Termenul general al dezvoltării binomiale

Arunci o monedă de cinci ori la rând și te întrebi: în câte moduri pot să apară exact două steme? Întrebarea pare de probabilități, dar răspunsul se ascunde într-un singur termen al unei dezvoltări binomiale — cel în care exponentul lui $b$ este $2$ , adică termenul cu coeficientul $C_{5}^{2} = 10$ . Nu ai nevoie de toată dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ , ci de un singur rând din ea.

Și mai limpede se vede lucrul acesta la o întrebare pe care simpla numărare a termenilor nu o rezolvă: care termen al dezvoltării $(x + \frac{1}{x})^{4}$ nu îl conține pe $x$ ? Îți trebuie o formulă care, primind rangul, livrează termenul — și care, invers, primind o condiție despre termen, îți spune rangul. În lecția Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom ai învățat să scrii dezvoltarea de la un cap la altul; e o unealtă bună, dar greoaie: la $(2 x + 3)^{5}$ înseamnă șase ridicări la putere, din care folosești de obicei una singură. Formula de azi se numește termenul general al dezvoltării binomiale și e cea mai des folosită din tot capitolul.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii formula termenului general $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ și să obții din ea orice termen, fără să scrii dezvoltarea completă.
Vei ști să explici de ce indicele este $k + 1$ , nu $k$ , și să folosești două verificări rapide care îți spun pe loc dacă termenul e corect.
Vei ști să lucrezi cu binoame cu coeficienți, ca $(2 x + 3)^{5}$ , fără să confunzi coeficientul binomial cu coeficientul termenului.
Vei ști de unde vine semnul alternant din dezvoltarea lui $(a - b)^{n}$ și cum decizi din prima dacă un termen e pozitiv sau negativ.
Vei ști să folosești simetria dezvoltării: termenii egal depărtați de capete au același coeficient binomial, iar la exponent par există un termen din mijloc unic.
Vei ști să găsești termenul care îndeplinește o condiție: termenul liber, cel care conține o anumită putere a lui $x$ sau rangul unui termen dat.

Hai să descoperim împreună

1. Privește dezvoltarea ca pe un tabel, nu ca pe un șir

Recapitulăm formula binomului lui Newton:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} .$

Ca să vezi mecanismul, hai să nu o citim ca pe o înșiruire lungă, ci ca pe un tabel: rangul termenului, coeficientul binomial, exponentul lui $a$ , exponentul lui $b$ . Pentru $n = 5$ — exponentul cel mai mare cu care lucrează programa de trunchi comun — tabelul arată așa:

Rangul termenului	Coeficientul binomial	Exponentul lui $a$	Exponentul lui $b$
$T_{1}$	$C_{5}^{0} = 1$	$5$	$0$
$T_{2}$	$C_{5}^{1} = 5$	$4$	$1$
$T_{3}$	$C_{5}^{2} = 10$	$3$	$2$
$T_{4}$	$C_{5}^{3} = 10$	$2$	$3$
$T_{5}$	$C_{5}^{4} = 5$	$1$	$4$
$T_{6}$	$C_{5}^{5} = 1$	$0$	$5$

Trei observații sar în ochi — ele sunt toată lecția de azi.

Prima: dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ are exact $n + 1$ termeni, pentru că exponentul lui $b$ ia toate valorile de la $0$ la $n$ : la $n = 3$ avem $4$ termeni, la $n = 4$ avem $5$ , la $n = 5$ avem $6$ .

A doua: exponentul lui $b$ crește de la $0$ la $n$ , cu pas $1$ , în timp ce exponentul lui $a$ scade de la $n$ la $0$ . Cele două se mișcă în oglindă.

A treia, cea decisivă: exponentul lui $b$ este mereu cu unu mai mic decât rangul. La $T_{3}$ este $2$ , la $T_{4}$ este $3$ , la $T_{6}$ este $5$ . De aici vine și mica bătaie de cap cu indicii.

✏️Ilustrație: dezvoltarea lui

(a + b)^{5}

pe orizontală, cu săgeți colorate de la fiecare termen spre linia lui din tabel; dedesubt, banda 1, 5, 10, 10, 5, 1

2. Formula termenului general

Să notăm cu $k$ exponentul lui $b$ dintr-un termen. Atunci, conform tabelului, exponentul lui $a$ este $n - k$ , coeficientul binomial este $C_{n}^{k}$ , iar termenul se află pe poziția $k + 1$ . Punând totul laolaltă obținem formula pe care o vei folosi în fiecare problemă:

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}, k \in {0, 1, 2, \dots, n} .$

Se numește termenul general, pentru că din ea obții orice termen: îi dai lui $k$ o valoare și primești termenul corespunzător. Dezvoltarea se scrie atunci compact:

