Propoziția logică și valoarea ei de adevăr

Într-o discuție obișnuită spunem tot felul de lucruri: punem întrebări, dăm sfaturi, ne exprimăm păreri, ne mirăm. Foarte puține dintre propozițiile pe care le rostim într-o zi pot fi judecate cu adevărat: „ai dreptate" sau „te înșeli". Dacă un coleg spune „filmul de aseară a fost prea lung", nu ai cum să-l contrazici cu o măsurătoare — e o părere. Dacă însă spune „filmul a durat două ore și un sfert", lucrurile se schimbă: te uiți pe afiș și afli, fără ceartă, cine are dreptate.

Matematica este construită în întregime din enunțuri de al doilea fel. Fiecare afirmație matematică — o egalitate, o teoremă, un rezultat de la teză — poate fi, în principiu, judecată: este adevărată sau este falsă, iar între cele două nu există cale de mijloc. Această trăsătură pare banală, dar pe ea se sprijină tot ce vei face în liceu: demonstrațiile, rezolvările, baremele. De aceea unitatea de logică matematică începe exact aici, cu obiectul cel mai simplu din tot capitolul: propoziția logică. Din ea vom construi, în lecțiile următoare, enunțuri din ce în ce mai complicate, exact așa cum din cărămizi se ridică o clădire.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un enunț care are valoare de adevăr și să-l deosebești de o întrebare, de o poruncă sau de o părere.
• Vei ști să folosești corect definiția propoziției logice și notațiile consacrate: $p$, $q$, $r$, $v(p)=1$, $v(p)=0$.
• Vei ști să stabilești valoarea de adevăr a unei propoziții matematice prin calcul, prin verificare sau printr-un contraexemplu.
• Vei ști de ce enunțurile cu variabilă de tipul „$x+2=9$" nu sunt propoziții atâta timp cât nu știm cine este $x$.
• Vei ști să identifici propozițiile elementare din care este alcătuit un enunț matematic mai lung.
• Vei ști de ce noțiunea aceasta este temelia demonstrațiilor și cum apare, discret, în fiecare rezolvare de la teză și de la Bacalaureat.

Hai să descoperim împreună

1. Enunțuri despre care se poate spune „adevărat" sau „fals"

Să luăm o listă de enunțuri și să încercăm, pentru fiecare, să răspundem la o singură întrebare: „Are sens să spun despre el că este adevărat sau că este fals?"

• „Numărul $17$ este prim." — are sens; și este adevărat.
• „Numărul $91$ este prim." — are sens; este fals, pentru că $91=7\cdot 13$.
• „Câți ani ai?" — nu are sens. O întrebare nu poate fi adevărată sau falsă; ea cere un răspuns.
• „Deschide caietul!" — nu are sens. O poruncă poate fi ascultată sau nu, dar nu poate fi adevărată.
• „Ce culoare frumoasă are cerul!" — nu are sens. O exclamație exprimă o trăire.
• „Matematica este mai grea decât istoria." — nu are sens ca judecată obiectivă; este o părere, care depinde de cine o rostește.

Vezi deja linia de despărțire: pe de o parte stau enunțurile constatatoare, care afirmă ceva ce poate fi confruntat cu realitatea; pe de altă parte, întrebările, ordinele, exclamațiile și părerile. Doar primele intră în logica matematică.

2. Definiția propoziției logice. Notații

Acum putem da definiția, care nu face decât să pună în cuvinte precise observația de mai sus.

Definiție. Se numește propoziție logică (sau, pe scurt, propoziție) un enunț despre care se poate spune fie că este adevărat, fie că este fals, dar nu ambele în același timp.

