Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică

Formula probabilității are doar două numere: câte cazuri favorabile și câte cazuri posibile. Până acum le-am obținut scriind liste sau desenând arbori. Dar ce faci când urna are $7$ bile din care extragi $2$, sau când din $10$ elevi trebuie aleși $3$, sau când joci la loto? Lista are $21$, $120$, respectiv aproape $14$ milioane de elemente. Desenul nu mai ajută.

Din fericire, mașinăria de numărat există deja și tocmai ai construit-o: permutările, aranjamentele și combinările din unitatea de metode de numărare. Lecția de față le pune la treabă în probabilități. Vei descoperi că partea grea nu e calculul, ci alegerea modelului — iar aici există o singură regulă, dar ea nu se negociază: numărătorul și numitorul trebuie numărate în același fel.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi instrumentul potrivit — $P_n$, $A_n^k$ sau $C_n^k$ — punându-ți cele două întrebări: contează ordinea? și se pot repeta elementele?
• Vei ști să aplici regula de aur: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model, ambele ordonat sau ambele neordonat.
• Vei ști să calculezi probabilități la extrageri simultane din urne cu obiecte de două feluri, cu produse de combinări.
• Vei ști să rezolvi probleme cu cifre, litere și așezări la rând, folosind aranjamente și permutări.
• Vei ști să faci controlul rezultatului: încadrarea între $0$ și $1$, suma probabilităților cazurilor disjuncte, verificarea pe un caz mic.
• Vei ști să estimezi ordinul de mărime al unor probabilități foarte mici, de tipul celor de la loterie.

Hai să descoperim împreună

1. Cele trei instrumente și întrebările care le aleg

Reamintim notațiile, așa cum au fost fixate în unitatea de numărare:

Detaliile și demonstrațiile se află în lecțiile Permutări: definiție și formulă, Aranjamente: definiție și formulă și Combinări: definiție și formulă.

O precizare de notație, ca să nu se producă încurcături: litera $P$ apare aici în două roluri diferite. $P_n$, cu indice, înseamnă numărul permutărilor a $n$ obiecte; $P(A)$, cu paranteze, înseamnă probabilitatea evenimentului $A$. Contextul le deosebește întotdeauna, dar merită să fii atent când le scrii una lângă alta.

Cele două întrebări de sortare, la orice problemă:

1. Contează ordinea? Dacă schimbând între ele două obiecte alese obții altceva — da, contează (podium, cifre ale unui număr, funcții diferite). Dacă obții același lucru — nu contează (o echipă, o comisie, o mână de cărți).
2. Se pot repeta elementele? La extragerea cu revenire, da; la extragerea fără revenire sau simultană, nu.

Un ghid mai amănunțit al acestei alegeri se află în lecția Contează ordinea? Alegerea metodei de numărare.

2. Regula de aur: același model sus și jos

Aceasta este ideea centrală a lecției, iar cel mai bun mod de a o înțelege e să rezolvăm aceeași problemă în două feluri.

O urnă conține $4$ bile roșii și $3$ bile albastre. Se extrag $2$ bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie roșii?

Modelul neordonat (bilele se extrag simultan, ordinea nu contează):

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21,\mathrm{card}(A)=C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6,$$ $$P(A)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.$$

Modelul ordonat (bilele se extrag una după alta, fără revenire, și reținem ordinea):

$$\mathrm{card}(\Omega )=A_7^2=7\cdot 6=42,\mathrm{card}(A)=A_4^2=4\cdot 3=12,$$ $$P(A)=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}.$$

Aceeași probabilitate. Nu e o coincidență: trecerea de la ordonat la neordonat împarte și numărătorul, și numitorul la $2$ (numărul de ordini ale unei perechi), iar fracția nu se schimbă. Poți alege modelul care ți se pare mai comod — dar nu ai voie să le amesteci:

$$\frac{C_4^2}{A_7^2}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}\text{— rezultat GREȘIT, obținut amestecaˆnd modelele.}$$

Regula de aur. Cazurile favorabile și cazurile posibile se numără în același model. Dacă numitorul e ordonat, numărătorul trebuie să fie ordonat; dacă numitorul e neordonat, la fel și numărătorul.