$(a + b)^{n} = T_{1} + T_{2} + T_{3} + \dots + T_{n + 1} .$

De ce $T_{k + 1}$ și nu $T_{k}$ ? Pentru că termenii se numără de la $1$ , iar exponenții lui $b$ de la $0$ : primul termen, $T_{1}$ , are $b^{0}$ , adică $k = 0$ . Este decalajul dintre etajele unei clădiri cu parter: parterul e primul nivel, dar are numărul zero. Regula practică:

$rangul = k + 1 ⟺ k = rangul - 1.$

Dacă ți se cere termenul al patrulea, iei $k = 3$ ; dacă ți se cere al șaselea, iei $k = 5$ . Aceasta este greșeala numărul unu la acest capitol, iar baremul nu iartă: un termen calculat corect, dar de pe poziția greșită, valorează zero puncte.

Exemplu imediat. Termenul al patrulea al dezvoltării $(a + b)^{5}$ : avem $n = 5$ și $k = 4 - 1 = 3$ , deci

$T_{4} = C_{5}^{3} a^{5 - 3} b^{3} = 10 a^{2} b^{3} .$

Am obținut într-un rând ceea ce, prin dezvoltarea completă, ar fi cerut șase. Particularizată pentru $a = b = 1$ , aceeași formulă produce și sumele remarcabile din lecția Identități cu coeficienți binomiali.

O precizare despre exponent. Programa de trunchi comun cere dezvoltarea binomului cu exponent cel mult egal cu $5$ , deci exemplele și exercițiile de aici lucrează cu $n \in {3, 4, 5}$ ; formula rămâne însă scrisă pentru $n$ oarecare.

3. Două verificări care nu te lasă să greșești

Formula are două „lacăte de siguranță". Folosește-le de fiecare dată — durează două secunde.

Verificarea 1 — suma exponenților este mereu $n$ . Exponentul lui $a$ plus exponentul lui $b$ dă $(n - k) + k = n$ . La $T_{4}$ din $(a + b)^{5}$ am scris $a^{2} b^{3}$ : $2 + 3 = 5$ ✓. Dacă suma nu iese $n$ , ai greșit sigur.

Verificarea 2 — indicele de sus al combinării este exponentul lui $b$ . În $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , litera $k$ apare de două ori și trebuie să fie aceeași: sus la combinare și sus la $b$ . Dacă scrii $C_{5}^{3} a^{3} b^{2}$ , cele două nu se potrivesc și termenul e greșit, chiar dacă suma exponenților iese $5$ .

Ține minte formularea scurtă: „ $k$ este exponentul lui $b$ , iar rangul este $k + 1$ ".

4. Când binomul are coeficienți: parantezele sunt obligatorii

Până acum $a$ și $b$ au fost simple litere, dar ele pot fi expresii întregi: $2 x$ , $3$ , $- 5 y$ , $a^{2}$ . Regula rămâne aceeași, cu o singură precauție: întregul $a$ și întregul $b$ se ridică la putere, deci se pun în paranteze.

Să calculăm termenul al treilea al dezvoltării $(2 x + 3)^{5}$ : $a = 2 x$ , $b = 3$ , $n = 5$ , iar rangul $3$ înseamnă $k = 2$ :

$T_{3} = C_{5}^{2} (2 x)^{5 - 2} \cdot 3^{2} = 10 \cdot (2 x)^{3} \cdot 9 = 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 = 720 x^{3} .$

Observă cât de ușor s-ar fi pierdut $2^{3} = 8$ dacă scriai $2 x^{3}$ în loc de $(2 x)^{3}$ : rezultatul ar fi fost $90 x^{3}$ , de opt ori mai mic.

Aici apare și o distincție de vocabular cerută explicit la clasă:

coeficientul binomial al termenului este $C_{n}^{k}$ — la noi, $C_{5}^{2} = 10$ ;
coeficientul termenului este numărul care înmulțește puterea lui $x$ după ce ai făcut toate calculele — la noi, $720$ .

Cele două coincid doar când $a$ și $b$ nu aduc factori numerici, ca la $(x + y)^{n}$ sau $(1 + x)^{n}$ . În rest sunt numere diferite, iar enunțurile le cer separat: „coeficientul binomial al termenului al treilea" înseamnă $10$ , „coeficientul termenului al treilea" înseamnă $720$ .