Faptul că propoziția este adevărată sau falsă se numește valoarea ei de adevăr. Propozițiile se notează cu litere mici: $p$, $q$, $r$, $p_1$, $p_2$ și așa mai departe. Pentru valoarea de adevăr a propoziției $p$ folosim notația $v(p)$ și convenția:

$$v(p)=1\text{ daca˘ }p\text{ este adeva˘rata˘},v(p)=0\text{ daca˘ }p\text{ este falsa˘}.$$

În multe manuale vei întâlni și notațiile $A$ (adevărat) și $F$ (fals) în locul lui $1$ și $0$; sensul este identic, iar noi le vom folosi pe amândouă, după cum e mai comod. Cifrele $1$ și $0$ au însă un avantaj: seamănă cu biții din calculator, iar asta nu e o coincidență — un calculator prelucrează exact valori de adevăr, iar circuitele lui sunt construite după regulile pe care le vei învăța în lecțiile următoare.

Un exemplu complet, redactat așa cum se cere la școală:

Fie $p$: „$2^{10}=1024$" și $q$: „numărul $91$ este prim". Atunci $v(p)=1$, pentru că $2^{10}=1024$ prin calcul direct, și $v(q)=0$, pentru că $91=7\cdot 13$ are divizori diferiți de $1$ și de el însuși.

Observă cum arată o justificare corectă: nu spunem doar „fals", ci arătăm de ce.

3. Enunțuri care nu sunt propoziții logice

Merită văzute pe îndelete categoriile care rămân pe dinafară, pentru că exact ele apar în exerciții.

Întrebările, poruncile, exclamațiile. „Cât face $7\cdot 8$?" nu este propoziție; „$7\cdot 8=56$" este propoziție adevărată, pentru că afirmă ceva.

Enunțurile vagi. „Numărul $1000$ este mare" nu este propoziție logică: nicio regulă nu spune de la ce valoare un număr devine „mare". În schimb, „$1000>999$" este propoziție adevărată.

Enunțurile cu variabilă. „$x+2=9$" nu este propoziție atâta timp cât nu știm cine este $x$: pentru $x=7$ devine adevărat, pentru $x=3$ devine fals. Un astfel de enunț se numește predicat (sau enunț cu variabilă) și devine propoziție abia după ce înlocuim variabila cu o valoare concretă. Vom studia predicatele pe îndelete în lecția Predicate și variabile; deocamdată ține minte doar regula: cu variabilă liberă în el, enunțul nu are încă valoare de adevăr.

Enunțurile care se contrazic pe ele însele. Cel mai celebru este paradoxul mincinosului: „Această propoziție este falsă." Dacă ar fi adevărată, atunci ce spune ea ar fi adevărat, deci ea ar fi falsă; dacă ar fi falsă, atunci ce spune ea nu se întâmplă, deci ea ar fi adevărată. Nu i se poate atribui nicio valoare de adevăr, prin urmare nu este propoziție logică. Nu e un joc de cuvinte fără urmări: astfel de enunțuri i-au obligat pe matematicieni, acum un secol, să pună la punct reguli stricte despre ce anume are voie să spună un enunț matematic.

4. Cum stabilim valoarea de adevăr a unei propoziții matematice

În practică folosim, după caz, trei drumuri.

Calculul direct. Cel mai simplu. Pentru $p$: „$\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}$" aducem la același numitor: $\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{11}{12}$, deci $v(p)=1$.

Verificarea unei proprietăți cunoscute. Pentru $q$: „numărul $111$ este divizibil cu $3$" folosim criteriul de divizibilitate: suma cifrelor este $1+1+1=3$, care se împarte la $3$, deci $v(q)=1$ (într-adevăr, $111=3\cdot 37$).

Contraexemplul. Pentru enunțurile care afirmă ceva despre toate numerele de un anumit fel, un singur caz care nu se potrivește este de ajuns ca să le doboare. Fie $r$: „orice număr natural impar este prim". Numărul $9$ este impar, dar $9=3\cdot 3$ nu este prim; prin urmare $v(r)=0$. Reține asimetria, pentru că e o unealtă de bază în tot liceul: ca să arăți că un astfel de enunț este fals îți ajunge un exemplu; ca să arăți că este adevărat, un exemplu nu ajunge niciodată — e nevoie de demonstrație. Vei vedea acest lucru foarte limpede în lecția Metoda inducției matematice: principiul dominoului.