Cum recunoști amestecul: rezultatul iese „ciudat" — prea mic, prea mare, uneori peste $1$. De aceea controlul $0\le P\le 1$ din lecția Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică prinde chiar această greșeală.

3. Extrageri simultane: tiparul cu produs de combinări

Cel mai frecvent tip de problemă din capitol arată așa: o urnă cu obiecte de două feluri, din care se extrag mai multe deodată.

Pentru urna cu $4$ bile roșii și $3$ albastre, din care extragem $2$ bile simultan ($\mathrm{card}(\Omega )=C_7^2=21$), evenimentele posibile după compoziție sunt:

Controlul obligatoriu: cele trei evenimente sunt disjuncte două câte două și acoperă toate posibilitățile, deci

$$6+12+3=21=C_7^2\text{și}\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=1✓.$$

Tiparul general. Dintr-o mulțime cu $a$ obiecte de un fel și $b$ de alt fel se extrag $n$ obiecte simultan. Numărul cazurilor în care exact $k$ sunt de primul fel este

$$C_a^k\cdot C_b^{n-k},$$

pentru că alegem independent $k$ dintre cele $a$ și $n-k$ dintre cele $b$, apoi înmulțim, după regula produsului. Numărul cazurilor posibile este $C_{a+b}^n$.

4. Probleme cu cifre și cu litere

Când obiectele se așază pe poziții — cifrele unui număr, literele unui cuvânt, locurile la o masă — ordinea contează, deci lucrăm cu aranjamente sau permutări.

Se formează numere de trei cifre distincte cu cifre din $\{1,2,3,4,5\}$; se alege unul la întâmplare. Care e probabilitatea ca el să fie par?

• Cazuri posibile: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$.
• Cazuri favorabile: cifra unităților în $2$ moduri ($2$ sau $4$), apoi celelalte două poziții cu $A_4^2=4\cdot 3=12$ moduri, deci $2\cdot 12=24$.

$$P=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$$

Se amestecă literele cuvântului MATE și se citește cuvântul obținut. Care e probabilitatea ca el să înceapă cu litera M?

• Cazuri posibile: $P_4=4!=24$ (toate literele sunt distincte).
• Cazuri favorabile: fixăm $M$ pe prima poziție, celelalte trei litere se pot aranja în $P_3=3!=6$ moduri.

$$P=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=25\%.$$

5. Așezări la rând: trucul „lipirii"

Cinci persoane, printre care Ana și Bogdan, se așază la întâmplare pe cinci scaune aliniate. Care este probabilitatea ca Ana și Bogdan să stea alături?

• Cazuri posibile: $P_5=5!=120$.
• Cazuri favorabile: „lipim" Ana și Bogdan într-un singur bloc. Avem atunci $4$ obiecte de aranjat (blocul plus celelalte trei persoane), deci $P_4=4!=24$ de moduri; în interiorul blocului, cei doi pot sta în $2$ ordini. Rezultă $2\cdot 24=48$ de cazuri favorabile.

$$P=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$$

Trucul „lipirii" rezolvă toate problemele cu „stau alături", „stau împreună", „nu se despart". Verificarea pe un caz mic e ușoară: pentru $3$ persoane, probabilitatea ca două anume să stea alături e $\frac{2\cdot 2!}{3!}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ — și, într-adevăr, dintre cele $6$ aranjări, doar două ($ACB$ și $BCA$, unde $C$ e a treia persoană) îi despart pe $A$ și $B$.

6. Când numerele devin uriașe: loteria

La loto se extrag $6$ numere dintr-un total de $49$, fără revenire, iar ordinea nu contează. Care e probabilitatea de a nimeri toate cele șase numere cu un singur bilet?

Cazurile posibile sunt combinările de $49$ luate câte $6$:

$$C_{49}^6=13983816.$$

Un bilet reprezintă un singur caz favorabil, deci

$$P=\frac{1}{13983816}\approx 0,00000007.$$

Ca să simți cifra: dacă ai completa câte un bilet pe secundă, ți-ar trebui aproape cinci luni de joc neîntrerupt, zi și noapte, ca să acoperi toate variantele. Probabilitatea nu este zero — evenimentul nu e imposibil — dar e cu multe ordine de mărime sub orice intuiție obișnuită.