✏️Ilustrație: termenul

T_{3} = C_{5}^{2} (2 x)^{3} \cdot 3^{2}

scris mare, cu etichete-săgeată „coeficient binomial: 10", „a = 2x", „b = 3"; dedesubt, 720x³ cu eticheta „coeficientul termenului: 720"

5. Dezvoltarea lui $(a - b)^{n}$ și semnul alternant

Nu avem nevoie de o formulă nouă pentru diferență. Scriem $a - b = a + (- b)$ și aplicăm aceeași formulă, cu $b$ înlocuit prin $- b$ :

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} (- b)^{k} = (- 1)^{k} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} .$

Factorul $(- 1)^{k}$ decide semnul, iar regula este limpede: termenii de rang impar sunt pozitivi, cei de rang par sunt negativi. Într-adevăr, rang impar înseamnă $k$ par, deci $(- 1)^{k} = + 1$ , iar rang par înseamnă $k$ impar, deci $(- 1)^{k} = - 1$ . Semnele alternează începând cu plus:

$(a - b)^{5} = a^{5} - 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} - 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} - b^{5} .$

Exemplu. Termenul al cincilea al dezvoltării $(x - 2)^{5}$ : avem $n = 5$ , $k = 4$ , deci

$T_{5} = C_{5}^{4} x^{1} (- 2)^{4} = 5 \cdot x \cdot 16 = 80 x .$

Rangul $5$ fiind impar, semnul iese plus — conform regulii. Pentru termenul al patrulea am avea $k = 3$ : $T_{4} = C_{5}^{3} x^{2} (- 2)^{3} = 10 \cdot (- 8) x^{2} = - 80 x^{2}$ , negativ, așa cum trebuie la rang par.

6. Termenii egal depărtați de capete și termenul din mijloc

Privește din nou tabelul de la punctul 1: coeficienții $1, 5, 10, 10, 5, 1$ se citesc la fel și de la stânga la dreapta, și invers. Nu e o coincidență, ci consecința directă a formulei combinărilor complementare, pe care ai studiat-o în lecția Combinări complementare:

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

Traducerea în limbajul dezvoltării: termenul de rang $k + 1$ și termenul de rang $n - k + 1$ (adică al $(k + 1)$ -lea numărat de la sfârșit) au același coeficient binomial.

Exemplu. În dezvoltarea lui $(1 + x)^{5}$ , termenul al doilea are coeficientul $C_{5}^{1} = 5$ , iar al cincilea are $C_{5}^{4} = 5$ . La fel, $T_{3}$ și $T_{4}$ au amândouă coeficientul $10$ .

De aici și răspunsul la o întrebare des întâlnită: care este termenul din mijloc? Cum numărul de termeni este $n + 1$ , totul ține de paritatea lui $n$ . La $n$ par avem un număr impar de termeni și un mijloc unic, de rang $\frac{n}{2} + 1$ : la $n = 4$ mijlocul este $T_{3}$ , cel cu $k = 2$ . La $n$ impar avem un număr par de termeni și doi termeni la mijloc: la $n = 5$ sunt $T_{3}$ și $T_{4}$ , exact perechea cu coeficienți egali.

Exemplu. Termenul din mijloc al lui $(x + 3)^{4}$ are rangul $3$ , deci $k = 2$ :

$T_{3} = C_{4}^{2} x^{2} \cdot 3^{2} = 6 \cdot 9 \cdot x^{2} = 54 x^{2} .$

Simetria e și utilă: dacă ai calculat prima jumătate a coeficienților, a doua se obține prin oglindire. O vezi cu ochiul liber pe fiecare linie din Triunghiul lui Pascal.

7. Termenul care îndeplinește o condiție

Până acum enunțul îți dădea rangul și cerea termenul. Cele mai frumoase exerciții merg în sens invers: îți dau o condiție („să nu îl conțină pe $x$ ", „să îl conțină pe $x^{2}$ ") și cer rangul sau termenul. Rețeta are trei pași:

Scrii termenul general cu $k$ nedeterminat și aduni puterile variabilei într-un singur exponent, cu regulile de calcul cu puteri din gimnaziu.
Pui condiția ca acel exponent să aibă valoarea cerută — iese o ecuație de gradul întâi în $k$ .
Verifici că $k$ este natural și că $0 \leq k \leq n$ ; rangul este atunci $k + 1$ .

Exemplul din deschidere. Care termen al dezvoltării $(x + \frac{1}{x})^{4}$ nu îl conține pe $x$ ? Aici $a = x$ , $b = \frac{1}{x}$ , $n = 4$ , deci

$T_{k + 1} = C_{4}^{k} x^{4 - k} (\frac{1}{x})^{k} = C_{4}^{k} \cdot \frac{x ^{4 - k}}{x ^{k}} = C_{4}^{k} x^{4 - 2 k} .$

„Nu îl conține pe $x$ " înseamnă exponent zero — de aceea i se spune termen liber. Din $4 - 2 k = 0$ obținem $k = 2$ , deci termenul căutat este al treilea:

$T_{3} = C_{4}^{2} = 6.$

Verificare: $(x + \frac{1}{x})^{4} = x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{4}}$ , iar $6$ e singurul termen fără $x$ .

