Negația unei propoziții

„Nu-i adevărat!" Este, probabil, una dintre primele replici pe care le-ai învățat în copilărie, iar ea are o forță pe care puține cuvinte o au: dintr-o singură mișcare, întoarce pe dos o afirmație întreagă. Cine spune „nu-i adevărat că am întârziat" nu propune altceva în loc, ci doar respinge ce s-a spus. Exact aceasta este operația pe care o studiem astăzi, dar făcută cu precizia matematicii.

Negația este cea mai simplă dintre operațiile logice: pornește de la o singură propoziție și îi întoarce valoarea de adevăr. Simplă, dar nu ușoară — pentru că limba română, generoasă cum e, oferă zeci de moduri de a spune „nu", iar multe dintre ele nu sunt negații logice, ci altceva: contrariul, opusul, o afirmație „mai tare". Toată lecția se învârte în jurul acestei distincții, care decide corectitudinea unei demonstrații prin reducere la absurd, a unui contraexemplu sau a unei rezolvări de inecuație.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii negația unei propoziții și să folosești notațiile $\text{non }p$, $\neg p$, $\overline{p}$.
• Vei ști tabelul de adevăr al negației și relația $v(\neg p)=1-v(p)$.
• Vei ști să negi corect enunțuri din limbajul obișnuit, fără să confunzi negația cu contrariul.
• Vei ști să negi relații matematice: egalități, inegalități, apartenență, divizibilitate, paritate.
• Vei ști de ce $\neg (\neg p)$ este chiar $p$ (dubla negație) și cum se folosește această regulă.
• Vei ști de ce, dintre $p$ și $\neg p$, exact una este adevărată — și la ce ne folosește acest lucru în demonstrații.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să negi

Am văzut în lecția Propoziția logică și valoarea ei de adevăr că orice propoziție are exact una dintre valorile de adevăr $1$ (adevărat) sau $0$ (fals). A nega o propoziție înseamnă a construi o nouă propoziție care afirmă tocmai că prima nu este adevărată.

Fie $p$: „numărul $51$ este prim". Negația ei este propoziția „numărul $51$ nu este prim". Care este adevărată dintre ele? Cum $51=3\cdot 17$, propoziția $p$ este falsă, iar negația ei este adevărată. Se vede deja mecanismul: negația schimbă valoarea de adevăr în cealaltă.

Cel mai sigur mod de a scrie negația, atunci când ai dubii, este să pui în față formula „nu este adevărat că…". Negația propoziției „toate ferestrele sunt deschise" este, cuvânt cu cuvânt, „nu este adevărat că toate ferestrele sunt deschise". Abia apoi, dacă vrei, o rescrii mai frumos în română. Formula aceasta nu greșește niciodată, pentru că traduce exact definiția.

2. Definiție, notații, tabel de adevăr

Definiție. Se numește negația propoziției $p$ propoziția, notată $\text{non }p$, care este falsă când $p$ este adevărată și adevărată când $p$ este falsă.

În afară de $\text{non }p$, vei mai întâlni notațiile $\neg p$ (folosită în informatică și în logică) și $\overline{p}$ (folosită în multe manuale). Toate înseamnă același lucru; în lecție le vom folosi pe primele două.

Regula se scrie complet într-un tabel de adevăr, un tabel în care trecem toate cazurile posibile:

Tabelul are două linii, pentru că o propoziție are exact două valori posibile. Aceeași regulă se scrie și cu o formulă comodă:

$$v(\neg p)=1-v(p).$$

Verific-o: dacă $v(p)=1$, atunci $v(\neg p)=1-1=0$; dacă $v(p)=0$, atunci $v(\neg p)=1-0=1$. Corect în ambele cazuri.

Negația se numește operație unară, pentru că se aplică unei singure propoziții — spre deosebire de operațiile din lecțiile următoare, care leagă două propoziții.

3. Negație nu înseamnă contrariu

Aici se pierd cele mai multe puncte, așa că merită toată atenția.

Fie $p$: „Astăzi plouă". Negația ei este „Astăzi nu plouă". Nu este „Astăzi este soare" și nici „Astăzi ninge": poate fi înnorat fără ploaie, iar atunci $p$ e falsă, dar nici „e soare" nu e adevărată. Negația trebuie să acopere tot ce nu este $p$, nu doar cazul opus.