7. Controlul rezultatului — trei verificări rapide

Înainte de a scrie răspunsul final, fă cel puțin una dintre verificările următoare:

1. Încadrarea: este rezultatul între $0$ și $1$? Dacă nu, ai amestecat modelele.
2. Suma pe cazuri disjuncte: dacă ai calculat toate compozițiile posibile (de exemplu „$0$ roșii", „$1$ roșie", „$2$ roșii"), probabilitățile lor trebuie să adune exact $1$.
3. Cazul mic: înlocuiește datele cu numere mici ($n=3$ sau $4$) și numără de mână sau cu un arbore. Dacă formula ta dă același rezultat, e aproape sigur corectă.

A treia verificare este cea mai valoroasă și cea mai puțin folosită. Un minut de numărat pe un caz mic salvează un exercițiu întreg la Bacalaureat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Urna, ambele modele

O urnă conține $4$ bile roșii și $3$ bile albastre. Se extrag simultan două bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie roșii? Rezolvați în modelul neordonat și verificați în cel ordonat.

Rezolvare — model neordonat.

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21,\mathrm{card}(A)=C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6,$$ $$P(A)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\approx 0,2857\approx 28,57\%.$$

Verificare — model ordonat. Extragem una după alta, fără revenire:

$$\mathrm{card}(\Omega )=A_7^2=42,\mathrm{card}(A)=A_4^2=12,P(A)=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}✓.$$

Cele două modele dau același rezultat, așa cum trebuie.

Exemplul 2 — Exact una roșie

Aceeași urnă ($4$ roșii, $3$ albastre), aceeași extragere simultană de două bile. Care este probabilitatea ca exact una dintre ele să fie roșie?

Rezolvare. Alegem $1$ bilă dintre cele $4$ roșii și $1$ dintre cele $3$ albastre:

$$\mathrm{card}(A)=C_4^1\cdot C_3^1=4\cdot 3=12,P(A)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\approx 57,14\%.$$

Control. Adunăm cele trei situații posibile: ambele roșii ($6$ cazuri), exact una roșie ($12$), ambele albastre ($C_3^2=3$). Suma este $6+12+3=21=C_7^2$ ✓, iar probabilitățile $\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=1$ ✓.

Exemplul 3 — Alegerea unei comisii

Într-o clasă sunt $10$ elevi, dintre care $6$ fete. Se aleg la întâmplare $3$ elevi pentru un concurs. Calculați probabilitatea ca: a) toți trei să fie fete; b) exact doi să fie fete.

Rezolvare. Ordinea nu contează (formează o echipă), deci lucrăm cu combinări:

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

a) Toți trei fete: $C_6^3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20$, deci

$$P=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\approx 16,67\%.$$

b) Exact două fete înseamnă două fete și un băiat: $C_6^2\cdot C_4^1=15\cdot 4=60$, deci

$$P=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}=50\%.$$

Control. Celelalte compoziții: exact o fată $C_6^1\cdot C_4^2=6\cdot 6=36$; nicio fată $C_4^3=4$. Suma: $20+60+36+4=120$ ✓.

Exemplul 4 — Trei zaruri, fețe diferite

Se aruncă trei zaruri echilibrate. Care este probabilitatea ca toate trei să arate fețe diferite?

Rezolvare. Zarurile se consideră deosebite, deci rezultatul e un triplet ordonat:

$$\mathrm{card}(\Omega )=6^3=216.$$

Fețe diferite: primul zar — $6$ variante, al doilea — $5$, al treilea — $4$, deci

$$\mathrm{card}(A)=6\cdot 5\cdot 4=120=A_6^3,P(A)=\frac{120}{216}=\frac{5}{9}\approx 55,56\%.$$

Observă că modelul e ordonat și sus, și jos ✓. Dacă am fi numărat sus cu combinări ($C_6^3=20$) și jos cu $216$, am fi obținut un rezultat fără sens.

Exemplul 5 — Doi ași dintr-un pachet

Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrag simultan două cărți. Care este probabilitatea ca amândouă să fie ași?