Varianta „dă-mi rangul". Condiția poate privi și exponentul lui $a$ : în $(a + b)^{5}$ , termenul care îl conține pe $a^{2}$ cere $5 - k = 2$ , deci $k = 3$ și rangul $4$ — regăsim $T_{4} = 10 a^{2} b^{3}$ de la punctul 2, pe alt drum.

Capcana de barem: condiția poate să nu aibă soluție. Are $(x + \frac{1}{x})^{4}$ un termen cu $x^{3}$ ? Din $4 - 2 k = 3$ iese $k = \frac{1}{2}$ , care nu e număr natural, deci răspunsul corect — și singurul punctat — este nu există un astfel de termen. La fel dacă $k$ iese negativ sau $k > n$ : pasul 3 nu se sare niciodată.

✏️Ilustrație: schema în trei pași — „scriu T(k+1), adun puterile lui x" → „pun condiția: exponent = 0" → „k = 2, rangul 3"; alături, dezvoltarea lui (x+1/x)^4 cu termenul 6 încercuit

La specializarea matematică-informatică aceeași tehnică se folosește la exponenți mari, unde dezvoltarea completă nici nu mai e o opțiune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Termenul al patrulea al unei dezvoltări simple

Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(a + b)^{5}$ .

Rezolvare. Rangul cerut este $4$ , deci $k = 3$ , iar $n = 5$ . Aplicăm formula:

$T_{4} = C_{5}^{3} a^{5 - 3} b^{3} = 10 a^{2} b^{3} .$

Verificare: suma exponenților este $2 + 3 = 5 = n$ ✓, iar indicele de sus al combinării ( $3$ ) coincide cu exponentul lui $b$ ✓.

Exemplul 2 — Binom cu coeficienți numerici

Determinați termenul al treilea al dezvoltării $(2 x + 3)^{5}$ și precizați coeficientul lui.

Rezolvare. Avem $a = 2 x$ , $b = 3$ , $n = 5$ , $k = 2$ :

$T_{3} = C_{5}^{2} (2 x)^{3} \cdot 3^{2} = 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 = 720 x^{3} .$

Coeficientul binomial este $C_{5}^{2} = 10$ , iar coeficientul termenului este $720$ . Pentru control, dezvoltarea completă este $(2 x + 3)^{5} = 32 x^{5} + 240 x^{4} + 720 x^{3} + 1080 x^{2} + 810 x + 243$ , iar al treilea termen este într-adevăr $720 x^{3}$ .

Exemplul 3 — Un binom cu minus

Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(x - 2)^{5}$ .

Rezolvare. Aici $a = x$ , $b = 2$ cu semnul minus, $n = 5$ și $k = 3$ :

$T_{4} = C_{5}^{3} x^{5 - 3} (- 2)^{3} = 10 \cdot x^{2} \cdot (- 8) = - 80 x^{2} .$

Rangul fiind par, semnul trebuie să fie minus — și este. Controlul exponenților: $2 + 3 = 5$ ✓.

Exemplul 4 — Dezvoltare completă, termen cu termen

Scrieți dezvoltarea completă a lui $(3 a - b)^{4}$ .

Rezolvare. Aplicăm formula pentru $k = 0, 1, 2, 3, 4$ , cu $n = 4$ :

$T_{1} = C_{4}^{0} (3 a)^{4} = 81 a^{4}, T_{2} = C_{4}^{1} (3 a)^{3} (- b) = 4 \cdot 27 a^{3} \cdot (- b) = - 108 a^{3} b,$

$T_{3} = C_{4}^{2} (3 a)^{2} b^{2} = 6 \cdot 9 a^{2} b^{2} = 54 a^{2} b^{2}, T_{4} = C_{4}^{3} (3 a) (- b)^{3} = 4 \cdot 3 a \cdot (- b^{3}) = - 12 a b^{3},$

$T_{5} = C_{4}^{4} (- b)^{4} = b^{4} .$

Prin urmare $(3 a - b)^{4} = 81 a^{4} - 108 a^{3} b + 54 a^{2} b^{2} - 12 a b^{3} + b^{4}$ . Semnele alternează corect, iar în fiecare termen suma exponenților este $4$ .

Exemplul 5 — Termenul care conține o putere dată

Determinați termenul care îl conține pe $x^{2}$ din dezvoltarea $(2 x - \frac{1}{x})^{4}$ .