Aceeași capcană, în matematică. Fie $q$: „$a>0$". Care este negația?

• „$a<0$" — greșit: rămâne pe dinafară cazul $a=0$, în care $q$ este falsă, dar și „$a<0$" este falsă. Două propoziții false în același timp nu pot fi una negația celeilalte.
• „$a\le 0$" — corect: dacă nu este adevărat că $a$ este strict pozitiv, atunci $a$ este negativ sau nul.

Testul care te scapă mereu: $p$ și $\neg p$ nu au voie să fie amândouă false și nici amândouă adevărate; verifică pe un caz-limită (de obicei egalitatea). Pentru $a=0$: $q$ este falsă, iar „$a\le 0$" este adevărată — perfect.

4. Negațiile uzuale din matematică

Merită învățat pe de rost tabelul de mai jos: îl vei folosi la inecuații, la reducerea la absurd și la orice cerință de tipul „scrieți negația".

Trei observații care fac diferența.

Inegalitățile se neagă „cu tot cu egal". Negația lui $x\ge 5$ este $x<5$, nu $x\le 5$. Gândește-te pe axa numerelor: mulțimea $[5,\infty )$ are drept complementară exact $(-\infty ,5)$, fără capăt.

Paritatea este un caz fericit. Pentru numere întregi, „nu este par" chiar înseamnă „este impar", pentru că nu există a treia posibilitate.

Primalitatea nu este un caz fericit. Negația propoziției „$n$ este prim" este „$n$ nu este prim", nu „$n$ este compus": numărul $1$ nu este nici prim, nici compus. Când negi, rămâi la formularea cu „nu" dacă nu ești sigur că cele două variante acoperă toate cazurile.

5. Dubla negație

Ce se întâmplă dacă negăm de două ori? Completăm tabelul, coloană cu coloană:

Prima și ultima coloană coincid, deci:

$$\neg (\neg p)\text{ are aceeași valoare de adeva˘r ca }p,\text{ pentru orice propoziție }p.$$

Spunem că dubla negație se simplifică. „Nu este adevărat că $7$ nu este prim" înseamnă, pur și simplu, „$7$ este prim".

Atenție însă la limba română vorbită, unde dubla negație funcționează altfel: „nu am văzut pe nimeni" nu înseamnă „am văzut pe cineva", ci întărește negația. În matematică, regula este strictă și fără excepții: două negații se anulează. Când traduci un enunț din română în limbaj matematic, tradu întâi ideea, nu cuvintele.

6. Dintre $p$ și $\neg p$, exact una este adevărată

Din tabelul negației citim două lucruri, pe care le-am întâlnit sub numele de principii ale logicii:

• $p$ și $\neg p$ nu pot fi amândouă adevărate (principiul necontradicției);
• $p$ și $\neg p$ nu pot fi amândouă false (principiul terțului exclus).

Cu alte cuvinte, mereu $v(p)+v(\neg p)=1$.

Consecința practică e mare: dacă vrei să arăți că o propoziție este adevărată, îți este de ajuns să arăți că negația ei este falsă. Pe acest drum ocolit se construiește metoda reducerii la absurd: presupui negația a ceea ce ai de demonstrat, ajungi la o contradicție, deci negația e falsă — prin urmare propoziția inițială este adevărată. Vei folosi acest tipar și în demonstrația clasică a faptului că $\sqrt{2}$ este irațional.

7. Negația ca unealtă de lucru: infirmarea unei afirmații

Când profesorul îți cere „arată că afirmația este falsă", el îți cere, de fapt, să demonstrezi negația ei.

Fie $p$: „pătratul oricărui număr real este mai mare decât numărul însuși". Negația spune că nu este adevărat că lucrul acesta se întâmplă mereu, adică există măcar un număr pentru care nu se întâmplă. Alegem $x=0,5$: avem $x^2=0,25<0,5$. Propoziția $p$ este deci falsă, iar negația ei, adevărată.