Există și propoziții a căror valoare de adevăr nu o cunoaște încă nimeni. Un exemplu faimos este conjectura lui Goldbach: „orice număr natural par mai mare decât $2$ se scrie ca sumă de două numere prime" ($4=2+2$, $6=3+3$, $8=3+5$…). Calculatoarele au verificat-o pentru numere uriașe, dar demonstrație nu există. Enunțul este totuși propoziție logică, pentru că are cu siguranță una dintre cele două valori de adevăr — doar că noi nu știm care.

5. Două principii pe care le folosim fără să le numim

Definiția propoziției ascunde două reguli pe care logica le așază la temelie și pe care matematica le respectă peste tot:

• Principiul necontradicției: o propoziție nu poate fi în același timp adevărată și falsă. Nu putem avea $v(p)=1$ și $v(p)=0$ simultan.
• Principiul terțului exclus: o propoziție este ori adevărată, ori falsă; nu există a treia posibilitate (tertium non datur, „a treia [cale] nu este dată").

Par evidente, dar au consecințe foarte practice. De exemplu, ele permit acest tip de raționament, pe care îl vei folosi des: dacă am arătat că afirmația nu poate fi falsă, atunci ea este adevărată. Pe această idee se sprijină o metodă întreagă de demonstrație, metoda reducerii la absurd, pe care o vei studia peste câteva lecții.

6. Propoziții elementare și enunțuri compuse

Citește enunțul: „Numărul $12$ este par și divizibil cu $3$."

El nu spune un singur lucru, ci două, legate prin cuvântul „și". Îl putem despărți în două bucăți care se pot judeca separat:

• $p$: „numărul $12$ este par" — adevărată;
• $q$: „numărul $12$ este divizibil cu $3$" — adevărată.

Propozițiile care nu se mai pot descompune în alte propoziții se numesc propoziții elementare (sau simple). Enunțurile obținute din ele cu ajutorul cuvintelor „nu", „și", „sau", „dacă…, atunci…", „dacă și numai dacă" se numesc enunțuri compuse.

Iată de ce contează. Valoarea de adevăr a unui enunț compus nu se ghicește: ea se calculează din valorile de adevăr ale propozițiilor elementare, după reguli fixe, exact cum valoarea unei expresii numerice se calculează din numerele care o compun. Lecțiile următoare stabilesc, una câte una, aceste reguli: Negația unei propoziții, Conjuncția: propoziții legate prin «și», Disjuncția: propoziții legate prin «sau» și celelalte. Primul pas al oricărui exercițiu de logică este însă mereu același: identifici propozițiile elementare și le notezi cu litere.

Exersează pe loc pe enunțul: „Numărul $\sqrt{2}$ este irațional, iar numărul $\sqrt{144}$ este natural." Propozițiile elementare sunt $p$: „$\sqrt{2}$ este irațional" (adevărată) și $q$: „$\sqrt{144}$ este natural" (adevărată, căci $\sqrt{144}=12$). Cuvântul „iar" joacă aici rolul lui „și".

7. La ce ne folosesc, de fapt, toate acestea

Poate te întrebi de ce începe liceul cu o lecție care pare mai degrabă de gramatică. Motivul este că întreaga matematică este scrisă în propoziții, iar precizia lor decide totul.

O definiție stabilește când o propoziție este adevărată: „un număr natural $n\ge 2$ este prim dacă singurii lui divizori naturali sunt $1$ și $n$". O teoremă este o propoziție adevărată însoțită de demonstrație. O axiomă este o propoziție acceptată ca punct de plecare, fără demonstrație. Iar o rezolvare de la teză sau de la Bacalaureat este un lanț de propoziții adevărate, fiecare justificată de cea dinainte; corectorul urmărește exact acest lanț.