Rezolvare. Avem $a = 2 x$ , $b = - \frac{1}{x}$ , $n = 4$ . Scriem termenul general și adunăm puterile:

$T_{k + 1} = C_{4}^{k} (2 x)^{4 - k} (- \frac{1}{x})^{k} = C_{4}^{k} \cdot 2^{4 - k} \cdot (- 1)^{k} \cdot \frac{x ^{4 - k}}{x ^{k}} = C_{4}^{k} \cdot 2^{4 - k} \cdot (- 1)^{k} x^{4 - 2 k} .$

Condiția „conține $x^{2}$ " înseamnă $4 - 2 k = 2$ , deci $k = 1$ — natural și cel mult $4$ , deci termenul există și are rangul $2$ :

$T_{2} = C_{4}^{1} \cdot 2^{3} \cdot (- 1)^{1} x^{2} = 4 \cdot 8 \cdot (- 1) x^{2} = - 32 x^{2} .$

Verificare: $(2 x - \frac{1}{x})^{4} = 16 x^{4} - 32 x^{2} + 24 - \frac{8}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{4}}$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați coeficientul lui $x^{3}$ din dezvoltarea $(x + 2)^{5}$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Avem $a = x$ , $b = 2$ , $n = 5$ . Exponentul lui $x$ este $5 - k$ , iar condiția $5 - k = 3$ dă $k = 2$ , adică termenul de rang $3$ :

$T_{3} = C_{5}^{2} x^{3} \cdot 2^{2} = 10 \cdot x^{3} \cdot 4 = 40 x^{3} .$

Coeficientul cerut este $40$ — cel binomial fiind doar $C_{5}^{2} = 10$ , atenție la formularea enunțului. Verificare: $3 + 2 = 5 = n$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi ce sunt $a$ , $b$ , $n$ și $k$ , apoi aplică formula; cele două verificări se fac la final, în zece secunde.

1. Câți termeni are dezvoltarea lui $(a + b)^{4}$ ? Dar dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ ?

2. Ce valoare are $k$ în formula termenului general dacă ți se cere termenul al doilea? Dar termenul al șaselea?

3. Determină termenul al treilea al dezvoltării $(x + 3)^{5}$ .

4. Determină termenul al patrulea al dezvoltării $(1 + x)^{5}$ .

5. Determină termenul al doilea al dezvoltării $(3 x - 1)^{4}$ și precizează semnul lui.

6. Determină termenul al patrulea al dezvoltării $(2 a - b)^{5}$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ are $5$ termeni."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În dezvoltarea lui $(a - b)^{5}$ , termenul al patrulea este pozitiv."

9. Scrie dezvoltarea completă a lui $(x + 2)^{4}$ .

10. Scrie dezvoltarea completă a lui $(2 x - 1)^{5}$ .

11. În dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ , care sunt cei doi termeni cu coeficientul binomial $10$ ? Justifică prin combinări complementare.

12. (Problemă aplicată.) O monedă este aruncată de $5$ ori. Numărul de moduri în care pot apărea exact $2$ steme este coeficientul binomial al unui termen din dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ . Care este termenul și cât face coeficientul? Compară-l cu numărul total de rezultate, $2^{5}$ .

13. Determină termenul din mijloc al dezvoltării $(x + 2)^{4}$ . Câți termeni are dezvoltarea și de ce mijlocul e unic?

14. Determină termenul liber al dezvoltării $(2 x + \frac{1}{x})^{4}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(x + 1)^{5}$ , $x \in R$ .

16. (Problemă aplicată.) O sumă de $1000$ de lei este depusă cu dobândă de $5%$ pe an, capitalizată anual; după $4$ ani suma este $1000 \cdot (1 + 0, 05)^{4}$ . Scrie primii trei termeni ai dezvoltării, explică ce reprezintă fiecare și calculează suma finală exactă.

17. Determină rangul termenului care îl conține pe $a^{4}$ în dezvoltarea $(a - b)^{5}$ , apoi scrie termenul.

18. (Provocare.) În dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ , termenul al treilea are coeficientul binomial egal cu $10$ . Determină $n$ și spune câți termeni are dezvoltarea.

Răspunsuri și explicații

1. Dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ are $n + 1$ termeni, pentru că exponentul lui $b$ parcurge valorile $0, 1, \dots, n$ . Deci $(a + b)^{4}$ are $5$ termeni, iar $(a + b)^{5}$ are $6$ .

2. Din rang $= k + 1$ obținem $k =$ rang $- 1$ : pentru termenul al doilea, $k = 1$ ; pentru al șaselea, $k = 5$ .

3. $a = x$ , $b = 3$ , $n = 5$ , $k = 2$ : $T_{3} = C_{5}^{2} x^{3} \cdot 3^{2} = 10 \cdot 9 \cdot x^{3} = 90 x^{3}$ . Verificare: $3 + 2 = 5$ ✓.