Ai observat mișcarea: negația unei afirmații despre „toate" numerele devine o afirmație despre „există un" număr. Este o regulă importantă, pe care o vei studia sistematic în lecția Negarea propozițiilor cu cuantificatori; deocamdată reține doar bunul-simț al ei: ca să respingi un „toate", ajunge un singur caz care iese din rând.

La fel, negațiile enunțurilor care leagă două propoziții prin „și" sau „sau" au reguli proprii, elegante, numite legile lui De Morgan — le vei întâlni în lecția Reguli de negare: legile lui De Morgan, după ce vom fi studiat cele două operații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Negația și valoarea ei de adevăr

Scrieți negația fiecărei propoziții și precizați valoarea de adevăr a ambelor: $p$: „$7^2=49$"; $q$: „numărul $45$ se divide cu $2$".

Rezolvare. $\neg p$: „$7^2\ne 49$". Cum $7^2=49$, avem $v(p)=1$ și $v(\neg p)=0$.

$\neg q$: „numărul $45$ nu se divide cu $2$". Cum $45$ este impar, $v(q)=0$ și $v(\neg q)=1$.

Observă că în ambele cazuri suma valorilor de adevăr este $1$, cum ne așteptam.

Exemplul 2 — Negarea inegalităților

Scrieți negațiile propozițiilor: (a) „$x\ge 3$"; (b) „$y<-2$"; (c) „$0\le t\le 1$".

Rezolvare. (a) $\neg p$: „$x<3$". (b) $\neg q$: „$y\ge -2$". (c) Aici avem, de fapt, două condiții simultane, $t\ge 0$ și $t\le 1$; negația spune că măcar una dintre ele cade, adică „$t<0$ sau $t>1$". Pe axă: complementara intervalului $[0,1]$ este reuniunea $(-\infty ,0)\cup (1,\infty )$.

Observație. Punctul (c) anunță legile lui De Morgan; deocamdată e suficient să-l citești pe axa numerelor, ca trecere la complementară.

Exemplul 3 — Negație corectă versus contrariu

Un elev afirmă că negația propoziției „numărul $a$ este pozitiv" este „numărul $a$ este negativ". Arătați că se înșală.

Rezolvare. Luăm $a=0$. Propoziția „$a$ este pozitiv", adică $a>0$, este falsă. Propoziția „$a$ este negativ", adică $a<0$, este și ea falsă. Dar $p$ și $\neg p$ nu pot fi amândouă false, deci a doua nu este negația primeia. Negația corectă este „$a\le 0$", adică „$a$ nu este pozitiv" — care, pentru $a=0$, este adevărată. $■$

Exemplul 4 — Dubla negație

Simplificați enunțul: „Nu este adevărat că numărul $13$ nu este prim". Ce valoare de adevăr are?

Rezolvare. Notăm $p$: „$13$ este prim". Enunțul din cerință este $\neg (\neg p)$, care are aceeași valoare de adevăr ca $p$. Cum $13$ nu se divide nici cu $2$, nici cu $3$, iar $3^2=9<13<16=4^2$, numărul $13$ este prim, deci $v(p)=1$. Enunțul este adevărat și se rescrie simplu: „numărul $13$ este prim".

Exemplul 5 — Negație cu atenție la caz-limită

Scrieți negația propoziției $p$: „numărul natural $n$ este prim" și explicați de ce „$n$ este compus" nu este o negație corectă.

Rezolvare. Negația corectă este „$n$ nu este prim". Formularea „$n$ este compus" pierde cazurile $n=0$ și $n=1$: numărul $1$ nu este nici prim, nici compus, deci pentru $n=1$ ambele propoziții („$1$ este prim" și „$1$ este compus") sunt false — ceea ce este imposibil pentru o pereche propoziție–negație. Regula practică: verifică mereu cazurile de la margine înainte de a înlocui un „nu" cu un cuvânt care pare să spună același lucru.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propozițiile $p$: „$(\sqrt{7}-3{)}^2=16-6\sqrt{7}$" și $q$: „numărul $2^{15}$ este pătrat perfect". Determinați $v(\neg p)$ și $v(\neg q)$.