De aici și cel mai bun sfat de redactare de la începutul liceului: scrie în propoziții care se pot judeca. „Deci $x=3$" poate fi verificată; „deci cam așa iese" nu. Diferența dintre ele, la corectare, se măsoară în puncte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Care enunțuri sunt propoziții logice

Stabiliți care dintre următoarele enunțuri sunt propoziții logice: (a) „$5+3=9$"; (b) „Care este cel mai mare număr prim de o cifră?"; (c) „$x-1=4$"; (d) „Rezolvă ecuația!"; (e) „Numărul $2027$ este impar".

Rezolvare. (a) Este propoziție, falsă ($5+3=8$). (b) Nu este propoziție: e întrebare. (c) Nu este propoziție: conține variabila $x$ și valoarea de adevăr depinde de ea (pentru $x=5$ ar fi adevărat, pentru $x=2$ fals). (d) Nu este propoziție: e poruncă. (e) Este propoziție, adevărată, pentru că ultima cifră a lui $2027$ este $7$.

Exemplul 2 — Valoarea de adevăr prin calcul direct

Determinați $v(p)$, $v(q)$, $v(r)$ pentru: $p$: „$2^5=32$"; $q$: „$\sqrt{49}+\sqrt{16}=11$"; $r$: „$(-3{)}^2=-9$".

Rezolvare. $2^5=32$, deci $v(p)=1$. Apoi $\sqrt{49}+\sqrt{16}=7+4=11$, deci $v(q)=1$. În fine, $(-3{)}^2=9\ne -9$ (pătratul oricărui număr real este pozitiv sau nul), deci $v(r)=0$.

Exemplul 3 — Doborârea unui enunț cu un contraexemplu

Arătați că este falsă propoziția $p$: „orice număr natural care se termină în cifra $1$ este prim".

Rezolvare. Căutăm un singur număr care se termină în $1$ și nu este prim: $21=3\cdot 7$ este potrivit (la fel $91=7\cdot 13$). Prin urmare $v(p)=0$. Un singur contraexemplu, scris cu descompunerea lui, este o justificare completă.

Exemplul 4 — Identificarea propozițiilor elementare

Scrieți propozițiile elementare din enunțul: „Numărul $123$ este divizibil cu $3$, dar nu este divizibil cu $2$" și precizați valoarea lor de adevăr.

Rezolvare. Propozițiile elementare sunt $p$: „$123$ este divizibil cu $3$" și $q$: „$123$ este divizibil cu $2$". Avem $v(p)=1$, pentru că $1+2+3=6$ se împarte la $3$ (într-adevăr, $123=3\cdot 41$), și $v(q)=0$, pentru că $123$ se termină în cifră impară. Cuvântul „dar" are aici rolul lui „și", iar „nu" se aplică celei de-a doua propoziții: enunțul spune, în limbaj de logică, „$p$ și non $q$".

Exemplul 5 — De la enunț cu variabilă la propoziție

Enunțul $E(x)$: „$x^2=4x-4$" nu este propoziție. Ce devine el pentru $x=2$ și pentru $x=3$?

Rezolvare. Pentru $x=2$: membrul stâng este $4$, membrul drept $4\cdot 2-4=4$; enunțul devine propoziția adevărată „$4=4$". Pentru $x=3$: stânga $9$, dreapta $4\cdot 3-4=8$; obținem propoziția falsă „$9=8$". Același enunț dă, deci, propoziții cu valori de adevăr diferite, după valoarea pusă în locul lui $x$ — exact motivul pentru care, cu variabila liberă, el nu are valoare de adevăr.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propozițiile $p$: „numărul $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{3}$ este natural" și $q$: „numărul $2^{10}+1$ este divizibil cu $5$". Determinați $v(p)$ și $v(q)$.

Rezolvare. Pentru $p$ folosim $\sqrt{a^2}=|a|$. Cum $\sqrt{3}\approx 1,73<2$, avem $2-\sqrt{3}>0$, deci

$$\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}.$$

Atunci numărul din enunț este $2-\sqrt{3}+\sqrt{3}=2$, care este natural; prin urmare $v(p)=1$.

Pentru $q$: $2^{10}+1=1024+1=1025$, iar $1025=5\cdot 205$, deci numărul este divizibil cu $5$ și $v(q)=1$.