4. $n = 5$ , $k = 3$ , $a = 1$ , $b = x$ : $T_{4} = C_{5}^{3} \cdot 1^{2} \cdot x^{3} = 10 x^{3}$ . La binoamele $(1 + x)^{n}$ , coeficientul termenului coincide cu cel binomial.

5. $a = 3 x$ , $b = 1$ cu minus, $n = 4$ , $k = 1$ : $T_{2} = C_{4}^{1} (3 x)^{3} (- 1) = - 108 x^{3}$ . Negativ, conform regulii: rang par $\Rightarrow$ semn minus.

6. Primul termen al binomului este $2 a$ , al doilea este $- b$ , iar $n = 5$ . Pentru rangul $4$ luăm $k = 3$ : $T_{4} = C_{5}^{3} (2 a)^{2} (- b)^{3} = 10 \cdot 4 a^{2} \cdot (- b^{3}) = - 40 a^{2} b^{3}$ . Rang par, semn minus ✓.

7. Fals. Are $6$ termeni, nu $5$ : numărul de termeni este $n + 1$ , iar exponentul lui $b$ ia $6$ valori, de la $0$ la $5$ .

8. Fals. Termenul al patrulea are $k = 3$ , deci factorul de semn este $(- 1)^{3} = - 1$ : termenul este negativ. Rangul $4$ fiind par, regula dă minus.

9. $T_{1} = x^{4}$ , $T_{2} = C_{4}^{1} x^{3} \cdot 2 = 8 x^{3}$ , $T_{3} = C_{4}^{2} x^{2} \cdot 4 = 24 x^{2}$ , $T_{4} = C_{4}^{3} x \cdot 8 = 32 x$ , $T_{5} = 2^{4} = 16$ , deci $(x + 2)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ .

10. Cu $a = 2 x$ , $b = 1$ și minus: $(2 x - 1)^{5} = 32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$ . Semnele alternează începând cu plus, iar coeficienții binomiali sunt $1, 5, 10, 10, 5, 1$ .

11. Coeficientul binomial al termenului de rang $k + 1$ este $C_{5}^{k}$ , iar $C_{5}^{2} = C_{5}^{3} = 10$ , deci cei doi termeni sunt $T_{3}$ și $T_{4}$ . Egalitatea vine din $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : sunt egal depărtați de capetele dezvoltării, care are $6$ termeni — fiind $n$ impar, ei sunt chiar cei doi din mijloc.

12. Termenul căutat este cel în care exponentul lui $b$ („stemă") este $2$ , deci $T_{3} = C_{5}^{2} a^{3} b^{2} = 10 a^{3} b^{2}$ . Coeficientul este $10$ : există $10$ moduri de a obține exact $2$ steme din $5$ aruncări, din $2^{5} = 32$ de rezultate posibile.

13. Cu $n = 4$ , dezvoltarea are $5$ termeni; numărul fiind impar, mijlocul este unic, de rang $\frac{4}{2} + 1 = 3$ , deci $k = 2$ : $T_{3} = C_{4}^{2} x^{2} \cdot 2^{2} = 24 x^{2}$ . Se potrivește cu dezvoltarea de la exercițiul 9 ✓.

14. $a = 2 x$ , $b = \frac{1}{x}$ , $n = 4$ : $T_{k + 1} = C_{4}^{k} (2 x)^{4 - k} (\frac{1}{x})^{k} = C_{4}^{k} \cdot 2^{4 - k} x^{4 - 2 k}$ . Termenul liber cere $4 - 2 k = 0$ , adică $k = 2$ (natural și $\leq 4$ ✓): $T_{3} = C_{4}^{2} \cdot 2^{2} = 24$ .

15. $n = 5$ , $k = 3$ , $a = x$ , $b = 1$ : $T_{4} = C_{5}^{3} x^{2} \cdot 1^{3} = 10 x^{2}$ .

16. Cu $a = 1$ , $b = 0, 05$ , $n = 4$ : $T_{1} = 1000$ (capitalul inițial), $T_{2} = 1000 \cdot C_{4}^{1} \cdot 0, 05 = 200$ (dobânda „simplă" pe patru ani), $T_{3} = 1000 \cdot C_{4}^{2} \cdot 0, 0025 = 15$ (dobânda la dobândă); urmează $0, 5$ și $0, 00625$ . Suma exactă: $1000 \cdot 1, 0 5^{4} = 1215, 50625$ lei, adică $1215$ lei și $50$ de bani (rotunjit).