Rezolvare. Extragere simultană, deci combinări:

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_{52}^2=\frac{52\cdot 51}{2}=1326,\mathrm{card}(A)=C_4^2=6,$$ $$P(A)=\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}\approx 0,0045\approx 0,45\%.$$

Mai puțin de o jumătate de procent: la un număr mare de extrageri, aproximativ o pereche din $221$ este formată din doi ași.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se aleg simultan trei numere din mulțimea $\{1,2,\dots ,10\}$. Calculați probabilitatea ca toate trei să fie impare.

Rezolvare. Ordinea nu contează (se aleg trei numere, nu se formează un număr), deci

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^3=120.$$

Numerele impare din mulțime sunt $1,3,5,7,9$, adică $5$ la număr, deci cazurile favorabile sunt

$$\mathrm{card}(A)=C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6}=10.$$

Prin urmare

$$P(A)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0,0833\approx 8,33\%.$$

Verificare: din simetrie, probabilitatea ca toate trei să fie pare este tot $\frac{C_5^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{12}$, ceea ce se potrivește — mulțimea are exact cinci numere pare și cinci impare. Iar $0\le \frac{1}{12}\le 1$ ✓.

Să exersăm

1. Calculează: $C_7^2$, $C_{10}^3$, $A_5^2$, $A_6^3$, $P_4$, $P_5$.

2. O urnă conține $5$ bile albe și $4$ bile negre. Se extrag simultan două bile. Câte cazuri posibile există?

3. Pentru urna de la exercițiul $2$, calculează probabilitatea ca ambele bile extrase să fie albe.

4. Pentru aceeași urnă, calculează probabilitatea ca ambele bile să fie negre și probabilitatea ca exact una să fie albă. Verifică apoi că suma celor trei probabilități obținute (aici și la exercițiul $3$) este $1$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o problemă de probabilități putem număra cazurile favorabile cu combinări și cazurile posibile cu aranjamente, pentru că oricum împărțim la final."

6. Se formează numere de trei cifre distincte cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5,6\}$ și se alege unul la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să fie impar?

7. Într-o clasă cu $9$ elevi, dintre care $5$ băieți, se aleg $3$ elevi pentru o comisie. Care este probabilitatea ca în comisie să nu fie niciun băiat?

8. Pentru aceeași clasă, care este probabilitatea ca în comisie să fie exact o fată?

9. Se amestecă literele cuvântului MATE. Care este probabilitatea ca literele $M$ și $A$ să fie alăturate (în orice ordine)?

10. Patru persoane se așază la întâmplare pe patru scaune aliniate. Care este probabilitatea ca o anumită persoană să stea pe primul scaun?

11. Se aruncă trei zaruri. Care este probabilitatea ca toate trei să arate aceeași față?

12. (Problemă aplicată.) Într-un lot de $12$ becuri, $3$ sunt defecte. Se aleg simultan $2$ becuri pentru verificare. Care este probabilitatea ca ambele să fie bune?

13. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrag simultan două cărți. Care este probabilitatea ca ambele să fie de inimă roșie?

14. Cinci elevi se așază la întâmplare pe cinci scaune aliniate. Care este probabilitatea ca doi dintre ei, anume desemnați, să nu stea alături? (Indicație: numără întâi cazurile în care stau alături.)

15. Se aleg simultan două numere din mulțimea $\{1,2,\dots ,8\}$. Care este probabilitatea ca ambele să fie pare?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se aleg simultan trei elevi dintr-o grupă de $8$ elevi, dintre care $3$ sunt fete. Calculează probabilitatea ca printre cei aleși să fie exact două fete.

17. Explică, în trei-patru rânduri, de ce probabilitatea unei extrageri simultane de două bile roșii dintr-o urnă cu $4$ roșii și $3$ albastre iese aceeași și cu combinări, și cu aranjamente.

18. (Provocare.) La un joc de tip loterie se extrag $5$ numere din $30$, fără revenire și fără să conteze ordinea. Câte variante există? Care este probabilitatea de a nimeri exact $4$ dintre cele $5$ numere extrase, cu un singur bilet? (Indicație: alegi $4$ numere dintre cele $5$ câștigătoare și $1$ dintre cele $25$ necâștigătoare.)