Observație de redactare. La examen, răspunsul „adevărat" fără calculul care îl susține nu ia punctajul întreg. Scrie mereu pasul care justifică valoarea de adevăr — la $p$, modulul; la $q$, împărțirea.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare enunț despre care afirmi că este fals, scrie explicit motivul (un calcul sau un contraexemplu) — în logică, justificarea face cât rezultatul.

1. Precizează care dintre enunțuri sunt propoziții logice: (a) „$9-4=5$"; (b) „Ce oră este?"; (c) „Închide fereastra!"; (d) „$3x=12$"; (e) „Numărul $8$ este divizibil cu $4$"; (f) „Ce zi frumoasă!".

2. Determină valoarea de adevăr: (a) $p$: „$3^4=81$"; (b) $q$: „$\sqrt{144}=12$"; (c) $r$: „$0$ este număr natural"; (d) $s$: „$-3\in \mathbb{N}$".

3. Scrie două propoziții adevărate și două false despre numărul $36$, folosind noțiunile de divizibilitate și de pătrat perfect.

4. Determină valoarea de adevăr a propoziției $p$: „$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$".

5. Arată printr-un contraexemplu că este falsă propoziția: „orice număr natural divizibil cu $3$ este divizibil cu $9$".

6. Fie $p$: „$1001$ este divizibil cu $11$". Determină $v(p)$ și justifică prin descompunerea numărului.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Enunțul «$x+5=5+x$» este propoziție logică."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O propoziție logică poate fi în același timp adevărată și falsă."

9. Identifică propozițiile elementare și valoarea lor de adevăr în enunțul: „Numărul $441$ este pătrat perfect și divizibil cu $7$".

10. Enunțul $E(x)$: „$2x-3=7$" nu este propoziție. Găsește valoarea lui $x$ pentru care devine propoziție adevărată și o valoare pentru care devine propoziție falsă.

11. Determină valoarea de adevăr a propoziției: „media aritmetică a numerelor $4$, $7$ și $10$ este egală cu $7$".

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă nu știm dacă un enunț este adevărat sau fals, atunci el nu este propoziție logică."

13. Scrie sub formă de propoziție matematică (adică într-un enunț care poate fi judecat) afirmația vagă: „numărul $x$ este destul de mare", presupunând că prin aceasta se înțelege că depășește $1000$.

14. (Problemă aplicată.) Un magazin anunță: „Toate produsele din raftul verde costă sub $20$ de lei". La control se găsește în raftul verde un produs de $24$ de lei. Ce valoare de adevăr are anunțul și de ce este suficient un singur produs pentru a decide?

15. Determină valoarea de adevăr a propozițiilor: $p$: „$2^8=256$"; $q$: „numărul $2^8$ este pătrat perfect".

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „numărul $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$ este natural" și $q$: „numărul $\sqrt{50}-\sqrt{2}$ este natural". Determinați $v(p)$ și $v(q)$.

17. Explică, în două-trei rânduri, diferența dintre enunțurile „numărul $n$ este par" și „numărul $2026$ este par". Care dintre ele este propoziție logică?

18. (Provocare.) Într-o clasă, Ana spune: „Ceea ce a spus Bogdan este fals", iar Bogdan spune: „Ceea ce a spus Ana este adevărat". Arată că nu se poate atribui, fără contradicție, o valoare de adevăr afirmației Anei și explică legătura cu paradoxul mincinosului.

Răspunsuri și explicații

1. Sunt propoziții logice: (a), adevărată, pentru că $9-4=5$; și (e), adevărată, pentru că $8=4\cdot 2$. Nu sunt propoziții logice: (b) — întrebare, (c) — poruncă, (f) — exclamație și (d) — enunț cu variabilă (pentru $x=4$ ar fi adevărat, pentru $x=1$ fals).

2. (a) $v(p)=1$, căci $3^4=81$. (b) $v(q)=1$, căci $12^2=144$. (c) $v(r)=1$: prin convenția din programa școlară românească, $0\in \mathbb{N}$. (d) $v(s)=0$: numerele naturale sunt nenegative, $-3\in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}$.