17. Exponentul lui $a$ este $5 - k$ , iar condiția $5 - k = 4$ dă $k = 1$ , natural și $\leq 5$ , deci rangul $2$ : $T_{2} = C_{5}^{1} a^{4} (- b) = - 5 a^{4} b$ . Rang par, semn minus ✓.

18. Termenul al treilea are $k = 2$ , deci $C_{n}^{2} = 10$ , adică $n (n - 1) = 20$ . Ecuația $n^{2} - n - 20 = 0$ are rădăcinile $5$ și $- 4$ , iar $n$ e număr natural, deci $n = 5$ ; dezvoltarea are $6$ termeni. Verificare: $C_{5}^{2} = 10$ ✓.

De reținut

Formula termenului general: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , pentru $k = 0, 1, \dots, n$ . Din ea obții orice termen, fără să scrii toată dezvoltarea.
Rangul este $k + 1$ , nu $k$ : pentru termenul al patrulea iei $k = 3$ , pentru al șaselea iei $k = 5$ . Dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ are $n + 1$ termeni.
Două verificări obligatorii: suma exponenților din orice termen este $n$ , iar indicele de sus al combinării este chiar exponentul lui $b$ .
La $(a - b)^{n}$ apare factorul $(- 1)^{k}$ : termenii de rang impar sunt pozitivi, cei de rang par sunt negativi.
Pentru condiții („termenul liber", „termenul cu $x^{2}$ ") aduni puterile variabilei într-un singur exponent, pui condiția, rezolvi în $k$ și verifici că $k$ este natural, cu $0 \leq k \leq n$ .

Greșeli frecvente

Confundarea rangului cu $k$ . „Termenul al cincilea" nu înseamnă $k = 5$ , ci $k = 4$ . Scrie de fiecare dată, explicit, „ $k =$ rang $- 1$ " înainte de a înlocui.
Uitarea parantezelor la binoame cu coeficienți. La $(2 x + 3)^{5}$ , termenul conține $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ , nu $2 x^{3}$ . Pune paranteze mereu.
Pierderea semnului la $(a - b)^{n}$ . Semnul este $(- 1)^{k}$ și se aplică sistematic: scrie termenul ca $C_{n}^{k} a^{n - k} (- b)^{k}$ și lasă calculul să decidă.
Confuzia dintre coeficientul binomial și coeficientul termenului. La $T_{3}$ din $(2 x + 3)^{5}$ , coeficientul binomial este $10$ , dar coeficientul termenului este $720$ . Citește cu atenție ce se cere.
Uitarea verificării lui $k$ la problemele cu condiții. Dacă îți iese $k = \frac{1}{2}$ , $k$ negativ sau $k > n$ , răspunsul corect este „nu există un astfel de termen", nu o rotunjire convenabilă. Tot aici intră și numărarea greșită: $(a + b)^{5}$ are $6$ termeni, nu $5$ .

Aplică acasă

Harta dezvoltării. Scrie pe o foaie A4 tabelul de la punctul 1 pentru $n = 4$ : rangul, coeficientul binomial, exponentul lui $a$ , exponentul lui $b$ . Verifică pe fiecare linie că suma exponenților dă $4$ , marchează termenul din mijloc și lipește foaia pe coperta caietului — o vei folosi tot capitolul.
Moneda și coeficienții. Aruncă o monedă de $5$ ori și notează rezultatul (de exemplu SSBSB). Repetă de $20$ de ori și numără de câte ori ai obținut exact $2$ steme. Compară frecvența ta cu raportul teoretic $\frac{C _{5}^{2}}{2 ^{5}} = \frac{10}{32}$ — vei relua acest calcul la probabilități.
Dobânda familiei. Întreabă acasă ce dobândă anuală are un depozit (sau alege $3%$ ). Scrie $(1 + d)^{3}$ cu formula binomului și explică, pe cei patru termeni, cât înseamnă capitalul, dobânda „simplă" și cât adaugă dobânda la dobândă. Ultimii termeni sunt foarte mici — de aceea dobânda compusă seamănă, pe termen scurt, cu cea simplă.

Pentru părinți și profesori

Această lecție transformă binomul lui Newton dintr-o formulă de scris integral într-un instrument de lucru punctual. Elevul învață să extragă un singur termen și, mai ales, să meargă în sens invers: de la o condiție („termenul liber", „termenul care îl conține pe $x^{2}$ ") la rangul termenului — exact activitatea cerută de programă, determinarea termenilor unui binom care corespund unor anumite condiții. Aceeași idee reapare la probabilități, unde numărul de moduri în care se obțin exact $k$ succese din $n$ încercări este chiar coeficientul binomial al unui termen.