Răspunsuri și explicații

1. $C_7^2=21$; $C_{10}^3=120$; $A_5^2=20$; $A_6^3=120$; $P_4=24$; $P_5=120$.

2. $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$ de cazuri posibile.

3. Cazuri favorabile: $C_5^2=10$. Deci $P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\approx 27,78\%$.

4. Ambele negre: $C_4^2=6$, deci $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Exact una albă: $C_5^1\cdot C_4^1=20$, deci $P=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$. Control: $\frac{5}{18}+\frac{1}{6}+\frac{5}{9}=\frac{5+3+10}{18}=\frac{18}{18}=1$ ✓.

5. Fals. Cele două modele numără lucruri diferite: aranjamentele țin cont de ordine, combinările nu. Amestecându-le, raportul nu mai are sens — de exemplu $\frac{C_4^2}{A_7^2}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$, în loc de valoarea corectă $\frac{2}{7}$. Regula este: același model sus și jos.

6. Cazuri posibile: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Impare: cifra unităților în $3$ moduri ($1$, $3$ sau $5$), apoi celelalte poziții în $A_5^2=20$ moduri, deci $3\cdot 20=60$. Rezultă $P=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}=50\%$.

7. Cazuri posibile: $C_9^3=84$. Fetele sunt $9-5=4$, deci „niciun băiat" înseamnă trei fete: $C_4^3=4$ cazuri. $P=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}\approx 4,76\%$.

8. Exact o fată: $C_4^1\cdot C_5^2=4\cdot 10=40$ de cazuri, deci $P=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}\approx 47,62\%$.

9. Cazuri posibile: $P_4=24$. „Lipim" $M$ și $A$: rămân $3$ obiecte de aranjat, deci $P_3=6$ moduri, iar în bloc $2$ ordini: $2\cdot 6=12$ cazuri favorabile. $P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=50\%$.

10. Cazuri posibile: $P_4=24$. Fixăm persoana pe primul scaun; restul se aranjează în $P_3=6$ moduri. $P=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=25\%$. (Firesc: fiecare dintre cele patru persoane are aceeași șansă să ocupe primul scaun.)

11. Cazuri posibile: $6^3=216$. Toate egale: $6$ cazuri (una pentru fiecare față). $P=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}\approx 2,78\%$.

12. Becuri bune: $12-3=9$. Cazuri posibile: $C_{12}^2=66$; favorabile: $C_9^2=36$. $P=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\approx 54,55\%$.

13. Cazuri posibile: $C_{52}^2=1326$; favorabile: $C_{13}^2=78$. $P=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}\approx 5,88\%$.

14. Cazuri posibile: $P_5=120$. Stau alături: $2\cdot P_4=2\cdot 24=48$ de cazuri. Prin urmare nu stau alături în $120-48=72$ de cazuri, deci $P=\frac{72}{120}=\frac{3}{5}=60\%$.

15. Cazuri posibile: $C_8^2=28$. Numerele pare sunt $2,4,6,8$, deci favorabile: $C_4^2=6$. $P=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}\approx 21,43\%$.

16. Cazuri posibile: $C_8^3=56$. Exact două fete înseamnă două fete din trei și un băiat din cinci: $C_3^2\cdot C_5^1=3\cdot 5=15$. Deci $P=\frac{15}{56}\approx 26,79\%$.

17. Pentru că trecerea de la modelul ordonat la cel neordonat împarte la $2$ atât numărul cazurilor favorabile ($12\to 6$), cât și numărul cazurilor posibile ($42\to 21$) — fiecare pereche apărea în două ordini. Împărțind numărătorul și numitorul cu același număr, fracția rămâne aceeași, $\frac{2}{7}$.

18. Variante: $C_{30}^5=\frac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}{120}=142506$. Pentru exact $4$ nimerite: alegem $4$ numere dintre cele $5$ câștigătoare ($C_5^4=5$ moduri) și $1$ dintre cele $25$ necâștigătoare ($C_{25}^1=25$ moduri), deci $5\cdot 25=125$ de cazuri favorabile. Rezultă $P=\frac{125}{142506}\approx 0,00088$, adică sub o miime.