Rezolvare. Dezvoltăm pătratul din $p$:

$$(\sqrt{7}-3{)}^2=(\sqrt{7}{)}^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{7}+3^2=7-6\sqrt{7}+9=16-6\sqrt{7}.$$

Egalitatea este adevărată, deci $v(p)=1$ și, prin urmare, $v(\neg p)=1-1=0$.

Pentru $q$: un număr de forma $2^k$ este pătrat perfect exact când $k$ este par (căci $2^{2m}=(2^m{)}^2$). Cum $15$ este impar, $2^{15}$ nu este pătrat perfect: $v(q)=0$, deci $v(\neg q)=1$.

Observație de redactare. La examen se cere adesea valoarea de adevăr a unei negații; drumul cel mai scurt este să stabilești valoarea propoziției inițiale, cu calculul scris, și abia apoi să aplici $v(\neg p)=1-v(p)$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare negație scrisă, fă și testul de siguranță: alege un caz în care propoziția inițială este falsă și verifică dacă negația ta iese adevărată.

1. Scrie negațiile propozițiilor: (a) „$5+6=11$"; (b) „numărul $121$ este pătrat perfect"; (c) „$\sqrt{81}=9$".

2. Determină $v(p)$ și $v(\neg p)$ pentru: (a) $p$: „$3^5=243$"; (b) $p$: „numărul $1000$ se divide cu $3$"; (c) $p$: „$|-5|=-5$".

3. Scrie negațiile: (a) „$x>7$"; (b) „$y\le 0$"; (c) „$z\ne 4$"; (d) „$m\ge -1$".

4. Scrie negațiile: (a) „$3\in \mathbb{N}$"; (b) „$\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$"; (c) „numărul $n$ se divide cu $5$".

5. Simplifică, folosind dubla negație: „Nu este adevărat că numărul $2027$ nu este impar". Ce valoare de adevăr are enunțul?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația propoziției «$a<0$» este «$a>0$»."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $v(p)=0$, atunci $v(\neg p)=1$."

8. Completează tabelul de adevăr pentru $p$, $\neg p$ și $\neg (\neg p)$ și explică ce coloane coincid.

9. Un elev spune: „negația propoziției «toate becurile din sală sunt aprinse» este «toate becurile din sală sunt stinse»". Explică de ce greșește și scrie negația corectă în limbaj obișnuit.

10. Scrie negația propoziției „numărul $n$ este divizibil cu $6$" și precizează valoarea ei de adevăr pentru $n=45$.

11. Fie $p$: „$100$ împărțit la $7$ dă restul $2$". Determină $v(p)$ și $v(\neg p)$, cu calculul făcut.

12. (Problemă aplicată.) Un regulament de concurs spune: „Se califică elevii cu punctajul cel puțin $80$". Scrie condiția de necalificare ca negație și verifică dacă un elev cu $80$ de puncte se califică.

13. Scrie negația propoziției „numărul $x$ este soluție a ecuației $x^2=9$" și găsește două valori pentru care negația este adevărată.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice propoziție $p$ avem $v(p)+v(\neg p)=1$."

15. Scrie negațiile propozițiilor: (a) „pătratul oricărui număr real este nenegativ"; (b) „numărul $0$ este pozitiv". Care dintre negații este adevărată?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „$(\sqrt{5}+1{)}^2=6+2\sqrt{5}$" și $q$: „numărul $\sqrt{2}$ este rațional". Determinați $v(\neg p)$ și $v(\neg q)$.

17. Explică de ce negația propoziției „$n$ este par" poate fi scrisă „$n$ este impar" atunci când $n$ este întreg, dar negația propoziției „$n$ este prim" nu poate fi scrisă „$n$ este compus".

18. (Provocare.) Într-o cutie sunt bile roșii și albastre. Andrei afirmă: „Toate bilele roșii sunt mai grele decât toate bilele albastre". Scrie negația afirmației lui în limbaj cât mai simplu și explică ce ar trebui să găsim concret în cutie ca să dovedim că Andrei se înșală.

Răspunsuri și explicații

1. (a) „$5+6\ne 11$" — falsă, căci $5+6=11$. (b) „numărul $121$ nu este pătrat perfect" — falsă, căci $121=11^2$. (c) „$\sqrt{81}\ne 9$" — falsă, căci $\sqrt{81}=9$. (În toate cele trei cazuri propoziția inițială era adevărată, deci negația e falsă.)

