că N începe de la 1. Nu! N pornește de la 0. Numai N* începe de la 1. Ține minte: steluța alungă zeroul, dar N simplu îl păstrează.
• Numărarea greșită a elementelor cu repetări. În $\{3,3,7\}$ nu sunt 3 elemente, ci 2 (3 și 7). Într-o mulțime, fiecare element se numără o singură dată.
• Uitarea acoladelor. A scrie „mulțimea este 2, 4, 6" fără acolade nu este corect. Acoladele { } sunt obligatorii — ele arată că este vorba despre o mulțime.

Joc acasă

1. Cutia-mulțime. Ia o cutie goală (de la pantofi) și câteva obiecte mici: 5 nasturi, 3 monede, 2 capace. Lipește pe cutie o etichetă: „A = {obiecte roșii}". Pune înăuntru doar obiectele roșii. Apoi, pentru fiecare obiect rămas pe masă, spune cu voce tare „acest obiect ∈ A" sau „∉ A". Scrie pe o hârtie 3 propoziții corecte folosind simbolurile ∈ și ∉.

2. Două cercuri din sfoară. Pune pe podea două bucle de sfoară, una mai mică în interiorul celei mari. În cea mare scrie pe bilețele „elevii familiei", iar în cea mică „elevii care poartă ochelari". Așază bilețele cu numele membrilor familiei unde le e locul. Ai construit o incluziune! Scrie pe caiet relația cu simbolul ⊂.

3. Vânătoarea de numere naturale. Timp de 10 minute, plimbă-te prin casă și notează 8 numere naturale pe care le găsești (pe ceas, pe cuptor, pe ambalaje, pe telecomandă). Pentru fiecare, scrie propoziția corectă, de exemplu $30\in \mathbb{N}$. Apoi marchează care dintre ele aparțin și lui N* (toate cele diferite de 0).

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce limbajul matematic al mulțimilor — un instrument pe care copilul îl va folosi în tot gimnaziul. Scopul nu este memorarea mecanică a simbolurilor, ci înțelegerea a ceea ce înseamnă și când se folosesc.

Cum sprijiniți copilul:

• Insistați pe citirea cu voce tare a simbolurilor: „aparține", „nu aparține", „este inclusă în". Asociind simbolul cu cuvântul, fixarea este mult mai solidă.
• Folosiți obiecte concrete (cutii, sfoară, jucării) pentru a arăta diferența dintre „un obiect e în cutie" (∈) și „o cutie mică e în cutia mare" (⊂). Manipularea fizică ajută enorm la această vârstă.

Întrebări bune de pus:

• „Zero este număr natural? În ce mulțime intră — N, N* sau în amândouă?" (Răspuns: în N, nu în N*.)
• „Când folosim ∈ și când folosim ⊂? Cum îți dai seama?" (Răspuns: după ce stă în stânga — element sau mulțime.)
• „Are mulțimea N un cel mai mare număr? De ce?" (Răspuns: nu, fiindcă mereu putem adăuga 1.)

Cum verificați că a înțeles: dați-i o mulțime, de exemplu $A=\{2,5,8\}$, și cereți-i să completeze corect cinci relații, dintre care unele cu element ($5\in A$, $3\notin A$) și unele cu submulțime ($\{2,5\}\subset A$). Dacă alege corect între ∈ și ⊂ în funcție de ce stă în stânga, a prins esența lecției. O greșeală frecventă, dar ușor de corectat, este uitarea zeroului în N — reveniți asupra ei dacă apare.

Întrebări frecvente

Zero este număr natural? Da. În matematica de gimnaziu din România, zero este număr natural și face parte din mulțimea N, care începe chiar de la 0. Zero nu face parte însă din N*, mulțimea numerelor naturale fără zero.

Care este diferența dintre N și N*? Singura diferență este zeroul. Mulțimea N = {0, 1, 2, 3, …} îl conține pe 0, în timp ce N* = {1, 2, 3, …} nu îl conține. Steluța „*" arată tocmai că am scos zeroul din mulțime.

Ce înseamnă simbolul ∈? Simbolul ∈ se citește „aparține" sau „este element al" și se folosește între un element și o mulțime. De exemplu, $7\in \mathbb{N}$ se citește „7 aparține mulțimii numerelor naturale", adică 7 este un număr natural.

Care este diferența dintre ∈ și ⊂? Simbolul ∈ se pune între un element și o mulțime ($2\in A$), iar ⊂ se pune între două mulțimi ($\{2\}\subset A$). Cheia este să te uiți ce stă în stânga simbolului: un număr simplu cere ∈, iar o mulțime scrisă cu acolade cere ⊂.

Cum scriu corect o mulțime? Scrii elementele între acolade { }, despărțite prin virgulă, fără să repeți vreun element și fără să conteze ordinea. De exemplu, $A=\{1,3,5\}$. Acoladele sunt obligatorii, pentru că ele arată că este vorba despre o mulțime.

Câte elemente are mulțimea N? Mulțimea N are o infinitate de elemente, adică un număr nesfârșit. Oricât de mare ar fi un număr natural, mereu există unul mai mare cu o unitate, așa că numerele naturale nu se termină niciodată.

Ce înseamnă cele trei puncte „…" în scrierea N = {0, 1, 2, 3, …}? Cele trei puncte înseamnă „și așa mai departe", după aceeași regulă. Ele arată că lista continuă la nesfârșit, fiecare număr fiind cu 1 mai mare decât precedentul, fără să se oprească vreodată.

Ce înseamnă că o mulțime este inclusă în alta? Înseamnă că toate elementele primei mulțimi se găsesc și în a doua. De exemplu, N* este inclusă în N (scriem ${\mathbb{N}}^{\ast }\subset \mathbb{N}$), pentru că orice număr din N* este și număr natural. Spunem și că N* este o submulțime a lui N.