Programa de trunchi comun limitează dezvoltarea binomului la exponent cel mult egal cu $5$ , deci toate aplicațiile folosesc $n \in {3, 4, 5}$ : accentul cade pe corectitudinea raționamentului, nu pe calcule lungi. La specializarea matematică-informatică tehnica se folosește la exponenți mari, cu același mecanism.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie explicit ce sunt $a$ , $b$ , $n$ și $k$ înainte de a înlocui; (2) folosește $k =$ rang $- 1$ ; (3) pune paranteze la $a$ și $b$ când sunt expresii, de exemplu $(2 x)^{3}$ ; (4) tratează semnul la $(a - b)^{n}$ prin $(- b)^{k}$ , nu „din ochi"; (5) verifică, la problemele cu condiții, că $k$ este natural și cel mult $n$ . Întrebări bune de control: „Câți termeni are dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ ?" ( $6$ ); „Ce valoare are $k$ pentru termenul al patrulea?" ( $3$ ); „De ce au termenii al doilea și al cincilea din $(a + b)^{5}$ același coeficient binomial?" (combinări complementare).

La Bacalaureat, cerința apare aproape în fiecare an, la subiectul I: „determinați termenul al treilea al dezvoltării…", „determinați coeficientul lui $x^{3}$ din dezvoltarea…", „determinați termenul care nu îl conține pe $x$ ". Sunt exerciții de punctaj sigur, rezolvabile în două minute dacă formula e știută pe de rost. Semne că elevul a înțeles: aplică formula fără să mai scrie dezvoltarea, verifică singur suma exponenților și explică de ce indicele este $k + 1$ .

Întrebări frecvente

Care este formula termenului general al binomului lui Newton? Formula este $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , unde $n$ este exponentul binomului, iar $k$ ia valorile $0, 1, 2, \dots, n$ ; termenul obținut se află pe poziția $k + 1$ . Coeficienții $C_{n}^{k}$ se calculează cu formula din lecția Combinări: definiție și formulă.

Cum aflu al patrulea termen al unei dezvoltări binomiale? Iei $k = 4 - 1 = 3$ și înlocuiești: $T_{4} = C_{n}^{3} a^{n - 3} b^{3}$ . De exemplu, la $(a + b)^{5}$ obții $T_{4} = C_{5}^{3} a^{2} b^{3} = 10 a^{2} b^{3}$ . Regula este $k =$ rangul $- 1$ , pentru că termenii se numără de la $1$ , iar exponenții lui $b$ de la $0$ .

Câți termeni are dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ ? Are exact $n + 1$ termeni: $(a + b)^{4}$ are $5$ , iar $(a + b)^{5}$ are $6$ . Motivul: exponentul lui $b$ ia toate valorile întregi de la $0$ la $n$ , adică $n + 1$ valori.

Cum știu dacă un termen din $(a - b)^{n}$ este pozitiv sau negativ? Semnul este dat de $(- 1)^{k}$ , unde $k =$ rangul $- 1$ : termenii de rang impar (primul, al treilea, al cincilea…) sunt pozitivi, iar cei de rang par (al doilea, al patrulea…) sunt negativi.

Ce diferență este între coeficientul binomial și coeficientul unui termen? Coeficientul binomial este numărul $C_{n}^{k}$ din formulă, iar coeficientul termenului este numărul rămas în fața puterii lui $x$ după toate ridicările la putere. La $T_{3}$ din $(2 x + 3)^{5}$ , coeficientul binomial este $10$ , iar coeficientul termenului este $720$ .

Cum găsesc termenul care nu îl conține pe $x$ (termenul liber)? Scrii termenul general, aduni puterile lui $x$ într-un singur exponent și pui condiția ca acel exponent să fie $0$ . La $(x + \frac{1}{x})^{4}$ obții $T_{k + 1} = C_{4}^{k} x^{4 - 2 k}$ ; din $4 - 2 k = 0$ rezultă $k = 2$ , deci termenul liber este $T_{3} = C_{4}^{2} = 6$ . Dacă ecuația nu dă un număr natural între $0$ și $n$ , un astfel de termen nu există.

De ce au unii termeni ai dezvoltării același coeficient? Din combinările complementare, $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : termenii egal depărtați de capetele dezvoltării au același coeficient binomial — de exemplu, al doilea de la început și al doilea de la sfârșit. Aceeași simetrie se vede pe fiecare linie a triunghiului lui Pascal.

Cum verific repede că am scris corect un termen? Prin două controale de câteva secunde: suma exponenților lui $a$ și $b$ trebuie să dea $n$ , iar exponentul lui $b$ trebuie să fie egal cu indicele de sus al combinării. Dacă una nu se verifică, termenul este sigur greșit.