De reținut

• Regula de aur: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model — ambele cu ordine sau ambele fără. Amestecul dă rezultate false, uneori chiar peste $1$.
• Alegerea instrumentului se face cu două întrebări: contează ordinea? ($A_n^k$ sau $P_n$ dacă da, $C_n^k$ dacă nu) și se repetă elementele? (cu revenire $\to$ regula produsului).
• La extrageri simultane dintr-o urnă cu $a$ obiecte de un fel și $b$ de altul, numărul cazurilor cu exact $k$ obiecte de primul fel este $C_a^k\cdot C_b^{n-k}$, iar cazurile posibile sunt $C_{a+b}^n$.
• La așezări „unul lângă altul", lipești cele două obiecte într-un bloc: $2\cdot P_{n-1}$ cazuri favorabile din $P_n$ posibile.
• Controlul rezultatului: $0\le P\le 1$; probabilitățile compozițiilor disjuncte adună $1$; formula se verifică pe un caz mic, numărat de mână.

Greșeli frecvente

• Amesteci modelele. $\frac{C_4^2}{A_7^2}$ nu înseamnă nimic. Decide de la început: ordonat sau neordonat, apoi numără la fel sus și jos.
• Aduni combinările în loc să le înmulțești. Pentru „două fete și un băiat" scrii $C_6^2\cdot C_4^1$, nu $C_6^2+C_4^1$: alegerile se fac una după alta, deci se aplică regula produsului.
• Confunzi „exact două fete" cu „cel puțin două fete". Prima e o singură compoziție, a doua e reuniunea mai multora. Citește cuvintele exact, cel puțin, cel mult înainte de a scrie combinările.
• Folosești combinări la probleme cu poziții. Cifrele unui număr sau locurile la o masă sunt poziții distincte, deci ordinea contează: aranjamente sau permutări, nu combinări.
• Nu verifici rezultatul. O probabilitate mai mare decât $1$ sau o sumă de compoziții care nu dă $1$ arată imediat unde e greșeala. Aceste două controale costă zece secunde.

Aplică acasă

1. Urna de acasă, verificată pe un caz mic. Pune într-o pungă $3$ obiecte de un fel și $2$ de alt fel. Calculează cu combinări probabilitatea ca, extrăgând două deodată, ambele să fie de primul fel. Apoi scrie efectiv toate cele $C_5^2=10$ perechi și numără-le pe cele favorabile. Rezultatele trebuie să coincidă.

2. Echipa de proiect. Numără câți colegi sunt în clasa ta și câți dintre ei sunt fete. Calculează în câte moduri se poate forma o echipă de trei și care e probabilitatea ca ea să fie formată doar din fete. Verifică rezultatul cu regula de control: suma probabilităților pentru $0$, $1$, $2$ și $3$ fete trebuie să dea $1$.

3. Cât valorează un bilet de loterie. Caută regulile unei loterii reale (câte numere se extrag din câte) și calculează probabilitatea marelui premiu cu combinări. Compară-o apoi cu prețul biletului și cu valoarea premiului — vei avea o discuție bună la ora de dirigenție.

Pentru părinți și profesori

Lecția face joncțiunea dintre cele două unități mari ale clasei a X-a: metodele de numărare și probabilitățile. Elevii tocmai au învățat permutările, aranjamentele și combinările, iar aici le folosesc pentru a produce cele două numere din formula lui Laplace. Programa cere explicit utilizarea tehnicilor de numărare pentru calcularea numărului de cazuri posibile și favorabile, în contexte practice.

Punctul critic al lecției este consistența modelului. Greșeala tipică nu e de calcul, ci de metodă: cazuri favorabile numărate neordonat împărțite la cazuri posibile numărate ordonat. Lecția o tratează frontal, rezolvând aceeași problemă în ambele modele și arătând că rezultatul e identic — argument care convinge mai bine decât o interdicție.