2. (a) $3^5=243$, deci $v(p)=1$ și $v(\neg p)=0$. (b) Suma cifrelor lui $1000$ este $1$, care nu se divide cu $3$; $v(p)=0$, $v(\neg p)=1$. (c) $|-5|=5\ne -5$, deci $v(p)=0$ și $v(\neg p)=1$.

3. (a) „$x\le 7$"; (b) „$y>0$"; (c) „$z=4$"; (d) „$m<-1$". Regula folosită: negarea unei inegalități schimbă sensul și mută egalul de partea cealaltă.

4. (a) „$3\notin \mathbb{N}$" (falsă); (b) „$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$" (adevărată, $\sqrt{2}$ este irațional); (c) „numărul $n$ nu se divide cu $5$".

5. Notăm $p$: „$2027$ este impar". Enunțul este $\neg (\neg p)$, care are aceeași valoare de adevăr ca $p$. Ultima cifră a lui $2027$ este $7$, deci $p$ este adevărată; enunțul este adevărat și se rescrie „numărul $2027$ este impar".

6. Fals. Pentru $a=0$ ambele propoziții sunt false, ceea ce este imposibil pentru o pereche propoziție–negație. Negația corectă a lui „$a<0$" este „$a\ge 0$".

7. Adevărat. Este chiar definiția negației, scrisă cu formula $v(\neg p)=1-v(p)$: din $v(p)=0$ rezultă $v(\neg p)=1$.

8. Tabelul are două linii: pentru $v(p)=1$ obținem $v(\neg p)=0$ și $v(\neg (\neg p))=1$; pentru $v(p)=0$ obținem $v(\neg p)=1$ și $v(\neg (\neg p))=0$. Coincid prima și a treia coloană, adică $\neg (\neg p)$ are mereu aceeași valoare de adevăr ca $p$ — dubla negație se simplifică.

9. Greșește pentru că trece la contrariu, nu la negație: dacă un singur bec este stins și restul aprinse, afirmația inițială e falsă, dar nici „toate sunt stinse" nu e adevărată. Negația corectă: „nu toate becurile sunt aprinse", adică „măcar un bec este stins".

10. Negația: „numărul $n$ nu este divizibil cu $6$". Pentru $n=45$: $45=6\cdot 7+3$, deci $45$ nu se divide cu $6$; negația este adevărată (iar propoziția inițială, falsă).

11. $100=7\cdot 14+2$, deci restul chiar este $2$: $v(p)=1$ și $v(\neg p)=0$.

12. Condiția de calificare este „punctaj $\ge 80$", deci necalificarea este negația ei: „punctaj $<80$". Un elev cu exact $80$ de puncte se califică, pentru că $80\ge 80$; el nu intră în negație. Aici se vede de ce negarea trebuie să mute cu grijă egalul: dacă am fi scris greșit negația ca „punctaj $\le 80$", elevul ar fi apărut, absurd, în ambele categorii.

13. Negația: „numărul $x$ nu este soluție a ecuației $x^2=9$", adică $x^2\ne 9$. Ecuația are soluțiile $x=3$ și $x=-3$, deci negația este adevărată pentru orice altă valoare, de exemplu $x=0$ ($0\ne 9$) și $x=2$ ($4\ne 9$).

14. Adevărat. Din tabelul negației: când $v(p)=1$, avem $v(\neg p)=0$, iar suma este $1$; când $v(p)=0$, avem $v(\neg p)=1$, sumă tot $1$. Relația exprimă împreună principiul necontradicției și principiul terțului exclus.

15. (a) Negația: „există un număr real al cărui pătrat este negativ" (sau, mai aproape de literă, „nu este adevărat că pătratul oricărui număr real este nenegativ"). (b) Negația: „numărul $0$ nu este pozitiv". Adevărată este negația de la (b), pentru că $0$ nu este strict pozitiv; negația de la (a) este falsă, întrucât $x^2\ge 0$ pentru orice număr real $x$.