3. Exemple de propoziții adevărate: „$36$ este divizibil cu $9$" ($36=9\cdot 4$); „$36$ este pătrat perfect" ($36=6^2$). Exemple de propoziții false: „$36$ este prim" (are divizorul $2$); „$36$ este divizibil cu $8$" ($36:8$ nu dă rest zero, căci $8\cdot 4=32$ și $8\cdot 5=40$).

4. $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$, deci $v(p)=1$.

5. Contraexemplu: $6$ este divizibil cu $3$ ($6=3\cdot 2$), dar nu este divizibil cu $9$. Enunțul este fals. (La fel merg $12$, $15$, $21$.)

6. $1001=7\cdot 11\cdot 13$, deci $1001$ este divizibil cu $11$ și $v(p)=1$. (Verificare rapidă: $11\cdot 91=1001$.)

7. Fals. Enunțul conține variabila liberă $x$, deci este predicat, nu propoziție — chiar dacă devine adevărat pentru orice valoare pusă în locul lui $x$ (este comutativitatea adunării). Ca să obținem o propoziție, fie înlocuim variabila („$4+5=5+4$"), fie adăugăm în față „pentru orice număr real $x$" — abia atunci enunțul afirmă ceva ce se poate judeca.

8. Fals. Este exact conținutul principiului necontradicției: nu putem avea simultan $v(p)=1$ și $v(p)=0$. Un enunț care se contrazice (precum „această propoziție este falsă") nu este, tocmai de aceea, propoziție logică.

9. $p$: „$441$ este pătrat perfect" — adevărată, $441=21^2$. $q$: „$441$ este divizibil cu $7$" — adevărată, $441=7\cdot 63$. Enunțul este compus din $p$ și $q$, legate prin „și".

10. Pentru $x=5$: $2\cdot 5-3=7$, propoziție adevărată. Pentru $x=1$: $2\cdot 1-3=-1\ne 7$, propoziție falsă. (Orice $x\ne 5$ dă o propoziție falsă.)

11. Media aritmetică este $\frac{4+7+10}{3}=\frac{21}{3}=7$, deci propoziția este adevărată, cu valoarea de adevăr $1$.

12. Fals. Faptul că nu cunoaștem valoarea de adevăr nu înseamnă că ea nu există. Conjectura lui Goldbach este propoziție logică — este ori adevărată, ori falsă — chiar dacă nimeni nu a demonstrat încă niciuna dintre variante.

13. De exemplu: „$x>1000$". Enunțul devine precis, dar rămâne un enunț cu variabilă; pentru o valoare concretă a lui $x$ (să zicem $x=1500$) obținem propoziția adevărată „$1500>1000$".

14. Anunțul este fals. El afirmă ceva despre toate produsele din raft, deci este dărâmat de un singur produs care nu respectă condiția: cel de $24$ de lei, căci $24>20$. Este exact mecanismul contraexemplului din secțiunea 4: o afirmație generală se infirmă cu un singur caz.

15. $v(p)=1$, căci $2^8=256$. $v(q)=1$, căci $256=16^2$ este pătrat perfect (în general, orice putere cu exponent par a lui $2$ este pătrat perfect).

16. $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5}{)}^2-2^2=5-4=1$, număr natural, deci $v(p)=1$. Pentru $q$: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, deci $\sqrt{50}-\sqrt{2}=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$, număr irațional (aproximativ $5,66$), deci $v(q)=0$.

17. „Numărul $n$ este par" este enunț cu variabilă: valoarea lui de adevăr depinde de $n$ (adevărat pentru $n=8$, fals pentru $n=7$), deci nu este propoziție. „Numărul $2026$ este par" este propoziție logică adevărată, pentru că $2026=2\cdot 1013$ — variabila a fost înlocuită cu o valoare concretă.