Ce verifică lecția: dacă elevul își pune cele două întrebări de sortare înainte de a scrie o formulă; dacă înmulțește combinările la compoziții mixte; dacă folosește trucul lipirii la „stau alături"; dacă face măcar un control înainte de a preda răspunsul. Întrebări bune de control: „Ordinea contează în problema asta? De unde știi?"; „De ce $C_6^2\cdot C_4^1$ și nu suma lor?"; „Cât trebuie să dea suma probabilităților tuturor compozițiilor?". Semne că a înțeles: verifică spontan pe un caz mic și își corectează singur rezultatul când probabilitatea iese mai mare decât $1$.

La Bacalaureat, aceste exerciții apar constant la subiectul I, în formulări de tipul „se aleg simultan trei elevi…" sau „se formează numere de trei cifre distincte…". Baremul punctează separat $\mathrm{card}(\Omega )$, $\mathrm{card}(A)$ și raportul simplificat, deci chiar și o rezolvare parțială aduce puncte. Continuarea firească este Evenimentul contrar și probabilitatea lui, unde problemele de tipul „cel puțin unul" se scurtează considerabil.

Întrebări frecvente

Când folosesc combinări și când aranjamente într-o problemă de probabilități? Folosești combinări când ordinea nu contează — o echipă, o comisie, o extragere simultană, o mână de cărți. Folosești aranjamente când ordinea contează — cifrele unui număr, locurile la o masă, un podium, extrageri succesive la care reții ordinea. Întrebarea de control: dacă schimbi între ele două obiecte alese, obții altceva?

De ce trebuie ca numărătorul și numitorul să fie numărate în același fel? Pentru că probabilitatea este un raport între două numărători ale aceleiași realități; dacă una ține cont de ordine și cealaltă nu, raportul nu mai are sens. Trecerea de la ordonat la neordonat împarte ambele numere la același factor, deci fracția nu se schimbă — cu condiția să faci trecerea în amândouă.

Cum calculez probabilitatea la o extragere simultană din urnă? Numărul cazurilor posibile este $C_n^k$, unde $n$ e numărul total de obiecte și $k$ numărul de obiecte extrase. Cazurile favorabile se obțin înmulțind combinările pe categorii: pentru exact $j$ obiecte de primul fel, numărul lor este $C_a^j\cdot C_b^{k-j}$, unde $a$ și $b$ sunt efectivele celor două categorii.

De ce se înmulțesc combinările la problemele cu fete și băieți? Pentru că alegerea fetelor și alegerea băieților sunt două etape independente ale aceleiași selecții, iar fiecare alegere de fete se poate combina cu fiecare alegere de băieți. Este exact regula produsului din unitatea de numărare, aplicată la două grupe distincte.

Cum rezolv problemele în care două persoane trebuie să stea alături? Le „lipești" într-un singur bloc și aranjezi blocul împreună cu celelalte obiecte: pentru $n$ persoane obții $P_{n-1}$ aranjări, pe care le înmulțești cu $2$, adică numărul de ordini din interiorul blocului. Probabilitatea este atunci $\frac{2\cdot P_{n-1}}{P_n}$, adică $\frac{2}{n}$.

Care este probabilitatea de a câștiga la loto 6 din 49? Numărul variantelor este $C_{49}^6=13983816$, iar un bilet reprezintă o singură variantă, deci probabilitatea marelui premiu este $\frac{1}{13983816}$, adică aproximativ $0,00000007$. Evenimentul nu e imposibil, dar are o probabilitate cu multe ordine de mărime sub intuiția obișnuită.

Cum verific dacă rezultatul meu e corect? Trei controale rapide: rezultatul trebuie să fie între $0$ și $1$; probabilitățile tuturor compozițiilor disjuncte trebuie să adune exact $1$; iar formula se poate testa pe un caz mic, numărat de mână sau cu o diagramă arborescentă. Ultimul control prinde cele mai multe greșeli de model.

Ce înseamnă notațiile $P_n$ și $P(A)$ — sunt același lucru? Nu. $P_n=n!$ este numărul permutărilor a $n$ obiecte, adică o numărătoare; $P(A)$ este probabilitatea evenimentului $A$, adică un număr între $0$ și $1$. Se scriu diferit — indice la permutări, paranteze la probabilitate — și se citesc din context.