16. Dezvoltăm: $(\sqrt{5}+1{)}^2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}$, deci $v(p)=1$ și $v(\neg p)=0$. Numărul $\sqrt{2}$ este irațional, deci $v(q)=0$ și $v(\neg q)=1$.

17. Pentru numere întregi, „par" și „impar" acoperă toate cazurile și se exclud reciproc: restul împărțirii la $2$ este $0$ sau $1$, fără a treia posibilitate — deci negația unuia este exact celălalt. Pentru primalitate, „prim" și „compus" nu acoperă toate numerele naturale: $0$ și $1$ nu sunt nici prime, nici compuse; de aceea negația lui „$n$ este prim" rămâne „$n$ nu este prim".

18. Negația: „nu este adevărat că toate bilele roșii sunt mai grele decât toate cele albastre", adică „există o bilă roșie și o bilă albastră astfel încât bila roșie să nu fie mai grea decât cea albastră". Concret, ca să-l contrazicem pe Andrei este suficient să găsim o singură pereche (o bilă roșie, o bilă albastră) în care roșia cântărește cel mult cât albastra — un contraexemplu, nu o cântărire a tuturor bilelor. Observă și aici trecerea de la „toate" la „există", regula pe care o vei studia la negarea cuantificatorilor.

De reținut

• Negația propoziției $p$, notată $\text{non }p$, $\neg p$ sau $\overline{p}$, este propoziția care este adevărată exact atunci când $p$ este falsă: $v(\neg p)=1-v(p)$.
• Formula sigură de negare este „nu este adevărat că…" — abia apoi rescrii enunțul frumos în română.
• Negația nu este contrariul. Negația lui „$a>0$" este „$a\le 0$", nu „$a<0$"; negația lui „plouă" este „nu plouă", nu „e soare".
• La inegalități, negația schimbă sensul și mută egalul: $\neg (x\ge 5)$ este $x<5$, iar $\neg (x<5)$ este $x\ge 5$.
• Dubla negație se simplifică: $\neg (\neg p)$ are aceeași valoare de adevăr ca $p$. Dintre $p$ și $\neg p$, exact una este adevărată — de aici pornește metoda reducerii la absurd.

Greșeli frecvente

• Negarea prin contrariu. „Negația lui «$a>0$» este «$a<0$»" — greșit, se pierde cazul $a=0$. Corect: „$a\le 0$". Testează mereu cazul de egalitate.
• Uitarea egalului. $\neg (x\le 3)$ nu este $x\ge 3$, ci $x>3$. Verifică pe axă: complementara lui $(-\infty ,3]$ este $(3,\infty )$.
• „Nu este prim" înlocuit cu „este compus". Cazurile $0$ și $1$ ies din schemă; păstrează formularea cu „nu" când cele două variante nu acoperă tot.
• Dubla negație tratată ca în vorbire. În matematică „nu este adevărat că $n$ nu este par" înseamnă exact „$n$ este par"; nu întărește negația, o desființează.
• Negarea unui „toate" prin „niciunul". Negația lui „toate becurile sunt aprinse" este „măcar unul este stins", nu „toate sunt stinse" — greșeala apare masiv la enunțurile cu cuantificatori.

Aplică acasă

1. Regulamentele de acasă. Găsește trei reguli scrise din jurul tău (regulamentul școlii, condițiile unei promoții, instrucțiunile unui aparat) care conțin „cel puțin", „cel mult" sau „minimum". Scrie pentru fiecare negația exactă și verifică unde cade cazul de egalitate — acolo apar, în viața reală, cele mai multe neînțelegeri.

2. Jocul „nu-i adevărat". Cu un coleg sau cu un părinte: unul spune o propoziție matematică simplă („$36$ este divizibil cu $8$"), celălalt trebuie să spună negația și valoarea ei de adevăr, în maximum cinci secunde. Zece runde, apoi schimbați rolurile. Punctele se dau numai pentru negațiile corecte, nu pentru contrarii.