18. Presupunem că afirmația Anei este adevărată. Atunci ce spune Bogdan este fals, adică nu este adevărat că afirmația Anei e adevărată — deci afirmația Anei este falsă: contradicție. Presupunem acum că afirmația Anei este falsă. Atunci ce spune Bogdan este adevărat, adică afirmația Anei este adevărată: din nou contradicție. Niciuna dintre cele două valori nu se poate atribui fără contradicție, exact ca la paradoxul mincinosului; astfel de enunțuri, care vorbesc despre propriul lor adevăr, nu sunt propoziții logice.

De reținut

• Propoziția logică este un enunț despre care se poate spune fie că este adevărat, fie că este fals, dar niciodată amândouă deodată.
• Notăm propozițiile cu $p$, $q$, $r$ și valoarea lor de adevăr cu $v(p)$: $v(p)=1$ pentru adevărat, $v(p)=0$ pentru fals (echivalent, $A$ și $F$).
• Nu sunt propoziții logice: întrebările, poruncile, exclamațiile, părerile, enunțurile vagi și enunțurile cu variabilă liberă (acestea din urmă se numesc predicate).
• Valoarea de adevăr se stabilește prin calcul, prin verificarea unei proprietăți cunoscute sau printr-un contraexemplu; o afirmație despre „toate" numerele de un fel se dărâmă cu un singur contraexemplu, dar nu se demonstrează cu exemple.
• Propozițiile care nu se mai descompun se numesc elementare; din ele se construiesc enunțuri compuse, a căror valoare de adevăr se calculează după reguli fixe, studiate în lecțiile următoare.

Greșeli frecvente

• „Enunțul are $x$ în el, deci e propoziție falsă." Nu: un enunț cu variabilă liberă nu are nicio valoare de adevăr, nici $0$, nici $1$. Corect: spui că nu este propoziție și precizezi pentru ce valori devine adevărat.
• Confundarea propoziției cu propoziția adevărată. „Propoziție logică" nu înseamnă „afirmație corectă": „$5+3=9$" este o propoziție perfect legitimă, doar că are $v=0$.
• Justificarea prin exemple a unei afirmații generale. „Merge pentru $3$, $5$ și $7$, deci e adevărat pentru toate numerele impare" nu este o justificare. Exemplele infirmă, nu confirmă.
• „Nu știu dacă e adevărat, deci nu e propoziție." Necunoașterea valorii de adevăr nu schimbă natura enunțului; conjecturile nedemonstrate sunt propoziții logice.
• Răspunsul fără motivare. La orice cerință de tipul „determinați valoarea de adevăr", baremul cere pasul care o justifică: calculul, criteriul de divizibilitate sau contraexemplul, nu doar cuvântul „adevărat".

Aplică acasă

1. Vânătoarea de propoziții. Notează, timp de o zi, zece afirmații auzite în jurul tău. Împarte-le în trei coloane: propoziții cu valoare de adevăr verificabilă, păreri și enunțuri vagi. Pe cele vagi rescrie-le precis („mașina consumă puțin" → „mașina consumă sub $6$ litri la $100$ km").

2. Reclamele la microscop. Alege trei reclame care conțin „toate" sau „orice" („toate produsele sunt reduse"). Explică în scris ce ar trebui să găsești ca să dovedești că afirmația este falsă — ai construit, de fapt, un contraexemplu.

3. Zece propoziții despre un număr. Alege numărul zilei din calendar și scrie despre el zece propoziții matematice, dintre care exact patru false. Cere unui coleg să găsească falsurile, cu justificare, și verificați împreună.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de logică matematică din clasa a IX-a și fixează obiectul cu care se lucrează în toate lecțiile următoare: propoziția logică și valoarea ei de adevăr. Competențele vizate sunt identificarea propozițiilor elementare dintr-un enunț matematic (IX.CS.1.1) și precizarea structurii logice a unui enunț (IX.CS.4.1). Ceea ce pare simplu — „adevărat sau fals" — este de fapt schimbarea de regim intelectual pe care o cere liceul: de la „am obținut un rezultat" la „afirm ceva ce poate fi verificat".