3. Vânătoare de dublă negație. Notează timp de o zi propozițiile auzite care conțin două negații („nu e imposibil", „nu am zis niciodată că nu…"). Tradu-le în limbaj matematic, simplificând dubla negație, și observă cât de des vorbirea obișnuită încalcă regula pe care matematica o respectă strict.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima operație logică — negația — și fixează deprinderea de a nega corect, care se dovedește surprinzător de greu de format. Competențele vizate sunt identificarea operațiilor cu propoziții elementare (IX.CS.2.1) și determinarea valorii de adevăr a unui enunț format din propoziții legate prin operatori logici (IX.CS.3.1). Miza nu este simbolul $\neg$, ci discernământul: negația respinge, nu propune contrariul.

Ce se verifică la elev: (1) scrie negația folosind formula „nu este adevărat că…" și apoi o rescrie natural; (2) neagă inegalitățile mutând corect egalul ($\neg (x\ge 5)$ este $x<5$); (3) nu confundă negația cu contrariul — testul cazului de egalitate; (4) aplică dubla negație; (5) folosește relația $v(\neg p)=1-v(p)$. Întrebări bune de control: „Care este negația lui «$a>0$» și de ce nu «$a<0$»?"; „Ce înseamnă «nu este adevărat că $n$ nu este par»?"; „Cum negi «toate becurile sunt aprinse»?".

Semne că a înțeles: verifică singur cazul-limită după ce scrie o negație; observă că, la inecuații, trecerea la complementară pe axa numerelor este chiar negația condiției. La teze și la Bacalaureat, negația apare atât direct (cerințe de tipul „determinați valoarea de adevăr a propoziției"), cât și, mult mai des, indirect: în rezolvarea inecuațiilor cu module, în discuția cazurilor și în orice demonstrație prin reducere la absurd, unde primul rând al rezolvării este chiar negația concluziei. Un elev care neagă greșit pierde punctajul de la primul pas, oricât de corect ar calcula mai departe.

Întrebări frecvente

Ce este negația unei propoziții? Este propoziția care afirmă că prima nu este adevărată. Se notează $\text{non }p$, $\neg p$ sau $\overline{p}$ și are mereu valoarea de adevăr opusă: dacă $p$ este adevărată, $\neg p$ este falsă, și invers.

Cum se scrie corect negația unei propoziții? Cel mai sigur este să pui în față formula „nu este adevărat că…" și abia apoi să rescrii enunțul în română firească. Astfel eviți capcana de a înlocui negația cu contrariul, care este cea mai frecventă greșeală din acest capitol.

Care este negația lui „$x\ge 5$"? Este „$x<5$". La negarea unei inegalități se schimbă sensul și se mută egalul: negația lui $\ge$ este $<$, negația lui $>$ este $\le$, negația lui $\le$ este $>$, iar negația lui $<$ este $\ge$.

De ce negația lui „$a>0$" nu este „$a<0$"? Pentru că pentru $a=0$ ambele ar fi false, iar o propoziție și negația ei nu pot fi false în același timp. Negația corectă, „$a\le 0$", acoperă tot ce nu înseamnă „strict pozitiv": numerele negative și zero.

Ce înseamnă dubla negație în matematică? Înseamnă că $\neg (\neg p)$ are aceeași valoare de adevăr ca $p$: cele două negații se anulează. „Nu este adevărat că $7$ nu este prim" înseamnă exact „$7$ este prim" — spre deosebire de vorbirea curentă, unde a doua negație întărește prima.

Care este negația propoziției „numărul $n$ este prim"? Este „numărul $n$ nu este prim". Nu se scrie „$n$ este compus", pentru că numerele $0$ și $1$ nu sunt nici prime, nici compuse, deci cele două formulări nu acoperă aceleași cazuri.

La ce folosește negația în demonstrații? Este punctul de plecare al metodei reducerii la absurd: presupui adevărată negația concluziei, ajungi la o contradicție și deduci că negația este falsă, deci concluzia este adevărată. Tot negația stă în spatele contraexemplului, prin care respingi o afirmație generală.

Cum neg o afirmație care conține „toate"? Negația lui „toate obiectele au proprietatea" este „măcar unul nu are proprietatea", nu „niciunul nu o are". Regula completă, cu simbolurile $\forall$ și $\exists$, se studiază la negarea propozițiilor cu cuantificatori.