Ce se verifică la elev: (1) deosebește un enunț cu valoare de adevăr de o întrebare, o poruncă sau o părere; (2) folosește corect notația $v(p)=1$ / $v(p)=0$; (3) justifică valoarea de adevăr prin calcul sau prin contraexemplu, nu prin impresie; (4) înțelege că un enunț cu variabilă liberă nu are valoare de adevăr; (5) desparte un enunț compus în propoziții elementare. Întrebări bune de control: „De ce «$x+2=9$» nu este propoziție?"; „Cum arăți că este falsă afirmația «orice număr impar este prim»?"; „Poate fi un enunț și adevărat, și fals?".

Semne că a înțeles: cere singur precizări când un enunț este vag; la afirmații cu „toate" caută instinctiv un contraexemplu; nu confundă „nu știu dacă e adevărat" cu „nu este propoziție". La teze și la Bacalaureat noțiunea apare uneori direct („determinați valoarea de adevăr a propoziției…"), dar traversează întreaga probă: orice rezolvare este un lanț de propoziții justificate, iar baremul punctează exact verigile scrise limpede.

Întrebări frecvente

Ce este o propoziție logică în matematică? Este un enunț despre care se poate spune fie că este adevărat, fie că este fals, dar nu ambele în același timp. „Numărul $17$ este prim" este propoziție logică (adevărată), „$5+3=9$" este propoziție logică (falsă), iar „Câți ani ai?" nu este propoziție logică.

Ce înseamnă valoarea de adevăr a unei propoziții? Este faptul că propoziția este adevărată sau falsă. Se notează $v(p)$ și ia doar două valori: $v(p)=1$ dacă $p$ este adevărată și $v(p)=0$ dacă $p$ este falsă. În unele manuale se folosesc literele $A$ și $F$, cu același înțeles.

De ce enunțul „$x+2=9$" nu este propoziție logică? Pentru că valoarea lui de adevăr depinde de $x$: pentru $x=7$ enunțul este adevărat, pentru $x=3$ este fals. Atâta timp cât variabila rămâne liberă, enunțul nu are o valoare de adevăr; el se numește predicat și devine propoziție abia după înlocuirea variabilei.

Cum arăt că o propoziție este falsă? Prin calcul, dacă e vorba de o egalitate sau o inegalitate concretă, sau printr-un contraexemplu, dacă enunțul afirmă ceva despre toate numerele de un anumit fel. De exemplu, „orice număr impar este prim" este falsă pentru că $9$ este impar și $9=3\cdot 3$ nu este prim.

Este propoziție logică un enunț a cărui valoare de adevăr nu o știe nimeni? Da. Conjectura lui Goldbach — „orice număr par mai mare decât $2$ este suma a două numere prime" — este cu siguranță adevărată sau falsă, chiar dacă nimeni nu a demonstrat încă vreuna dintre variante. A avea valoare de adevăr este altceva decât a o cunoaște.

Ce sunt propozițiile elementare? Sunt propozițiile care nu se mai pot descompune în alte propoziții. Din ele se formează enunțuri compuse, cu ajutorul cuvintelor „nu", „și", „sau", „dacă…, atunci…", „dacă și numai dacă". Primul pas la orice exercițiu de logică este să identifici propozițiile elementare și să le notezi cu litere.

De ce se studiază logica la începutul clasei a IX-a? Pentru că toate demonstrațiile din liceu sunt lanțuri de propoziții adevărate. Dacă știi exact ce afirmi și cum se verifică, redactezi corect la teză și la Bacalaureat, înțelegi ce cere o teoremă și de ce un contraexemplu este suficient pentru a respinge o afirmație generală.

Ce înseamnă principiul terțului exclus? Înseamnă că o propoziție este ori adevărată, ori falsă, fără a treia posibilitate. Împreună cu principiul necontradicției (nu poate fi și adevărată, și falsă), el stă la baza demonstrațiilor prin reducere la absurd: dacă am arătat că o afirmație nu poate fi falsă, atunci ea este adevărată.